Obrazowo, zbiór jest ograniczony, gdy wszystkie jego elementy s połoone midzy dwoma punktami osi liczbowej.

Transkrypt

1 ZBIORY I FUNKCJE LICZBOWE ZBIORY LICZB { 3 } { ± ± } N ziór licz turlch Z ziór licz cłkowitch p Q : p Z q N ziór licz wmierch q R ziór licz rzeczwistch ZBIORY OGRANICZONE De ziór ogriczo z dołu Ziór A R jest ogriczo z dołu jeeli m R A m Licz m zwm ogriczeiem z dołu zioru A Orzowo ziór jest ogriczo z dołu gd wszstkie jego elemet le prwo od pewego puktu osi liczowej De ziór ogriczo z gór Ziór A R jest ogriczo z gór jeeli M R A M Licz M zwm ogriczeiem z gór zioru A Orzowo ziór jest ogriczo z gór gd wszstkie jego elemet le lewo od pewego puktu osi liczowej De 3 ziór ogriczo Ziór A R jest ogriczo wted i tlko wted gd jest ogriczo z dołu i z gór tz m M m M R A Uwg W deiicji mo tk dor stłe m i M < M - m Wted M A Orzowo ziór jest ogriczo gd wszstkie jego elemet s połooe midz dwom puktmi osi liczowej 3 KRESY ZBIORÓW De 3 elemet jmiejsz zioru Licz jest jmiejszm elemetem zioru A R co zpisujem mi A wted i tlko wted gd A orz Orzowo elemetem jmiejszm zioru zwm elemet tego zioru lec jrdziej w lewo osi liczowej A De 3 elemet jwiksz zioru Licz jest jwikszm elemetem zioru A R co zpisujem m A wted i tlko wted gd A orz Orzowo elemetem jmiejszm zioru zwm elemet tego zioru lec jrdziej w prwo osi liczowej De 33 kres dol zioru Niech ziór A R dzie iepust i ogriczo z dołu Licz jest kresem dolm tego zioru co zpisujem i A wted i tlko wted gd orz < ε A A ε > A

2 Orzowo kres dol zioru jest jwiksz licz ogriczjc te ziór z dołu Jeeli ziór A jest ieogriczo z dołu to przjmujem de i A De 34 kres gór zioru Niech ziór B R dzie iepust i ogriczo z gór Licz jest kresem górm tego zioru co zpisujem sup B wted i tlko wted gd orz > B ε ε > B Orzowo kres gór zioru jest jmiejsz licz ogriczjc te ziór z gór Jeeli ziór B jest ieogriczo z gór to przjmujem de sup B Uwg Njmiejsz elemet zioru jest jedoczeie kresem dolm tego zioru Alogiczie jwiksz elemet zioru jest jego kresem górm Fkt 35 ksjomt cigłoci Kd iepust ziór ogriczo z dołu m kres dol Kd iepust ziór ogriczo z gór m kres gór 4 FUNKCJE PODSTAWOWE OKRELENIA De 4 ukcj Niech zior X Y R d iepuste Fukcj okrelo ziorze X o wrtocich w ziorze Y zwm przporzdkowie kdemu elemetowi X dokłdie jedego elemetu Y Fukcj tk ozczm przez : X Y Wrto ukcji w pukcie ozczm przez De 4 dziedzi przeciwdziedzi ziór wrtoci ukcji Niech : X Y Wted ziór X zwm dziedzi ukcji i ozczm przez D ziór Y zwm jej przeciwdziedzi Podto ziór Y : { } zwm ziorem wrtoci ukcji i ozczm przez W Jeeli d jest tlko wzór okreljc ukcj to ziór elemetów z R dl którch wzór te m ses liczow zwm dziedzi turl ukcji De 43 wkres ukcji Wkresem ukcji : X Y zwm ziór D { R : X } Uwg Podziór płszczz O jest wkresem pewej ukcji zmieej gd kd prost pioow przeci go co jwej w jedm pukcie De 44 ukcj Fukcj odwzorowuje ziór X ziór Y co otujem : X Y wted i tlko wted gd W Y tz Fukcj Y X : X Y jest gd rzut prostokt jej wkresu o O pokrw si ze ziorem Y 5 FUNKCJE OKRESOWE PARZYSTE I NIEPARZYSTE De 5 ukcj okresow Fukcj : X R jest okresow jeeli T > X ± T X orz T Licz T zwm okresem ukcji Jeeli istieje jmiejsz okres ukcji to zwm go okresem podstwowm Orzowo ukcj jest okresow gd jej wkres po przesuiciu o wektor v T ło si sieie

3 De 5 ukcj przst Fukcj : X R jest przst jeeli X X orz Orzowo ukcj jest przst gd o O jest osi smetrii jej wkresu De 53 ukcj ieprzst Fukcj : X R jest ieprzst jeeli X X orz Orzowo ukcj jest ieprzst gd pocztek ukłdu współrzdch jest rodkiem smetrii jej wkresu 6 FUNKCJE OGRANICZONE De 6 ukcj ogriczo z dołu Fukcj jest ogriczo z dołu ziorze A D jeeli ziór jej wrtoci tm ziorze jest ogriczo z dołu tz m m R A Orzowo ukcj jest ogriczo z dołu gd jej wkres le d pew prost poziom rs 6 Rs 6 Ilustrcj wkresu ukcji ogriczoej z dołu ziorze De 6 ukcj ogriczo z gór Fukcj jest ogriczo z gór ziorze A D jeeli ziór jej wrtoci tm ziorze jest ogriczo z gór tz M m R A Orzowo ukcj jest ogriczo z dołu gd jej wkres le pod pew prost poziom rs 6 Rs 6 Ilustrcj wkresu ukcji ogriczoej z gór ziorze De 63 ukcj ogriczo Fukcj jest ogriczo ziorze A D jeeli jest ogriczo z dołu i z gór tm ziorze tz m M m M R A Uwg W deiicji mo tk dor stłe m i M <M-m Wted M Orzowo ukcj jest ogriczo gd jej wkres jest połoo midz dwiem prostmi poziommi A 7 FUNKCJE MONOTONICZNE De 7 ukcj rosc Fukcj jest rosc ziorze A D jeeli A [ < < ] l Orzowo ukcj jest rosc gd poruszjc si w prwo po jej wkresie wzosim si do gór De 7 ukcj mlejc Fukcj jest mlejc ziorze A D jeeli

4 A [ < > ] l Orzowo ukcj jest mlejc gd poruszjc si w prwo po jej wkresie opdm dół De 73 ukcj iemlejc Fukcj jest iemlejc ziorze A D jeeli A [ < ] l Orzowo ukcj jest iemlejc gd poruszjc si w prwo po jej wkresie wzosim si lu pozostjem tm smm poziomie De 74 ukcj ierosc Fukcj jest mlejc ziorze A D jeeli A [ < ] l Orzowo ukcj jest ierosc gd poruszjc si w prwo po jej wkresie opdm lu pozostjem tm smm poziomie De 75 ukcj mootoicz Fukcj jest mootoicz ziorze A D jeeli jest rosc lu mlejc lu ierosc lu te iemlejc tm ziorze 8 ZŁOENIA FUNKCJI De 8 ukcj złoo Niech zior X Y Z W R d iepuste prz czm Y Z orz iech zwm ukcj g : X W okrelo wzorem: de g g dl X : X Y g : Z W Złoeiem ukcji g i Uwg Alogiczie okrel si złoeie wikszej licz ukcji Skłdie ukcji ie jest przemiee 9 FUNKCJE ODWROTNE De 9 ukcj róowrtociow Fukcj jest róowrtociow ziorze A D jeeli: A [ ] l Orzowo ukcj jest róowrtociow ziorze A gd kd prost poziom przeci rgmet wkresu lec d lu pod ziorem A co jwej w jedm pukcie Uwg Prz sprwdziu róowrtociowoci ukcji wgodie jest korzst z deiicji rówowej A [ ] l Fkt 9 wruek wstrczjc róowrtociowoci ukcji Jeeli ukcj jest rosc lo mlejc ziorze to jest róowrtociow tm ziorze Uwg Implikcj odwrot ie jest prwdziw De 93 ukcj odwrot Niech ukcj : X Y dzie róowrtociow dziedziie Fukcj odwrot do ukcji zwm ukcj : Y X okrelo przez wruek: de gdzie X Y Wkres ukcji - otrzmujem z wkresu ukcji odijjc go smetrczie wzgldem prostej orz zmieijc midz so jedoczeie zw osi Fukcj odwrot do ukcji roscej jest ukcj rosc Fukcj odwrot do ukcji mlejcej jest ukcj mlejc Fkt 94 o skłdiu ukcji prostej i odwrotej Niech ukcj : X Y dzie róowrtociow Wted

5 X orz Y FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE De rkus sius π π Fukcj rcsi zwm ukcj odwrot do ukcji si okreloej przedzile Dziedzi ukcji rcsi jest przedził [-] De rkus cosius Fukcj rccos zwm ukcj odwrot do ukcji cos okreloej przedzile [π] Dziedzi ukcji rccos jest przedził [-] De 3 rkus tges π π Fukcj rctg zwm ukcj odwrot do ukcji tg okreloej przedzile Dziedzi ukcji rctg jest R De 4 rkus kotges Fukcj rcctg zwm ukcj odwrot do ukcji ctg okreloej przedzile π Dziedzi ukcji rcctg jest R Rs rcsi Rs rccos Rs 3 rctg Rs 4 rcctg Fkt 5 tosmoci z ukcjmi cklometrczmi rcsi rccos π dl kdego [-] rctg rcctg π dl kdego R FUNKCJE ELEMENTARNE De ukcje elemetre Podstwowmi ukcjmi elemetrmi zwm ukcje: stłe potgowe wkłdicze logrtmicze trgoometrcze orz cklometrcze Fukcje które mo otrzm z podstwowch ukcji elemetrch z pomoc skoczoej licz dził rtmetczch orz opercji złoei ukcji zwm ukcjmi elemetrmi De wrto ezwzgld Wrtoci ezwzgld modułem zwm ukcj Uwg Moduł jest ukcj elemetr gd : R R okrelo wzorem: dl dl < dl kdego R De 3 wielomi Wielomiem zwm ukcj W : R R okrelo wzorem W gdzie N {} i R dl i orz Licz zwm stopiem wielomiu W i ozczm przez st W Przjmujem dodtkowo e W jest wielomiem stopi -

6 De 4 ukcj wmier Fukcj któr mo zpis w postci ilorzu dwóch wielomiów zwm ukcj wmier De 5 ukcje hiperolicze Fukcj sius hiperolicz sh okrelm wzorem: de e e sh R Fukcj kosius hiperolicz ch okrelm wzorem: de e e ch R Fukcj tges hiperolicz th okrelm wzorem: sh th de R ch Fukcj kotges hiperolicz cth okrelm wzorem: ch cth de R \ {} sh Uwg W powszej deiicji e ozcz licz rzeczwist rów w przlieiu 7888 Rs sh Rs ch Rs 3 th Rs 4 cthg Fkt 6 wiejsze tosmoci z ukcjmi hiperoliczmi ch sh dl kdego R sh sh ch dl kdego R ch sh ch dl kdego R NIEKTÓRE FUNKCJE NIEELEMENTARNE De ukcj cz cłkowit Fukcj cz cłkowit zwm ukcj [ ] : R R okrelo wzorem: [ ] k dl k < k gdzie k Z Cz cłkowit licz jest jwiksz licz cłkowit ie wiksz i de Rs Wkres ukcji cz cłkowit De ukcj sigum Fukcj sigum zwm ukcj sg : { } R okrelo wzorem:

