Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji Pocodne funkcji elementarnyc f(x) = c, c R f (x) = 0 f(x) = x α, α R f (x) = αx α f(x) = a x, a > 0 f (x) = a x ln a f(x) = e x f (x) = e x f(x) = log a x f (x) = x ln a f(x) = ln x f (x) = x f(x) = sin x f (x) = cos x f(x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tg x f (x) = cos x f(x) = ctg x f (x) = sin x Twierdzenie. Jeśli f jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.
Twierdzenie (Własności arytmetyczne pocodnej). Jeśli f, g różniczkowalne w punkcie x, to: (f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) g (x), (cf) (x) = cf (x) dla c R, (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), (reguła Leibniza) ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) jeśli g(x) 0. Twierdzenie (Reguła łańcucowa). Jeśli funkcja f jest określona w otoczeniu punktu x i różniczkowalna w punkcie x, a funkcja g określona w otoczeniu punktu f(x) i różniczkowalna w punkcie f(x), to (g f) (x) = g (f(x)) f (x). Przykład. (x x ) = x x ( + ln x) dla x > 0. Dowód. (x x ) = ( e x ln x) = e x ln x (x ln x) = x x (ln x + x x ) = xx (ln x + ). Twierdzenie (Różniczkowalność funkcji odwrotnej). Jeśli f : (a, b) R jest różnowartościowa oraz f różniczkowalna w punkcie x (a, b), przy czym f (x) 0, to funkcja odwrotna f jest różniczkowalna w punkcie f(x) i Przykład. (arc tg) (x) = +x. Dowód. (arc tg) (x) = tg (arc tg x) = cos (arc tg x) = (f ) (f(x)) = f (x). cos (arc tg x) sin (arc tg x) + cos (arc tg x) = tg (arc tg x) + = x +. Pocodne funkcji cyklometrycznyc f(x) = arc sin x f (x) = x f(x) = arc cos x f (x) = x f(x) = arc tg x f (x) = + x f(x) = arc ctg x f (x) = + x
Definicja. Mówimy, że funkcja f : [a, b] R dla a, b R ma w punkcie x [a, b] pocodną prawostronną (lewostronną), jeśli istnieje odpowiednia granica jednostronna f ±(x) = lim ±0 f(x + ) f(x). Twierdzenie. Funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie pocodne jednostronne f +(x), f (x) i są sobie równe (wtedy f (x) = f +(x) = f (x)). Przykład. Funkcja f(x) = x ma w x = 0 pocodne jednostronne, równe odpowiednio ±, więc nie jest różniczkowalna w tym punkcie. Uwaga. Podobnie jak w przypadku granic, można zdefiniować pocodne i pocodne jednostronne niewłaściwe (równe ± ), które istnieją, gdy iloraz różnicowy ma odpowiednią granicę lub granicę jednostronną równą ±. Przykład. Funkcja f(x) = 3 x ma w punkcie x = 0 pocodną niewłaściwą równą +. Dowód. f (0) = lim 0 3 3 0 = lim 0 3 = +. Uwaga. Jeżeli f (x 0 ) = ±, to wykres funkcji f ma w punkcie (x 0, f(x 0 )) styczną pionową (o równaniu x = x 0 ). Twierdzenie o wartości średniej Ekstrema lokalne Definicja. Mówimy, że funkcja f : A R osiąga w punkcie x 0 A maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje otoczenie U punktu x 0, takie że U A i f U osiąga w punkcie x 0 maksimum (minimum). Uwaga. Innymi słowy, f osiąga w punkcie x 0 maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje δ > 0, takie że dla każdego x R, jeśli x x 0 < δ, to x A i f(x) f(x 0 ) (f(x) f(x 0 )). Definicja. Mówimy, że ekstremum (tzn. maksimum lub minimum) jest właściwe (silne), jeśli odpowiednia nierówność pomiędzy wartościami funkcji jest ostra w przypadku x x 0. Twierdzenie. Niec f : (a, b) R dla a, b R i niec x 0 (a, b). Jeśli f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i osiąga