W tym wykładzie zapoznamy się z podstawowymi metodami przybliżonego obliczania całek oznaczonych funkcji jednej zmiennej, tj.

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

2 Motywcj Wiele spotykych w prktyce cłek ie może być obliczo lityczie lub ich ścisłe obliczeie jest brdzo prcochłoe. Z drugiej stroy, brdzo często wystrczy zć jedyie przybliżoą (w rozsądą dokłdością) wrtość cłki. W tkich sytucjch pomoce jest wykorzystie metod cłkowi umeryczego i przerzuceie prcy komputer. W tym wykłdzie zpozmy się z podstwowymi metodmi przybliżoego obliczi cłek ozczoych fukcji jedej zmieej, tj. cłek postci I b f ( x) dx Będziemy zkłdć, że fukcj f jest przyjmiej ciągł w domkiętym przedzile [,b] (ozcz to utomtyczie, że fukcj f jest ogriczo w tym przedzile). Metody przybliżoego obliczi tkich cłek zywć będziemy ogólie kwdrturmi.

3 Metod puktu środkowego Jest to brdzo prosty pomysł przestwioy rysuku po lewej. Odpowiedi reguł obliczi cłki postć I I ( b ) f ( c), c ( b) / M Metod trpezów Metod trpezów to kolej prost i turl metod przybliżoego obliczi cłki ozczoej. Wzór tej metody m postć I ( b )[ f ( ) f ( b)] T Jest to jprostszy writ metody iterpolcyjej: cłkow fukcj jest proksymow fukcją liiową, którą cłkujemy lityczie.

4 Metod Simpso Wprowdzjąc pukt środkowy możemy proksymowć fukcję cłkową wielomiem iterpolcyjym -ego stopi. Nstępie wielomi te cłkujemy lityczie, czego efektem jest formuł I ( b )[ f ( ) 4 f ( c) f ( b)] S 6 gdzie c = ( + b)/.

5 Kwdrtury Newto-Cotes Uogólijąc ideę metody trpezów moż skostruowć brdziej złożoe kwdrtury iterpolcyje. W tym celu wprowdzmy większą liczbę rówo rozmieszczoych węzłów w przedzile, wyzczmy wielomi iterpolcyjy i cłkujemy go lityczie. Ogól formuł m postć b I ( f ) f ( x ) dx P ( x ) dx I ( f ) gdzie symbol P ozcz the wielomi iterpolcyjy -tego stopi. Wiemy już (Wykłd r ), że wielomi te może być wyzczoy p. metodą Lgrge. Mmy wówczs P ( x) f ( x ) l ( x) k k k0 b

6 Wobec tego, ogól formuł kwdrtury Newto-Cotes może być zpis w postci gdzie b I ( f ) l ( x ) dx f ( x ) f ( x ) k k k0 k0 k k k b l k ( x ) dx. k

7 Dokłdość metod cłkowi umeryczego Kluczowym pytiem jest jk dokłdy jest wyik cłkowi otrzymy z pomocą tej czy iej metody. Aktulie zjmiemy się tym włśie problemem. Zczijmy od metody puktu środkowego. Stosując twierdzeie Tylor możemy pisć wzór f ( x) f ( c) f ( c)( x c) f ( xˆ)( x c), xˆ [, b] Cłkując powyższą rówość otrzymmy b b b f ( x) dx ( b ) f ( c) f ( c) ( x b) dx f [ xˆ ( x)]( x c) dx IM 0 I f ( )( b ) M 4 3

8 Do obliczei trzeciej cłki zstosowliśmy twierdzeie o wrtości średiej w stępujący sposób b b 3 ieujeme w[, b] twierdzeie o pewie wrt. srediej pukt w[, b] f [ xˆ ( x)] ( x c) dx f [ ] ( x c) dx f ( )( b ) Alogicze rchuki moż przeprowdzić dl metody trpezów. Wykorzystmy udowodioe w Wykłdzie twierdzeie o proksymcji wielomiem iterpolcyjym. Dl wielomiu liiowego jego tez sprowdz się do formuły f ( x) P ( x) f [ xˆ ( x)]( x )( x b) Symbol P ozcz tu fukcję liiową iterpolującą wrtości fukcji cłkowej końcch przedziłu [,b], ˆx jest pewym puktem z [,b], ogół zleżym od x.

