TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

Transkrypt

1 TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze: lizy turle, które mją dokłdie dw dzieliki: 1 i smą sieie p.:,, 5, 7, Lizy łkowite: wszystkie lizy turle i lizy do ih przeiwe: -, -, -1, 0, 1,,.. Lizy przyste: Lizy łkowite podziele przez. Trzy koleje lizy przyste zpisujemy w posti, +, +4, gdzie jest dowolą lizą łkowitą. Trzy koleje lizy ieprzyste zpisujemy w posti +1, +, +5, gdzie jest dowolą lizą łkowitą Lizy wymiere: Lizy które d się zpisć w posti ułmk:, gdzie p i q to lizy łkowite. Lizy wymiere mją rozwiięi dziesięte skońzoe lu ieskońzoe okresowe. Lizy iewymiere: Lizy, które ie są wymiere, (ie d się zpisć ih w posti ułmk zwykłego) p.: CECHY PODZIELNOŚCI PROCENTY Liz jest podziel przez:, gdy jej osttią yfrą jest 0,, 4, 6, 8., jeżeli sum yfr lizy jest podziel przez. 4, gdy dwie osttie yfry tworzą lizę podzielą przez 4. 5, gdy osttią yfrą lizy jest 0 lu 5. 9, gdy sum yfr lizy dzieli się przez 9. 10, gdy liz zkońzo jest yfrą 0 POTĘGI proet :1% promil : ,01 1 0, wielkość etto wielkość ez podtku wielkość rutto wielkość etto + podtek PIERWIASTKI Pierwistek kwdrtowy: 0 1 m m 1 : m m p. 0 = 1, (-10) 0 = 1, p., ( ) ( ) Dziłi potęgh: m p. p. m m ( ) p. ( ) ( ) : p. ( ) p. ( ) Zpmiętj:, Pierwistek sześiey: Zpmiętj:: Dziłi pierwistkh: ( ) p. p. p. UWAGA: Zwsze usuwmy iewymierośi (pierwistki) z miowików ułmków. Ay usuąć iewymierość możymy lizik i miowik ułmk przez iewymierość występująą w miowiku. Np.

2 WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Jedomi wyrżeie ędąe ilozyem liz i liter p. x, 15xy, -5 4 Sum lgeriz to sum jedomiów p. x + x 5. Wyrzy (jedomiy) podoe, to jedomiy, które różią się tylko współzyikmi lizowymi (muszą mieć te sme litery i litery te muszą występowć w tyh smyh potęgh) p.:, - i są jedomimi podoymi. Jeżeli w sumie lgerizej występują jedomiy podoe to możemy je do sieie dodć (lu odjąć), zyli przeprowdzić redukję wyrzów podoyh. p.: = + 5 Reguły dziłń wyrżeih lgerizyh. Dodwie i odejmowie sum lgerizyh (opuszzie wisów): ( + ) + ( + d) = d ( + ) ( + d) = + d (mius przed wisem zmi zków liz w wisie) Możeie wyrżeń lgerizyh ( + ) = + (możymy kżdy wyrz w wisie przez lizę przed wisem) ( + ) ( + d) = + d + + d (możymy kżdy wyrz w jedym wisie przez kżdy wyrz w drugim wisie) Wzory skróoego możei* ( ) ( ) ( )( ) RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI, UKŁADY RÓWNAŃ Rówie, które m rozwiązie zywmy ozzoym p. x + 4 = 8 o po rozwiąziu x =. Rówie, które ie m rozwiązi zywmy sprzezym p. x + 5 = x + 6 o po rozwiąziu otrzymmy sprzezość 5=6 Rówie, które spełi kżd liz zywmy tożsmośiowym p. x + 4 = x +4 o po rozwiąziu otrzymmy 4 = 4 Reguły rozwiązywi rówń Rozwiązują rówie dążymy do tego, y po jedej stroie rówi zlzły się tylko iewidome, po drugiej tylko lizy. Do ou stro rówi możemy dodć tą smą lizę. Od ou stro rówi możemy odjąć tą smą lizę. Oie stroy rówi możemy pomożyć przez tą smą lizę. Oie stroy rówi możemy podzielić przez tą smą lizę różą od zer. Przeoszą lizę drugą stroę rówi zmieimy jej zk. Reguły rozwiązywi ierówośi Rozwiązują ierówość postępujemy logizie jk w przypdku rówi, le trze pmiętć, że możą oie stroy ierówośi przez lizę ujemą zmieimy zwrot ierówośi przeiwy. Ziór rozwiązń ierówośi zwsze zzzmy osi lizowej p.: kółezk puste w środku rysujemy przy ierówośi ostrej o ozz, że końowy pukt ie leży do rozwiązi, kółezk zmlowe rysujemy przy ierówośi ieostrej o ozz, że końowy pukt leży do rozwiązi ierówośi. Rodzje ukłdów rówń Ukłd który m jedą prę rozwiązń zywmy ozzoym. Ukłd, który ie m rozwiązń zywmy sprzezym. Ukłd, który m ieskońzeie wiele rozwiązń zywmy ieozzoym. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA Medi, to wrtość środkow w uporządkowym szeregu liz. Jeżeli ilość liz w szeregu jest przyst, to y wyzzyć medię olizmy średią rytmetyzą dwóh elemetów środkowyh. Np. w rzuie kostką do gry prwdopodoieństwo wylosowi lizy ozek podzielej przez jest rówe (o z sześiu możliwyh wyików rzutu kostką s iteresują tylko dw: ozk lu 6 ozek)

