Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Transkrypt

1 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016

2 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi ko«cem wektora. Wektor o pocz tku A i ko«cu B oznaczamy symbolem AB, a, u. Wektorem zerowym nazywamy wektor, w którym pocz tek pokrywa si z ko«cem wektora. Wektor zerowy oznaczamy symbolem 0. Dªugo±ci wektora AB nazywamy odlegªo± punktów A i B i oznaczamy przez AB

3 Podstawowe denicje Denicja Wektory u i v nazywamy równymi co zapisujemy u = v, je»eli wektory te s zerowe lub je»eli obydwa wektory u i v s niezerowe oraz s równolegªe, maj równe dªugo±ci i te same zwroty. Uwaga O wektorach których równo± zostaªa okre±lona w powy»szej denicji mówimy,»e s wektorami swobodnymi.

4 Podstawowe denicje Sum wektorów u i v oznaczon przez u + v nazywamy wektor o pocz tku w pocz tku wektora u i ko«cu w ko«cu wektora v, gdy pocz tek wektora v, pokrywa si z ko«cem wektora u. Denicja Iloczynem wektora przez liczb λ nazywamy wektor λ u, który jest równolegªy do wektora u ma dªugo± λ u ma ten sam zwrot co wektor u, gdy λ > 0; ma zwrot przeciwny do wektora u gdy λ < 0. Je»eli u = 0 lub λ = 0 to λ u, jest wektorem zerowym.

5 Podstawowe denicje Denicja Ukªadem wspóªrz dnych w przestrzeni R 3 nazywamy trzy ustalone proste x, y, z przecinaj ce si w jednym punkcie O, wzajemnie prostopadªe. Taki ukªad wspóªrz dnych nazywamy kartezja«skim i oznaczamy Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a pªaszczyzny Oxy, Oyz, Oxz pªaszczyznami ukªadu wspóªrz dnych. P unktowi P R 3 przyporz dkowujemy uporz dkowan trójk liczb rzeczywistych (x,y,z) zwan wspóªrz dnymi tego punktu przy czym x, y, z, s wspóªrz dnymi rzutów prostok tnych punktu P na osie Ox, Oy, Oz. Niech dane b d w przestrzeni dwa punkty: A(x 1, y 1, z 1 ) i B(x 2, y 2, z 2 ). Wspóªrz dne wektora AB wyznaczamy : AB = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ].

6 Podstawowe denicje Denicja Wektory i = [1, 0, 0] j = [0, 1, 0] k = [0, 0, 1] nazywamy wersorami ukªadu wspóªrz dnych Oxyz. Wektor i jest wersorem osi Ox, Wektor j jest wersorem osi Oy a wektor k jest wersorem osi Oz. Denicja Dªugo±ci wektora u = [x, y, z] nazywamy liczb u = x 2 + y 2 + z 2

7 Podstawowe denicje Dziaªania na wektorach: Niech u = [x 1, y 1, z 1 ] v = [x 2, y 2, z 2 ] oraz λ R. u + v = [x1 + x 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ]; λ u = [λx 1, λy 1, λz 1 ],

8 Iloczyn skalarny Denicja Niech u, v b d dowolnymi wektorami. Iloczyn skalarny wektorów u, v okre±lamy wzorem: u v = u v cosϕ, gdzie ϕ jest k tem mi dzy wektorami u i v. Iloczyn skalarny ma nast puj ce wªasno±ci: u v = v u ; u ( v + w ) = u v + u w ; (α u ) v = α( u v ); v v = v 2.

9 Iloczyn skalarny Twierdzenie Wektory niezerowe u i v s prostopadªe wtedy i tylko wtedy gdy u v = 0. Twierdzenie W ukªadzie Oxyz iloczyn skalarny wektorów u = [x 1, y 1, z 1 ] oraz v = [x2, y 2, z 2 ] wyra»a si wzorem: u v = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

10 Orientacja ukªadu wspóªrz dnych. Wyró»niamy dwie orientacje ukªadu wspóªrz dnych Oxyz: ukªad prawoskr tny i ukªad lewoskr tny. Orientacja ukªadu zale»y od wzajemnego poªo»enia osi ukªadu Ox,Oy,Oz. Nazwa orientacji ukªadu wspóªrz dnych jest efektem nast puj cej interpretacji : je»eli kr cimy ±rub prawoskr tn i jej ruch post puj cy jest zgodny ze zwrotem osi OZ to ukªad jest prawoskr tny w przeciwnym przypadku jest lewoskretny. W dalszej cz ±ci wykªadu b dziemy rozpatrywa wyª cznie ukªad prawoskr tny.

