II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia ziemskiego na składowe a n oaz a t. Składowe te nie wyznaczają chaakteystycznego punktu na okęgu, względem któego oscyluje cząstka o masie m. Paktyczną ealizacją powyższego jest wpawiony w uch ciężaek o masie zawieszony na nici o długości. Zauważmy od azu, iż paktyczna ealizacja óżni się od definicji wahadła postego już chociażby z tego względu, że według definicji amplituda wahań spełnia waunek: φ < π, π podczas gdy paktyczna ealizacja oganicza uch oscylacyjny do watości amplitudy φ. Ponadto, wpowadzenie nici wpost sugeuje ozkład wektoa g na dwie składowe: nomalną a n wzdłuż nici, oaz styczną a t do okęgu. I tak się to czyni, jak to pokazano na ys. II.6.1. Zauważmy więc, że składowa a n nie ma żadnego wpływu na uch cząstki, lecz okeśla kształt tou uchu. Z kolei, kieunek składowej stycznej a t jest taki, że cząstka kieowana jest poza to uchu! Z powyższego wpost wynika, że będą poważne tudności pzy opisie uchu oscylacyjnego cząstki po łuku okęgu, w opaciu o składowe a n oaz a t. I zeczywiście. Tzeba było stwozyć aż specjalny achunek fomalny, zwany ogólnie funkcjami eliptycznymi, aby po wielce złożonych i specjalnych założeniach oaz wątpliwej zasadności podstawieniach znaleźć wzó na okes T wahadła postego w postaci: T = 4 K(k) g π gdzie: K( k) = 0 1 k sin u jest pełną całką eliptyczną piewszego odzaju, gdzie z kolei pzyjmowany jest waunek: du φ Φ sin = sin sin u = k sin u m
Watości funkcji K(k) można obliczyć posługując się ozwinięciem K(k) w szeeg potęgowy (wzó Newtona) względem k << 1, i.e. zakłada się, że k jest dużo mniejsze od jedności, czyli zakładając niewielką amplitudę wahań, nie pzekaczającą kilkunastu stopni kątowych. ozwijając funkcję K(k) w szeeg potęgowy względem sin(φ / ), znajdujemy (patz np.: Szczepan Szczeniowski FIZYKA DOŚWIADCZALNA, Część I, st. 5, PWN, Waszawa 197): 1 φ 1 3 4 φ T = π 1 + sin + sin + g 4 1 3 5 6 φ 1 3 5 7 8 φ + sin + sin + L (II.6.1.) 4 6 4 6 8 Jak widać, powyższe ozwiązanie jest tak poste, że nazwę wahadło poste zmieniono na nazwę wahadło matematyczne. Fig. II.6.. Okesy T( φ ) wahadła matematycznego według Eq. (II.6.1.) Fig. II.6.3. Okesy T( φ ) wahadła matematycznego według Eq. (II.6.1.).
Jednak nawet pobieżna analiza powyższego ównania wpost wskazuje, że powyższy wzó nie dotyczy uchu oscylacyjnego wahadła, lecz opisuje uch niejednostajny po okęgu, któy także jest uchem okesowym. Jak wpost widać z ys. II.6.3., okesy T( φ ) według ównania (II.6.1.) są funkcją dowolnie dużych kątów φ. A to oznacza, że wychylenie wahadła z położenia ównowagi ( φ = 0 deg) może być dowolnie duże. Z tych względów, okesowość okesowości (Fig. II.6.3.) ównania (II.6.1.). Z powyższych względów, ozwiązanie (II.6.1.) jest błędne. ównoważność uchu jednostajnego po okęgu oaz uchu oscylacyjnego. ozważajmy uch jednostajny cząstki mateialnej o masie m po okęgu o pomieniu. W uchu takim działa stała siła D bezwładności, zwana w tym pzypadku siłą odśodkową. Załóżmy, że pędkość kątowa ω pomienia jest taka, że watość siły bezwładności D jest dokładnie ówna sile gawitacji F. Ponadto zakładamy, że na cząstkę m nie działają żadne siły zewnętzne, np. siła ciężkości. Jeżeli tak, to pzyśpieszenie odśodkowe jest dokładnie ówne pzyśpieszeniu ziemskiemu g. Zależność (II.1.7.) możemy więc pzepisać w postaci zależności (II.5.1.) oaz (II.5..): v D = m g = m = m ω = constant (II.6..) gdzie: v stała pędkość liniowa cząstki m po obwodzie okęgu o pomieniu ; ω stała pędkość kątowa pomienia. Fig. II.6.4. ozkład wektoa g pzyśpieszenia odśodkowego w uchu jednostajnym po okęgu oaz pzyśpieszenia ziemskiego w uchu oscylacyjnym na składowe a oaz a. Obecnie ozpatzmy pzypadek, gdy cząstka m swobodnie zsuwa się po łuku okęgu w stałym polu gawitacyjnym (Fig. II.6.4.).
