Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Transkrypt

1 Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych: Ew Ziętek Nuczyciel V Liceum Ogólnoksztłcącego im Wspólnej Europy w Olsztynie Nuczyciel Technikum nr 6 w Zespole Szkół Elektronicznych i Telekomunikcyjnych w Olsztynie Iren Jkóbowsk Nuczyciel VI Liceum Ogólnoksztłcącego im G Nrutowicz w Olsztynie Wicedyrektor VI Liceum Ogólnoksztłcącego im G Nrutowicz w Olsztynie Elżbiet Guziejko Nuczyciel Liceum Ogólnoksztłcącego im Jn Kochnowskiego w Olecku Ew Olszewsk Nuczyciel Technikum w Zespole Szkół Hndlowo-Ekonomicznych im M Kopernik w Biłymstoku Dyrektor Liceum Ogólnoksztłcącego Wschodnioeuropejskiego Instytutu Gospodrki w Biłymstoku Andrzej Gołot Nuczyciel Technikum w Zespole Szkół Mechnicznych w Elblągu Konsultnt ds mtemtyki Wrmińsko-Mzurskiego Ośrodk Doskonleni Nuczycieli w Elblągu Jn Żukowski Nuczyciel I Liceum Ogólnoksztłcące im M Konopnickiej w Suwłkch Dordc metodyczny Centrum Doskonleni Nuczycieli i Ksztłceni Ustwicznego w Suwłkch

2 Odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni odpowiedź A A D C B B B C C C A B B Schemt punktowni zdń otwrtych Zdnie 4 ( pkt) Dw okręgi o środkch S i S są styczne zewnętrznie w punkcie A Poprowdzono prostą styczną do obu okręgów odpowiednio w punktch B i C (ptrz rysunek) Wykż, że kąt BAC jest prosty B C S S A I sposób rozwiązni B C S S A Odcinki SB i SC są równoległe, bo styczn do obu okręgów jest prostopdł do promieni poprowdzonych do punktów styczności, stąd BS A ASC 80 Mir kąt środkowego w okręgu jest dwukrotnie większ od miry kąt dopisnego oprtego n tym smym łuku, więc CBA BSA orz BCA CSA stąd wynik, że CBA BCA 90 Sum mir kątów wewnętrznych trójkąt jest równ 80, ztem BAC 90

3 Schemt ocenini I sposób rozwiązni Zdjący otrzymuje punkt zuwży, że odcinki SB i SC są równoległe orz wykorzyst twierdzenie, że mir kąt środkowego w okręgu jest dwukrotnie większ od miry kąt dopisnego oprtego n tym smym łuku Wystrczy, że zpisze np: BS A ASC 80 BS A orz BCA CSA i CBA Zdjący otrzymuje punkty przeprowdzi pełne rozumownie np: zpisze że, CBA BCA 90, więc BAC 90 II sposób rozwiązni B C A S S Trójkąty BS A i CSA są równormienne Ztem SBA S AB orz CAS ACS Odcinki SB i SC są prostopdłe do stycznej, stąd ABC 90, BCA 90 Niech BAC Kąty ABC, BCA i BAC są kątmi wewnętrznymi trójkąt BAC, więc , stąd Kąt SAS jest półpełny, więc SAS 80, stąd 80 czyli BAC 90

4 Schemt ocenini II sposób rozwiązni Zdjący otrzymuje punkt zuwży, że odcinki SB i SC są prostopdłe do stycznej, trójkąty BS A i CS A są równormienne i zpisze zleżność Zdjący otrzymuje punkty zpisze, że SAS 80 i obliczy mirę kąt BAC: BAC 90 III sposób rozwiązni B C A S S Trójkąty SAB i ASC są równormienne Ztem SAB SBA orz S AC ACS Kąty SAB, SBA, BSA są kątmi wewnętrznymi trójkąt SAB, więc BS A 80 Czworokąt SSCB jest trpezem więc ASC Sum mir kątów trójkąt ASC jest równ: ASC S AC ACS 80, stąd 80, więc 90 Kąt SAS jest półpełny więc BAC 80, ztem BAC 90 4

