Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II. Wykłady

Transkrypt

1 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Mteriły dydktycze Mtemtyk Semestr II Wykłdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci

2 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Semestr Przedmiot: MATEMATYKA Kieruek: Mechtroik Specjlość: Elektroutomtyk okrętow Rozkłd zjęć w czsie studiów Studi pierwszego stopi Licz godzi Licz godzi Licz tygodi w tygodiu w semestrze w semestrze W Ć L S Σ W Ć L S II Związki z iymi przedmiotmi: fizyk, mechik techicz, wytrzymłość mteriłów, podstwy kostrukcji mszy, elektrotechik i elektroik, utomtyk i rootyk, metrologi i systemy pomirowe Zkres wiedzy do opowi Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci Pukty kredytowe Po wysłuchiu wykłdów przewidywych progrmem orz wykoiu ćwiczeń studet powiie: Zć ) Defiicje i podstwowe twierdzei dotyczące zioru licz zespoloych, mcierzy, wyzczików i ukłdów rówń liiowych ) Rchuek wektorowy, rówi płszczyzy i prostej w przestrzei R 3 3) Defiicje i podstwowe twierdzei dotyczące wszechstroego di przeiegu zmieości fukcji jedej zmieej rzeczywistej 4) Podstwowe zgdiei dotyczące rchuku różiczkowego fukcji wielu zmieych 5) Podstwy rchuku cłkowego (cłk ieozczo, cłk ozczo, cłki iewłściwe, cłki wielokrote i krzywoliiowe) 6) Kryteri zieżości szeregów liczowych, podstwowe twierdzei dotyczące szeregów fukcyjych 7) Sposoy rozwiązywi wyrych typów rówń różiczkowych zwyczjych pierwszego i drugiego rzędu 8) Elemety rchuku prwdopodoieństw, podstwy sttystyki mtemtyczej Umieć ) Wykoywć dziłi liczch zespoloych i mcierzch, oliczć wyzcziki orz rozwiązywć ukłdy rówń liiowych metodą mcierzową, z pomocą wzorów Crmer orz w oprciu o twierdzeie Kroecker-Cpellego

3 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego ) Przeprowdzć wszechstroe die fukcji jedej zmieej rzeczywistej 3) Wyzczć cłki ieozczoe, oliczć cłki ozczoe, podwóje, potróje i krzywoliiowe, stosowć rchuek cłkowy w geometrii i przedmiotch techiczych 4) Wyzczć ekstrem lokle i wrukowe fukcji wielu zmieych, dć zieżość szeregów liczowych i fukcyjych, rozwijć fukcje w szereg Tylor 5) Rozwiązywć wyre typy rówń różiczkowych zwyczjych i cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu 6) Oliczć prwdopodoieństwo zdrzeń losowych, wyzczć estymtory i przedziły ufości, stosowć testy sttystycze do weryfikcji hipotez sttystyczych Nr temtu Treść zjęć dydktyczych Temty i ich rozwiięcie Semestr II Rchuek cłkowy fukcji jedej zmieej rzeczywistej: cłk ieozczo, podstwowe twierdzei, metody cłkowi, cłkowie fukcji wymierych, iewymierych i trygoometryczych, cłk ozczo (defiicj według Riem), podstwowe twierdzei i włsości cłki ozczoej, cłki iewłściwe, zstosowi cłki ozczoej w geometrii Rchuek różiczkowy fukcji wielu zmieych: ziory płskie, defiicj fukcji wielu zmieych, gric i ciągłość fukcji dwóch zmieych, pochode cząstkowe, pochode fukcji złożoej, różiczk zupeł, pochode cząstkowe i różiczki zupełe wyższych rzędów, zstosowie różiczki zupełej w rchuku łędów, wzór, Tylor, ekstrem fukcji wielu zmieych 3 Rchuek cłkowy fukcji wielu zmieych: defiicj i podstwowe włsości cłki podwójej w oszrze ormlym, cłk potrój, zmi cłek wielokrotych cłki iterowe, zmi zmieych, cłki krzywoliiowe, twierdzeie Gree, zstosowi geometrycze cłek wielokrotych i cłek krzywoliiowych 4 Szeregi liczowe i fukcyje: defiicj szeregu liczowego, kryteri zieżości szeregów o wyrzch ieujemych, szeregi przemiee, szeregi liczowe wrukowo i ezwzględie zieże, ciągi i szeregi fukcyje, szeregi potęgowe, szereg Tylor I Metody dydktycze Licz godzi Rzem W Ć L S Rzem Przedmiot jest relizowy w formie wykłdów i ćwiczeń rchukowych I i II roku studiów Pomoce dydktycze stowią: Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 3

4 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego - litertur podstwow i uzupełijąc do wykłdów i ćwiczeń rchukowych, - dzieiczki studetów II Form i wruki zliczei przedmiotu II- Form i wruki zliczei wykłdów - oecość studet wykłdch, - uzyskie pozytywych oce z sprwdziów pisemych w ciągu semestru przeprowdzoych w termich uzgodioych ze studetmi, - egzmi po I semestrze, - zliczeie z oceą po II semestrze, - egzmi po III semestrze II- Form i wruki zliczei ćwiczeń rchukowych - oecość studet ćwiczeich, - uzyskie pozytywych oce z sprwdziów pisemych w ciągu semestru przeprowdzoych w termich uzgodioych ze studetmi, - zliczeie z oceą Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 4

