Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

Transkrypt

1 Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest liiowo zleży wtedy i tylo wtedy gdy jede z wetorów v, v jest omicją liiową pozostłych Zdie Niech (x,y) orz (x,y) ędą dwom dowolie ustloymi elemetmi przestrzei R, timi że puty (x,y), (x,y) orz (0,0) są iewspółliiowe Wyzć, że elemety (x,y) i (x,y) tworzą zę przestrzei R Zdie 3 Niech ędzie przedziłem domiętym Rozwżmy ziór fucji cłowlych z wdrtem odciu, czyli, R L, : f :, R : f x dx istieje f, g L, Udowodić stępującą ierówość Schwrz ) Niech f t gt dt f t dt g t dt ) Korzystjąc z ierówości Schwrz wyzć, że L, liiową Zdie 4 Wyzć, że stępujące fucje są metrymi podych ziorch: ) X dowoly iepusty ziór: jest przestrzeią 0,, x, y : X X (tzw metry dysret) 0,, gdy gdy x y x y

2 ) R 0,, x, y, x, y x x y : R R y (tzw metry tsówrz) c) C (ziór licz zespoloych) 0,, z, z z : C C z, gdzie zespoloej z z ozcz moduł liczy Zdie 5 ) Niech orz ędą dwom elemetmi przestrzei R Udowodić stępującą ierówość zwą ierówością Cuchy ego: x y x,, x x y,, y ) Korzystjąc z ierówości Cuchy ego wyzć, że fucj y x,, x, y y y x,, jest metryą w R Zdie 6 Niech X, ędzie przestrzeią uormową Wyzć, że fucj x, y x y jest metryą w X Zdie 7 Niech x,, x ędzie elemetmi przestrzei R Wyzć, że x x x x x,, jest ormą w R

3 Zdie 8 f L, Niech f f t dt jest ormą w L, Wyzć, że Zdie 9 Niech X, lim x x 0 ędzie przestrzei uormową Wyzć, że jeżeli lim x x0, to Koiec listy r 4

4 Zdie Mtemty wyre zgdiei List r 5 Niech X = ozcz przestrzeń wielomiów odciu ) Udowodić, że fucj X X 0,, w, w mx W 0, metryą w X ) Wyzć, że ciąg 0, w ( t) w ( ) jest : t t 0, i t w ( t) jest ciągiem Cuchy ego w przestrzei (X, ), le i i ie jest ciągiem zieżym w (X, ) Zdie Niech X = C ([0,]) ędzie przestrzeią fucji rzeczywistych mjących w przedzile [0,] ciągłą pochodą ) udowodić, że x x(0) mx x( t) jest ormą w przestrzei X X 0t ) Niech Y = C([0,]) ędzie przestrzeią rzeczywistych fucji ciągłych w przedzile [0,] z ormą y mx y( t) Udowodić, że odwzorowie Y 0t Tx = x, gdzie xjest pochodą fucji x jest ogriczoym opertorem liiowym Zleźć jego ormę Zdie 5 Niech X ędzie zespoloą przestrzeią uitrą Udowodić stępujące włsości iloczyu slrego: x, y X C x, y x, y x, y, z X x, y z x, y x, z xx 0,x 0 x, y X x, y x, x y, y x x, x spełi sjomty ormy Zdie 6 Udowodić stępujące twierdzeie (twierdzeie Pitgors): Niech V ędzie przestrzeią uitrą Niech x,,x ędzie sończoym ciągiem wetorów V tim, że (xi,xj) = 0 dl żdego i j, i,j =,,, Wówczs x x x x x x

5 Wszów: Njpierw udowodić twierdzei dl =, uogólić dl, stosując zsdzie iducji mtemtyczej Zdie 7 w, w C,3 (przestrzeń fucji mjących ciągłą pochodą), gdzie Niech ( 3x 4x w 4, w ( x x 7 Oliczyć odległość miedzy fucjmi stosując do wyzczi tej odległości metryę geerow przez stępującą ormę: w,w ) w w0 mx wx ) w wx 3 x3 dx Zdie 8 Sformułowć twierdzeie o rzucie ortogolym dl przestrzei Hilert H Niech H = L 0, Korzystjąc z twierdzei o rzucie ortogolym orz z ftu, że fucje g( orz g ( x są liiowo iezleże, zleźć jlepszą prosymcję fucji f ( si x fucją g0 ( x w tej przestrzei, tz tą, dl tórej orm łędu jest miiml