5 Schemt ocenini III sposób rozwiązni Zdjący otrzymuje punkt zuwży, że trójkąty SAB i ASC są równormienne, zpisze S AB SBA i S AC ACS i BS A 80 orz zuwży, że czworokąt SSCB jest trpezem więc ASC Zdjący otrzymuje punkty zpisze, że sum kątów trójkąt ASC jest równ: 80, więc 90 i kąt SAS jest półpełny więc, ztem BAC 90

6 Zdnie ( pkt) Trójkąt ABC jest prostokątny W trójkącie tym mir kąt BAC jest równ 90, AB, AC 4, BC Oblicz długości boków tego trójkąt Rozwiąznie C 4 A Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy równnie 4 Po przeksztłcenich otrzymujemy równnie i, 4 0 Wtedy 0 (sprzeczne z złożeniem) orz Obliczmy długości boków tego trójkąt: AB 0, AC, BC 9 B Schemt ocenini Zdjący otrzymuje punkt 4 : rozwiąże równnie dlej popełni błędy i n tym poprzestnie lub Zdjący otrzymuje punkty obliczy długości boków AB 0, AC, BC 9 Uwgi Jeżeli zdjący popełni błąd rchunkowy przy rozwiązywniu równni kwdrtowego i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy długości boków tego trójkąt, to z cłe rozwiąznie otrzymuje punkt Jeżeli zdjący błędnie zpisze równnie kwdrtowe, to z cłe zdnie otrzymuje 0 punktów 6

7 Zdnie 6 ( pkt) Zbdj, czy istnieje tki kąt ostry, dl którego uzsdnij 6 cos i tg Odpowiedź I sposób rozwiązni Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowdzmy oznczeni np: 6x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie x - długość przeciwprostokątnej c - długość przyprostokątnej leżącej nprzeciw kąt c x 6x Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy równnie: 6x c x Wtedy c x Z definicji funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: x tg 6x 6 Z treści zdni wynik, że tg Otrzymujemy sprzeczność, ztem nie istnieje tki kąt II sposób rozwiązni Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowdzmy oznczeni np: x - długość przyprostokątnej leżącej nprzeciw kąt x - długość przyprostokątnej leżącej przy kącie c - długość przeciwprostokątnej x c x

8 Z twierdzeni Pitgors otrzymujemy równnie: x x c Wtedy c x Z definicji funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy: x cos x x 6 Z treści zdni wynik, że cos x Otrzymliśmy sprzeczność, ztem nie istnieje tki kąt Schemt ocenini I i II sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje punkt Uwg zznczy kąt w trójkącie prostokątnym i wyznczy długości jego boków w zleżności od współczynnik proporcjonlności np: x, 6 x, x lub x, x, x i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Zdjący może przyjąć współczynnik proporcjonlności równy Zdjący otrzymuje punkty obliczy tg, porówn z wrtością podną w treści zdni i stwierdzi, że 6 tki kąt nie istnieje obliczy cos, porówn z wrtością podną w treści zdni i stwierdzi, że tki kąt nie istnieje 8

9 III sposób rozwiązni Korzystmy z tożsmości sin ( kąt ostry (sin 0 )) sin cos, otrzymujemy: 6 sin, stąd Korzystmy ze związku między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt sin 6 tg, otrzymujemy tg cos 6 6 Z treści zdni wynik, że tg Otrzymujemy sprzeczność, ztem nie istnieje tki kąt IV sposób rozwiązni Korzystmy ze związku między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt sin 6 tg, otrzymujemy sin cos Korzystmy z tożsmości sin cos, otrzymujemy: Otrzymujemy sprzeczność, ztem nie istnieje tki kąt Schemt ocenini III i IV sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje punkt obliczy wrtość sin korzystjąc ze związku sin cos i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy 6 obliczy wrtość sin korzystjąc ze związku poprzestnie lub dlej popełni błędy sin tg i n tym cos 9