9 Cłkujemy otrzymą rówość b b f ( x) dx I ( f ) f [ xˆ ( x)]( x )( x b) dx T b iedodtie w[ b, ] I ( f ) f ( ) ( x )( x b) dx I ( f ) f ( )( b ) T T Zuwżmy, że z otrzymej formuły dl błędu wyik poprwy wiosek, że metod trpezów zwyż wrtość cłki dl fukcji wypukłej w [,b] ( f 0) i ziż wrtość cłki dl fukcji wklęsłej ( f 0). Aliz dokłdości metody Simpso może być przeprowdzo logiczie. Szczegóły pomijmy, bowiem rchuek jest dość prcochłoy. Odpowiedi formuł m postć b f ( x ) dx I ( f ) f S 880 ( )( b ) IV 5 3

10 Zuwżmy, że w wyrżeiu błąd cłkowi metody puktu środkowego i metody trpezów pojwi się wrtość -ej pochodej fukcji cłkowej w pewym pukcie wewętrzym. Fkt te pozostje w zgodości z obserwcją, że obie te metody dją ścisły wyik dl wielomiów stopi ie większego iż (fukcji stłych lub liiowych). Z drugiej stroy wyik cłkowi dl wielomiów stopi drugiego i wyższych obrczoy będzie pewym błędem. Mówimy, że metod puktu środkowego i metod trpezów to metody -ego rzędu. Poiewż logicze oszcowie dl metody Simpso zwier 4-tą pochodą, wzór Simpso jest ścisły dl wielomiów stopi ie większego iż 3. Wioskujemy z tego, że metod Simpso jest 3-ego rzędu.

11 Jk jest ogól reguł? Otóż w ogólości rząd kwdrtury typy Newto-Cotes (zmkiętej, tj. używjącej pukty końcowe przedziłu jko węzły iterpolcyje) wykorzystującej proksymcję wielomiem iterpolcyjym stopi (czyli oprtej + węzłch) jest rówy:, gdy liczb jest ieprzyst (p. metod trpezów) +, gdy liczb jest przyst (p. metod Simpso)

12 Kwdrtury złożoe Zczącą poprwę dokłdości cłkowi moż osiągąć stosując kwdrtury złożoe. Pomysł jest blie prosty: zmist stosowć formułę dej metody globlie do cłego przedziłu [,b], dzielimy te przedził pewą liczbę podprzedziłów, stosujemy metodę w podprzedziłch, otrzyme wyiki częściowe sumujemy. Pomysł m uzsdieie w postci zej włsości cłki ozczoej. Miowicie, wprowdzjąc podził przedziłu [,b] puktmi x x x... x x b 0 możemy pisć b I f ( x k ) dx f ( x ) dx k0 x x k W te oto sposób możemy skostruowć p. złożoą metodę puktu środkowego. Jej formuł będzie określo stępująco I IM ( f ) f ( ck )( xk xk ), ck ( xk xk ), k 0,,.., k0

13 Jeśli wprowdzoe pukty wewętrze dzielą przedził [,b] podprzedziły rówej długości to powyższ formuł sprowdz się M k k k k0 I ( f ) h f ( c ), h ( b ), c x h ( k ) h, k 0,,.., Moż pokzć, że błąd cłkowi w tej metodzie opisuje wzór b E ( ) M f x dx IM 4 f ( )( b ) h, [, b] Jsym jest, że złożo metod puktu środkowego jest ścisł dl jedyie dl wielomiów stopi ie wyższego iż. Nie to jest jedk terz jwżiejsze, lecz fkt, że błąd cłkowi kurczy się wrz z kwdrtem długości odcików które podzieliliśmy przedził [,b].