11 Iloczyn wektorowy Denicja Niech u i v b d niezerowymi i nierównolegªymi wektorami. Iloczynem wektorowym uporz dkowanej pary wektorów u i v nazywamy wektor w = u v który speªnia warunki: w jest prostopadªy do obu wektorów u i v ; dªugo± wektora w dana jest wzorem w = u v sin ϕ; gdzie ϕ jest k tem mi dzy wektorami u i v orientacja trójki wektorów u, v i w jest zgodna z orientacj ukªadu wspóªrz dnych Oxyz ( prawoskr tna ).

12 Iloczyn wektorowy Uwaga. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny, wynika to wprost z z punktu 3 denicji. Je»eli jeden z wektorów u, v jest wektorem zerowym to przyjmujemy,ze u v = 0. Wªasno±ci iloczynu wektorowego: u v = v u ; (α u ) v = u (α v ) = α( u v ); ( u + v ) w = u w + v w ; u ( v + w ) = u v + u w.

13 Zastosowania iloczynu wektorowego Twierdzenie Wektory u i v sa równolegªe wtedy i tylko wtedy gdy u v = 0. Twierdzenie W ukªadzie Oxyz iloczyn wektorowy wektorów u = [x 1, y 1, z 1 ], v = [x2, y 2, z 2 ] wyra»a si wzorem u v = [y1 z 2 y 2 z 1 ; x 2 z 1 x 1 z 2 ; x 1 y 2 x 2 y 1 ] co mo»na zapisa symbolicznie w nast puj cy sposób: u v = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 gdzie i, j, k sa wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.,

14 Zastosowania iloczynu wektorowego Iloczyn wektorowy mo»emy stosowa do: obliczenia pola równolegªoboku rozpi tego na wektorach u i v tzn. P r = u v, obliczenia pola trójkata rozpi tego na wektorach, u i v tzn. P t = 1 2 u v, sprawdzenia równolegªo±ci wektorów (niezerowych) u v = 0 u v

15 Iloczyn mieszany wektorów Denicja Iloczyn mieszany ( u, v, w ) wektorów u, v, w nazywamy liczb okre±lon wzorem: Wªasno±ci iloczynu mieszanego: ( u, v, w ) = u ( v w ). ( u, v, w ) = ( v, w, u ); ( u, v, w ) = ( v, u, w ); ( u + r, v, w ) = ( u, v, w ) + ( r, v, w ); α( u, v, w ) = (α u, v, w );

16 Iloczyn mieszany wektorów Twierdzenie Wektory u, v i w le» w jednej pªaszczy¹nie wtedy i tylko wtedy gdy ( u, v, w ) = 0 Twierdzenie W ukªadzie Oxyz iloczyn mieszamy wektorów u = [x 1, y 1, z 1 ], v = [x2, y 2, z 2 ] i w = [x 3, y 3, z 3 ] wyra»a si wzorem ( u, v, w ) = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3.

17 Zastosowania iloczynu mieszanego wektorów Zatem iloczyn mieszany mo»emy stosowa do: obliczenia obj to±ci równolegªo±cianu rozpi tego na wektorach: u, v i w tzn. V r = u ( v w ), obliczenia obj to±ci czworo±cianu rozpi tego na wektorach: u, v i w tzn. V c = 1 6 u ( v w ), sprawdzenia wspóªpªaszczyznowo±ci wektorów (niezerowych) u ( v w ) = 0 u, v, w π

18 Równania pªaszczyzny w R 3 Niech dany b dzie punkt P(x 0, y 0, z 0 ) le» cy na pªaszczy¹nie π oraz niezerowy wektora n = [A, B, C] prostopadªy do tej pªaszczyzny. Wtedy dowolny punkt P(x,y,z)pªaszczyzny π speªnia równanie: n P0 P = 0 St d mo»emy sformuªowa równanie pªaszczyzny przechodz cej przez punkt P(x 0, y 0, z 0 ) i prostopadªej do wektora n = [A, B, C]: π : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0.

19 Równania pªaszczyzny w R 3 Podstawiaj c D = Ax 0 By 0 Cz 0 otrzymujemy równanie pªaszczyzny w postaci ogólnej: π : Ax + By + Cz + D = 0. Wektor n = [A, B, C] prostopadªy do π nazywamy wektorem normalnym. Je±li D 0 to równanie z postaci ogólnej mo»emy przeksztaªci do nast puj cej postaci odcinkowej: π : x a + y b + z c = 1 Pªaszczyzna opisana powy»szym wzorem przecina osie Ox, Oy oraz Oz ukªadu wspóªrz dnych Oxyz w punktach równych odpowiednio (a, 0, 0) ; (0, b, 0) i (0, 0, c).