7 sg dl < de dl dl > Rs Wkres ukcji sigum De 3 ukcj Dirichlet Fukcj Dirichlet zwm ukcj : R { } D okrelo wzorem: dl Q D de dl Q Rs 3 Wkres ukcji Dirichlet CIGI LICZBOWE PODSTAWOWE OKRELENIA De cig liczow Cigiem liczowm zwm ukcj okrelo ziorze licz turlch i przjmujc wrtoci ze zioru licz rzeczwistch Wrto tej ukcji dl licz turlej zwm -tm wrzem cigu i ozczm przez itp Cigi o tkich wrzch ozczm odpowiedio przez itp Ziór wrzów cigu tj ziór { : N} ozczm króko przez { } Orzowo cig mo trktow jko ziór poumerowch licz rzeczwistch które s ustwioe według roscch umerów Cigi dziem przedstwili płszczie jko ziór puktów o współrzdch N De cig ogriczo z dołu Cig jest ogriczo z dołu jeeli ziór { } jest ogriczo z dołu tz m m R N Orzowo cig jest ogriczo z dołu gd wszstkie jego wrz le d pew prost poziom De 3 cig ogriczo z gór Cig jest ogriczo z gór jeeli ziór { } jest ogriczo z gór tz M M R N Orzowo cig jest ogriczo z gór gd wszstkie jego wrz le pod pew prost poziom De 4 cig ogriczo Cig jest ogriczo jeeli ziór { } jest ogriczo tz m m M R N Uwg W deiicji mo dor stłe m i M < M - m Wted M N M Orzowo cig jest ogriczo gd wszstkie jego wrz le midz dwiem prostmi poziommi De 5 cig rosc Cig jest rosc jeeli < 3 < < < < tz > Orzowo cig jest rosc gd jego wrz powikszj si ze wzrostem ideksów N

8 De 6 cig iemlejc Cig jest iemlejc jeeli 3 tz N Orzowo cig jest iemlejc gd ze wzrostem ideksów wrz cigu powikszj si lu pozostj ez zmi Uwg Alogiczie mo zdeiiow cig mlejc i ierosc Cigi rosce mlejce ierosce i iemlejce zwm cigmi mootoiczmi Deiicje cigów mootoiczch s szczególmi przpdkmi deiicji ukcji mootoiczch Wprowdz si tke pojcie cigów mootoiczch od pewego miejsc N GRANICE CIGÓW De gric włciw cigu Cig jest zie do gric włciwej co zpisujem wted i tlko wted gd [ > < ε ] ε > N N Orzowo cig jest zie do gric gd dostteczie dlekie wrz tego cigu le dowolie lisko puktu Zmist rówoci mo pis mo rówie pis krótko lu Tw o jedozczoci gric cigu Kd cig zie m dokłdie jed gric De 3 grice iewłciwe cigu Cig jest zie do gric iewłciwej co zpisujem wted i tlko wted gd [ > > E ] E > N N Orzowo cig jest zie do gd dostteczie dlekie wrz tego cigu s wiksze od dowolie duej licz Zmist rówoci mo pis mo rówie pis krótko lu Cig jest zie do gric iewłciwej - co zpisujem wted i tlko wted gd [ > < E ] E< N N Orzowo cig jest zie do - gd jego dostteczie dlekie wrz s miejsze od dowolie młej licz Zmist rówoci mo pis mo rówie pis krótko lu Uwg Cigi które ie mj gric włciwej i iewłciwej zwm cigmi roziemi Przkłdmi tkich cigów s: si π W iektórch podrczikch cigi ziee do lu - zw si cigmi roziemi lu - Fkt 4 o iezleoci gric od pocztkowch wrzów cigu Gric cigu zieego do gric włciwej lu iewłciwej ie zle od wrtoci skoczeie wielu wrzów tego cigu Fkt 5 grice cigu geometrczego q ie istieje dl q < dl q dl q > dl q De 6 podcig Niech dzie dowolm cigiem orz iech k dzie roscm cigiem licz turlch Podcigiem cigu zwm cig okrelo wzorem

9 de N k Orzowo mówic podcigiem zwm cig powstł przez skreleie pewej moe ieskoczoej licz wrzów wjciowego cigu Tw 7 o gric podcigu cigu zieego Kd podcig cigu zieego do gric włciwej lu iewłciwej jest zie do tej smej gric 3 WŁASNOCI CIGÓW ZBIENYCH Tw 3 o ogriczooci cigu zieego Jeeli cig jest zie do gric włciwej to jest ogriczo Uwg Implikcj odwrot w powszm twierdzeiu ie jest prwdziw Ilustruje to cig któr jest ogriczo le ie jest zie Fkt 3 o rówowoci gric Tw 33 o gric sum cigów Tw 34 o gric iloczu cigów Tw 35 o gric ilorzu cigów dl kdego N 3 Uwg Wszstkie grice wstpujce w trzech poprzedich twierdzeich s włciwe Fkt 36 rtmetk gric cigów c c gdzie c R p 3 gdzie p Z 4 k k gdzie k N p Wzor te s uproszczomi ormmi zpisu odpowiedich twierdze Zkłdm prz tm e wszstkie wrei wstpujce we wzorch mj ses Tw 37 o trzech cigch c dl kdego c 3 Tw 38 o cigu mootoiczm i ogriczom Jeeli

10 cig jest iemlejc dl cig jest ogriczo z gór sup to jest zie do gric włciwej { } Uwg Prwdziwe jest tke logicze twierdzeie dl cigu ieroscego i ogriczoego z dołu Tw 39 okreleie licz e Cig e jest rosc i ogriczo z gór ztem jest zie Gric tego cigu ozczm przez e: Licz e jest w przlieiu rów de e Uwg Logrtm prz podstwie e z licz zwm logrtmem turlm i ozczm przez l ; l de Ntomist ukcj wkłdicz prz podstwie e zwm ekspoes i ozczm przez ep; ep e Pode iej dw kt czsto wkorzstujem do zjdowi gric cigów potgowch de log e Fkt 3 o cigch z gric e > dl kdego N e > dl kdego N e Uwg Pierwsz kt jest prwdziw tke wted gd cig jest zie do gric iewłciwej - drugi gd cig m wrz ujeme 4 TWIERDZENIA O GRANICACH NIEWŁACIWYCH Tw 4 o dwóch cigch dl kdego Tw 4 telk dził z smolem dl < dl < dl < < dl < dl < dl < dl < dl < Podoie wgld telk dził z smolem - Opuszczoe w teli wrei: Nzwm wreimi ieozczomi Ich wrto zle od postci cigów tworzcch de wreie 5 GRANICE DOLNA I GÓRNA CIGÓW Tw 5 Weierstrss dl cigów Jeeli cig jest ogriczo to istieje podcig tego cigu zie do gric włciwej De 5 pukt skupiei cigu Licz jest puktem skupiei cigu jeeli istieje podcig tego cigu zie do gric

11 De 53 grice dol i gór cigu Niech cig dzie ogriczo orz iech S ozcz ziór puktów skupiei tego cigu Gric dol cigu okrelm wzorem Podoie okrelm gric gór cigu i i S de sup sup S de Uwg Jeeli cig jest ogriczo z dołu orz ziór jego puktów skupiei jest pust to przjmujem i W przpdku cigu ieogriczoego z dołu przjmujem de i Podoie jeeli cig jest ogriczo z gór orz ziór jego puktów skupiei jest pust to przjmujem de sup W przpdku cigu ieogriczoego z gór przjmujem de sup Do ozczei gric dolej i górej cigu stosowe s tke smole i lu krótko i de GRANICE FUNKCJI PODSTAWOWE OKRELENIA De Heiego gric włciwej ukcji w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < z wjtkiem moe puktu Licz g jest gric włciw ukcji w pukcie co zpisujem g wted i tlko wted gd { } dl kdego N g Rs Ilustrcj deiicji Heiego gric włciwej ukcji w pukcie Orzowo ukcj m w pukcie gric włciw g gd jej wrtoci odpowidjce rgumetom dcm do puktu i róm od tego puktu d do licz g rs Uwg Wrto ukcji w pukcie o ile istieje ie m wpłwu jej gric w tm pukcie Deiicj gric ukcji mo pod tke ez wikszch zmi dl ukcji okreloch sumie przedziłów otwrtch w puktch wewtrzch przedziłów domkitch itp Zmist rówoci g mo stosow tke zpis g lo te g gd Fkt o ieistieiu gric ukcji w pukcie

12 Jeeli ' orz ' g' " orz " g" 3 g' g" to gric ie istieje włciw i iewłciw Uwg Powsz kt jest prwdziw tke wted gd g ± lu g ± De 3 Cuch ego gric włciwej ukcji w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < z wjtkiem moe puktu Licz g jest gric włciw ukcji w pukcie co zpisujem g wted i tlko wted gd ε > δ > < δ g < ε Rs Ilustrcj deiicji Cuch ego gric włciwej ukcji w pukcie Orzowo ukcj m w pukcie gric włciw g gd jej wrtoci rói si dowolie mło od gric o ile jej tlko rgumet le dostteczie lisko puktu rs De 4 Heiego gric lewostroej włciwej ukcji w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < z wjtkiem moe puktu ] Licz g jest gric włciw lewostro ukcji w pukcie co zpisujem g wted i tlko wted gd { } < dl kdego N g Rs 3 Ilustrcj deiicji Heiego gric lewostroej włciwej ukcji w pukcie Orzowo licz g jest gric lewostro ukcji w pukcie gd jej wrtoci odpowidjce rgumetom dcm do puktu przez wrtoci miejsze od d do licz g rs 3 Zmist rówoci g stosow jest tke zpis g lu g

13 Uwg Podoie jk w poprzedich deiicjch wrto ukcji w pukcie o ile istieje ie m wpłwu gric lewostro ukcji w pukcie Gric prwostro ukcji w pukcie deiiuje si logiczie Ozczm j smolem g g lu g De 5 Cuch ego gric lewostroej włciwej ukcji w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < z wjtkiem moe puktu ] Licz g jest gric lewostro włciw ukcji w pukcie co zpisujem g wted i tlko wted gd ε > δ > [ < < δ g < ε ] Rs 4 Ilustrcj deiicji Cucg ego gric lewostroej włciwej ukcji w pukcie Orzowo licz g jest gric lewostro ukcji gd d do puktu jeeli jej wrtoci rói si od gric dowolie mło o ile rgumet le dostteczie lisko po lewej stroie puktu rs 4 Deiicj Cuch ego gric prwostroej ukcji w pukcie jest logicz De 6 Heiego gric iewłciwej ukcji w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < z wjtkiem moe puktu Fukcj m gric iewłciw w pukcie co zpisujem wted i tlko wted gd { } dl kdego N Rs 5 Ilustrcj deiicji Heiego gric iewłciwej ukcji w pukcie Orzowo ukcj m gric iewłciw gd d jeeli jej wrtoci odpowidjce rgumetom dcm do puktu i róm od d do rs5 Zmist rówoci mo stosow tke zpis lu te gd Uwg Podoie jk poprzedio wrto ukcji w pukcie o ile istieje ie m wpłwu gric iewłciw ukcji w tm pukcie Deiicj Heiego gric iewłciwej ukcji w pukcie jest logicz do deiicji podej wej De 7 Cuch ego gric iewłciwej ukcji w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < z wjtkiem moe puktu Fukcj m gric iewłciw w pukcie co zpisujem