w tym punkcie ekstremum lokalne, to f (x 0 ) = 0. Dowód (przypadek maksimum). Dla pewnego δ > 0 mamy f(x) f(x 0 ) dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ). Zatem f +(x 0 ) = lim f(x 0+) f(x 0 ) 0 + 0. Analogicznie, f (x 0 ) = lim f(x 0+) f(x 0 ) 0 0. W takim razie, musi zacodzić f +(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0. Uwaga. Nie jest prawdą, że jeśli f (x 0 ) = 0, to f ma ekstremum lokalne w x 0. Na przykład, dla f(x) = x 3 mamy f (0) = 0, ale f jest ściśle rosnąca i nie ma żadnyc ekstremów lokalnyc. 3
Twierdzenie Rolle a Twierdzenie. Niec f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą na [a, b] i różniczkowalną na (a, b), taką że f(a) = f(b). Wtedy istnieje takie x 0 (a, b), że f (x 0 ) = 0. Dowód. Z twierdzenia Weierstrassa, f osiąga maksimum i minimum. Jeśli maksimum jest równe minimum, to znaczy, że f jest stała, więc f (x 0 ) = 0 dla każdego x 0 (a, b). Jeśli maksimum nie jest równe minimum, to przynajmniej jedno z nic jest przyjęte w pewnym punkcie x 0 (a, b) (bo f(a) = f(b)). Z poprzedniego twierdzenia, f (x 0 ) = 0. Twierdzenie Lagrange a (o wartości średniej) Twierdzenie. Niec f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą na [a, b] i różniczkowalną na (a, b). Wtedy istnieje takie x 0 (a, b), że f (x 0 ) = f(b) f(a). b a Dowód. Niec g(x) = f(x) f(a) (x a) f(b) f(a) dla x [a, b]. Wtedy g(a) = g(b) = 0, więc z twierdzenia Rolle a, istnieje x 0 (a, b), takie że g (x 0 ) = 0. Ale g (x) = f (x) f(b) f(a) dla x (a, b), co daje f (x 0 ) = f(b) f(a). Geometryczna interpretacja twierdzenia Lagrange a Jeśli wykres funkcji różniczkowalnej na przedziale przecina pewną prostą L w dwóc różnyc punktac, to w pewnym punkcie pośrednim styczna do wykresu jest równoległa do prostej L. f(b) f(x 0 ) f(a) a x 0 b 4
Pocodne a monotoniczność funkcji Wniosek. Niec f : [a, b] R ciągła na [a, b] i różniczkowalna na (a, b). Wtedy: f jest rosnąca wtedy i tylko wtedy gdy f (x) 0 dla każdego x (a, b). f jest malejąca wtedy i tylko wtedy gdy f (x) 0 dla każdego x (a, b). f jest stała wtedy i tylko wtedy gdy f (x) = 0 dla każdego x (a, b). Dowód. Z twierdzenia Lagrange a, dla każdego x, x [a, b] mamy f(x ) f(x ) = f (x 0 )(x x ) dla pewnego x 0. Z definicji pocodnej. Uwagi Jeśli f (x) > 0 (f (x) < 0) dla każdego x (a, b), to f jest ściśle rosnąca (ściśle malejąca). Nie jest prawdą, że jeśli f jest ściśle rosnąca (ściśle malejąca), to f (x) > 0 (f (x) < 0) dla każdego x (a, b). Na przykład, funkcja f(x) = x 3 jest ściśle rosnąca, ale f (0) = 0. Jeśli f jest funkcją ciągłą oraz dla pewnego x 0 mamy f (x 0 ) > 0 (f (x 0 ) < 0) to f jest ściśle rosnąca (ściśle malejąca) w pewnym otoczeniu x 0. Przykład. Funkcja f : R \ {0}, f(x) = x jest różniczkowalna oraz f (x) = x < 0 dla każdego x z dziedziny funkcji, ale f nie jest malejąca (np. = f( ) < f() = ). Przyczyną tego jest fakt, że dziedzina f nie jest przedziałem. Twierdzenie. Niec f : P R będzie funkcją różniczkowalną, gdzie P dowolny przedział otwarty w R. Wtedy, jeśli istnieje L > 0, takie że f (x) L dla każdego x P, to f spełnia warunek Lipscitza ze stałą L. Odwrotnie, jeśli f spełnia warunek Lipscitza ze stałą L, to f (x) L dla każdego x P. Przykład. Funkcja f : R R, f(x) = Dowód. f (x) = +x x (+x ) = x (+x ) x spełnia warunek Lipscitza ze stałą. +x nier. trójkąta +x (+x ) = +x. 5