5 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII CAŁKA NIEOZNACZONA Defiicj cłki ieozczoej Podstwowe twierdzei 3 Metody cłkowi 4 Cłkowie fukcji wymierych W rchuku różiczkowym rozwiązywliśmy stępujące zdie: mjąc fukcję F(x) zjdowliśmy jej pochodą F (x) = f (x) Oecie rozwiążemy zdie odwrote: mjąc dą fukcję f (x) ędziemy zjdowć fukcję F(x), której pochod rów jest dej fukcji Defiicj Fukcję F(x) tką, że jej pochod rów się dej fukcji f ( x) dl x (, ) tz F ( x) = f ( x) zywmy fukcją pierwotą fukcji f (x) Jeżeli dwie fukcje mją w pewym przedzile rówe pochode, to mogą różić się co jwyżej o stłą x (, ) f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = g ( x ) + C, gdzie C dowol stł Z twierdzei tego wyik, że jeżeli F(x) jest fukcją pierwotą, to dowol fukcj pierwot fukcji f (x) jest postci G(x) = F(x) +C Defiicj Ziór fukcji pierwotych dej fukcji f (x) zywmy cłką ieozczoą fukcji f (x) i ozczmy ją symolem f ( x) dx = F( x) + C (czytmy cłk f (x) po dx ), gdzie F(x) ozcz dowolą fukcję pierwotą fukcji f (x) Fukcję f (x) zywmy fukcją podcłkową, liczę C stłą cłkowi Wyzczeie fukcji pierwotej zywmy cłkowiem Cłkowie jest dziłiem odwrotym do różiczkowi Nleży jedk podkreślić, że cłkowie jest trudiejsze od różiczkowi Twierdzeie Kżd fukcj ciągł w pewym przedzile jest w tym przedzile cłkowl Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 5

6 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Twierdzeie ) [ f x dx ] Twierdzeie ( ) = f ( x) ; ) f ( x) dx = f ( x) + C Złożeie: istieją fukcje pierwote fukcji f (x) i g (x) Tez: ) czyik stły moż wyłączyć przed zk cłki k f ( x) dx = k f ( x) dx k R ) cłk sumy rów się sumie cłek [ + ] = + Metody cłkowi f ( x) g( x) dx f ( x) dx g( x) dx Cłkowie przez części Jeżeli fukcje f g C ( X p ) f x g x dx f x g x f x g x dx, to ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) Cłkowie przez podstwiie (metod zmiy zmieych) Jeżeli fukcj f jest cłkowl w przedzile (, ) i fukcj x = g( t) C (( α, β )) orz g to x) dx α < (t) < β f ( = f [ g( t)] g'( t) dt 3 Cłkowie fukcji wymierych Fukcją wymierą zywmy ilorz dwóch wielomiów Jeżeli F ( x) G ( x), są wielomimi stopi i m, gdzie < m wówczs fukcję m zywmy fukcją wymierą włściwą, jeżeli tomist m, to fukcję tę zywmy fukcją wymierą iewłściwą Fukcję wymierą iewłściwą przedstwimy w postci sumy wielomiu i fukcji wymierej włściwej: F G m ( x) ( x) ( x) ( x) Rk = H m( x) + < G m ( k m) Fukcję wymierą włściwą rozkłdmy sumę ułmków prostych, tz fukcji wymierych postci: F G m ( x) ( x) A A x + B,, ( x ) ( x + x + c) N gdzie = 4c < 0 Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 6

7 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Cłkowi ułmków prostych A x dx = A l x + C, Adx A = + C, > x x ( ) ( ) Litertur: P Roz V, 5-54; P Roz VIII; R Roz X, 0 Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 7

8 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH Cłkowie fukcji iewymierych Cłkowie fukcji trygoometryczych Niech R( u, v) ozcz fukcję wymierą zmieych u, v x + R x, dx, d c 0 cx + d Podstwieie (sprowdzmy cłkę do cłki fukcji wymierej) (, ) + + R x x x c dx x + cx + d = t Podstwiei Euler ( ogół ieefektywe, prowdzące do skomplikowych cłek fukcji wymierych) x ± t, > 0 x + x + c = xt + c, c > 0 t( x x) > 0, x jede z pierwistków trójmiu x + x + c Przypdki szczególe 3 ( x ) ( ) f f x dx, podstwieie f ( x ) = t 4 dx x + x + c Sprowdzmy trójmi x + x + c do postci koiczej i otrzymujemy cłki typu: dt t dt = rc si + C lu α t α = l t + t + k + C t + k 5 ( Ax + ) ( α) B dx x x + x + c podstwimy x α = t Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 8

9 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Cłkowie fukcji trygoometryczych Cłkę postci ( si, cos ) R x x dx, gdzie R jest fukcją wymierą zmieych si x, cos x możemy zwsze sprowdzić do cłki fukcji wymierej stosując podstwieie (uiwersle) tg x t = Wówczs si x, cos x, dx są fukcjmi wymierymi zmieej t Przypdki szczególe t t si x =, cos x =, + t + t Jeżeli R( x x) = R( x x) podstwimy: cos x dt dx = + t si, cos si, cos (R jest fukcją ieprzystą względem si x ), = t Jeżeli R( si x, cos x) R( si x, cos x) podstwimy: si x = (R jest fukcją ieprzystą względem cos x ), = t 3 Jeżeli R( x x) = R( x x) si, cos si, cos (R jest fukcją ieprzystą względem si x i cos x jedocześie), podstwimy: tg x = t Litertur: P Roz V, 55, 56; P Roz VIII Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 9