14 wted i tlko wted gd < E > δ > δ > E Rs 6 Ilustrcj deiicji Cuch ego gric iewłciwej ukcji w pukcie Orzowo ukcj m gric iewłciw gd d do jeeli jej wrtoci s dowolie due o ile tlko rgumet le dostteczie lisko puktu i s od iego róe rs6 Uwg Deiicj Cuch ego gric iewłciwej ukcji w pukcie jest logicz do deiicji podej wej Uwg Wprowdz si pojci gric jedostroch iewłciwch ukcji w pukcie Deiicje Heiego i Cuch ego tkich gric s logicze do odpowiedich deiicji gric jedostroch włciwch Do ozczei tch gric stosuje si zpis: Tw 8 wruek koiecz i wstrczjc istiei gric Fukcj m w pukcie gric włciw lu iewłciw wted i tlko wted gd Wspól wrto gric jedostroch jest gric ukcji De 9 Heiego gric włciwej ukcji w iesko czooci Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Licz g jest gric włciw ukcji w co zpisujem g wted i tlko wted gd { } [ g ] Rs 7 Ilustrcj deiicji Heiego gric włciwej ukcji w ieskoczooci Orzowo ukcj m w gric włciw g jeeli jej wrtoci odpowidjce rgumetom dcm do d do gric g rs 7 Zmist rówoci g stosow jest tke zpis g ; g gd lo te g Uwg Deiicj Heiego gric włciwej ukcji w jest podo do poprzediej deiicji Fkt o ieistieiu gric ukcji w iesko czooci Jeeli ' orz ' g'

15 " orz " g" 3 g' g" to gric ie istieje włciw i iewłciw Uwg Powsz kt jest prwdziw tke wted gd g ± lu g ± De Cuch ego gric włciwej w iesko czooci Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Licz g jest gric włciw ukcji w co zpisujem g wted i tlko wted gd ε > R [ > g < ε ] Rs 8 Ilustrcj deiicji Cuch ego gric włciwej ukcji w ieskoczooci Orzowo ukcj m gric włciw w jeeli jej wrtoci rói si od gric dowolie mło o ile tlko rgumet s dostteczie due rs 8 Uwg Deiicj Cuch ego gric włciwej w jest podo do podej wej deiicji De Heiego gric iewłciwej ukcji w iesko czooci Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Fukcj m w gric iewłciw co zpisujem wted i tlko wted gd { } [ ] Rs 9 Ilustrcj deiicji Heiego gric iewłciwej ukcji w ieskoczooci Orzowo ukcj m gric iewłciw gd d do jeeli jej wrtoci odpowidjce rgumetom dcm do d rs 9 Zmist rówoci stosow jest tke zpis ; gd lo te De 3 Cuch ego gric iewłciwej ukcji w iesko czooci Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Fukcj m w gric iewłciw co zpisujem wted i tlko wted gd

16 E > R [ > > E ] Rs Ilustrcj deiicji Cuch ego gric iewłciwej ukcji w ieskoczooci Orzowo ukcj w m gric iewłciw jeeli jej wrtoci s dowolie due o ile tlko rgumet s dostteczie due rs Tw 4 o rówowoci deiicji gric ukcji Odpowidjce soie deiicje Heiego i Cuch ego gric ukcji s rówowe ASYMPTOTY FUNKCJI De smptot pioow lewostro ukcji Prost jest smptot pioow lewostro ukcji jeeli lo Uwg Alogiczie deiiuje si smptot pioow prwostro rs Prost któr jest jedoczeie smptot lewostro i prwostro ukcji zwm smptot pioow oustro lu krótko smptot pioow tej ukcji rs3 Fukcj elemetr moe mie smptot pioowe jedie w skoczoch krcch swej dziedzi Rs Asmptot pioow lewostro Rs Asmptot pioow prwostro Rs 3 Przkłd smptot pioowch oustroch De smptot uko ukcji

17 Prost A B jest smptot uko ukcji w wted i tlko wted gd A B [ ] Rs 4 Asmptot uko Rs 5 Asmptot poziom Orzowo prost jest smptot uko ukcji w gd jej wkres dl rgumetów lecch lisko prktczie pokrw si z t prost rs 4 Uwg Alogiczie deiiuje si smptot uko ukcji w Współcziki smptot ozczm wted smolmi A i B Jeeli współczik A ± w rówiu smptot jest rów to smptot uko zwm poziom rs 5 Wrto podkreli e smptot uko moe przeci wkres ukcji wet ieskoczeie wiele rz Tw 3 wruek istiei smptot ukoej Prost A B jest smptot uko ukcji w wted i tlko wted gd A orz B A Uwg Prwdziwe jest tke logicze twierdzeie o smptotch ukoch ukcji w Fkt 4 wruek istiei smptot poziomch Prost B jest smptot poziom ukcji w wted i tlko wted gd B Uwg Podoie wgld wruek istiei smptot poziomej w 3 TWIERDZENIA O GRANICACH FUNKCJI Tw 3 o gric sum i róic ukcji p ± g g q Tw 3 o gric iloczu ukcji p g g q ± g p ± q g p q Tw 33 o gric ilorzu ukcji p g q g g Tw 34 o gric potg ukcji p q

18 q g g p q p q g p dl > > 4 3 Przjmujem prz tm e q dl q < Uwg Powsze twierdzei o rtmetce gric s prwdziwe tke dl gric jedostroch ukcji w pukcie orz w lu Twierdzei te s podto prwdziwe dl gric iewłciwch w pukcie lu w ieskoczooci W tkich przpdkch stosujem reguł dził z smolmi i pode w tw 4 Tw 35 o gric ukcji złooej q g q g dl 3 4 METODY ZNAJDOWANIA GRANIC FUNKCJI Tw 4 o trzech ukcjch p g p h p kdego dl h g 3 Uwg Powsze twierdzeie jest tke prwdziwe dl gric jedostroch orz gric w ieskoczooci Fkt 4 zmi gric u u ± ± u u 5 GRANICE PODSTAWOWYCH WYRAE NIEOZNACZONYCH Tw 5 o dwóch ukcjch g kdego dl g Uwg Twierdzeie o dwóch ukcjch jest prwdziwe tke dl gric jedostroch orz dl gric w ieskoczooci Podto prwdziwe s logicze twierdzei dl gric iewłciwej ukcji rówej Fkt 5 grice podstwowch wre ieozczoch si tg l > e log log < e l

19 e R e ± ± e R rc si r ctg 3 FUNKCJE CIGŁE 3 CIGŁO FUNKCJI De 3 ukcj cigł w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj jest cigł w pukcie wted i tlko wted gd Orzowo ukcj jest cigł w pukcie gd jej wkres ie przerw si w tm pukcie De 3 Heiego ukcji cigłej w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj jest cigł w pukcie wted i tlko wted gd { } [ ] Rs 3 Ilustrcj deiicji Heiego ukcji cigłej w pukcie De 33 Cuch ego ukcji cigłej w pukcie Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj jest cigł w pukcie wted i tlko wted gd < δ < ε ε > δ > [ ] Rs 3 Ilustrcj deiicji Heiego ukcji cigłej w pukcie Fukcj jest cigł w pukcie gd młe zmi rgumetu wzgldem puktu powoduj młe zmi wrtoci ukcji wzgldem wrtoci Tw 34 o rówowoci deiicji cigłoci ukcji Deiicje Heiego i Cuch ego cigłoci ukcji w pukcie s rówowe De 35 ukcj lewostroie cigł w pukcie

20 Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj jest lewostroie cigł w pukcie wted i tlko wted gd Uwg Podoie wgld deiicj cigłoci lewostroej ukcji : ] R gdzie - < w pukcie ] Alogiczie deiiuje si ukcj prwostroie cigł w pukcie Tw 36 wruek koiecz i wstrczjc cigłoci Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj jest cigł w pukcie wted i tlko wted gd jest lewostroie i prwostroie cigł w tm pukcie De 37 ukcj cigł przedzile Fukcj jest cigł przedzile jeeli jest cigł w kdm pukcie tego przedziłu Uwg Cigło ukcji przedzile [] ozcz jej cigło w kdm pukcie przedziłu otwrtego orz prwostro cigło w pukcie i lewostro cigło w pukcie Alogiczie mo zdeiiow cigło ukcji sumie przedziłów lu rdziej skomplikowch podziorch prostej 3 NIECIGŁOCI De 3 iecigłoci pierwszego rodzju Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj m w pukcie iecigło pierwszego rodzju jeeli istiej grice skoczoe orz lu Uwg Mówim e ukcj m w pukcie iecigło pierwszego rodzju tpu skok jeeli spełi wruek Ntomist jeeli ukcj spełi wruek to mówim e m o w pukcie iecigło pierwszego rodzju tpu luk Rs 3 Fukcj m w pukcie iecigło pierwszego rodzju tpu skok Rs 3 Fukcj m w pukcie iecigło pierwszego rodzju tpu luk De 3 iecigło drugiego rodzju Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj m w pukcie iecigło drugiego rodzju jeeli przjmiej jed z gric ie istieje lu jest iewłciw

21 Rs 33 Fukcj m w pukcie oie grice jedostroe iewłciwe Rs 34 Gric lewostro ukcji w pukcie ie istieje Uwg Niecigło ukcji mo d jedie w puktch lecch do jej dziedzi Rozw si tke iecigłoci jedostroe ukcji 33 DZIAŁANIA NA FUNKCJACH CIGŁYCH Tw 33 o cigłoci sum róic iloczu i ilorzu ukcji Jeeli ukcje i g s cigłe w pukcie to: ukcje g g s cigłe w pukcie ; ukcj g jest cigł w pukcie ; c ukcj g jest cigł w pukcie o ile g Uwg Powsze twierdzeie jest prwdziwe tke dl ukcji cigłch jedostroie Tw 33 o cigłoci ukcji złooej Jeeli ukcj jest cigł w pukcie ukcj g jest cigł w pukcie to ukcj złoo g jest cigł w pukcie Uwg Jeeli ukcj jest cigł jedostroie ukcj g jest cigł to ukcj złoo g jest cigł jedostroie Tw 333 o cigłoci ukcji odwrotej Jeeli ukcj jest cigł i rosc przedzile [] to ukcj odwrot - jest cigł i rosc przedzile [] Uwg Prwdziwe jest tke logicze twierdzeie dl ukcji mlejcej Tw 334 o cigłoci ukcji elemetrch Fukcje elemetre s cigłe w swoich dziedzich Tw 335 o mootoiczoci ukcji cigłej i róowrtociowej Niech ukcj dzie cigł przedzile [] Wówczs ukcj jest róowrtociow przedzile [] wted i tlko wted gd jest mlejc lo rosc tm przedzile 34 TWIERDZENIA O FUNKCJACH CIGŁYCH Tw 34 Weierstrss o ogriczooci ukcji cigłej Jeeli ukcj jest cigł przedzile [] to jest tm przedzile ogriczo Uwg Złoeie domkitoci przedziłu jest istote o p ukcj ctg jest cigł przedzile π le ie jest im ogriczo Tke złoeie ogriczooci przedziłu jest istote gd p ukcj jest cigł przedzile [ le ie jest im ogriczo Podoie złoeie cigłoci ukcji jest istote o p ukcj dl Q dl Q ie jest ogriczo przedzile domkitm [-] Tw 34 Weierstrss o osigiu kresów Jeeli ukcj jest cigł przedzile [] to c i orz d sup c [ ] [ ] d [ ] [ ]