3 WIELKOŚCI PROPORCJONALNE Proporją zywmy rówość dwóh ilorzów posti: lu. W proporji ilozy wyrzów skrjyh jest rówy ilozyowi wyrzów środkowyh zyli Gdy wrz ze wzrostem jedej wielkośi drug wielkość rówież rośie tyle smo rzy, to mówimy, że wielkośi te są wprost proporjole. Jeżeli dwie wielkośi x i y są wprost proporjole to ih ilorz jest stły: Lizę zywmy współzyikiem proporjolośi. Gdy wrz ze wzrostem jedej wielkośi drug wielkość mleje tyle smo rzy, to mówimy, że wielkośi te są odwrotie proporjole. Ilozy wielkośi x i y odwrotie proporjolyh jest stły zyli FUNKCJE Jeżeli kżdemu elemetowi zioru X przyporządkujemy dokłdie jede elemet zioru Y, to tkie przyporządkowie zywmy fukją ziorze X o wrtośih w ziorze Y. Ziór X zywmy dziedzią fukji elemety zioru X zywmy rgumetmi fukji. Ziór Y zywmy przeiwdziedzią fukji elemety ze zioru Y przyporządkowe elemetom zioru X zywmy wrtośimi fukji. Argumet, dl którego wrtość fukji jest rów zero, zywmy miejsem zerowym fukji. N wykresie miejse zerowe to pukt przeięi wykresu z osią X. Fukję określoą wzorem y = x +, gdzie i są dowolymi lizmi rzezywistymi zywmy fukją liiową. Wykresem fukji liiowej jest prost.

4 FIGURY GEOMETRYCZNE Kąty Kąty przyległe Kąty wierzhołkowe Kąty odpowidjąe Kąty przemiległe Sum mir kątów przyległyh =180 o Kąty wierzhołkowe mją rówe miry. Kąty odpowidjąe mją rówe miry. Kąty przemiległe mją rówe miry Trójkąty Kąty w trójkąth Sum mir kątów trójkąt wyosi 180 W trójkąie rówoozym kżdy kąt m 60. Odiki szzególe w trójkąie W trójkąie rówormieym kąty przy podstwie są rówe. Wysokość trójkąt to odiek poprowdzoy z wierzhołk trójkąt przeiwległy ok lu jego przedłużeie pod kątem prostym. W trójkąie prostokątym dwie wysokośi są przyprostokątymi trójkąt W trójkąie rozwrtokątym dwie wysokośi leżą poz trójkątem W trójkąie rówoozym wysokośi dzielą się w stosuku :1 Środkow trójkąt - to odiek łąząy wierzhołek trójkąt ze środkiem przeiwległego oku. AD = DB Pole trójkąt w trójkąie rówoozym h

5 Dowoly trójkąt prostokąty. Włsośi trójkątów prostokątyh Trójkąt o kąth 0 o, 60 o, 90 o Trójkąt prostokąty rówormiey (o kąth 45 o, 45 o, 90 o ) + = TW. Pitgors - Jeżeli trójkąt jest prostokąty, to sum kwdrtów długośi przyprostokątyh jest rów kwdrtowi długośi przeiwprostokątej. Ay sprwdzić zy dy trójkąt jest prostokąty, leży zstosowć twierdzeie odwrote do tw. Pitgors: Jeżeli w trójkąie sum kwdrtów długośi dwóh krótszyh oków jest rów kwdrtowi długośi jdłuższego oku, to te trójkąt jest prostokąty Trójkąt i okrąg Okrąg wpisy w trójkąt jest styzy do wszystkih oków trójkąt, środek okręgu wpisego jest puktem przeięi dwusiezyh kątów trójkąt Okrąg opisy trójkąie jest styzy do wszystkih wierzhołków trójkąt, środek okręgu opisego jest puktem przeięi symetrlyh oków trójkąt Wielokąty foreme Jeżeli jedym z oków trójkąt wpisego w okrąg jest średi okręgu to te trójkąt jest prostokąty W trójkąie rówoozym Promień okręgu wpisego Promień okręgu opisego Wielokątem foremym zywmy tki wielokąt, w którym wszystkie oki mją rówe długośi i wszystkie kąty mją rówe miry. W dowolym wielokąie foremym o okh Sześiokąt foremy Sum wszystkih kątów wewętrzyh: ( ) Mir kąt wewętrzego: ( ) Liz przekątyh: ( ) Koło i okrąg Koło Wyiek koł Długość łuku