10 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 3 CAŁKA OZNACZONA Defiicj cłki ozczoej Podstwowe włsości cłki ozczoej Defiicj cłki ozczoej (wg Riem) Niech f ędzie fukcją określoą i ogriczoą w przedzile domkiętym, Dokoujemy podziłu przedziłu ( ), (w sposó dowoly) podprzedziłów xi, xi, i =,,, o długościch x = x x Nstępie wyiermy (dowolie) pukty pośredie ξ i x i x i i i i, orz tworzymy sumę σ (sumę cłkową) σ = f ( ξ ) x i i i= Ciąg podziłów ( ) przedziłu, zywmy ormlym ciągiem podziłów, jeżeli lim δ = 0, gdzie δ mx x i i = Jeżeli ciąg ( σ ) jest zieży do tej smej gricy, dl kżdego ciągu podziłów ormlych ( ), iezleżie od wyoru puktów pośredich ξ i, to fukcję f ( x ) zywmy cłkowlą w przedzile,, gricę lim σ zywmy cłką ozczoą fukcji f ( x ) w gricch od do i ozczoy symolem ( ) lim σ f x dx : ( ξ ) ( ) = lim f i xi = f x dx i = dol gric cłkowi, gór gric cłkowi Podto przyjmujemy, że f ( x) dx = 0 orz f ( x) dx = ( ) Podstwowe włsości cłki ozczoej, ( ) ( ) Af x dx = A f x dx A R [ + ] = ( ) + ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx f x dx Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 0

11 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego 3 ( ) = ( ) + ( ) c f x dx f x dx f x dx 4 Jeżeli f ( x) g( x) dl x c,, to f ( x) dx ( ) 5 Jeżeli f ( x ) jest fukcją ciągłą dl x ( ) = ( )( ) g x dx f x dx f ξ (twierdzeie o wrtości średiej) 6 Jeżeli f ( x ) jest fukcją ciągłą w przedzile, orz ( ) pierwotą fukcji f ( x ) w tym przedzile F ( x) = f ( x ), wówczs ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ),, to istieje ξ, tkie, że F x jest dowolą fukcją f x dx F F F x (podstwowy wzór rchuku cłkowego wzór Newto - Leiiz) 7 Wzór cłkowie przez części dl cłki ozczoej Jeżeli ( ) f x, g( x) C ( ), to ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx = f x g x f x g x dx 8 Jeżeli f ( x ) jest fukcją ciągłą w przedzile, orz x = ϕ t C α, β, gdzie ϕ( α ) =, ϕ( β ) =, podto ϕ( t) t α, β, wówczs ( ) ( ) β [ ] ϕ ( ) ( ) ϕ( ) f x dx = f t t dt (zmi zmieych w cłce ozczoej) α Litertur: P Roz V, 5, 5; P Roz X; R Roz X, 0, gdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci

12 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 4 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE Cłk iewłściw I rodzju Cłk iewłściw II rodzju Cłk iewłściw I rodzju Fukcj f jest określo i ogriczo dl x, ) orz lim f ( x) = + ( ), wówczs f ( x) dx = lim ( ) + ε 0 x Fukcj f jest określo i ogriczo dl x (, ε f x dx orz lim f ( x) = + ( ), wówczs f ( x) dx = lim ( ) + + ε 0 x Cłk iewłściw II rodzju + ε Fukcj f jest określo i ogriczo dl x ) f x dx,, wówczs f ( x) dx ( ) A = lim f x dx A Fukcj f jest określo i ogriczo dl x (, ( ) ( ) f x dx = lim f x dx B B, wówczs 3 Fukcj f jest określo i ogriczo dl x (, ) + Wówczs ( ) ( ) ( ) c f x dx = f x dx + f x dx, c R + c Cłki iewłściwe zywmy zieżymi, gdy istieją skończoe grice defiiujących je cłek ozczoych Cłki iewłściwe, które ie są zieże, zywmy cłkmi rozieżymi Litertur: P Roz V, 53 Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci

13 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 5 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁKI OZNACZONEJ Pole figury płskiej Długość łuku krzywej płskiej 3 Ojętość ryły orotowej 4 Pole powierzchi orotowej Pole figury płskiej (rys ) ) y = f ( x), ( ) f x 0, x, D: x 0 y f x ( ) D = ( ) f x dx Rys ) y = f ( x), ( ) f x 0, x, (rys) D: x f x y 0 ( ) D = ( ) f x dx Rys Długość łuku krzywej płskiej Niech Γ ozcz długość łuku krzywej płskiej Γ Krzyw Γ określo jest rówiem y f ( x) = w przedzile,, f ( x) C (, ) Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 3

14 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego [ ( )] Γ = + f x dx Krzyw Γ określo jest w postci prmetryczej, x = ϕ( t) y = ψ( t) ( ) α, β, ϕ, ψ C α, β 3 Ojętość ryły orotowej β [ ( )] ψ ( ) [ ] Γ = ϕ t + t dt α, w przedzile Ojętość V ryły utworzoej przez orót dokoł osi 0x krzywej Γ określoej rówiem y f ( x) = w przedzile,, f ( x), f C(, ) [ ( )] V = π f x dx 0 : Ojętość V ryły utworzoej przez orót dokoł osi 0x krzywej Γ określoej w postci prmetryczej x = ψ( t) y = ψ( t), w przedzile ( ) 0 ( ) α, β, gdzie ψ t, ϕ, ψ C α, β 4 Pole powierzchi orotowej V : β = π [ ψ ( t) ] ϕ ( t) Pole powierzchi P ryły utworzoej przez orót dokoł osi 0x krzywej Γ określoej rówiem y f ( x) ( ) 0 ( ) ( ),, f x, f x C, α = w przedzile : dt [ ( )] ( ) P = π + f x f x dx Pole powierzchi P ryły utworzoej przez orót dokoł osi 0x krzywej Γ określoej w postci prmetryczej x = ϕ( t) y = ψ( t) ( α β ) gdzie ϕ, ψ C, ψ ( t) 0 dl t α, β, w przedzile α, β,, ϕ jest fukcją mootoiczą, tomist Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 4