22 Uwg Złoeie domkitoci przedziłu [] jest istote o p ukcj ie osig swoich kresów przedzile Tw 343 Drou o przjmowiu wrtoci poredich Jeeli ukcj jest cigł przedzile [] < to w c c w Orzowo kd prost w gdzie < w < lu < w < przeci wkres ukcji co jmiej rz Uwg Jeeli w powszm twierdzeiu zło dodtkowo e ukcj jest rosc to pukt c okrelo dzie jedozczie Alogicze twierdzeie jest tke prwdziwe dl przpdku > Tw 344 Drou o miejscch zerowch ukcji Jeeli ukcj jest cigł przedzile [] < to c c Uwg Jeeli ukcj w powszm twierdzeiu jest dodtkowo mlejc lo rosc to pukt c dzie okrelo jedozczie Twierdzeie to m zstosowie prz wzcziu miejsc zerowch skomplikowch ukcji z dowol dokłdoci 4 POCHODNE FUNKCJI 4 PODSTAWOWE POJCIA De4 ilorz róicow Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Ilorzem róicowm ukcji w pukcie odpowidjcm przrostowi zmieej iezleej zwm licz de Rs 4 Ilustrcj deiicji ilorzu róicowego Fkt 4 iterpretcj geometrcz ilorzu róicowego Ilorz róicow jest tgesem kt chlei sieczej przechodzcej przez pukt wkresu ukcji do dodtiej czci osi O; tg α De 43 pochod włciw ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Pochod włciw ukcji w pukcie zwm gric skoczo de

23 Uwg Jeeli istieje pochod włciw ukcji w pukcie to mówim e ukcj jest róiczkowl w tm pukcie d Do ozczei pochodej ukcji w pukcie stosowe s tke smole D d Fkt 44 pochode wiejszch ukcji elemetrch Fukcj Pochod Zkres zmieoci c c R N R p p p p { } α α α α R > si cos R cos si R Fukcj Pochod Zkres zmieoci tg π tg kπ cos gdzie k Z ctg kπ gdzie k Z ctg si l < R e e R sh ch R ch sh R th R cth rc si rccos rctg rcctg log l ch sh < < R R < R l > Uwg Do oliczi pochodch ukcji postci g e g l g orz g log stosujem wzor: l g log g l De 45 stcz do wkresu ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Prost jest stcz do wkresu ukcji w pukcie jeeli jest griczm połoeiem sieczch ukcji przechodzcch przez pukt gd Geometrczie stcz jest prost któr w poliu puktu stczoci jlepiej przli wkres ukcji Nie jest prwd e kd prost któr m dokłdie jede pukt wspól z wkresem ukcji jest stcz do tego wkresu moe p przeci wkres

24 Fkt 46 iterpretcj geometrcz pochodej Niech α ozcz kt midz stcz do wkresu ukcji w pukcie i dodti czci osi O rs 4 Wted tgα Rówie stczej do wkresu ukcji w pukcie m post: Rs 4 Iterpretcj geometrcz pochodej De 47 kt przecici wkresów ukcji Niech wkres ukcji i g mj pukt wspól prz czm oie ukcje mj pochode włciwe w pukcie Ktem przecici wkresów ukcji i g zwm kt ostr ϕ midz stczmi wstwiomi do wkresów tch ukcji w pukcie przecici Rs 43 Kt przecici wkresów ukcji Fkt 48 o mierze kt midz wkresmi ukcji Mir kt ostrego przecici wkresów ukcji i g w pukcie wr si wzorem g ϕ rc tg g Jeeli g to przjmujem π ϕ Tw 49 wruek koiecz róiczkowloci ukcji Jeeli ukcj jest róiczkowl w pukcie to jest cigł w tm pukcie Uwg Implikcj odwrot ie jest prwdziw Np ukcj jest cigł w pukcie le pochod ie istieje 4 POCHODNE JEDNOSTRONNE FUNKCJI De 4 pochode jedostroe ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Pochod lewostro włciw ukcji w pukcie zwm gric włciw de Alogiczie deiiuje si pochod prwostro włciw ukcji w pukcie Pochod t ozczm Uwg Jeeli ukcj m w pukcie pochod lewostro prwostro włciw to jest w tm pukcie cigł lewostroie prwostroie Fkt 4 iterpretcj geometrcz pochodch jedostroch Niech α i β ozczj odpowiedio kt chlei prwej i lewej stczej wkresu ukcji do dodtiej czci osi O Wted

25 tgα tg β Tw 43 wruek koiecz i dosttecz istiei pochodej Pochod istieje wted i tlko wted gd Jeeli pochode jedostroe ukcji s rówe to ich wspól wrto jest pochod ukcji De 44 róiczkowlo ukcji przedzile Fukcj jest róiczkowl przedzile wted i tlko wted gd jest róiczkowl w kdm pukcie tego przedziłu Fukcj okrelo przedzile której wrtoci w puktch tego przedziłu s rówe zwm pochod ukcji przedzile i ozczm przez Uwg Róiczkowlo ukcji przedzile domkitm [] ozcz jej róiczkowlo w kdm pukcie przedziłu otwrtego orz istieie pochodej lewostroej włciwej w pukcie i prwostroej włciwej w pukcie De 45 pochod iewłciw ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech dzie cigł w pukcie Fukcj m w pukcie pochod iewłciw wted i tlko wted gd lo Uwg W podo sposó deiiuje si pochode iewłciwe jedostroe Pochode te ozcz si tm smm smolem co pochode jedostroe włciwe 43 TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI Tw 43 o pochodej sum róic iloczu i ilorzu ukcji Jeeli ukcje i g s róiczkowle w pukcie to ukcj ± g jest róiczkowl w pukcie orz ± g ± g ukcj g jest róiczkowl w pukcie orz g g g c prz złoeiu e g ukcj g jest róiczkowl w pukcie orz g g g g Uwg Powsze wzor s prwdziwe tke dl pochodch jedostroch orz dl pochodch iewłciwch stosujem wted reguł dził z ieskoczooci Podto logicze wzor do podch w puktch i s prwdziwe rówie dl dowolej licz odpowiedio skłdików i czików Tw 43 o pochodej ukcji złooej Jeeli ukcj jest róiczkowl w pukcie ukcj g jest róiczkowl w pukcie to ukcj złoo g jest róiczkowl w pukcie orz g g Uwg Prwdziw jest tke logicz wzór dl dowolej licz skłdch ukcji orz dl pochodch jedostroch ukcji złooej Tw 433 o pochodej ukcji odwrotej Niech ukcj dzie cigł przedzile ukcj dzie mlejc lo rosc przedzile 3 Wted ukcj odwrot jest róiczkowl w pukcie orz

26 Uwg Wzór te jest prwdziw tke dl pochodch jedostroch włciwch i iewłciwch Fkt 434 pochod ukcji elemetrej Pochode ukcji elemetrch s ukcjmi elemetrmi 44 RÓNICZKA FUNKCJI De 44 róiczk ukcji Niech ukcj m pochod włciw w pukcie Róiczk ukcji w pukcie zwm ukcj d zmieej okrelo wzorem d de Fkt 44 zstosowie róiczki do oliczi przrostu ukcji Niech ukcj dzie róiczkowl w pukcie Wted Fkt 443 zstosowie róiczki do szcowi łdów pomirów Niech wielkoci izcze i d zwize zleoci Podto iech ozcz łd ezwzgld pomiru wielkoci Wted łd ezwzgld oliczej wielkoci wr si wzorem przliom gdzie jest wikiem pomiru wielkoci Tw 444 o wielkoci łdu w rchukch przlioch Jeeli ukcj jest róiczkowl w pukcie to d Orzowo łd jki popełim zstpujc przrost ukcji jej róiczk d d szciej do zer i 45 POCHODNE WYSZYCH RZDÓW De 45 pochod -tego rzdu ukcji Pochod -tego rzdu ukcji w pukcie deiiujem idukcjie: de [ ] dl gdzie Podto przjmujem de de Jeeli istieje pochod włciw to mówim e ukcj jest -krotie róiczkowl w pukcie Fukcj okrelo przedzile której wrtoci w puktch tego przedziłu s rówe zwm pochod -tego rzdu ukcji tm przedzile i ozczm przez izce stosuje si ozczei zmist odpowiedio Piszem tke iv zmist odpowiedio 3 4 Uwg Dl istiei -tej pochodej ukcji w pukcie koiecze jest istieie pochodej i co z tm idzie tke wszstkich poprzedich pochodch pewm otoczeiu puktu Do ozczi pochodej -tego rzdu ukcji w d pukcie stosuje si tke smole D d do ozczei tej przedzile smole D d d Tw 45 wzór Leiiz Niech ukcje i g mj pochode włciwe -tego rzdu w pukcie Wted k k g g k k Fkt 453 pochode wszch rzdów wiejszch ukcji W

27 Fukcj -t pochod Zkres zmieoci e e R si π R si cos π R cos m m! m m R m!! l! > De 454 pochod ukcji wektorowej de Niech r t t t gdzie t αβ dzie ukcj wektorow Pochod ukcji r w pukcie t okrelm wzorem: de r t t t de Podoie okrelm pochod ukcji wektorowej r t t t z t tke pochode wszch rzdów tkich ukcji Fkt 455 iterpretcj izcz pochodej ukcji wektorowej Niech r t ozcz wektor wodzc puktu mterilego w chwili t [t t ] Wektor prdkoci tego puktu wr si wzorem v t r t gdzie t [t t ] Wektor przspieszei tego puktu wr si wzorem t v t r t gdzie t [t t ] Uwg W kdej chwili t [t t ] wektor prdkoci v t jest stcz do trjektorii puktu dl duchu ze stł prdkoci v t cost wektor przspieszei t jest prostopdł do tej trjektorii Rs 45 Wektor prdkoci i wektor przspieszei puktu mterilego 5 TWIERDZENIA O FUNKCJACH RÓNICZKOWALNYCH 5 TWIERDZENIA O WARTOCI REDNIEJ Tw 5 Rolle ukcj jest cigł [] ukcj m pochod 3 c c Fkt 5 iterpretcj geometrcz twierdzei Rolle N wkresie ukcji cigłej przedzile domkitm róiczkowlej wtrzu tego przedziłu i przjmujcej jedkowe wrtoci jego kocch istieje pukt w którm stcz jest poziom rs 5

28 Rs 5 Ilustrcj twierdzei Rolle Tw 53 Lgrge ukcj jest cigł [] c ukcj m pochod c Fkt 54 iterpretcj geometrcz twierdzei Lgrge N wkresie ukcji cigłej przedzile domkitm i róiczkowlej wtrzu tego przedziłu istieje pukt w którm stcz do wkresu jest rówoległ do sieczej łczcej koce wkresu rs 5 Rs 5 Ilustrcj twierdzei Lgrge Tw 55 wruki wstrczjce mootoiczoci ukcji Niech I R ozcz dowol przedził Wted ukcj jest stł I I I I I I > ukcj jest rosc I ukcj jest iemlejc I < ukcj jest mlejc I ukcj jest ierosc I Uwg Jeeli dl kdego I prz czm rówo zchodzi jedie dl skoczoej licz puktów z przedziłu I to ukcj jest rosc I Podoie jest dl ukcji mlejcej Tw 56 o pochodej ukcji mootoiczej ukcj jest rosc I R ukcj m pochod przedzile I dl kdego I Uwg Prwdziwe s tke logicze twierdzei dl pozostłch rodzjów ukcji mootoiczch Tw 57 o tosmocich Niech ukcje i g d okreloe przedzile I R orz iech I Wted g g I g dl kzdego I Tw 58 o ierówocich Niech ukcje i g d okreloe przedzile I R orz iech I Wted