20 Równania pªaszczyzny w R 3 Równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P(x 0, y 0, z 0 ) i równolegªej do dwóch nierównolegªych wektorów v = [xv ; y v ; z v ], w = [x w ; y w ; z w ] ma posta : x = x 0 + tx v + sx w y = y 0 + ty v + sy w t, s R z = z 0 + tz v + sz w Powy»sze równanie nazywamy równaniem parametrycznym pªaszczyzny. Uwaga. W tym przypadku wektor normalny jest iloczynem wektorowym wektorów v, w

21 Równania pªaszczyzny w R 3 Dane s punkty: P 0 (x 0, y 0, z 0 ), P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P 2 (x 2, y 2, z 2 ). Trzy niewspóªliniowe punkty wyznaczaja jednoznacznie pªaszczyzn π. Punkt P(x, y, z) ró»ny od danych punktów tworzy w przestrzeni R 3, z punktami P 0, P 1, P 2 pewien czworo±cian, je»eli P π to czworo±cian "nie ma wysoko±ci" i jego obj to± wynosi 0, zatem korzystaj c z wªasno±ci iloczynu mieszanego dla wektorów: PP 0, PP 1, PP 2 otrzymujemy: x x 0 x 1 y 0 x 2 x 0 y y 0 y 1 y 0 y 2 y 0 z z 0 z 1 z 0 z 2 z 0 = 0. Powy»sze równanie nazywa si równaniem pªaszczyzny przechodz cej (wyznaczonej) przez trzy niewspóªliniowe punkty.

22 Wzajemne poªo»enie pªaszczyzn pªaszczyzny s równolegªe, je±li ich wektory normalne n 1, n 2 s równolegªe tzn. n 1 n 2 = 0 pªaszczyzny s przecinaj si, je±li ich wektory normalne n 1, n 2 nie s równolegªe tzn. n 1 n 2 0 pªaszczyzny s do siebie prostopadªe, je±li ich wektory normalne n 1, n 2 s prostopadªe tzn. n 1 n 2 = 0

23 Równania prostej w R 3 Niech prosta l przechodzi przez punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) i niech b dzie równolegªa do niezerowego wektora v = [v x, v y, v z ] Wówczas ka»dy punkt P(x, y, z) le» cy na tej prostej speªnia równanie: P 0 P = t v, t R. St d otrzymujemy równanie prostej w postaci parametryczne: x = x 0 + tv x y = y 0 + tv y t R z = z 0 + tv z

24 Równania prostej w R 3 Je±li v x 0, v y 0, v z 0, to przeksztaªcaj c ukªad równa«otrzymujemy St d x x 0 v x = t, y y 0 v y = t, z z 0 v z x x 0 v x = y y 0 v y = z z 0 v z. = t, t R Równanie powy»sze nazywamy równaniem prostej w postaci kierunkowej, wektor v nazywamy wektorem kierunkowym prostej. Uwaga. Aby nie ogranicza ogólno±ci zapisu przyj to,»e w mianowniku mog symbolicznie wyst pi zera wtedy równie» wyst puj zera w liczniku i równanie nie jest sprzeczne.

25 Równania prostej w R 3 Prost l mo»na zada jako cz ± wspóln dwóch nierównolegªych pªaszczyzn π 1 : A 1 x +B 1 y +C 1 z +D 1 = 0; π 2 : A 2 x +B 2 y +C 2 z +D 2 = 0 tj { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0; A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Jest to równanie prostej w postaci kraw dziowej Uwaga. Wektor kierunkowy prostej przedstawionej równaniem w postaci kraw dziowej jest iloczynem wektorowym wektorów normalnych pªaszczyzn wyznaczaj cych t prost v = [A1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ].

26 Wzajemne poªo»enie prostych Dane s dwie proste l i k w postaci kierunkowej: l : x x 1 v x = y y 1 v y = z z 1 v z, k : x x 2 u x = y y 2 u y = z z 2 u z Wektory kierunkowe tych prostych to odpowiednio: v = [vx, v y, v z ], u = [u x, u y, u z ] Okre±lamy wyznacznik: W = x 1 x 2 v x u x y 1 y 2 v y u y z 1 z 2 v z u z i przy jego pomocy omówimy wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni trójwymiarowej..

27 Wzajemne poªo»enie prostych proste s sko±ne (nie maja punktów wspólnych i nie le» w jednej pªaszczy¹nie), je±li W 0, proste s równolegªe, nie maj punktów wspólnych (nie pokrywaj si ), je±li W = 0, v u = 0, proste przecinaj si (maja jeden punkt wspólny), je±li W = 0, v u 0 proste przecinaj si pod k tem prostym, je±li W = 0, v u = 0,