15 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Litertur: P Roz V, 5; P Roz XI β [ ( )] ( ) [ ] ( ) P = π ϕ t + ψ t ψ t dt α WII 6 FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Fukcj dwóch zmieych Gri i ciągłość fukcji dwóch zmieych Fukcj dwóch zmieych Niech Z ozcz ziór puktów P( x, y) płszczyzy Fukcją dwóch zmieych ( z = f ( x, y) ) x y przyporządkowie kżdemu puktowi P( x y) Z licz rzeczywistych) f : Z R, określoą w ziorze Z zywmy, dokłdie jedej liczy z R (R ziór Litery x, y zywmy rgumetmi (zmieymi iezleżymi) z zywmy wrtością fukcji (zmie zleż), f jest symolem fukcji, ziór Z zywmy dziedzią fukcji Jeżeli dziedzi fukcji f ie jest pod, wówczs przyjmujemy, że jest ią ziór wszystkich puktów P( x, y) ( pr licz x, y), dl których wzór f ( x y) turl), m ses (dziedzi Gric fukcji dwóch zmieych Defiicje gricy fukcji Defiicj gricy fukcji dwóch zmieych według Cuchy ego Zkłdmy, że fukcj z = f ( x, y) jest określo w ziorze D orz ( ) puktem skupiei zioru D P x, y D jest Liczę g zywmy gricą (podwóją) fukcji f ( x, y) w pukcie P 0, jeżeli dl dowolej (kżdej) liczy ε > 0 istieje tk licz δ > 0, że dl kżdego puktu P( x, y) leżącego do sąsiedztw S 0 puktu P 0 o promieiu δ spełio jest ierówość f ( x y), g < ε Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 5

16 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego ( ) ε 0 δ 0 ( ) lim f x, y = g > > P x, y D x x0 y y0 ( ) ( 0 ) δ (, ) < x x + y y < f x y g < ε 0 0 Zieżość ciągu puktów ( ) Ciąg puktów P ( x, y ) jest zieży do puktu P ( x y ) Ozczmy lim P = P 0,, jeżeli lim x Defiicj gricy fukcji dwóch zmieych według Heiego = x 0 i lim y = y 0 Liczę g zywmy gricą (podwóją) fukcji f ( P) = f ( x, y) w pukcie P ( x y ) ( ) dl kżdego ciągu puktów P ( x y ), P D, P P 0 zieżego do P 0, odpowidjący mu ciąg wrtości fukcji ( ) do g ( f P ) ( f ( x y )) ( ) ( ) ( ) lim f x, y = g P, P P lim P = P lim f P = g x x0 y y0 0 0 Defiicje gricy fukcji według Cuchy ego i Heiego są rówowże 3 Ciągłość fukcji 0 0 0,, jeżeli =, jest zieży Fukcję f ( x, y) zywmy ciągłą w pukcie P x, y ), jeżeli lim f ( x, y) = f ( x, y ) leży do dziedziy fukcji Litertur: P Roz VI, 6, 6; P Roz XVA o ( o o x xo y y o o o, P o Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 6

17 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 7 POCHODNE CZĄSTKOWE POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW Pochode cząstkowe Pochode cząstkowe wyższych rzędów Pochode cząstkowe pierwszego rzędu Niech fukcj f ( x, y) ędzie określo w otoczeiu U 0 puktu P0 ( x0 y0 ) P ( x0 + x, y0 ), P ( x0, y0 + y) U 0, orz Jeżeli istieje gric włściw lim x 0 ( 0 +, 0 ) ( 0, 0 ) f x x y f x y x to zywmy ją pochodą cząstkową rzędu pierwszego fukcji f ( x, y) względem x w pukcie P ( x, y ) i ozczmy symolem f x P f x x y f x y ( 0 ) lu ( 0, 0 ) ądź x ( 0, 0 ) Jeżeli istieje gric włściw lim y 0 ( 0, 0 + ) ( 0, 0 ) f x y y f x y y to zywmy ją pochodą cząstkową rzędu pierwszego fukcji f ( x, y) względem zmieej y w pukcie P ( x, y ) i ozczmy symolem f y P f y x y f x y ( 0 ) lu ( 0, 0 ) ądź y ( 0, 0) W prktyce przy olicziu (wyzcziu) pochodych cząstkowych korzystmy ze wzorów pochode fukcji jedej zmieej, zkłdjąc, że drug zmie jest prmetrem (stłą) Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 7

18 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Pochode cząstkowe wyższych rzędów Pochode cząstkowe pierwszego rzędu pochodych cząstkowymi rzędu drugiego fukcji f ( x, y) f f, zywmy pochodymi x y f f = = f xx x x x f f = = f yx y x y x f f = = f xy x y x y f f = = f yy y y y Pochode f yx i f xy zywmy pochodymi mieszymi drugiego rzędu Jeżeli f yx i f xy są ciągłe w oszrze D to są soie rówe (twierdzeie Schwrz) Pochodymi cząstkowymi rzędu zywmy pochode cząstkowe pochodych rzędu Fukcję f ( x, y) zywmy fukcją klsy C w ziorze D f C ( D) ziorze D ciągłe pochode cząstkowe do rzędu włączie ( ), jeżeli m o w Litertur: P Roz VI, 63, 63; P Roz XVB Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 8