10 Zdjący otrzymuje punkty obliczy tg (gdy sin ), porówn z wrtością podną w treści zdni 6 i stwierdzi, że tki kąt nie istnieje podstwi wrtość kąt nie istnieje 6 sin do związku sin cos i stwierdzi, że tki V sposób rozwiązni 6 Dl cos odczytujemy z tblic trygonometrycznych przybliżoną mirę kąt: 46 (kceptujemy 4) Dl tg odczytujemy z tblic trygonometrycznych przybliżoną mirę kąt: (kceptujemy 6) Otrzymne wyniki (różne miry kąt w tym smym trójkącie) pozwlją stwierdzić, że tki kąt nie istnieje Schemt ocenini V sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje punkt 6 odczyt z tblic przybliżoną wrtość kąt dl cos : 46 (kceptujemy 4) i n tym zkończy lub dlej popełni błędy odczyt z tblic przybliżoną wrtość kąt dl tg : (kceptujemy 6) i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje punkty 6 dl wyznczonej wrtości kąt (gdy cos ) odczyt z tblic wrtość tg, porówn ją z wrtością podną w treści zdni i stwierdzi, że tki kąt nie istnieje 0

11 dl wyznczonej wrtości kąt (gdy tg ) odczyt z tblic wrtość cos, porówn ją z wrtością podną w treści zdni i stwierdzi, że tki kąt nie istnieje Uwgi Wszystkie rozwiązni, w których zdjący błędnie zznczy kąt w przedstwionym przez siebie rysunku i z tego korzyst ocenimy n 0 punktów Jeśli zdjący nrysuje dw trójkąty prostokątne, oznczy długości boków odpowiednio:, 6, i,, (lub n jednym z nich zznczy długości boków obu trójkątów) bez współczynnik proporcjonlności i stwierdzi, że boki mją różną długość, ztem nie istnieje tki kąt, to otrzymuje 0 punktów W tkim przypdku wymgmy udowodnieni, że boki tkich trójkątów nie są proporcjonlne Jeśli zdjący nie odrzuci odpowiedzi ujemnej, to otrzymuje punkt

12 Zdnie ( pkt) Ciąg geometryczny n określony jest wzorem sumę czterech początkowych wyrzów tego ciągu n n Oblicz ilorz tego ciągu orz Rozwiąznie n Obliczmy ilorz ciągu : q n n n n n : Obliczmy pierwszy wyrz ciągu 8 Obliczmy sumę czterech początkowych wyrzów tego ciągu wykorzystując wzór n sumę n q n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego Sn : q S Uwg Zdjący może obliczyć sumę ciągu geometrycznego wykorzystując wzór: S 4 q q q 8 0 lub S4 4, gdzie Schemt ocenini 8, 4, 4 6, Zdjący otrzymuje punkt obliczy 8 popełni błędy i obliczy ilorz ciągu : q i n tym zkończy lub dlej obliczy 8, 4, 6, i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje punkty ilorz tego ciągu orz sumę czterech początkowych wyrzów tego ciągu Uwgi Jeżeli zdjący popełni błąd rchunkowy przy obliczniu pierwszego wyrzu lub ilorzu tego ciągu i konsekwentnie rozwiąże zdnie do końc, to z cłe rozwiąznie otrzymuje punkt Jeżeli zdjący popełni jeden błąd rchunkowy przy obliczniu czterech pierwszych wyrzów tego ciągu i konsekwentnie rozwiąże zdnie do końc, to z cłe rozwiąznie otrzymuje punkt n