6 Czworokąty Trpez Rówoległook Rom Włsośi: Włsośi: Włsośi: przekąte dzielą się połowy, przekąte dzielą się połowy, przekąte są prostopdłe sum dwóh sąsiedih kątów przekąte są dwusiezymi kątów rów jest 180 romu sum dwóh sąsiedih kątów rów jest 180 Prostokąt Kwdrt Kwdrt i okrąg Sum mir kątów leżąyh przy tym smym rmieiu trpezu jest rów 180. α + δ = 180, β + γ = 180 Włsośi: przekąte są rówe i dzielą się połowy, Włsośi: przekąte są rówe i dzielą się połowy, przekąte są prostopdłe przekąte są dwusiezymi kątów romu przekąt kwdrtu Podoieństwo wielokątów Wielokąty podoe Pol figur podoyh Stosuek pól figur podoyh jest rówy kwdrtowi skli Dw wielokąty są podoieństw. podoe, jeżeli mją rówe kąty ih oki są proporjole. Lizę k zywmy sklą podoieństw Podoieństwo trójkątów prostokątyh Dw trójkąty prostokąte są podoe, jeżeli stosuek długośi przyprostokątyh w jedym trójkąie jest rówy stosukowi długośi odpowiedih przyprostokątyh w drugim trójkąie: Jeżeli dw trójkąty prostokąte mją po jedym kąie ostrym rówym, to te trójkąty są podoe: d F Podoieństwo prostokątów Dw prostokąty są podoe, jeżeli stosuek długośi dwóh prostopdłyh oków jedego prostokąt jest rówy stosukowi długośi odpowiedih oków drugiego prostokąt: F 1 d

7 BRYŁY Gristosłupy Dowoly gristosłup Prostopdłośi Sześi Podstwy gristosłup są zwsze przystjąymi wielokątmi śiy rówoległookmi. Gristosłup zywmy prwidłowym jeżeli m w podstwie wielokąt foremy. - pole podstwy P p P p- pole powierzhi ozej V P p h P P p P p Dowoly ostrosłup V P Ostrosłupy Czworośi foremy V P 6 h Wszystkie śiy są przystjąymi trójkątmi rówoozymi. Podstw ostrosłup jest dowolym wielokątem śiy trójkątmi Ostrosłup zywmy prwidłowym jeżeli m w podstwie wielokąt foremy - pole podstwy P p P p- pole powierzhi ozej V 1 P p h P P p P p V 1 H H 4 1 P 4 4 Bryły orotowe Wle Stożek Kul Przekrój osiowy wl jest prostokątem P P V r H p P p r rh Przekrój osiowy stożk jest trójkątem rówormieym - kąt rozwri stożk - kąt hylei tworząej stożk do podstwy 1 V r H P P P r rl p p 4 V r P 4r

8 Przykłdowy test imię i zwisko r kls Zdie 1. Oeń prwdziwość zdń (wpisz P jeśli zdie jest prwdziwe lu F jeśli jest fłszywe): W prostokąie przekąte są prostopdłe Przekąte romu dzielą się połowy. Jeżeli dwie wielkośi są wprost proporjole to ih ilozy jest stły Przekątą kwdrtu o oku x opisuje wzór Przekrój osiowy stożk jest trójkątem rówoozym Jeżeli dw trójkąty prostokąte mją po jedym kąie ostrym rówym, to te trójkąty są podoe Sum wszystkih kątów wewętrzyh: ( ) środek okręgu wpisego w trójkąt jest puktem przeięi dwusiezyh kątów trójkąt Liz jest podziel przez jeżeli jej osttią yfrą jest, 6 lu 9 Zdie. Zpisz poiżej wzory pol rysowyh figur: d x Pole =. Pole = Pole =.. Zdie. Zpisz wzory pozwljąe olizyć długośi zzzoyh odików x: x x x x =.. x =. x =.. Zdie 4: Dokońz zdi i wzory: Stosuek pól figur podoyh jest rówy.. =. ( ). Ukłd, który m ieskońzeie wiele rozwiązń zywmy

9 Kąty.. mją miry Liz łkowit dzieli się przez 4, jeżeli Przeoszą lizę drugą stroę rówi. Miejsem zerowym fukji zywmy ( + ) ( + d) = ( - ) = Trzy koleje lizy przyste, możemy zpisć w posti.. Zdie 5. Nzwij ryły i zpisz wzory ih ojętość wykorzystują pode długośi: Nzw. Ojętość = Pole łkowite =.. Nzw.. Ojętość = Pole łkowite =.. Zdie 6. Zpisz wzory i zwij wskze odiki i kąty: l.. r. P oz =.. h.. P łkowit = V =.