19 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 8 RÓŻNICZKA ZUPEŁNA WZÓR TAYLORA Różiczk zupeł Różiczki zupełe wyższych rzędów 3 Wzór Tylor Różiczk zupeł D jest fukcj z = f ( x, y) mjąc pochode cząstkowe w pukcie P ( x y ) P( x y), Pukty P, P leżą do dziedziy fukcji f , orz pukt Przyrostem fukcji f w pukcie P 0 dl przyrostu rgumetów x, y zywmy wyrżeie f = f ( x + x y + y) f ( x y ) Wyrżeie d f ( 0 0 ),,, gdzie x = x x 0, y = y y f x = x x, y x zywmy różiczką cząstkową fukcji f względem x w f y = y x, y y pukcie P 0 dl przyrostu rgumetu x, logiczie wyrżeie d f ( 0 0 ) zywmy różiczką cząstkową fukcji f względem y w pukcie P 0 Sumę różiczek cząstkowych fukcji f w pukcie P 0 zywmy różiczką zupełą i ozczmy symolem df ( x0 y0), (lu df) ( 0, y0 ) = ( 0, 0 ) + ( 0, 0 ) df x f x x y dx f y x y dy gdzie dx = x = x x0, dy = y = y y0 są różiczkmi zupełymi rgumetów x, y Różiczką zupełą fukcji zmieych f f ( x, x,, x ) zywmy wyrżeie df f = x i= = i ( ) P dx 0 i Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 9

20 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego gdzie dxi = xi = xi x0 i, i =,,, Dl młych przyrostów rgumetów x, y zchodzi stępując rówość przyliżo f df Stąd otrzymujemy wzór przyliżoe oliczie wrtości fukcji (, ) ( 0, 0 ) + ( 0, 0 ) + ( 0, 0 ) f x y f x y gdzie x = x x0 0, y = y y0 0 Różiczki zupełe wyższych rzędów Zkłdmy, że f C ( D) f x x y x f y x y y Różiczką zupełą drugiego rzędu fukcji f ( d f ) różiczki zupełej tej fukcji zywmy różiczkę zupełą d f f d( df ) x dx f y x dxdy f = = + + y dy Zkłdmy, że f C ( D) Różiczką zupełą rzędu fukcji f ( d f ) zywmy różiczkę zupełą różiczki zupełej rzędu tej fukcji ( ) d f = d d f, =, 3, d f = Zpis symoliczy (logi do dwumiu Newto) ( ) f d f x dx f = + y dy k = 0 f k k x y k k dx dy gdzie symol ( ) ozcz pochodą cząstkową rzędu (odpowiedik potęgi w dwumiie Newto) 3 Wzór Tylor Zkłdmy, że fukcj z f ( x y) puktu P0 ( x0, y0 ) orz pukt P( x y) =, m ciągłe pochode cząstkowe w otoczeiu U 0, U 0 Wówczs istieje pukt k Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 0

21 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego ( ) P x0 + θx, y0 + θy U 0, 0 < θ < tki, że ( ) f ( P0 ) f P ( 0 ) ( 0 ) ( )!! ( ) ( ) df P d f P d f P0 d f P = !! gdzie różiczki zupełe olicze są dl przyrostów dx = x x, dy = y y Dl = wzór Tylor jest postci f f ( x y) f ( x y ) ( ) ( ) x x y dx f, = 0, 0 + 0, 0 + y x 0, y 0 dy + ( + θ, + θ ), 0 0 f f + ( x + x, y + y) dx + ( ) x x y x + y, y + y dxdy + 0 θ 0 θ 0 θ 0 θ y f x x y y dy 0 0 W przypdku gdy pukt P (0,0 o ), wzór Tylor zywmy wzorem Mcluri Dl = wzór Tylor zyw się wzorem Lgrge o przyrostch skończoych Litertur: P Roz VI, 633 Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci

22 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 9 EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Ekstrem lokle fukcji Wrtość jwiększ i jmiejsz fukcji Ekstrem lokle fukcji Wruek koieczy istiei ekstremum Jeżeli fukcj f ( x, y) m pochode cząstkowe pierwszego rzędu w pukcie P0 ( x0 y0 ) w tym pukcie ekstremum, to f x P f = 0, x P = 0 ( 0 ) ( 0 ), i m Pukt P 0 zywmy wówczs puktem stcjorym (puktem krytyczym) fukcji f ( x, y) Wruek koieczy i dostteczy istiei ekstremum Zkłdmy, że fukcj f ( x, y) m w otoczeiu U 0 puktu P0 ( x0 y0 ) cząstkowe drugiego rzędu, ciągłe pochode Niech W( x y), = f x f x y f x y f y Fukcj f ( x, y) m w pukcie P0 ( x y0 ) f x P ) ( 0 ), ( 0 ), ekstremum, jeżeli spełioe są wruki f = 0 y P = 0 Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci

23 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego ) W( P 0 ) > 0 Podto, jeżeli ( P ) > 0 lu ( P ) > 0 to fukcj f ( x, y) m w pukcie P0 ( x0, y0 ) x f 0 y f 0 miimum, jeżeli ( P ) < (lu ( P ) < ), to fukcj f ( x y) x f 0 0 y f 0 0, m w pukcie P 0 mksimum Jeżeli W( P 0 ) < 0, to fukcj f ( x, y) ie m ekstremum w pukcie P ( x y ), Jeżeli W( P 0 ) = 0, wówczs fukcj f ( x, y) może mieć ekstremum w pukcie P ( x y ) 0 0 0, lu ie (leży p dć zk przyrostu wrtości fukcji w otoczeiu puktu P 0 (defiicj)) Wrtość jwiększ i jmiejsz fukcji Fukcj f ( x, y) ciągł w oszrze domkiętym i ogriczoym D = D Γ ( Γ rzeg oszru D ) przyjmuje wrtość jwiększą i wrtość jmiejszą (ekstremum solute) w tym oszrze Sposó zjdowi wrtości jwiększej i wrtości jmiejszej ) Zjdujemy pukty stcjore leżące wewątrz oszru D (ie musimy dć istiei f x, y w tych puktch ekstremum w tych puktch) orz oliczmy wrtości fukcji ( ) ) Wyzczmy jmiejszą i jwiększą wrtość fukcji f ( x, y) rzegu Γ oszru D (die przeiegu zmieości fukcji jedej zmieej) c) Porówujemy otrzyme w ), ) wrtości Njwiększ (jmiejsz) z ich jest wrtością jwiększą (jmiejszą) w cłym oszrze D Litertur: P Roz VI, 64, 64; P Roz XVC, D Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 3