13 Zdnie 8 (4 pkt) Dny jest trójkąt równoboczny ABC, w którym wysokości przecinją się w punkcie, A, o współrzędnych S Jeden z wierzchołków tego trójkąt m współrzędne Oblicz pole i obwód tego trójkąt I sposób rozwiązni Rysujemy trójkąt równoboczny ABC i wprowdzmy oznczeni np: C h S, D A, B Korzystmy z włsności trójkąt równobocznego i zpisujemy : AS AD, AD h Obliczmy AS ( ) ( ) 8, ztem stąd 6 ( 6) Obliczmy pole trójkąt: P Obliczmy obwód trójkąt: O Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest wprwdzie niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwiązni zdni punkt obliczenie długości odcink AS Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp punkty zuwżenie, że AS h i zpisnie równości obliczenie wysokości h

14 Pokonnie zsdniczych trudności zdni punkty obliczenie długości boku trójkąt równobocznego: 6 Rozwiąznie pełne 4 punkty Obliczenie pol i obwodu trójkąt równobocznego: P 6, O II sposób rozwiązni C h S, D 0 A, F B Obliczmy długość odcink AS 4 4 Z trójkąt AFS obliczmy długość boku AF: cos0 Obliczmy długość boku trójkąt: AF 6 ( 6) Obliczmy pole trójkąt: P Obliczmy obwód trójkąt: O AF AS, stąd AF 6 Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest wprwdzie niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwiązni zdni punkt obliczenie długości odcink AS Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp punkty AF zuwżenie, że trójkąt SAF 0 i zpisnie cos0 AS Pokonnie zsdniczych trudności zdni punkty obliczenie długości boku trójkąt równobocznego: AF 6 4

15 Rozwiąznie pełne 4 punkty Obliczenie pol i obwodu trójkąt równobocznego: P 6, O III sposób rozwiązni C 0 h S, 60 A, B Punkt S jest środkiem okręgu opisnego n trójkącie równobocznym Punkt A nleży do tego okręgu r, stąd Korzystmy z równni okręgu i otrzymujemy: r Obliczmy długość boku trójkąt: r AS h, ztem 6 ( 6) Obliczmy pole trójkąt: P Obliczmy obwód trójkąt: O r 8, ztem Uwg Zdjący może obliczyć wysokość trójkąt równobocznego h, nstępnie obliczyć długość boku trójkąt z twierdzeni Pitgors lub z włsności trójkąt prostokątnego o kątch ostrych 0 i 60 Schemt ocenini III sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest wprwdzie niewielki, le konieczny n drodze do cłkowitego rozwiązni zdni punkt Uwg obliczenie długości promieni okręgu opisnego n trójkącie równobocznym: r Zdjący może przedstwić wynik w postci r 8

16 Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp punkty Zuwżenie, że r h i zpisnie równości Pokonnie zsdniczych trudności zdni punkty Obliczenie długości boku trójkąt równobocznego: 6 Rozwiąznie pełne 4 punkty Obliczenie pol i obwodu trójkąt równobocznego: P 6, O Uwgi Jeśli zdjący popełni błąd rchunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie, to przyznjemy punkty Jeśli zdjący przyjmie, że S jest środkiem wysokości trójkąt równobocznego AS h, to z cłe rozwiąznie przyznjemy punkt (z obliczenie AS ) 6

