Cł ozczo. De.1. Podziłem odci części, N, zywmy ziór przy czym. Wprowdzmy ozczei: długość -tego odci podziłu P średic podziłu P put pośredi -tego odci podziłu P De.2 (sum cłow) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile orz P ędzie podziłem tego przedziłu. Sumą cłową ucji odpowidjącą podziłowi P orz putom pośredim, 1, tego podziłu, zywmy liczę: (, P) 1 ( x * ) x
Sum cłow jest przyliżeiem pol oszru ogriczoego wyresem ucji y=( (wrtości ieujeme), osią Ox i prostymi x= orz x= przez sumę prostoątów o podstwch i wysoości. De. 3. ( cł ozczo Riem) Niech ucj ędzie ogriczo przedzile. Cłę ozczoą Riem z ucji przedzile deiiujemy wzorem: lim ( P) 0 1 ( x * ) x o ile po prwej stroie rówości gric istieje orz ie zleży od sposou podziłu P przedziłu i od sposou wyoru putów pośredich, 1. Podto 0 orz, Tw. 1. (wrue wystrczjący cłowlości ucji)
Jeżeli ucj jest ogriczo przedzile i m tym przedzile sończo liczę putów ieciągłości I rodzju, to jest im cłowl. Tw. 2. (Newto-Leiiz, I główe twierdzeie rchuu cłowego) Jeżeli ucj jest ciągł przedzile to ) ) gdzie F jest dowolą ucją pierwotą ucji tym przedzile. Zpis: ) ) ) ) Iterpretcj geometrycz cłi ozczoej: 1. Pole trpezu rzywoliiowego-ptrz iterpretcj sumy cłowej Iterpretcj izycz:
Niech S ozcz drogę przeytą w przedzile czsowym put poruszjący się ze zmieą prędością v(t), przez. Drog S jest gricą sumy dróg elemetrych przeytych przez put w czsie z prędością stłą, gdy dąży do 0. S lim S lim ( P) 0 ( P) 1 0 1 v( x * ) t v( t) dt Drog S jest polem trpezu rzywoliiowego ogriczoego wyresem ucji v(t), osią Ot orz prostymi t=, t=. Tw.3. Jeżeli ucje i g są cłowle przedzile to: ( g) g c c, c R
Tw.4 Jeżeli ucje u i v mją ciągłe pochode przedzile to: u( v'( u( v( u'( v( Tw. 5. Złdmy, że ucj jest ciągł w [,] orz ucj t=g( przyjmuje wrtości z przedziłu [,] dl x[,], gdzie =g() orz =g(). Jeżeli g ( jest ciągł w [,] to ( g( ) g'( ( t) dt Tw. 6. Jeżeli ucj jest cłowl przedzile orz d to
d d Zstosowi : 1. Pole igury płsiej: (, g( ciągłe ( g( S g( 2. Ojętość ryły orotowej. Niech V ozcz ryłę ogriczoą powierzchią powstłą przez orót wyresu ucji ieujemej y=(, x, woół osi Ox orz płszczyzmi x= orz x=. Ojętość ryły jest gricą sumy ojętości wlców przyliżjących tę ryłę, gdy średic podziłu P dąży do 0.
2 * lim ( ) ( P) 0 1 ( P) 0 1 lim V V x x 2 3. Długość rzywej. Złdmy, że ( jest ciągł L 1 2 ' Uwg: Dooujemy podziłu odci j w De. 1. Łączymy łmą puty Jej długość, wrz ze wzrostem, jest corz liższ długości rzywej ( w tym przedzile. Jeśli weźmiemy pod uwgę trójąty prostoąte o przyprostoątych to długość odci łmej od putu do putu jest rów
Zuwżmy, że z twierdzei Lgrge istieje put s, ti, że Stąd Otrzymujemy stąd sumę cłową postci: l (, P) x 1 1 '( s ) 2 tórej gricą jest powyższ cł, przy złożeich logiczych j w De. 3 4.Pole powierzchi (oczej)ryły orotowej powstłej przez orót j.w. P 2 1 ' 2 Cł ozczo iewłściw
De. 4. Niech ucj ędzie oreślo. Cłą iewłściwą I rodzju zywmy cłę dą wzorem: ( lim T T Jeśli gric jest włściw to mówimy, że cł jest zież. Jeśli gric jest iewłściw, to mówimy, że cł jest rozież. Alogiczie deiiujemy cłę iewłściwą I rodzju ( lim S S De. 5. Niech ucj ędzie oreślo R. Cłę iewłściwą I rodzju ziorze R oreślmy wzorem:
, R Uwg: Cł t jest zież, gdy o słdii są zieże. De. 6. (cł iewłściw II rodzju) Niech ucj jest oreślo i ieogriczo tylo. Wówczs ( lim A A Jeśli gric jest włściw to mówimy, że cł jest zież. Alogiczie deiiujemy cłę iewłściwą II rodzju ucji oreśloej i ieogriczoej tylo : ( lim B B De. 7. (cł iewłściw II rodzju c.d.)
Niech ucj oreślo ziorze ędzie ieogriczo tylo Wówczs c c