24 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 0 CAŁKI WIELOKROTNE Cłk podwój Cłk potrój Cłk podwój Defiicj Niech f ( x, y) ędzie fukcją ciągłą w oszrze domkiętym D Oszr D dzielimy w sposó dowoly oszrów częściowych σ, σ,, σ o polch σ, σ,, σ Niech d i ozcz średicę oszru σ i (jwiększą z cięciw) orz δ = mx d i i, δ zywmy średicą podziłu oszru D Ciąg podziłów oszru D zywmy ormlym ciągiem podziłów, jeżeli lim δ = 0 Tworzymy sumę S = f ( P ) i i i= σ zywą sumą cłkową Jeżeli dl kżdego ormlego ciągu podziłów oszru D ciąg sum cłkowych ( S ) jest zliżoy do tej smej gricy włściwej, iezleżej od wyoru puktów P i, to gricę tę zywmy cłką podwóją fukcji f ( x, y) w oszrze D i ozczmy symolem ( ) f x, y dσ lu f ( x, y) dxdy, D Cłk potrój czyli f ( x, y) dσ = lim f ( x, y ) D D δ 0 i= σ i i i Defiicj cłki potrójej jest logicz jk defiicje cłki ozczoej i cłki podwójej Cłkę potróją ozczmy symolem f ( x, y, z) dv lu (,, ) V V f x y z dxdydz Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 4

25 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Zmi cłki potrójej cłkę iterową Przestrzey oszr domkięty V x określoy ierówościmi x, α( x) y β( x), ϕ( x, y) z ψ( x, y) gdzie α, β są fukcjmi ciągłymi dl x, orz ϕ, ψ są fukcjmi ciągłymi w oszrze D opisym dwiem pierwszymi ierówościmi, zywmy oszrem ormlym względem płszczyzy 0XY Alogiczie określmy oszry ormle względem płszczyz 0XZ, 0YZ Jeżeli fukcj u f ( x y z) =,, jest ciągł w oszrze V x, to β( x) ψ( x, y ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dz dy dx V x α( x) ϕ( x, y ) Litertur: P Roz XVI, XVII Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 5

26 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII CAŁKI KRZYWOLINIOWE Cłk krzywoliiow ieskierow Cłk krzywoliiow skierow 3 Twierdzeie Gree Cłk krzywoliiow ieskierow Defiicj Niech fukcj z f ( x y) Γ: x = ( t), y = ( t), t, ( i = ) =, ędzie określo krzywej regulrej ϕ ψ α β Przedził α, β dzielimy podprzedziłów t t,,, Wówczs długość s i i-tego łuku częściowego krzywej Γ ti [ ( )] ψ' ( ) [ ] s i = ϕ t + t dt Wyiermy pukty pośredie ξ i t i, t i orz tworzymy sumę σ : ti i, i σ = f ( x, i y i ) s i i=, gdzie xi = ϕ( ξi ), yi = ψ( ξi ) Jeżeli ciąg ( σ ) jest zieży do tej smej gricy, dl kżdego ciągu podziłów krzywej Γ, iezleżie od wyoru puktów ξ i, to gricę tę zywmy cłką krzywoliiową ieskierową (pierwszego rodzju) po krzywej Γ i ozczmy symolem f ( x, y) ds = i i i i = = Γ ( ) ( ) lim σ lim f x, y s f x, y ds tz Γ Związek między cłką krzywoliiową cłką ozczoą Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 6

27 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Jeżeli fukcj z f ( x y) =, jest ciągł krzywej regulrej ϕ( ) ψ( ) α β wówczs ( ) ( ) ( ) Γ: x = t, y = t, t,, Jeżeli fukcj z f ( x y) =, jest ciągł krzywej ( ) ( ) ( ) = wówczs (, ), ( ) Γ: y g x, g x C,, Cłk krzywoliiow skierow Defiicj Γ Γ β [ ϕ ψ ] [ ϕ ( )] [ ψ ( )] f x, y ds = f t, t t + ' t dt α [ ] [ ( )] f x y ds = f x g x + g x dx Zkłdmy, że dy jest otwrty łuk zwykły skierowy prmetryczym x = ϕ ( t), y ( t) są fukcje P( x, y), Q( x y) L o przedstwieiu = ψ, t α, β zgodym z kierukiem tego łuku Podto de, określoe w kżdym pukcie łuku L Alogiczie jk cłkę [ ] ozczoą defiiujemy cłkę krzywoliiową skierową pry fukcji P( x y) Q( x y) Q x y dy łuku L i ozczmy symolem P( x, y) dx + (, ) L Zmi cłki krzywoliiowej skierowej cłkę ozczoą Jeżeli fukcje P( x, y) i Q( x y), ;, po, są ciągłe łuku L spełijącym pode złożei, wówczs cłk krzywoliiow istieje orz (, ) + (, ) = { [ ϕ( ), ψ( )] ϕ ( ) + [ ϕ( ), ψ( )] ψ ( )} L β P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt α Cłkę krzywoliiową po krzywej zmkiętej Jord Γ skierowej dodtio (ujemie) względem swego wętrz ozczmy (odpowiedio) 3 Twierdzeie (wzór) Gree (, ) + (, ) lu (, ) + (, ) P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy Γ Γ Jeżeli fukcje P( x, y), Q( x, y) C w oszrze ormlym D (względem osi 0x, 0y) orz rzeg Γ jest skierowy dodtio względem wętrz oszru, wówczs Γ P ( x, y) dx + Q( x, y) dy = D Q P dxdy x y Niezleżość cłki krzywoliiowej skierowej od drogi cłkowi Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 7