29 g g dl kzdego > g dl kzdego > Uwg Jeeli jed z ierówoci w złoeich powszego twierdzei jest ostr to ierówo w tezie tke jest ostr Alogicze twierdzeie prwdziwe jest tke dl < Tw 59 Cuch ego ukcje i g s cigłe [] ukcje i g mj pochode 3 g dl kdego c g c g g c Fkt 5 iterpretcj geometrcz twierdzei Cuch ego Niech r g gdzie [] dzie przedstwieiem prmetrczm krzwej Γ płszczie Wted istieje pukt P Γ w którm stcz jest rówoległ do sieczej łczcej koce A B tej krzwej 5 TWIERDZENIA O GRANICACH NIEOZNACZONYCH Tw 5 reguł de L Hospitl dl ieozczooci Niech ukcje d okreloe dl kdego g g g 3 istieje gric włciw lu iewłciw g Wted g g Uwg Powsze twierdzeie jest prwdziwe tke dl gric jedostroch w pukcie orz w lu w Fkt 5 iterpretcj reguł de L Hospitl dl ieozczooci Niech r g gdzie dzie przedstwieiem prmetrczm krzwej płskiej Γ wchodzcej z pocztku ukłdu współrzdch Wted kieruek gricz sieczch przechodzcch przez pocztek ukłdu i przez pukt r krzwej Γ gd pokrw si z griczm kierukiem stczch do tej krzwej w puktch r gd Tw 53 reguł de L Hospitl dl ieozczooci Niech 4 ukcje d okreloe dl kdego g g 5 g 6 istieje gric włciw lu iewłciw g Wted g g Uwg Powsze twierdzeie jest prwdziwe tke dl gric jedostroch w pukcie orz w lu w Fkt 54 tosmoci zmieijce rodzje ieozczooci

30 Nieozczoo Stosow tosmo Otrzm ieozczoo g lu g g g g g g l e Uwg Ze wzgldu skomplikowie olicze tosmo pod dl ieozczooci gd zwiod ie sposo jej usuwi stosujem dopiero wted 53 ROZWINICIA TAYLORA FUNKCJI De 53 wielomi Tlor i Mcluri Niech ukcj m w pukcie pochod włciw k-tego rzdu k N {} Wielomi de k P k k!! k! zwm wielomiem Tlor rzdu k Fukcji w pukcie Jeeli to wielomi P k zwm wielomiem Mcluri Uwg Wielomi P k jest jedm wielomiem stopi k któr spełi wruki: k k P k P k Pk Tw 53 wzór Tlor z reszt Lgrge Jeeli ukcj m cigł pochod rzdu przedzile [ ] istieje włciw pochod przedzile to c P c! Uwg Twierdzeie powsze jest prwdziwe tke dl przedziłu [ ] wted c Rówo wstpujc w tezie twierdzei zwm wzorem Tlor Wreie de c R! zwm -t reszt Lgrge Reszt t mo tke zpis w postci Θ R! gdzie < Θ < orz Dl wzór Tlor przjmuje post c!!!! gdzie c dl > lu c dl < Rówo t zwm wzorem Mcluri Fkt 533 wzor Mcluri dl iektórch ukcji elemetrch Fukcj e! Wzór Mcluri!! e! c

31 si cos l 3 3!! 5 5! 4 4! !! cos c! cos c! c Uwg W powszej teli pukt poredi c le do przedziłu gd > lo do przedziłu gd < Tw 534 uzsdieie ierówoci z pomoc wzoru Tlor Niech ukcj spełi złoei twierdzei Tlor orz iech R t dl kdego t Wted t P t dl kdego t [ ] 6 BADANIE FUNKCJI 6 EKSTREMA FUNKCJI De 6 miimum lokle ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj m w pukcie miimum lokle jeeli < δ > [ δ ] De 6 mksimum lokle ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj m w pukcie mksimum lokle jeeli < δ > [ δ ] De 63 miimum lokle włciwe ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj m w pukcie miimum lokle włciwe jeeli < > δ > [ δ ] De 64 mksimum lokle włciwe ukcji Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Fukcj m w pukcie mksimum lokle włciwe jeeli < < δ > [ δ ] De 65 wrto jmiejsz ukcji ziorze Licz m R jest wrtoci jmiejsz ukcji ziorze A D jeeli m orz m A De 66 wrto jwiksz ukcji ziorze Licz M R jest wrtoci jwiksz ukcji ziorze A D jeeli M orz M A Uwg Fukcj rosc przedzile domkitm [] przjmuje wrto jmiejsz w pukcie orz wrto jwiksz w pukcie Odwrotie jest dl ukcji mlejcej przedzile Tw 67 Fermt wruek koiecz istiei ekstremum Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Wówczs ukcj m ekstremum lokle w pukcie istieje A A

32 Uwg Implikcj odwrot jest łszw widcz o tm przkłd ukcji 3 któr spełi w pukcie wruek le ie m w tm pukcie ekstremum loklego Podto złoeie róiczkowloci ukcji jest istote widcz o tm przkłd ukcji któr w pukcie m miimum lokle włciwe le ie istieje Fkt 68 iterpretcj geometrcz twierdzei Fermt Jeeli ukcj m ekstremum lokle w pukcie orz jeeli w tm pukcie istieje stcz do wkresu ukcji to stcz jest poziom Fkt 69 o loklizcji ekstremów ukcji Fukcj moe mie ekstrem lokle tlko w puktch w którch jej pochod rów si zero lo w puktch w którch jej pochod ie istieje Tw 6 I wruek wstrczjc istiei ekstremum Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Wówczs jeeli > dl kzdego δ δ > < dl kzdego δ to ukcj m w pukcie mksimum lokle włciwe Uwg Zmist złoei tego twierdzei mo przj e ukcj jest cigł w pukcie Ntomist zmist złoei mo przj e ukcj jest rosc i mlejc odpowiedio przedziłch δ δ Twierdzeie o miimum loklm włciwm jest logicze Tw 6 II wruek wstrczjc istiei ekstremum Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Wówczs jeeli istieje gdzie < 3 4 jest licz przst to ukcj m w pukcie mksimum lokle włciwe Uwg Jeeli złoeie 3 twierdzei m post > to ukcj m w pukcie miimum lokle włciwe Ntomist jeeli złoeie 4 m post jest licz ieprzst złoeie 3 post to ukcj w pukcie ie m ekstremum loklego Fkt 6 lgortm szuki wrtoci ekstremlch ukcji Niech ukcj :[ ] R dzie cigł przedzile [] i róiczkowl poz skoczo licz puktów tego przedziłu Wrtoci jmiejszej i jwikszej tej ukcji tm przedzile szukm postpujc według lgortmu:] zjdujem pukt c c c zerowi si pochodej ukcji przedzile orz pukt d d d m w którch pochod tej ukcji ie istieje; oliczm wrtoci ukcji : w puktch kocowch ; w puktch zerowi si pierwszej pochodej c c c orz w puktch ez pochodej d d d m ; 3 sporód licz ; c c c orz d d d m wierm jmiejsz i jwiksz Bd to odpowiedio wrtoci jmiejsz i jwiksz ukcji przedzile [] 6 FUNKCJE WYPUKŁE I WKLSŁE De 6 ukcj wpukł Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Fukcj jest wpukł przedzile jeeli < < < < λ< λ λ λ λ

33 Rs 6 Fukcj jest wpukł R Rs 34 Fukcji jest cile wpukł R Geometrczie wpukło ukcji ozcz e kd odciek sieczej wkresu le wej lu pokrw si z rgmetem wkresu połoom midz puktmi przez które przechodzi siecz rs 6 Fukcj wpukł zw si tke wpukł w dół De 6 ukcj cile wpukł Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Fukcj jest cile wpukł przedzile jeeli < < < < < λ< λ λ λ λ Geometrczie ukcj jest cile wpukł gd kd odciek wkresu le wej i rgmet wkresu połoo midz puktmi przez które przechodzi siecz rs 6 Fukcj cile wpukł zw si tke cile wpukł w dół De 63 ukcj wklsł Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Fukcj jest wklsł przedzile jeeli λ λ λ λ < < < < λ< Rs 63 Fukcj jest wklsł R Rs 64 Fukcj jest cile wklsł R Geometrczie wklsło ukcji ozcz e kd odciek sieczej wkresu le iej lu pokrw si z rgmetem wkresu połoom midz puktmi przez które przechodzi siecz rs 63 Fukcj wklsł zw si tke wpukł w gór De 64 ukcj cile wklsł Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < Fukcj jest cile wklsł przedzile jeeli λ λ > λ λ < < < < λ< Geometrczie ukcj jest cile wklsł gd kd odciek wkresu le iej i rgmet wkresu połoo midz puktmi przez które przechodzi siecz rs 64 Fukcj cile wklsł zw si tke cile wpukł w gór Tw 65 wruek wstrczjc wpukłoci > ukcj jest cile wpukł Uwg Prwdziwe s tke twierdzei dl pozostłch tpów ukcji wpukłch Jeeli dl kdego prz czm rówo zchodzi jedie dl skoczoej licz puktów z odcik to ukcj jest cile wpukł Podoie jest dl ukcji cile wklsłej 63 PUNKTY PRZEGICIA WYKRESU FUNKCJI De 63 pukt przegici wkresu ukcji

34 Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Podto iech ukcj dzie róiczkowl Dopuszczm tu róiczkowlo ukcji w sesie iewłciwm w pukcie Pukt jest puktem przegici wkresu ukcji wted i tlko wted gd istieje δ > tk e ukcj jest cile wpukł przedzile δ orz cile wklsł przedzile δ lo jest odwrotie Orzowo pukt wkresu ukcji jest puktem przegici jeeli ukcj zmiei w im rodzj wpukłoci Wkres ukcji przechodzi wted z jedej stro stczej drug rs 63 Mówi si tke e pukt jest puktem przegici ukcji Rs 63 Fukcj m w pukcie pukt przegici Rs 63 Fukcj ie m w pukcie puktu przegici Tw 63 wruek koiecz istiei puktu przegici Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Wówczs jeeli jest puktem przegici wkresu ukcji pukt istieje to Uwg Implikcj odwrot w tm twierdzeiu ie jest prwdziw widcz o tm przkłd ukcji 4 któr spełi wruek le pukt ie jest puktem przegici wkresu tej ukcji Fkt 633 o loklizcji puktów przegici wkresu ukcji Fukcj moe mie pukt przegici jedie w puktch zerowi si jej drugiej pochodej lo w puktch w którch t pochod ie istieje Tw 634 I wruek wstrczjc istiei puktu przegici Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech w pukcie m pochod włciw lu iewłciw Wówczs jeeli < dl kzdego δ δ > > dl kzdego δ jest puktem przegici wkresu tej ukcji to pukt Uwg Twierdzeie powsze jest prwdziwe tke gd ierówoci dl drugiej pochodej s odwrote w ssiedztwie puktu Tw 635 II wruek wstrczjc istiei puktu przegici Niech ukcj dzie okrelo przedzile - < orz iech Wówczs jeeli istieje gdzie jest licz ieprzst jest puktem przegici wkresu tej ukcji to pukt Uwg Jeeli złoeie 4 twierdzei m post jest licz przst to pukt wkresu ukcji ie jest puktem przegici 64 BADANIE FUNKCJI Ustleie dziedzi ukcji Wskzie podstwowch włsoci ukcji: przsto lu ieprzsto

