ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Transkrypt

1 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15

2 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera zagadnienia brzegowe Zastosowanie ró»niczki Output do pliku oraz wykres Bª d metody Eulera

3 Zaj cia 1 Metoda Eulera 1.1 zagadnienia brzegowe Naszym celem jest numeryczne rozwi zywanie równa«ró»niczkowych, zarówno zwyczajnych jak i cz stkowych, oraz ukªadów równa«ró»niczkowych. Zajmowa si b dziemy tak zwanymi zagadnieniami brzegowymi. Typowe zagadnienie brzegowe ma posta y = f(y, x), y(x 0 ) = y 0. (1.1) Naszym zadaniem jest znale¹ tak funkcj y,»e speªnione s powy»sze warunki. Dla przykªadu rozwa»my zagadnienie brzegowe y = y tg(x + 3), y( 3) = 1. (1.2) Jest to problem, który mo»na ªatwo rozwi za w sposób analityczny, a dokªadnie, zapisujemy y = tg(x + 3), y czyli dy sin(x + 3)dx =, y cos(x + 3) po scaªkowaniu, otrzymujemy ln y = ln cos(x + 3) + C 1, ostatecznie, dostajemy rozwi zanie ogólne 3

4 y = C cos(x + 3), gdzie C = ±e C 1 jest pewn (dodatni lub ujemn w zale»no±ci od warunku brzegowego) staª. Podstawiamy 1 = y( 3) = C cos( 3 + 3) = C. Zauwa»my jeszcze,»e (1, 3) nale»y nale»y do przedziaªu okre±lono±ci (0, ) ( π/2 3, π/2 3) funkcji f okre±lonej wzorem f(y, x) = y tg(x + 3). Ostatecznie, naszym rozwi zaniem zagadniania brzegowego (1.2) jest funkcja y : ( π 2 3, π ) 2 3 (0, ) okre±lona wzorem y(x) = cos(x + 3). 1.2 Zastosowanie ró»niczki Zagadnienie (1.2) jest nietypowe z punktu widzenia metod numerycznych, poniewa» mo»na je ªatwo rozwi za z pomoc metod analitycznych. Zajmiemy si teraz zagadnieniami, dla rozwi zania którego nie mo»na zastosowa znanych metod analitycznych, np. y = cos x sin y + x 2, y( 1) = 3. (1.3) W wyniku rozwi zania numerycznego zagadnienia pocz tkowego (1.3) otrzymamy funkcj y = y(x) w postaci tabeli warto±ci lub w postaci gracznej, czyli otrzymamy wykres. Do rozwi zania wykorzystamy wzór y(x + h) = y(x) + hy (x). (1.4) Nie trudno jest zauwa»y,»e wzór ten wynika z denicji pochodnej funkcji y w punkcie x. Aby otrzyma tabel warto±ci funkcji y, ustalamy h = 0,1 i obliczamy kolejne warto±ci y(x) dla x { 1; 0,9; 0,8;... ; 0}. Warto± y( 1) ju» znamy. Aby znale¹ y( 0,9) obliczamy najpierw a nast pnie y ( 1) = cos( 1) sin 3 + ( 1) 2 1,4 y( 0,9) = y( 1 + 0,1) = y( 1) + 0,1 y ( 1) = 3,1. Stosuj c odpowiedni p tl, obliczymy kolejne warto±ci y: 4

5 x 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 y 3 3,1 3,2 3,4 3,6 3,7 x 0,4 0,3 0,2 0,1 0 y 3,9 4,1 4,3 4,5 4,7 Aby otrzyma wi ksz dokªadno±, mo»emy zmniejszy h. Aby,,wydªu»y przedziaª okre±lono±ci funkcji zwi kszamy liczb iteracji. Stosuj c ujemne warto±ci h dostajemy warto±ci y dla argumentów mniejszych od 1. Poni»ej przedstawiamy algorytm dla dziesi ciu iteracji i h = 0,1. double h = 0.1; double y = 3.0; double x = -1.0; double dy; int M = 10; cout << x << "; " << y << endl; dy = cos(x) - sin(y) + x*x; for (int k=1;k<=m;++k) { y = y + h*dy; x = x + h; dy = cos(x) - sin(y) + x*x; cout << x << "; " << y << endl; } Opisan wy»ej metod rozwi zania zagadnienia brzegowego (1.1) nazywamy metod Eulera 1.3 Output do pliku oraz wykres Je±li liczba iteracji jest du»a, np. M = 100, to ogl danie tabeli warto±ci jest kªopotliwe. Przy wi kszych warto±ciach M program mo»e nam óbci z ± outputu. Aby pozby si tej niedogodno±ci, stosujemy output do pliku. W tym celu dodajemy bibliotek <fstream>, zmienn ofstream tekst, polecenie tekst.open("outtekst.txt") oraz zast pujemy cout przez tekst czyli nazw zmiennej. 5

6 Aby otrzyma wykres, mo»emy posªu»y si aplikacj Excel c. Otwieramy plik outtekst.txt w Excelu (przez polecenie plik>otwórz). Przy otwieraniu zaznaczamy najpierw opcj pierwsz, w kroku drugim odznaczamy ±rednik, a w kroku trzecim klikamy,,zaawansowane i jako oddzielenie cz ±ci caªkowitej od uªamkowej wybieramy przecinek. teraz mamy ju» dane w Excelu. Mo»emy zachowa nasz plik z rozszerzeniem.xls lub.xlsx. Aby narysowa wykres post pujemy jak zwykle w tej aplikacji. 1.4 Bª d metody Eulera Wzór (1.4), z którego korzystamy buduj c algorytm metody Eulera jest, formalnie rzecz bior c, faªszywy. Zastanówmy si wi c, jak du»y bª d popeªniamy stosuj c go. Je±li y jest funkcj klasy C 2, tzn. jej druga pochodna istnieje i jest ci gªa na przedziale, na którym chcemy oblicza kolejne warto±ci tej funkcji, to mo»emy zastosowa wzór Taylora. y(x + h) = y(x) + hy (x) + h2 y (x + θh) 2 dla pewnej liczby 0 < θ < 1. Ró»ni si on od (1.4) skªadnikiem h 2 y (x + θh). 2 Warto± tego skªadnika, to bª d przybli»enia w ka»dej iteracji. Nazywamy go bª dem lokalnym metody. Bª d globalny, to suma wszystkich bª dów lokalnych. Oszacujemy bª dy lokalny E L i globalny E w naszym przykªadzie: h = 0,1 oraz 10 iteracji. Poniewa» y (x + θh) = sin(x + θh) + y (x + θh) cos y(x + θh) + 2(x + θh), y (x + θh) = cos(x + θh) sin(x + θh) + (x + θh) 2, wi c y (x + θh) 3 oraz y (x + θh) 6. St d E L 0,005 6 = 0,03 oraz E 10 0,03 = 0,3. Oznacza to,»e prawy koniec wykresu rozwi zania mo»e by o 0,3 jednostki wy»ej lub ni»ej od ko«ca wykresu, który otrzymali±my. Przy 100 iteracjach (h = 0,01), mamy E L 0,0003 oraz E 0,03. Du»e znaczenie przy szacowaniu bª du ma skªadnik x 2 oraz jego pochodna 2x. Na przedziale [ 1, 0] szacujemy je przez 1 oraz 2. Gdyby±my chcieli rozwa»a funkcj y na przedziale [ 2, 1] szacunki te byªyby równe 4 (2 2 oraz 2 2). W tym wypadku, bª d lokalny przy dziesi ciu iteracjach wynosiªby ±0,055, a bª d globalny ±0,55. 6