28 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Zkłdmy, że fukcje P ( x, y), ( x y) Cłk krzywoliiow skierow P ( x y) dx + Q( x, y) Q, spełiją złożei twierdzei Gree, dy ie zleży od drogi cłkowi AB (zleży tylko od puktów A i B) wtedy i tylko wtedy, gdy Litertur: P Roz XVIII AB Q x = P y w oszrze D WII ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK WIELOKROTNYCH I KRZYWOLINIOWYCH Iterpretcj geometrycz cłki podwójej Zstosowi cłki potrójej do oliczi ojętości ryły 3 Iterpretcj geometrycz cłki krzywoliiowej ieskierowej 4 Zstosowie cłki krzywoliiowej skierowej do oliczi pol figury płskiej Iterpretcj geometrycz cłki podwójej Jeżeli fukcj f ( x, y) jest ciągł w oszrze D orz f ( x y) ( ), 0, wówczs cłk podwój f x, y dσ jest ojętością V ryły V o podstwie D, ogriczoej powierzchią ędącą D wykresem fukcji z f ( x y) =, orz powierzchią wlcową (rys ) Jeżeli f ( x, y) dl ( x y) Rys, D, wówczs dσ przedstwi pole D orotu D Zstosowi cłki potrójej do oliczi ojętości ryły D Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 8

29 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Jeżeli f ( x, y, z) dl P( x y z),,, to cłk potrój dxdydz V x 3 Iterpretcj geometrycz cłki krzywoliiowej ieskierowej jest ojętością oszru V x ) Jeżeli f ( x, y) = cłk krzywoliiow przedstwi długość łuku Γ : Γ = ds ) Jeżeli fukcj f jest ciągł łuku Γ i f ( x, y) > 0 to f ( x, y) ds przedstwi z defiicji część pol powierzchi wlcowej (rys ) V x Γ Γ Rys 4 Zstosowie cłki krzywoliiowej skierowej do oliczi pol figury płskiej Jeżeli Γ jest rzegiem oszru ormlego względem osi O, O D, skierowego dodtio względem iego, to pole D tego oszru wyrż się wzorem Litertur: P Roz XVI, XVII, XVIII x y D = ydx + xdy Γ Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 9

30 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego WII 3 SZEREGI LICZBOWE Szereg liczowy Kryteri zieżości szeregów o wyrzch ieujemych 3 Szereg przemiey 4 Szereg o wyrzch dowolych Szereg liczowy Dy jest ciąg ( ), R Ciąg ( ) Niech S = i, N S zywmy szeregiem liczowym i ozczmy symolem Jeżeli ( ) i= = = lim S = lim = S, S R to szereg liczę S zywmy sumą szeregu Jeżeli = = ie jest zieży, to zywmy go szeregiem rozieżym zywmy zieżym, Wruek koieczy zieżości szeregu Jeżeli = jest zieży, to lim = 0 Kryteri zieżości szeregów o wyrzch ieujemych Kryterium d`alemert Jeżeli lim + = q, to = ( > 0 ) jest zieży, gdy q <, tomist rozieży, gdy Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 30

31 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego q >, jeżeli q = kryterium d`alemert ie rozstrzyg o zieżości Kryterium Cuchy`ego Jeżeli lim = q, to = = ( 0) jest zieży, gdy q <, tomist rozieży, gdy q >, jeżeli q = kryterium Cuchy`ego ie rozstrzyg o zieżości szeregu 3 Kryterium porówwcze Jeżeli 0, dl > 0,, 0 N, to ) ze zieżości = ) z rozieżości 4 Kryterium cłkowe Jeżeli fukcj ( ) =,, N, to 0 0 wyik zieżość = wyik rozieżość, = f x jest mlejąc i dodti dl x ) = zież (rozież) 3 Szereg przemiey Szereg postci ( ) 0 + = 0, orz f ( ) = dl jest zieży (rozieży) wtedy i tylko wtedy, gdy ( ) > 0 zywmy szeregiem przemieym Kryterium Leiiz zieżości szeregu przemieego Jeżeli ( ) jest ierosący i lim = 0, to szereg ( ) 4 Zieżość ezwzględ (solut) + = jest zieży = f x dx jest 0 Jeżeli = jest zieży, to = jest zieży Szereg = zywmy wówczs ezwzględie zieżym, jeżeli tomist = jest Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 3