14 W logiczy sposób skostruowć moż złożoą metodę trpezów (vide obrzek). Jej ogóly wzór m postć I I ( ) T f [ f ( xk ) f ( xk )]( xk xk ) k0 W przypdku rówomierego podziłu przedziłu cłkowi otrzymujemy I ( ) ( ) ( ) T f f x0 f xk f ( x) h k

15 Formuł dl błędu cłkowi złożoą metodą trpezów m postć b E ( ) T f x dx IT f ( )( b ) h, [, b] Widzimy, że złożo metod trpezów dwć będzie wyik podobej jkości co złożo metod puktu środkowego. W szczególości, w obu metodch błąd cłkowi jest proporcjoly do h. Wrto wspomieć, że złożo metod trpezów jest szczególie użytecz do obliczi cłki z fukcji okresowej w przedzile o długości rówej okresowi tej fukcji. Wówczs bowiem błąd cłkowi zik z h w potędze rówiej rzędowi jwyższej periodyczej pochodej jką posid fukcj cłkow. W szczególości, jeśli fukcj cłkowl jest głdk (tj. klsy C ) to błąd zik z tempie szybszym iż jkkolwiek potęg h mówimy wówczs, że złożo metod trpezów osiąg spektrlą zbieżość.

16 N koiec zpozjmy się z ogólą formułą złożoej metody Simpso I ( f ) [ f ( x ) 4 f ( c ) f ( x )]( x x ), S 6 k k k k k k0 c ( x x ), k 0,,.., k k k W przypdku podziłu rówomierego, formuł t może być zpis w postci I ( f ) h f ( x ) f ( x ) 4 f ( x ) f ( x ), S 3 0 k k k k0 b x j jh, j 0,,..,, h Oszcowie błędu cłkowi dl złożoej metody Simpso z podziłem rówomierym podje stępujący wzór b IV 4 E ( ) S f x dx IS 80 f ( )( b ) h, [, b]

17 Widzimy, że błąd cłkowi mleje tym rzem proporcjolie ż do 4-ej potęgi długości odcik podziłu! Metod t dje brdzo dobrą dokłdość przy rozsądej liczie podziłów. Wrto rówież wspomieć, że iym sposobem uzyski brdzo dokłdych wrtości cłki dl fukcji o wysokim stopiu regulrości (tj. posidjących ciągłe pochode wysokiego rzędu) jest zstosowie rekurecyjego poprwii wyiku uzyskego metodą trpezów procedur t z jest pod zwą lgorytmu Romberg.

18 Cłkowie metodą Guss Omówimy terz ią, brdzo populrą metodę przybliżoego obliczi cłek zwą Metodą Guss-Legedre (MGL). Zczijmy od prostego spostrzeżei, że cłk w przedzile [,b] może być trsformow do cłki w stdrdowym przedzile [-,] drogą liiowej zmiy zmieych. Istotie x ( ) ( ), t b t dx ( b ) dt f ( x) dx ( ) ( ), b F t dt x t x b t b gdzie F( t) f [ ( t) b( t)] Zczijmy od przykłdu. Złóżmy, że chcemy skostruowć wzór przybliżoego obliczi cłki ozczoej z przedzile [,]. Wzór te m mieć formę F( t) dt w F( x ) w F( x ), x, x [, ]

19 Potrzebujemy wyzczyć pukty (węzły) tej kwdrtury x i x orz współczyiki wgowe w d w w tki sposób, by kwdrtur mił jwiększy możliwy rząd dokłdości. W tym celu przetestujemy powyższy wzór jedomich stopi 0,, itd., ż do uzyski wruków (rówń) z których d się wyzczyć ieze prmetry kwdrtury. Rchuki przebiegją stępująco: F() t dx w w F() t x xdx 0 w x w x F() t x x dx w x w x F() t x x dx 0 w x w x

20 Otrzymliśmy stępujący ieliiowy ukłd rówń dl iewidomych x, x, w i w : Rozwiązujemy. ( ) w w, ( b) w x w x ( c) w x w x, ( d) w x w x x x d x x x x w w w w 3 w x w x x x x x Otrzym formuł cłkowi m ztem postć F ( t ) dt 3 3 F ( 3 ) F ( 3 ) E ( F ) Zuwżmy, że otrzym formuł jest 3-ego rzędu, tj. jest ścisł dl dowolego wielomiu stopi 3! Moż rówież pokzć, że błąd cłkowi wyrż się wzorem IV E ( F) F ( ), [, ] 35