35 okresowo c miejsc zerowe d cigło 3 Oliczie gric lu wrtoci ukcji krcch dziedzi 4 Zlezieie smptot pioowch i ukoch 5 Zlezieie pierwszej pochodej ukcji: wzczeie dziedzi pochodej i jej oliczeie wzczeie puktów w którch ukcj moe mie ekstrem c ustleie przedziłów mootoiczoci ukcji d ustleie ekstremów ukcji e oliczeie gric lu wrtoci pochodej krcch dziedzi 6 Zdie drugiej pochodej ukcji: wzczeie dziedzi drugiej pochodej i jej oliczeie ustleie przedziłów wklsłoci i wpukłoci c wzczeie puktów przegici wkresu ukcji d oliczeie pierwszej pochodej w puktch przegici 7 Sporzdzeie telki ieoowizkowe 8 Sporzdzeie wkresu ukcji SZEREGI LICZBOWE I POTGOWE DEFINICJE I PODSTAWOWE TWIERDZENIA De szereg sum czciow szeregu Niech dzie cigiem liczowm Szeregiem liczowm zwm cig S gdzie S Szereg tki ozczm przez Licz zwm -tm wrzem licz S -t sum czciow tego szeregu De szereg zie i rozie sum szeregu Mówim e szereg S jest zie jeeli istieje sko czo gric cigu S Jeeli S lo to mówim e szereg jest rozie odpowiedio do - lo do W pozostłch przpdkch mówim e szereg jest rozie Sum szeregu zieego zwm gric S i ozczm j tm smm smolem co szereg Uwg Alogiczie mo zdeiiow szereg gdzie Z orz jego sum Fkt 3 zieo szeregu geometrczego Szereg geometrcz jest zie wted i tlko wted gd < Dl zieego szeregu geometrczego mm: Uwg Przjmujem tutj e de Tw 4 wruek koiecz zieoci szeregu Jeeli szereg jest zie to Uwg Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe widcz o tm przkłd cigu N Mm owiem le szereg jest rozie do Powsze twierdzeie zpise w rówowej postci: jeeli

36 lo gric ie istiej to szereg jest rozie stosujem do uzsdii rozieoci iektórch szeregów KRYTERIA ZBIENOCI SZEREGÓW Tw krterium cłkowe Niech ukcj :[ [ gdzie N dzie ierosc Wówczs szereg jest zie cłk d jest zie Uwg Reszt tego szeregu to jest wreie R i spełi oszcowie: i Fkt zieo szeregów postci p Szereg ziez dl p > jest p roziez dl p Tw 3 Krterium porówwcze dl kdego szereg jest zie zie de szereg Uwg Jeeli złoeie m post szereg rozie Tw 4 krterium ilorzowe Niech > dl kdego orz iech szereg Tw 5 Krterium d Alemert Jeeli < to szereg jest zie Jeeli > to szereg jest rozie d R d jest jest rozie to w tezie otrzmm: szereg k gdzie <k< Wówczs jest zie szereg jest zie jest Uwg Jeeli zmist złoei podego w pukcie spełio jest wruek dl kdego to szereg jest dl rozie Jeeli to krterium Alemert ie rozstrzg cz szereg jest

37 zie Np dl cigów mm le szereg jest zie tomist szereg jest rozie Tw 6 Krterium Cuch ego Jeeli < to szereg jest zie Jeeli > to szereg jest rozie Uwg Jeeli to krterium Cuch ego ie rozstrzg cz szereg jest zie 3 ZBIENO BEZWZGLDNA SZEREGÓW Tw 3 Leiiz o zieoci szeregu przemieego Jeeli cig jest ierosc od umeru N to szereg przemie jest zie Podto prwdziwe jest stpujce oszcowie reszt szeregu: i i i De 3 zieo ezwzgld szeregu de Szereg jest zie ezwzgldie szereg dl kdego Tw 33 o zieoci szeregów ziech ezwzgldie Jeeli szereg liczow jest zie ezwzgldie to jest zie jest zie Uwg Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe widcz o tm przkłd szeregu le ie jest zie ezwzgldie któr jest zie De 34 szereg zie wrukowo Szereg zie któr ie jest zie ezwzgldie zwm szeregiem ziem wrukowo Fkt 35 sum wiejszch szeregów π 6 e!! e l π 4 4 SZEREGI POTGOWE De 4 szereg potgow Szeregiem potgowm o rodku w pukcie R zwm szereg postci:

38 c gdzie R orz c R dl Uwg W tm prgrie przjmujem e de Licz c zwm współczikmi szeregu potgowego De 4 promie zieoci szeregu potgowego Promieiem zieoci szeregu potgowego c zwm licz R okrelo rówoci: R sup gd < sup c < Podto przjmujem R gd sup c orz R gd sup c c Uwg Promie zieoci szeregu potgowego moe tke olicz ze wzoru: c R lo ze wzoru R c c o ile te grice istiej Tw 43 Cuch ego Hdmrd Niech < R < dzie promieiem zieoci szeregu potgowego zie ezwzgldie w kdm pukcie przedziłu R R rozie w kdm pukcie zioru - R R c Wted szereg te jest: Uwg W ou ko cch przedziłu R R szereg potgow moe zie lu rozie Gd R to szereg potgow jest zie jedie w pukcie Gd R to szereg potgow jest zie ezwzgldie cłej prostej De 44 przedził zieoci szeregu potgowego Przedziłem zieoci szeregu potgowego c zwm ziór: R : szereg c jest ziez Tw 45 o rozwijiu ukcji w szereg potgow Jeeli: ukcj m przedzile - δ δ pochode dowolego rzdu dl kdego - δ δ spełio jest wruek gdzie R c R! ozcz -t reszt we wzorze Tlor dl ukcji przedzile [ ] lu [ ] to dl kdego δ δ! Uwg Zmist złoei powszego twierdzei mo przj e: M dl kdego N {} M > orz dl kdego δ δ Szereg potgow wstpujc w tezie tego twierdzei zwm szeregiem Tlor ukcji w pukcie Gd to szereg te zwm szeregiem Mcluri

39 Tw 46 o jedozczoci rozwiici ukcji w szereg potgow Jeeli c dl kdego δ δ gdzie δ > to c dl! Fkt 47 szeregi Mcluri iektórch ukcji elemetrch 3 e si cos 3!!! 3!!! l r ctg sh ch dl < dl R ! 5! 7! 4 6! 4! 6! dl R dl R 3 4 dl < dl < ! 3! 5! 7! 4 6!! 4! 6! dl R dl R Tw 48 o róiczkowiu szeregu potgowego c Wted: \ c c dl kdego R R Niech < R dzie promieiem zieoci szeregu potgowego Uwg N przedzile -RR sum szeregu potgowego m cigłe pochode dowolego rzdu Podo wzór jest prwdziw tke dl szeregu potgowego postci c : Niech < R dzie promieiem zieoci szeregu potgowego Tw 49 o cłkowiu szeregu potgowego \ c c Wted: c dl kdego R R Niech < R dzie promieiem zieoci szeregu potgowego c c Wted: c t dt dl kdego R R Uwg Podo wzór jest prwdziw tke dl szeregu potgowego postci c :

40 Niech < R dzie promieiem zieoci szeregu potgowego c Wted: c dt t c dl kdego R R Fkt 4 sum wiejszch szeregów potgowch l l 3 l Uwg Wszstkie pode wej wzor s prwdziwe dl kdego -

41

42

43 7 CAŁKI NIEOZNACZONE 7 FUNKCJE PIERWOTNE De 7 ukcj pierwot Fukcj F jest ukcj pierwot ukcji przedzile I jeeli F dl kdego I Uwg Nie kd ukcj m ukcj pierwot p ukcj sg ie m ukcji pierwotej przedzile - Fukcj pierwot ukcji elemetrej ie musi ukcj elemetr p ukcje pierwote ukcji: e si e si ie s ukcjmi elemetrmi Tw 7 podstwowe o ukcjch pierwotch Niech ukcj F jest ukcj pierwot ukcji przedzile I Wted ukcj G F C gdzie C R jest ukcj pierwot ukcji przedzile I kd ukcj pierwot ukcji przedzile I mo przedstwi w postci F D gdzie D R Powsze twierdzeie mówi o postci ukcji pierwotch dl ustloej ukcji Fukcje pierwote mj post F C i tlko tkie s ukcjmi pierwotmi Tw 73 wruek wstrczjc istiei ukcji pierwotej Jeeli ukcj jest cigł przedzile to m ukcj pierwot tm przedzile 7 CAŁKI NIEOZNACZONE De 7 cłk ieozczo Niech ukcj F dzie ukcj pierwot ukcji przedzile I Cłk ieozczo ukcji przedzile I zwm ziór ukcji F C : C R { } Cłk ieozczo ukcji ozczm przez d lu krótko Uwg W dlszej czci dziem opuszczli wis klmrowe w deiicji cłki ieozczoej Dziłi cłkch ieozczoch ozczj dziłi ukcjch pierwotch reprezetujcch te cłki Rówo cłek ieozczoch ozcz rówo odpowiedich ukcji pierwotch reprezetujcch te cłki Fkt 7 pochod cłki ieozczoej Niech ukcj m ukcj pierwot przedzile I Wted [ d] dl kdego I Uwg Powsz rówo le rozumie w te sposó e po lewej róiczkujem dowol ukcj pierwot reprezetujc cłk ieozczo Fkt 73 cłk ieozczo pochodej Niech ukcj m ukcj pierwot przedzile I Wted d C C R dl kdego I Fkt 74 cłki ieozczoe wiejszch ukcji elemetrch Fukcj Cłk ieozczo Zkres zmieoci C R N {} R C

44 p p p { } C p α α α R \ { } > C α l C < R C l e e C R si cos C R cos si C R Fukcj Cłk ieozczo Zkres zmieoci ctg C kπ gdzie k Z si tg C cos π kπ rctg C lu - rcctg C R rc si C lu rc cos C < sh ch C R ch sh C R cth C sh th C R ch Uwg W powszej teli smol C ozcz dowol stł rzeczwist gdzie k Z Fkt 75 tel cłek wiejszch tpów ukcji Wzór d C d l C Zkres zmieoci N { } d C e d e C D d C Uwg Powsze wzor wikj ezporedio z reguł róiczkowi ukcji złooch orz deiicji cłki ieozczoej > 73 TWIERDZENIA O CAŁKACH NIEOZNACZONYCH Tw 73 o liiowoci cłki ieozczoej Jeeli ukcje i g mj ukcje pierwote przedzile I R to ukcj g m ukcj pierwot przedzile I orz