32 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego zieży, = jest rozieży, to zywmy go wrukowo zieżym Litertur: P Roz VII, 7; P Roz XXII WII 4 SZEREGI FUNKCYJNE SZEREG POTĘGOWY Ciąg fukcyjy Szeregi fukcyje Zieżość jedostj 3 Szereg potęgowy Promień zieżości szeregu potęgowego Ciąg fukcyjy Niech U ozcz ieprzysty podziór zioru R ( U o R) Ciągiem fukcyjym ( f ( x)) w o ziorze U zywmy przyporządkowie kżdej liczie turlej dokłdie jedej fukcji o określoej w U o f ( x), f ( x),, f ( x),, x U o Fukcję f (x) zywmy -tym wyrzem ciągu ( f ( x)) Defiicj gricy ciągu fukcyjego lim f U o ( x) = f ( x) /\ ε > 0 x U /\ \ / /\ ( f o δ > δ ( x) f ( x) < ε ) Defiicj jedostjej zieżości ciągu fukcyjego ( f ( x)) do fukcji f (x) U lim f ( x) ( ) /\ \ / /\ /\ ( ( ) ( ) = f x f x f x J o ε > 0 δ x U o > δ < ε ) (Symol J pod zkiem rówości ozcz zieżość jedostją) Szereg fukcyjy Dy jest ciąg fukcyjy ( f ( x)) dl x U o Ciąg ( S ( x)) o wyrzch S x) = f ( x) + f ( x) + f ( ) zywmy szeregiem fukcyjym ( + x i ozczmy symolem = f ( x ) lu x ) + f ( x ) + + f ( x ) f ( + Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 3

33 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Szereg = f ( x ) zywmy zieżym w U o jeżeli ciąg ( S ( x)) jest zieży w U o U o Jeżeli lims ( x) = S( x) Jeżeli = ziorze, to fukcję S (x) zywmy sumą szeregu f ( x ) jest zieży w U o to f ( x ) zywmy ezwzględie zieżym w tym = U o = J Jeżeli lim S ( x) S( x) to f ( x ) zywmy jedostjie zieżym w U o = Kryterium jedostjej zieżości Weierstrss Jeżeli istieje m N tk, że dl kżdego m, N i dl kżdego x U 0 spełio jest ierówość ( ) f x orz szereg liczowy (mjort szeregu fukcyjego) zieży, wówczs szereg fukcyjy f ( x) ziorze U 0 = Moż wykzć, że jeżeli szereg fukcyjy f ( x) do fukcji f ( x ) i jego skłdiki f ( x) szeregu ( ) = = jest jest zieży jedostjie i ezwzględie w jest jedostjie zieży w ziorze U 0 są fukcjmi ciągłymi w pukcie x U f x jest fukcją ciągłą w pukcie x 0 3 Szereg potęgowy 0 = 0 Szereg fukcyjy postci ( x x ) ( ) zywmy ciągiem współczyików Dl x 0 0 Liczę r R { } + 0 tką, że x = 0 0 0, to sum zywmy szeregiem potęgowym o środku x 0 Ciąg = szereg potęgowy jest postci x jest zieży dl x zywmy promieiem zieżości szeregu potęgowego Wzór promień zieżości = 0 < r, rozieży dl x > r, Jeżeli istieje lim + = g lu lim g, = to promień zieżości r szeregu potęgowego = 0 x wyzczmy ze wzoru Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 33

34 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego 0, gdy g = +, r =, gdy 0 < g < +, g +, gdy g = 0 Litertur: P Roz VII, 7; P Roz XXIII WII 5 SZEREG TAYLORA Szereg Tylor Zstosowi szeregu Tylor Szereg Tylor Zkłdmy, że fukcj f C ( U 0 ), gdzie U 0 jest otoczeiem puktu x 0 Szeregiem Tylor dl fukcji f w otoczeiu U 0 zywmy szereg potęgowy postci = 0 f ( ) ( x )( x x ) ( ( x )( x x ) f ( x )( x x ) f ) ( x )( x x ) 0 f = f ( x0 ) !!!! + Szereg Tylor jest zieży do fukcji f (fukcj f jest sumą szeregu Tylor) dl tych lim R x = 0, gdzie R ( x) jest resztą we wzorze Tylor wrtości x, dl których ( ) Szczególym przypdkiem szeregu Tylor jest szereg Mcluri (dl x 0 = 0 ) ( ) ( f ( ) x f ( ) x f ( ) x f ( ) ) 0 ' 0 '' 0 ( 0) x = f = 0! Przykłdy rozwiięci w szeregu Mcluri wyrych fukcji! x x x x x R e = !!! 3 x R x R 4 ( ) x x si x = x ! 5! x x cos x = + + +! 4! ( ) x ( ) ( ) x ( )! α + = + α + α + + α x x x + x!! + + dl x ( )!,, α, Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 34

35 Projekt współfisowy ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego Zstosowie szeregu Tylor ( x,, < α < 0, x,, α > 0 Szereg potęgowy dej fukcji, któr jest jedocześie szeregiem Tylor dl tej fukcji, możemy cłkowć i różiczkowć wyrz po wyrzie x Jeżeli x leży do wętrz przedziłu zieżości szeregu potęgowego, wówczs: x dx = 0 = 0 = 0 x + +, x = x = 0 Szereg dy orz szeregi cłek i pochodych mją te sm promień zieżości Powyższe twierdzei możemy stosowć p do cłkowi fukcji, których pierwote ie są fukcjmi elemetrymi W tym celu rozwijmy fukcję podcłkową w szereg Tylor (Mcluri) i cłkujemy wyrz po wyrzie Szereg Tylor (Mcluri) możemy stosowć rówie do oliczi przyliżoej wrtości fukcji z dą dokłdością Rozwijmy fukcję f w szereg Tylor, stępie podstwijąc x = x 0 ( x 0 leży do wętrz przedziłu zieżości szeregu) otrzymujemy szereg liczowy zieży do f ( x 0 ) Oliczjąc przyliżoą wrtość f ( x 0 ) ierzemy sumę tylu wyrzów szeregu liczowego, y otrzymć żądą dokłdość przyliżei Litertur: P Roz VII, 7, 73; = P Roz XXIII Projekt Rozwój i promocj kieruków techiczych w Akdemii Morskiej w Szczeciie Akdemi Morsk w Szczeciie, ul Wły Chrorego -, Szczeci 35