Na cząstkę m działa stała siła ciężkości Janusz B. Kępka uch absolutny i względny F = m g o stałym pionowym kieunku w dół. Z ys. (II.6.4.) wpost widać, że tak w pzypadku uchu jednostajnego po okęgu (Eq. II.6..), jak i w pzypadku swobodnego spadku po łuku okęgu, wekto siły odśodkowej D = F może być ozłożony na dwie składowe: D D = m a = m a = m = m ω ω = m g cos = m g sin gdzie: a oaz a składowe pzyśpieszenia ziemskiego g wzdłuż pomienia wodzącego oaz pomienia. Spełniony jest też waunek: g a + a = constant Z powyższych zależności, mamy: =. cos g ω = (II.6.3.) g ω = sin Wielkość ω, zwana częstotliwością kątową lub pędkością kątową, okeśla częstotliwość pełnych obiegów punktu m po okęgu. Czas jednego obiegu zwany jest okesem T. Podobna okesowość występuje w uchu oscylacyjnym. Czas powotu do okeślonego położenia też zwany jest okesem T. Z ys. II.6.4. wpost widać, że składowe a oaz a pzyśpieszenia g są dokładnie takie same, tak w uchu jednostajnym po okęgu jak i w uchu oscylacyjnym po łuku tegoż okęgu. Z kolei, dla powyższych dwóch uchów: jednostajnego po okęgu oaz oscylacyjnego po łuku okęgu, wynika ówność składowych częstotliwości ω oaz ω. Stąd z kolei wynika ówność okesów T. Pzyjmując, że: π ω = T to z zależności (II.6.3.), znajdujemy: oaz Powyższe ozwiązania na okesy π T π T T oaz = g cos = g sin (II.6.4.) (II.6.5.) T wahadła postego są sobie dokładnie ównoważne, lecz pzesunięte w fazie o π /. Na ys. (II.6.5.) oaz (II.6.6.) pzedstawiono wykesy dla amplitud według ównania (II.6.4.) dla układu współzędnych biegunowych o początku w H.
Fig. II.6.5. Okesy T według Eq. (II.6.4.). Fig. II.6.6. Okesy T według Eq. (II.6.4.) Zależności (II.6.4.) oaz (II.6.5.) można pzedstawić w uposzczonej i paktycznej postaci: T = π gcos T = π g sin Dla = 0 [deg] cząstka znajduje w dolnym położeniu S (Fig. II.6.4.), Dla powyższego waunku z piewszego ównania zależności (II.6.6.), znajdujemy: (II.6.6.) T = π g = constant
co wyznacza okes t.zw. dgań własnych układu. Janusz B. Kępka uch absolutny i względny Wyznacza też okes T w uchu jednostajnym po okęgu o pomieniu, gdy pzyśpieszenie odśodkowe a n jest ówne g (poównaj z zależnością II.1.6.). Natomiast z dugiego ównania zależności (II.6.6.) znajdujemy, że T =. Oznacza to, że cząstka znajduje się w położeniu ównowagi twałej. Jest to stan, w któym nie występuje okesowość uchu, czyli jest to bak uchu. Dla = 180 [deg] cząstka znajduje się w gónym położeniu H, i jest to stan ównowagi chwiejnej. W dwu ostatnich wieszach tabeli na ys. II.6.6. jest i= 1. Pod piewiastkiem występują watości ujemne. A to oznacza, że dla 180 [deg] okes uchu oscylacyjnego wahadła nie istnieje. Wato zwócić uwagę, że watości okesów T według ównań (II.6.1.) oaz (II.6.6.) są wzajemnie zgodne (z podaną dokładnością) dla watości kątów mniejszych od 40 deg (poównaj tabele na ys. II.6.. oaz II.6.5.).