21 Mówiąc ogólie, metod Guss oprt jest podobie jk metody Newto-Cotes wykorzystiu proksymcji fukcji cłkowej wielomiem iterpolcyjym. Podstwow różic poleg tym, że w metodzie Guss wykorzystywe są specjlie dobre węzły. Ich dobór jest optymly w tym sesie, że metod osiąg jwyższy możliwy rząd. Sposób wybory węzłów w metodzie Guss jest ściśle związy z kocepcją wielomiów ortogolych. Rozwżmy stdrdowy przedził [-,] i iech Ω = Ω(x) będzie zdą fukcją dodtią i cłkowlą w tym przedzile. Mówimy, że zbiór wielomiów { p ( x) x x..., k 0,,,...} k k k k, k k, k k, 0 jest Ω-ortogoly w przedzile [-,] wtedy i tylko, gdy spełioe są wruki (ortogolości) p i( x ) p j( x ) ( x ) dx 0, i j Podjmy dw wże przykłdy rodzi wielomiów ortogolych

22 . Wielomiy Czebyszew Z wielomimi Czebyszew zetkęliśmy się już w Wykłdzie -szym. Wielomiy te zde są przez stępując formułę rekurecyją T ( x), T ( x) x, T ( x) xt ( x) T, j,,.. 0 j j j Wielomiy Czebyszew tworzą zbiór ortogoly, mją bowiem miejsce rówości, i j 0 T ( ) ( ) ( ) i x Tj x x dx, i j 0 0, i j gdzie fukcj wgow Ω d jest wzorem ( x) x. Dowód ortogolości poleg wykorzystiu związku wielomiów Czebyszew z fukcjmi trygoometryczymi ( T (cos x) cos jx) i wykorzystiu ortogolości j ( zwykłej to jest bez fukcji wgowej) tych osttich przedzile [, ].

23 . Wielomiy Legedre Wielomiy Legedre są zdefiiowe z pomocą stępującej reguły rekurecyjej j j L ( x), L ( x) x, L ( x) xl ( x) L ( x), j,,.. 0 j j j j j lub bezpośredio wzorem postci [ j / ] L ( ) k j j k j k j x j ( ) x, j 0,,,... k j k0 Wielomiy te są ortogole przedzile [-,] w zwykły sposób tj. przy jedostkowej fukcji wgowej Ω L ( x) L ( x) dx i j i 0, i j, i j Uwg: wszystkie miejsc zerowe wielomiów Czebyszew i Legedre są położoe w otwrtym przedzile (-,).

24 Objśimy kostrukcję ogólej metody Guss tj. przybliżoej metody obliczi cłek ozczoych z zdą fukcją wgową Ω przedzile [-,] Wzór przybliżoego cłkowi m postć I ( f ) F( x) ( x) dx I, ( F) jf( x j), x j [, ], j 0,,.., j0 przy czym współczyiki j, j 0,,.., oblicz się stępująco ( x x0 ) ( x x j)( x x j) ( x x) j l j( x) ( x) dx ( x) dx ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) j 0 j j j j j W powyższych cłkch l ( x), j 0,,.., to wielomiy iterpolcyjy Lgrge j (vide Wykłd r ) zdefiiowe dl ukłdu węzłów kwdrtury Guss.

25 Jk wyzczyć węzły kwdrtury Guss? Odpowiedź to ietrywile pytie wyik z wżego twierdzei (dowiedzioego przez Crl Jcobiego w roku 86): Rząd dokłdości kwdrtury iterpolcyjej wykorzystującej + węzłów (tj., wielomi iterpolcyjy -tego stopi) jest rówy + m wtedy i tylko wtedy, gdy wielomi spełi wruki 0 j j ( x) ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) x k ( x ) ( x ) dx 0, k 0,,.., m Kometrz: Sformułowe w twierdzeiu wruki ozczją de fcto, że wielomi ( x ) m być Ω-ortogoly do wszystkich wielomiów stopi ie wyższego iż m-.