17 Zdnie 9 ( pkt) Dwie prostokątne dziłki rekrecyjne mją tką smą powierzchnię równą 0m Długość drugiej dziłki jest o 4,8 m krótsz od długości pierwszej, szerokość o m dłuższ od szerokości pierwszej Podj wymiry dziłki o mniejszym obwodzie Rozwiąznie Przyjmujemy oznczeni np: x, y - wymiry I dziłki: x - długość, y szerokość Zpisujemy ukłd równń: x y 0 x 4,8 y 0 Przeksztłcmy drugie równnie w sposób równowżny: x y x 4,8y 4, 4 0, podstwimy do tego równni x y 0 i wyznczmy z tego równni niewidomą x: x, 6y 4,8 Wyznczoną wrtość x podstwimy do pierwszego równni,6 y 4,8 y 0 i doprowdzmy to równnie do postci:, 6y 4,8y 0 0, które m dw rozwiązni y, (nie spełni wrunków zdni) i y, Ztem, jeżeli y,, to x 4,8 i wtedy dziłk I m wymiry: 4,8 m x, m, zś dziłk II: 0 m x, m Obliczmy obwód I dziłki: 4,8, 4, 6 m Obliczmy obwód II dziłki: 0, m Zpisujemy odpowiedź: Dziłk o mniejszym obwodzie m wymiry: 0 m x, m Przyjmujemy oznczeni np: x, y - wymiry II dziłki: x - długość, y szerokość Zpisujemy ukłd równń: x y 0 x 4,8 y 0 Przeksztłcmy drugie równnie w sposób równowżny: x y x 4,8y 4, 4 0, podstwimy do tego równni x y 0 i wyznczmy z tego równni niewidomą x: x, 6y 4,8 Wyznczoną wrtość x podstwimy do pierwszego równni, 6y 4,8 y 0 i doprowdzmy to równnie do postci:, 6y 4,8y 0 0, które m dw rozwiązni y, i y,(nie spełni wrunków zdni) Ztem, jeżeli y,, to x 0 i wtedy dziłk II m wymiry: 0 m x, m, zś dziłk II: 4,8 m x, m Obliczmy obwód II dziłki: 0, m Obliczmy obwód I dziłki: 4,8, 4, 6 m Zpisujemy odpowiedź: Dziłk o mniejszym obwodzie m wymiry: 0 m x, m

18 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni pkt Uwg wprowdzenie oznczeń, np: x, y - wymiry I dziłki i zpisnie równni x y 4,8 0 wprowdzenie oznczeń, np: x, y - wymiry II dziłki i zpisnie równni x y 4,8 0 Nie wymgmy opisni oznczeń literowych, jeżeli z rozwiązni możn wywnioskowć, że zdjący poprwnie je stosuje Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp pkt Zpisnie ukłdu równń z niewidomymi x i y, np: Uwg x y 0, gdzie x, y - wymiry I dziłki x 4,8 y 0 x y 0, gdzie x, y - wymiry II dziłki x 4,8 y 0 Zdjący nie musi zpisywć ukłdu równń, może od rzu zpisć równnie z jedną niewidomą Pokonnie zsdniczych trudności zdni pkt Zpisnie równni z jedną niewidomą x lub y, np:, 6y 4,8y 0 0 x, gdzie y szerokość I dziłki 4,8x 496 0, gdzie x, - długość I dziłki, 6y 4,8y 0 0, gdzie y - szerokość II dziłki 8

19 x 4,8x 496 0, gdzie x, - długość II dziłki Rozwiąznie prwie cłkowite 4 pkt rozwiąznie równni kwdrtowego z niewidomą y: y, i obliczenie długości I dziłki: x 4,8 rozwiąznie równni kwdrtowego z niewidomą x: x 4,8 i obliczenie szerokości I dziłki: y, rozwiąznie równni kwdrtowego z niewidomą y: y, i obliczenie długości II dziłki: x 0 rozwiąznie równni kwdrtowego z niewidomą x: x 0 i obliczenie szerokości II dziłki: y, Rozwiąznie zdni do końc lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błędy rchunkowe) 4 pkt Rozwiąznie równni z niewidomą x lub y z błędem rchunkowym i konsekwentne rozwiąznie zdni do końc Rozwiąznie pełne pkt Podnie wymirów dziłki o mniejszym obwodzie: 0 m x, m Uwgi Jeżeli zdjący podje (bez obliczeń) odpowiedź: wymiry dziłki o mniejszym obwodzie, to: 0 m x, m, otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdjący od rzu zpisze i uzsdni, że obwód drugiej dziłki jest mniejszy i n tym poprzestnie, otrzymuje punkt np: O x y i O x y 4,8 x y,8, ztem O O 9