2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a"

Szczepan Leśniak
8 lat temu
Przeglądów:

1 Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy rytmetyczym jeŝeli dl kŝdego N r + jest stł Ciąg rytmetyczy trdycyjie defiiuje przez podie pierwszego wyrzu i róŝicy r Dl przykłdu gdy orz r to otrzymujemy kolejych liczb turlych Dl ów rytmetyczych mmy dw podstwowe wzory + ( ) r + S + + orzystjąc z tych wzorów moŝemy zleźć dl u podego wyŝej + ( ) r S Defiicj 3 ilorz q Ciąg liczbowy { } zywmy geometryczym jeŝeli dl kŝdego N + jest stły Ciąg geometryczy trdycyjie defiiuje się przez podie pierwszego wyrzu i ilorzu q Dl przykłdu gdy orz q to otrzymujemy Dl ów geometryczych mmy wzory q q S q q S q orzystjąc z tych wzorów mmy dl u podego wyŝej q S + +

rytmetyczych mmy dw podstwowe wzory + ( ) r + S + + orzystjąc z tych wzorów moŝemy zleźć dl u podego wyŝej + ( ) r + 99 + S + + + + 55 Defiicj 3 ilorz q Ciąg liczbowy { } zywmy geometryczym jeŝeli dl

2 Zstosowi - oprocetowie proste Niech - kwot początkow (kpitł wyjściowy fudusz zdepoowy) p - rocz stop procetow - kwot końcow (kwot po ltch kpitł końcowy) Wtedy mmy ( + p) co ozcz Ŝe ( + p + p ) ( + p) + Mmy ztem tutj rytmetyczy o róŝicy p itd r p - oprocetowie skłde (złoŝoe) Przy powyŝszych ozczeich mmy ( ) + p co ozcz Ŝe ( + p + p ) ( + p) + p + p itd Mmy ztem tutj geometryczy o ilorzie q + p Obliczie przy dym WyrŜei zywmy dyskotowiem Mmy wtedy wzory + p ( + p) d + p ( + p) zywmy czyikmi dyskotującymi (są oe stblicowe) róŝicę D - dyskotem d Defiicj 4 Defiicj 5 Ciąg { } jest ogriczoy z dołu jeŝeli m Ciąg { } jest ogriczoy z góry jeŝeli m R M R N N M Defiicj 6 Ciąg { } jest ogriczoy jeŝeli m R M R N m M

Mmy ztem tutj geometryczy o ilorzie q + p Obliczie przy dym WyrŜei zywmy dyskotowiem Mmy wtedy wzory + p ( + p) d + p ( + p) zywmy czyikmi dyskotującymi (są oe stblicowe) róŝicę

3 Twierdzeie Przykłdy Ciąg { } jest ogriczoy wtedy i tylko wtedy gdy R + N N jest ogriczoy z dołu ( m ) i ieogriczoy z góry N jest ogriczoy z góry ( M ) i ieogriczoy z dołu ( ) N jest ogriczoy ( m M ) lub ( ) Defiicj Defiicj 8 Defiicj 9 Ciąg { } jest rosący jeŝeli N Ciąg { } jest mlejący jeŝeli N Ciąg { } jest iemlejący jeŝeli N < + > + + Defiicj Ciąg { } jest ierosący jeŝeli N + Defiicj Ciąg { } jest stły jeŝeli N + Przykłdy czyli jest rosący gdyŝ ( + ) ( + ) + + dl N > + > ( ) ( ) + ( ) + jest mlejący gdyŝ ( ) ie jest i rosący i mlejący gdyŝ < > 3 < czyli + < dl N orz

mlejący jeŝeli N Ciąg { } jest iemlejący jeŝeli N < + > + + Defiicj Ciąg { } jest ierosący jeŝeli N + Defiicj Ciąg { } jest stły jeŝeli N +

4 Defiicj jeŝeli Uwg Nierówość wyik Ŝe jeŝeli Liczbę zywmy gricą u { } ε > { } N N > co zpisujemy lim lub < ε < ε jest rówowŝ ierówości ε < < + ε z której to prwie wszystkie wyrzy tego u (o umerch wyŝszych od ) leŝą dostteczie blisko (w psku od liczbą dodtią) ε do + ε gdzie ε jest dowolie młą Z defiicji łtwo uzsdić Ŝe lim orz lim c c gdzie c R Twierdzeie JeŜeli lim i lim b to ( + b ) + b lim ( b ) b lim 3 ( b ) b 4 lim b lim o ile b orz b dl N b b Przykłdy lim 3 lim lim lim 3 3 Twierdzeie 3 Zchodzą stępujące relcje k lim ( ) ( lim ) k gdzie k N p p lim lim gdzie N \ { } p

$dl N b b Przykłdy 3 3 3 lim 3 lim + 5 + 5 lim lim 3 3 Twierdzeie 3 Zchodzą stępujące relcje k lim ( ) ( lim ) k gdzie k N p p lim lim gdzie N \ { }$

5 Przykłdy lim + lim lim lim 5 3 Twierdzeie 3 (o trzech ch) c spełiją wruki: to JeŜeli i { } { b } { } b c dl kŝdego lim lim c g gdzie g R lim g b gdzie N N { } Przykłd orzystjąc z twierdzei o trzech ch obliczyć gricę lim Mmy skąd dl N PoiewŜ lim 3 orz lim ztem podstwie twierdzei o trzech ch lim Twierdzeie 4 JeŜeli { } lim b to lim ( b ) jest ogriczoy Przykłd Obliczyć ( ) lim Przyjmując ) Alogiczie dl ( mmy b mmy lim b dl N Ztem ( ) lim czyli { } jest ogriczoy

+ 3 dl N 3 + 5 + 3 PoiewŜ lim 3 orz lim ztem podstwie twierdzei o trzech ch lim 3 + 5 + Twierdzeie 4 JeŜeli { } lim b to lim (

6 Defiicj 3 jest rozbieŝy do + co zpisujemy lim + jeŝeli Ciąg { } M > N > > M Defiicj 4 jest rozbieŝy do co zpisujemy lim jeŝeli Ciąg { } M > N > < M Przykłdy lim + lim ( 3 log ) Twierdzeie 5 JeŜeli lim ± to lim Twierdzeie 6 JeŜeli lim to lim + gdy < gdy > N N Twierdzeie Przykłdy lim + e gdzie e stł Euler k k lim + e gdzie R lim lim + lim + + k e lim + e lim + e e

Twierdzeie 5 JeŜeli lim ± to lim Twierdzeie 6 JeŜeli lim to lim + gdy < gdy > N N Twierdzeie

Podobne dokumenty

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach. WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,