Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Transkrypt

1 Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz i j -tej kolumny. Inne oznczeni: det to skrót od słow determinns (łc.)-wyznczjący, ogrniczjący. Przykłd: Dl n= Dl n= obowiązuje reguł Srrus (i tylko dl n=)!!!!! Dl n> według definicji 8.

2 ) ( ) ( 8 Def.9.

3 Niech = będzie mcierzą kwdrtową stopni n. Dopełnieniem lgebricznym elementu ij mcierzy nzywmy liczbę: gdzie ij ozncz mcierz stopni n- otrzymną z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz i j- tej kolumny. Przykłd: Dl mcierzy obliczmy: D = D = Tw. (rozwinięcie Lplce ) Niech = będzie mcierzą kwdrtową stopni n orz niech liczby nturlne i orz j, gdzie i n, j n, będą ustlone. Wtedy wyzncznik mcierzy możn obliczyć wg wzorów: ) det= i D i + i D i + + in D in (rozwinięcie według i-tego wiersz) ) det= j D j + j D j + + nj D nj (rozwinięcie według j- tej kolumny)

4 Przykłd: (rozwinięcie według. kolumny) ( ) ( ) 8 ( ) 9 Fkt. Wyzncznik mcierzy trójkątnej dolnej lub górnej jest równy iloczynowi elementów stojących n jego głównej przekątnej tzn. n n n nn n n n nn nn Fkt. (Włsności wyznczników). Wyzncznik mcierzy kwdrtowej o wierszu (kolumnie) złożonym z smych zer jest równy.

5 Np.. Wyzncznik mcierzy zmieni znk n przeciwny, jeśli przestwimy miedzy sobą dw wiersze lub dwie kolumny. Np. przestwiono kolumny. i.. Wyzncznik mcierzy o jednkowych wierszch (kolumnch) równy jest. Np.. Jeśli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersz) mją wspólny czynnik to możn go wyłączyć przed wyzncznik. Np. w. wierszu możn wyłączyć 8

6 . Wyzncznik mcierzy nie zmieni się jeśli do elementów dowolnej kolumny (wiersz) dodmy odpowidjące im elementy innej kolumny (wiersz) pomnożone przez dowolną liczbę. Np.? w w w w. det = det T Powyższe włsności służą optymlizcji obliczeń wyznczników. Przykłd. Zwróćmy uwgę n. wiersz: 8 k k k k Tw. (Cuchy ego) Niech i B są mcierzmi kwdrtowymi tego smego stopni. Wówczs

7 det ( B)=det det B Ukłdy równń liniowych. Def.. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych x, x, x,, x n, gdzie m, n N nzywmy ukłd równń postci: x x n xn b x x n xn b mx m x mn xn b m gdzie ij R, b i R, i m, j n. Rozwiązniem ukłdu równń liniowych nzywmy ciąg (x, x, x,, x n ) liczb rzeczywistych spełnijących ukłd. Ukłd równń, który nie m rozwiązni nzywmy sprzecznym. Zpis mcierzowy:

8 X B m n mn X x x n B b b m Def.. Ukłd równń liniowych postci X=, gdzie jest mcierzą zerową mx, nzywmy ukłdem jednorodnym. Ukłd równń liniowych postci X=B, gdzie B nie jest mcierzą zerową, nzywmy ukłdem niejednorodnym. Def.. (ukłd Crmer) Ukłdem Crmer nzywmy ukłd równń liniowych X =B, w którym jest mcierzą kwdrtową nieosobliwą(det) Tw.. (wzory Crmer) Ukłd Crmer X =B m dokłdnie jedno rozwiąznie. Rozwiąznie to jest określone wzorem:

9 X det det det det n gdzie n ozncz stopień mcierzy, ntomist j, j n, ozncz mcierz, w której j-tą kolumnę zstąpiono kolumną wyrzów wolnych B. Inny zpis:. x det det, x, xn det det det det n Przykłd:

10 8 det 8 8 x B z y x z y x z y x

11 8 y z Elementy geometrii nlitycznej w przestrzeni. Wektory. W przestrzeni tworzymy ukłd prwoskrętny trzech osi Ox, Oy, Oz wzjemnie prostopdłych. N kżdej osi tworzymy tzn. wektory jednostkowe, o kierunku i zwrocie zgodnym z osimi:.

12 Kżdy wektor w przestrzeni możn rozłożyć n sumę wektorów leżących n osich: Liczby określone są jednozncznie i nzywmy je współrzędnymi wektor Wektor możn zpisć. Symbolem oznczmy punkt tki, że, gdzie O jest początkiem ukłdu współrzędnych. Włsność. Włsność. Gdy P=, to Tw.. Prwdziwe są wzory:....

13 . Przykłd: Znleźć,, gdy =(-) + (-)+ (-)=--8-=- = Włsność. Dl wektorów prwdziwe są zleżności: Przykłd Obliczyć pole trójkąt o wierzchołkch =(,,-), B=(,,), C=(-,,- ).

14 Rozwiąznie: C B Pole trójkąt: Przykłd Obliczyć objętość czworościnu o wierzchołkch: =(,,), B=(-,,), C=(,,), D=(,-,). Rozwiąznie:

15 D C B = V= Przykłd Obliczyć objętość równoległościnu zbudownego n wektorch: Rozwiąznie:

16 D C B Objętość tej bryły: Obliczmy iloczyn mieszny (jk w poprzednim przykłdzie) i otrzymujemy V=.