XXI OLIMPIADA FIZYCZNA ( ). Stopień III, zadanie teoretyczne T1. Źródło: XXI i XXII OLIMPIADA FIZYCZNA, WSiP, Warszawa 1975 Andrzej Szymacha,

Transkrypt

1 XXI OLIMPIADA FIZYCZNA (97-97). Stopień III zadanie teoetyczne. Źódło: XXI i XXII OLIMPIADA FIZYCZNA WSiP Waszawa 975 Auto: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Andzej Szyacha Dwa ciała i spężynka Dynaika układ izolowany siła ciężkości twiedzenie o śodku as uch jednostajny postoliniowy pawo akcji i eakcji I i II zasada dynaiki dgania haoniczne asa zedukowana Zadanie teoetyczne zawody III stopnia XXI OF. Dwa nieduże ciała o asach i połączono jednoodną spężyną o stałej spężystości k i położono na pozioy gładki stole. Spężynkę ozciągnięto pzez ozsunięcie obu ciał a następnie oba ciała jednocześnie puszczono. Układ zaczął dgać wzdłuż linii postej. Jakie to są dgania i jaki jest ich okes? Rozwiązanie Decydującą olę w ozwiązaniu tego zadania odgywa fakt że układ dwóch as waz z łączącą je spężynką jest w naszy zadaniu z paktycznego punktu widzenia układe izolowany. Wpawdzie działają na niego siły ciężkości ale są one całkowicie ównoważone siłai eakcji podłoża a jak wynika z teści zadania tacie ożna zaniedbać. Dla układów izolowanych obowiązuje jak wiadoo słynne twiedzenie o śodku as ówiące że śodek asy układu izolowanego pozostaje w spoczynku lub pousz się uche jednostajny po linii postej. Ponieważ w chwili zwalniania napiętej spężynki obie asy i wszystkie punkty spężynki iały pędkości ówne zeu więc i śodek asy w ty oencie spoczywał. Dzięki powyższeu twiedzeniu wiey że będzie on spoczywał nieuchoo pzez cały czas twania uchu dopóki jakieś siły zewnętzne nie zienią tego stanu. Ponieważ jest to punkt nieuchoy wygodniej będzie obliczyć położenie obu ciał Rys. właśnie od tego punktu. zgodnie z pawe akcji i eakcji jeżeli spężynka działa na asę siłą F to asa działa na spężynkę siłą F. Podobnie na dugi końcu spężynki na asę działa siła F a na spężynkę siła -F. Wato tu wsponieć o częsty błędzie logiczny popełniany pzez badzo wiele osób i to nie tylko uczniów szkół śednich polegający na stwiedzeniu że na ocy III zasady Opac. PDFiA US /5 -

2 dynaiki powinno być. o wcale nie pawda! W pobleie taki jak tu ozpatywany asy i wcale ze sobą bezpośednio nie oddziałują! Związek F F dostajey dopieo w szczególny pzypadku ganiczny nie ający nic wspólnego z III zasadą ianowicie jeżeli założyy że spężynka jest nieważka. Wtedy z II zasady dynaiki ay: asa spężynki 0 pzyspieszenie spężynki F F ( ) Ponieważ lewa stona jest ówna zeu niezależnie od tego jakie jest pzyspieszenie spężynki to i pawa stona usi być ówna zeu. Nieważkość spężynki powoduje że ożna o niej zaponieć i taktować jako siły F i F jako oddziaływania iędzy punktai ateialnyi zieniającyi się według okeślonego pawa w zależności od odległości i spełniającyi III zasadę dynaiki. O śodku asy wiey że dzieli on odległość iędzy ciałai w stosunku odwotny do as ciał x x. () Watość bezwzględna siły działającej na asę wynosi gdzie F F k( x + x l0) k x + l0 () jest długością nie napiętej spężynki. Siła działająca na dugą asę jest co do watości bezwzględnej taka saa jak siła (i jest tak sao zoientowana w stosunku do wychylenia x jak siła wychylenia x ) ale wygodniej będzie zapisać ją nieco inaczej F F w stosunku do F k( x + x l0) k x + l0. (3) Wpowadźy teaz odchylenia do właściwego dla każdej asy położenia ównowagi. Dla asy położenie ównowagi a współzędną x 0 + a dla asy x 0 +. Oznaczając odchylenia od położeń ównowagi sybolai Δ x i Δ x ay Δ x x + Δ x x + Opac. PDFiA US /5 -