45 g d d g d dl kdego I ukcj c gdzie c jest dowol stł m ukcj pierwot przedzile I orz c d c d dl kdego I Uwg Rówo orz dziłi cłkch ieozczoch wstpujce w tezie twierdzei rozumiem jko dziłi pewch reprezettch tch cłek orz ich rówo Tw 73 o cłkowiu przez czci Jeeli ukcje i g mj cigłe pochode przedzile I R to g d g g d dl kdego I Fkt 733 wzor rekurecje dl cłek si d cos d cos d si cos cos d si d cos si si d Tw 734 o cłkowiu przez podstwieie Jeeli ukcj : I R jest cigł I ukcj ϕ : J I m cigł pochod J to d ϕ t ϕ t dt F ϕ t gdzie F jest dowol ukcj pierwot ukcji C R C Fkt 735 wiejsze cłki zwierjce ukcje hiperolicze Fukcj podcłkow Cłk ieozczo Zkres zmieoci th l ch C R cth l sh C sh l th C r ctg e C R ch sh sh R C 4 ch sh R C 74 CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH De 74 ukcj wmier włciw L Fukcj wmier W zwm włciw gd stopie wielomiu w licziku jest miejsz od stopi wielomiu w miowiku M Uwg Kd ukcj wmier mo przedstwi w postci sum wielomiu i ukcji wmierej włciwej De 74 ułmki proste pierwszego i drugiego rodzju

46 Fukcj wmier włciw postci A gdzie N orz A R zwm ułmkiem prostm pierwszego rodzju Fukcj wmier włciw postci q p Q P gdzie N orz p q P Q R orz 4 < q p zwm ułmkiem prostm drugiego rodzju Tw 743 o rozkłdzie ukcji wmierej ułmki proste Niech W dzie ukcj wmier włciw orz iech miowik tej ukcji m rozkłd cziki postci: s r m s s m r q p q p gdzie N s r N i R i dl r i orz N m j R q p j j 4 < j j j q p dl s j Wted m m m m m m q p S R q p S R q p S R q p Q P q p Q P q p Q P BA B B A A A W gdzie A B P Q R S s odpowiedio dormi liczmi rzeczwistmi Uwg Iczej mówic kd ukcj wmier włciw jest sum ułmków prostch pierwszego i drugiego rodzju Fkt 744 wzór rekurecj dl cłek d Niech d I > N Wted I I C I r ctg Fkt 745 cłkowie ułmków prostch Ułmki proste pierwszego rodzju C A Ad l C A Ad > Ułmki proste drugiego rodzju C p q p p q pp Q q p P q p Q d P 4 ctg r 4 l q p d pp Q q p P q p Q d P > Fkt 746 lgortm cłkowi ukcji wmierch

47 Fukcj wmier zpisujem w postci sum wielomiu moe zerowego i ukcji wmierej włciwej Miowik ukcji wmierej włciwej rozkłdm cziki liiowe i kwdrtowe ierozkłdle 3 Zpisujem rozkłd teoretcz ukcji wmierej włciwej ułmki proste pierwszego i drugiego rodzju 4 Zjdujem ieze współcziki tego rozkłdu 5 Oliczm cłki poszczególch skłdików rozkłdu ukcji wmierej tj wielomiu i ułmków prostch: dl ułmków pierwszego rodzju wkorzstujem wzor z ktu 744 dl ułmków drugiego rodzju wkorzstujem przeksztłceie pode w kcie 744 orz ewetulie wzór p rekurecj z ktu 745 podstwijc wczeiej t Fkt 747 jczciej spotke cłki postci d d d d d rc tg 3 3 C rc tg C rc tg C rc tg C 75 CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH De 75 ukcj wmier dwóch zmiech Fukcj któr mo przedstwi w postci ilorzu wielomiów dwóch zmiech zwm ukcj wmier dwóch zmiech Fkt 75 cłkowie ukcji postci Rsicos Niech Ruv dzie ukcj wmier dwóch zmiech Do oliczi cłek postci R si cos d w zleoci od wruków jkie spełi ukcj R stosujem podstwieie pode w teli: Wruek Podstwieie Przedstwieie ukcji Róiczk R u v R u v t cos si t d dt t R u v R u v t si cos t d dt t R u v R u v t tg t si dt t d t cos t Podstwieie uiwersle tg t si t t dt d t t cos t

48 Fkt 753 cłki tpu: si cos d si si d cos cos d si cos d cos cos si si d si si cos cosd si si Fkt 754 cłki z wiejszch ukcji trgoometrczch Wzór Złoei tg d l cos C π kπ k Z ctg d l si C kπ k Z si si d C 4 si cos d C 4 3 cos si d cos C 3 3 si cos d si C 3 d l tg C si R R 3 R 3 R d π l tg C cos 4 d cos l tg C 3 si si d si π l tg C 3 cos cos 4 Fkt 755 cłki postci R d R ± d Niech Ruv dzie ukcj wmier dwóch zmiech Do oliczi cłek: R d R d R d gdzie > stosujem podstwieie pode w teli: kπ k Z π kπ k Z kπ k Z π kπ k Z Fukcj podcłkow Podstwieie Post pierwistk Róiczk si t cos t d cos tdt R cht sht d shtdt R sht cht d chtdt Fkt 756 wiejsze cłki z ukcji iewmierch d Wzór rcsi C Złoei <

49 d l C d l C d l C d l C d rcsi C R > R > 8 CAŁKI OZNACZONE 8 DEFINICJE I OZNACZENIA De 8 podził odcik Podziłem odcik [] czci zwm ziór P { } gdzie < < < Ozczei stosowe w deiicji cłki k k - k- długo k-tego odcik podziłu P k ; δp m{ k : k } redic podziłu P; ] pukt poredi k-tego odcik podziłu P k k [ k k De 8 sum cłkow Niech ukcj dzie ogriczo przedzile [] orz iech P dzie podziłem tego przedziłu Sum cłkow ukcji odpowidjc podziłowi P odcik [] orz puktom poredim k tego podziłu zwm licz k de σ P k N rs 8 podo iterpretcj geometrcz sum cłkowej dl podziłu odcik [] 4 czci Sum cłkow jest przlieiem pol oszru ogriczoego wkresem ukcji osi O i prostmi przez sum pól prostoktów o podstwch i wsokocich k k k k k Rs 8 Ilustrcj sum cłkowej ukcji De 83 cłk ozczo Riem Niech ukcj dzie ogriczo przedzile [] Cłk ozczo Riem z ukcji przedzile [] deiiujem wzorem de d δ P k o ile gric po prwej stroie zku rówoci istieje orz ie zle od sposou podziłów P przedziłu [] i od sposoów woru puktów poredich k Podto przjmujem k de d orz d d dl < de k k

50 Fukcj dl której istieje cłk ozczo Riem [] zwm ukcj cłkowl [] Zmist smolu d mo pis [ ] d lu krótko lo te [ ] Uwg Kd ukcj cłkowl jest ogriczo le ie kd ukcj ogriczo przedzile jest tm przedzile cłkowl Przkłdem tkiej ukcji jest ukcj Dirichlet de 3 rozw przedzile [] 8 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ Pole trpezu krzwoliiowego Niech D ozcz trpez krzwoliiow ogriczo wkresem ukcji ieujemej osi O orz prostmi Pole D trpezu krzwoliiowego jest gric sum pól prostoktów D k proksmujcch te trpez gd redic podziłu δ P rs 8 Dk k k D d δ P δ P k k Gd wkres ukcji le pod osi O wted przjmujem e pole trpezu D jest ujeme Rs 8 Ilustrcj pol trpezu krzwoliiowego Ojto rł orotowej Niech V ozcz rł ogriczo powierzchi powstł z orotu wkresu ukcji ieujemej wokół osi O orz płszczzmi Ojto V rł jest gric sum ojtoci wlców V k proksmujcch t rł gd redic podziłu δ P rs 8 Vk π k k V π d δ P k δ P k Rs 8 Ilustrcj ojtoci rł orotowej 83 INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ Drog przet w ruchu zmiem Niech S ozcz drog przet w przedzile czsowm [αβ] przez pukt poruszjc si ze zmie prdkoci vt t [αβ] Drog S jest gric sum dróg elemetrch S k przetch przez pukt w czsie t k z prdkoci stł t k gd δ P S δ P k S k v tk t k δ P k β π v t dt α

51 Drog S jest polem trpezu krzwoliiowego ogriczoego wkresem ukcji v osi Ot orz prostmi t α t β rs 83 Rs 83 Ilustrcj drogi przetej w ruchu zmiem 84 PODSTAWOWE TWIERDZENIA Tw 84 wruek wstrczjc cłkowloci ukcji Jeeli ukcj jest ogriczo przedzile [] i m tm przedzile skoczo licz puktów iecigłoci I rodzju to jest im cłkowl Uwg Z powszego twierdzei wik e ukcj cigł przedzile jest tm przedzile cłkowl Z drugiej stro ukcj cłkowl przedzile moe mie ieskoczeie wiele puktów iecigłoci Przkłdem tkiej ukcji jest dl [ ] dl < Fukcj jest cłkowl przedzile [] le w puktch jest iecigł Fkt 84 oliczie cłek prz pomoc sum cłkowej podziłu rówomierego Jeeli ukcj jest cłkowl przedzile [] to d k k Uwg Istieie powszej gric ie gwrtuje cłkowloci ukcji Np dl ukcji D ukcj Dirichlet i przedziłu [] gric t jest rów le ukcj ie jest cłkowl tm przedzile Tw 843 Newto Leiiz Jeeli ukcj jest cigł przedzile [] to d F F gdzie F ozcz dowol ukcj pierwot ukcji przedzile [] Uwg Zmist F F dziem pisli F lu [ ] Tw 844 o liiowoci cłki ozczoej Jeeli ukcje i g s cłkowle przedzile [] orz c R to ukcj g jest cłkowl przedzile [] orz ukcj c jest cłkowl przedzile [] orz F g d d g d c d c d 85 METODY OBLICZANIA CAŁEK OZNACZONYCH Tw 85 o cłkowiu przez podstwieie Jeeli ukcj :[ α β ] [ ] ϕ m cigł pochod przedzile [αβ] ϕ α ϕ β 3 ukcj jest cigł przedzile []

52 to β d α ϕ t ϕ t dt ϕ β Uwg W przpdku gd ukcj ϕ jest rosc ostti wzór mo zpis w postci: d ϕ t Tw 85 o cłkowiu przez czci Jeeli ukcje i g mj cigłe pochode przedzile [] to 86 WŁASNOCI CAŁKI OZNACZONEJ [ g ] g d g d ϕ α ϕ t dt Tw 86 o rówoci cłek Niech ukcj dzie cłkowl przedzile [] orz iech ukcj g rói si od ukcji tlko w skoczoej liczie puktów tego przedziłu Wted ukcj g tke jest cłkowl przedzile [] orz d g d Tw 86 ddtwo wzgldem przedziłów cłkowi Jeeli ukcj jest cłkowl przedzile [] orz c to c d d Tw 863 o zchowiu ierówoci prz cłkowiu Jeeli ukcje i g s cłkowle [] g dl kdego [] to d d g d Uwg Jeeli ierówo w złoeiu twierdzei jest ostr to tke ierówo w tezie jest ostr c De 864 wrto redi ukcji Niech ukcj dzie cłkowl [] Wrto redi ukcji przedzile [] zwm licz de r d Uwg Wrto redi ukcji przedzile [] jest wsokoci prostokt o podstwie długoci którego pole jest rówe polu trpezu krzwoliiowego ogriczoego wkresem ukcji osi O orz prostmi Fkt 865 cłk ukcji ieprzstej Niech ukcj dzie ieprzst i cłkowl przedzile [-] Wted d