26 Dowód: Złóżmy, że fukcj F jest wielomiem stopi + m. Możemy ztem pisć rówość Fx ( ) ( x) qm ( x) r ( x), gdzie r ( x ) jest resztą dzielei F przez. Poiewż stopień wielomiu r ( x ) ie przewyższ liczby, ztem zstosowi kwdrtury iterpolcyjej wykorzystującej + węzłów do przybliżoego scłkowi tego wielomiu dje wyik ścisły. Mmy ztem j0 r ( x ) r ( x) ( x) dx F( x) ( x) dx ( x) q ( x) ( x) dx j j m Dlej, tez twierdzei wyik z fktu, że drug cłk zik (ptrz Kometrz) i mją miejsce rówości F( x ) r ( x ), j 0,,..,. j j Wobec tego mmy rówość co kończy dowód. F( x) ( x) dx r ( x ) F( x ) j j j j j0 j0

27 Z powyższego twierdzei możemy wyciągąć dw kluczowe wioski:. Mksymly rząd dokłdości kwdrtury iterpolcyjej wykorzystującej + węzłów wyosi +. Wiosek te wyik z prostej obserwcji, że sformułowe w powyższym twierdzeiu wruki ortogolości ie mogą mieć miejsc dl m = +. Gdyby tk było, to wielomi υ + byłby Ω-ortogoly to wszystkich wielomiów stopi +, więc w szczególości do smego siebie! Implikowłoby to rówość postci ( x) ( x) dx 0 w kosekwecji fłszywy wiosek, że 0.

28 . Węzłmi kwdrtury iterpolcyjej dl cłek bez wgi ( ) o mksymlym rzędzie są miejsc zerowe wielomiu Legedre o stopiu rówym +. Istotie, dl kwdrtury o mksymlym rzędzie wruki ortogolości sformułowe w twierdzeiu Jcobiego są spełioe dl k 0,,..,. Ozcz to, że wielomi υ + jest ortogoly do wszystkich do wszystkich wielomiów stopi ie większego iż (ptrz poowie Kometrz). Jedyym tkim wielomiem jest włśie wielomi Legedre L +, ztem ( x) L ( x) x, j 0,,.., Otrzymą kwdrturę iterpolcyją zywmy kwdrturą Guss-Legedre. M o ostteczie postć F( x) dx I ( F) F( ) GL j j przy czym współczyiki j, j 0,,.., de są wzormi j0 j, j 0,,.., ( )[ L ( )] j j j j

29 Ze jest rówież stępujące oszcowie błędu tej metody [( )!] F x dx I F F x x ( 3)[( )!] 3 4 ( ) ( ) GL( ) ( ˆ), ˆ 3 (, ) Widzimy, że rząd dokłdości MGL jest rówy. Niestety, węzły tej kwdrtury (czyli miejsc zerowe wielomiu Legedre ) ie mogą być w ogólości zlezioe metodmi czysto lityczymi. Do ich wyzczei używ się odpowiedich metod przybliżoych (p. metody styczych, z którą zpozmy się w Wykłdzie 4-tym). W wielu podręczikch moż zleźć stbelryzowe wrtości prmetrów kwdrtury Guss (i szeregu iych jej pokrewych). Wreszcie, kwdrtur Guss-Legedre jest dostęp w formie gotowej w rozmitych bibliotekch umeryczych i pkietch progrmów mtemtyczych (p. MATLAB).

30 Jedą z pokrewych metod jest kwdrtur Guss-Czebyszew służąc do przybliżoego obliczi wrtości cłki z wgą Czebyszew ( x) ( x ). Jej włsości są w pełi logicze do kwdrtury Guss-Legedre. Różic poleg tym, że węzły kwdrtury Guss-Czebyszew to miejsc zerowe wielomiu Czebyszew, dl których istieją proste formuły litycze (ptrz Wykłd ).