3 Wyażając siły i pzez Δ i Δ x oaz uwzględniając znak wynikający z pawa Hooke a ay dla as i następujące ównania II zasady dynaiki Newtona F F x 0 l a k + Δx + l0 k + Δ x + 0 l a k + Δx + l0 k + Δ x + gdzie a i a są pzyspieszeniai as i. Równania (5) stanowią dwa niezależne ównania dgań haonicznych. Wyliczay z nich okesy dgań zgodnie z ogólny wzoe π k. Dostajey π π k + ( + ) Opac. PDFiA US 008-3/5 - k π π k + ( + ) Okazuje się że oba okesy są ówne jak być powinno gdyż inaczej śodek asy nie ógłby być nieuchoy. Ich wspólna watość jest po postu okese dgań naszego układu: Wielkość π ( + ) k ( + ) k (5) (6) (7) μ (8) nazyway asą zedukowaną układu dwóch ciał. Wpowadzenie tej asy pozwala pzepisać wzó (7) w postaci foalnie identycznej ze wzoe na okes dgań jednego ciała o asie μ będącego pod działanie siły względnej działającej iędzy dwoa zeczywistyi ciałai π μ. (9) k Łatwo zauważyy że początkowe wychylenia: Δ x w chwili t 0 i Δx uszą spełniać waunek () ożey więc napisać w chwili t 0 też

4 Δ x(0) A + Δ x (0) A + gdzie A jest pewną dowolną stałą zależną od stopnia początkowego ozciągnięcia spężyny. Uwzględniając to że ciał puszczone zostały bez pędkości początkowej ożey napisać Δ x Acos π t + Δ x Acos π t + gdzie czas t liczony jest od oentu zwolnienia spężynki. Kozystając z definicji (4) ożey obliczyć x i x : l0 π x + Acos t + + l0 π x + Acos t + + a w konsekwencji odległość iędzy ciałai ówną długości spężynki π x x + x l0 + Acos t. Paiętając że zależy od asy zedukowanej ożey nasz końcowy wynik skoentować następujący sposób. Gdybyśy asę pzyjęli za początek układu odniesienia (io że nie byłby to układ inecjalny) to wielkość x byłaby współzędną asy w ty układzie odniesienia. Ziana tej współzędnej czyli uchu ciała o asie względe ciała o asie jest taki sa jaki byłby uch ciała o asie zedukowanej μ pod wpływe zeczywistej siły F w pawdziwy już układzie inecjalny. o zastąpienie asy pzez asę zedukowaną koyguje całkowicie nieinecjalność układu odniesienia. Nietudno zozuieć że jest to twiedzenie całkowicie ogólne dla dowolnego układu izolowanego dwóch ciał pouszającego się pod wpływe sił wewnętznych spełniających pawo akcji i eakcji. Nosi ono nazwę twiedzenia o edukcji zagadnienia dwóch ciał do zagadnienia jednego ciała i znajduje powszechne zastosowanie w astonoii oaz w fizyce atoowej i jądowej. Jeśli gdzieś w podęczniku znajdziecie zadanie: Pzyjijy dla uposzczenia że poton w atoie wodou (lub Słońce w zagadnieniu Keplea) spoczywa w inecjalny układzie odniesienia po czy następują jakiekolwiek obliczenia obaczone piętne niedokładności to paiętajcie że ożecie ten błąd całkowicie skoygować zastępując w końcowych wzoach asę elektonu (czy też planety) asą zedukowaną ozpatywanego układu dwóch ciał. Wato jeszcze zauważyć że jeśli jedno z ciał (np. poton) a asę dużo większą od dugiego (elektonu) a więc kiedy nieinecjalność układu z ni związanego jest ało istotna to oczywiście óżnica iędzy asą zedukowaną a asą jest badzo niewielka. Widać Opac. PDFiA US 008-4/5 -

5 natychiast jeśli wzó (8) na asę zedukowaną pzepiszey w innej często spotykanej postaci: μ. + Opac. PDFiA US 008-5/5 -