53 Rs 86 Cłk z ukcji ieprzstej przedzile smetrczm Fkt 866 cłk ukcji przstej Niech ukcj dzie przst i cłkowl przedzile [-] Wted d d Rs 5 Cłk z ukcji przstej przedzile smetrczm 87 TWIERDZENIA PODSTAWOWE RACHUNKU CAŁKOWEGO De 87 ukcj górej gric cłkowi Niech ukcj dzie cłkowl przedzile [] orz iech c [] Fukcj gdzie [] zwm ukcj górej gric cłkowi Tw 87 o cigłoci ukcji górej gric cłkowi Jeeli ukcj jest cłkowl przedzile [] to ukcj jest cigł przedzile [] c F t dt c F t dt Uwg Opercj cłkowi ze zmie gric cłkowi przeksztłc ukcje cłkowle przedzile w ukcje cigłe tm przedzile Tw 873 główe twierdzeie rchuku cłkowego Jeeli ukcj jest cłkowl przedzile [] orz cigł w pukcie tego przedziłu to ukcj c F t dt gdzie c [] jest róiczkowl w pukcie orz F Uwg Gd lu to F ozcz tu pochod jedostro Uwg Opercj cłkowi ze zmie gric cłkowi przeksztłc ukcj cigł przedzile w ukcje róiczkowle tm przedzile

54 9 ZASTOSOWANIA CAŁEK OZNACZONYCH 9 ZASTOSOWANIA W GEOMETRII Fkt 9 pole trpezu krzwoliiowego Niech ukcje d i g d cigłe przedzile [] orz iech d < g dl kdego Pole trpezu krzwoliiowego D ogriczoego wkresmi ukcji d i g orz prostmi wr si wzorem: [ g d ] D d Rs 9 Trpez krzwoliiow Uwg Alogiczie pole trpezu krzwoliiowego ogriczoego wkresmi ukcji d g gdzie [pq] wr si wzorem: Fkt 9 długo krzwej q [ g d ] D d Niech ukcj m cigł pochod przedzile [] Długo krzwej { : [ ] } Γ p [ ] d Γ wr si wzorem: Rs 9 Krzw w ukłdzie krtezjskim Fkt 93 ojto rł Niech S gdzie ozcz pole przekroju rł V płszczz prostopdł do osi O w pukcie orz iech ukcj S dzie cigł przedzile [] Ojto rł V wr si wzorem: V S d Rs 93 Ojto rł Fkt 94 zsd Cvlieriego Jeeli dwie igur płskie mj jedkowe długoci przekrojów kd prost prostopdł do ustloej prostej to ich pol s rówe

55 Jeeli dwie rł mj jedkowe pol przekrojów kd płszczz prostopdł do ustloej prostej to ich ojtoci s rówe Fkt 95 ojto rł orotowej Niech ukcj ieujem dzie cigł przedzile [] Podto iech T ozcz trpez krzwoliiow ogriczo wkresem ukcji osi O orz prostmi gdzie < Ojto rł V powstłej z orotu trpezu krzwoliiowego T wokół osi O wr si wzorem: V π d Rs 94 Brł V powstł z orotu trpezu krzwoliiowego T wokół osi O Niech ukcj ieujem dzie cigł przedzile [] gdzie < Podto iech T ozcz trpez krzwoliiow ogriczo wkresem ukcji osi O orz prostmi gdzie < Ojto rł V powstłej z orotu trpezu krzwoliiowego T wokół osi O wr si wzorem: V π d Rs 95 Brł V powstł z orotu trpezu krzwoliiowego T wokół osi O Fkt 96 pole powierzchi orotowej Niech ukcj ieujem m cigł pochod przedzile [] Pole powierzchi Σ powstłej z orotu wkresu ukcji wokół osi O wr si wzorem: [ ] Σ π d Rs 96 Powierzchi Σ powstł z orotu wkresu ukcji wokół osi O

56 Niech ukcj ieujem m cigł pochod przedzile [] gdzie Pole powierzchi Σ powstłej z orotu wkresu ukcji wokół osi O wr si wzorem: [ ] Σ π d Rs 97 Powierzchi Σ powstł z orotu wkresu ukcji wokół osi O 9 ZASTOSOWANIA W FIZYCE Fkt 9 drog przet w ruchu zmiem Niech pukt mteril porusz si ze zmie prdkoci v t v t Drog przet przez te pukt w przedzile czsowm [t t ] wr si wzorem: t L v t dt t Fkt 9 prc wko przez zmie sił Złóm e rówolegle do osi O dził zmie sił F F Prc wko przez sił od puktu do puktu wr si wzorem: W F d CAŁKI NIEWŁACIWE CAŁKI NIEWŁACIWE PIERWSZEGO RODZAJU De cłk iewłciw półprostej Niech ukcj :[ R dzie cłkowl przedziłch [T] dl kdego T> Cłk iewłciw pierwszego rodzju ukcji przedzile [ deiiujem wzorem: de d d T T Jeeli gric po prwej stroie zku rówoci jest skoczo to mówim e cłk iewłciw d jest zie Jeeli gric t jest rów lu - to mówim e cłk jest rozie odpowiedio do lu - W pozostłch przpdkch mówim e cłk jest rozie Alogiczie deiiuje si cłk iewłciw pierwszego rodzju przedzile -]: De cłk iewłciw prostej de d d S S

57 Niech ukcj : R R dzie cłkowl przedziłch [ST] dl dowolch S i T tkich e - < S < T < Cłk iewłciw pierwszego rodzju ukcji przedzile - deiiujem wzorem: de d d d gdzie ozcz dowol licz rzeczwist Jeeli oie cłki po prwej stroie zku rówoci s ziee to mówim e cłk d jest zie Jeeli jed z tch cłek jest rozie do - lu drug jest zie lo rozie odpowiedio do - lu to mówim e cłk jest rozie do - lu W pozostłch przpdkch mówim e cłk t jest rozie Uwg Jeeli cłki d d s ziee dl pewego R to s ziee dl kdego R i ich sum ie zle od d Fkt 3 zieo cłek postci p Niech > Wted d p ziez dl p > jest roziez dl p d Uwg Alogicz kt jest prwdziw tke dl cłek p gdzie < o ile ukcj podcłkow jest poprwie okrelo KRYTERIA ZBIENOCI CAŁEK NIEWŁACIWYCH PIERWSZEGO RODZAJU Tw krterium porówwcze Jeeli g dl kdego [ ukcje i g s cłkowle przedziłch [T] dl T> 3 cłk g d jest zie to cłk d jest zie Uwg Twierdzeie powsze pozostie prwdziwe gd ierówoci w złoeiu s prwdziwe dl kdego [ * gdzie * > Jeeli złoeie 3 tego twierdzei m post cłk d jest rozie to w tezie otrzmm cłk iewłciwch postci g d jest rozie Prwdziwe jest tke logicze krterium porówwcze dl cłek d Tw krterium ilorzowe Niech ukcje dodtie i g d cłkowle przedziłch [T] dl kdego T> orz iech <k< Wówczs cłk d jest zie cłk g d jest zie k gdzie g Uwg Prwdziwe jest tke logicze krterium ilorzowe dl cłek iewłciwch postci d

58 3 ZBIENO BEZWZGLDNA CAŁEK NIEWŁACIWYCH PIERWSZEGO RODZAJU De 3 zieo ezwzgld cłek iewłciwch pierwszego rodzju Niech ukcj dzie cłkowl przedziłch [T] dl kdego T> Cłk d jest zie ezwzgldie de d jest zie Podoie okrel si zieo ezwzgld cłek d d Tw 3 o zieoci cłek iewłciwch ziech ezwzgldie Niech ukcj dzie cłkowl przedziłch [T] dl kdego T> Jeeli cłk d jest zie ezwzgldie to cłk d jest zie Podto d d Uwg Powsze twierdzeie jest prwdziwe tke dl pozostłch rodzjów cłek iewłciwch pierwszego rodzju si Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe dl dowolej ukcji p cłk iewłciw z ukcji przedzile [ jest zie le ie jest zie ezwzgldie 4 CAŁKI NIEWŁACIWE DRUGIEGO RODZAJU De 4 cłki iewłciwe drugiego rodzju Niech ukcj : ] R dzie ieogriczo prwostrom ssiedztwie puktu orz cłkowl przedziłch [ε] dl kdego < ε < Cłk iewłciw drugiego rodzju ukcji przedzile ] deiiujem wzorem: d ε ε d Jeeli gric po prwej stroie zku rówoci jest sko czo to mówim e cłk d jest zie Jeeli gric t jest rów lu - to mówim e cłk jest rozie odpowiedio do lu - W pozostłch przpdkch mówim e cłk t jest rozie Alogiczie deiiuje si cłk iewłciw d ukcji ieogriczoej lewostrom ssiedztwie puktu : d de ε ε d Jeeli ukcj jest okrelo i ogriczo przedzile ] orz cłkowl przedziłch [ε] dl kdego < ε < to cłk d oliczo według powszej deiicji jest zie Podoie jest d ukcji okreloej przedzile [ Fkt 4 o zieoci cłek d p d Niech > Wted cłk iewłciw p ziez dl p < jest roziez dl p

59 d Alogicz kt jest prwdziw tke dl cłek p gdzie < o ile ukcj podcłkow jest poprwie okrelo De 43 cłki iewłciwe drugiego rodzju cig dlsz Niech ukcj :[ ] \ { c} R gdzie c dzie ieogriczo oustroch ssiedztwch puktu c orz cłkowl przedziłch [c-ε ] [cε] dl kdego < ε < mi{ c c } Cłk iewłciw drugiego rodzju ukcji przedzile [] deiiujem wzorem: de c d d d c Jeeli oie cłki po prwej stroie zku rówoci s ziee to mówim e cłk d jest zie Jeeli jed z tch cłek jest rozie do - lu drug jest zie lo rozie odpowiedio do - lu to mówim e cłk d jest rozie do - lu W pozostłch przpdkch mówim e cłk t jest rozie W podo sposó okrel si cłki iewłciwe z ukcji ieogriczoch ssiedztwch puktów c c c [] N przkłd dl ukcji : R ieogriczoej prwostrom ssiedztwie puktu i lewostrom ssiedztwie puktu orz cłkowlej przedziłch [ ε - ε] dl kdego ε < przjmujem: gdzie d jest dowolm puktem przedziłu de d d d d 5 KRYTERIA ZBIENOCI CAŁEK NIEWŁACIWYCH DRUGIEGO RODZAJU Tw krterium porówwcze Jeeli g dl kdego ] ukcje i g s cłkowle [ε] dl < ε < 3 cłk to cłk g d jest zie d jest zie Uwg Twierdzeie powsze pozostie prwdziwe gd ierówoci w złoeiu s prwdziwe dl kdego d * ] gdzie < * < Jeeli złoeie 3 tego twierdzei m post cłk d jest rozie to w tezie otrzmm cłk g d jest rozie Prwdziwe jest tke logicze krterium porówwcze dl ukcji okreloch przedzile [ i ieogriczoch lewostrom ssiedztwie puktu Tw krterium ilorzowe Niech ukcje dodtie i g d cłkowle przedziłch [ε] dl kdego < ε < orz iech k gdzie <k< Wówczs g cłk d jest zie cłk g d jest zie Uwg Prwdziwe jest tke logicze krterium dl cłek iewłciwch przedzile [ 3 FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH

60 3 ZBIORY NA PŁASZCZYNIE I W PRZESTRZENI De 3 płszczz przestrze Przestrzei dwuwmirow płszczz zwm ziór wszstkich pr uporzdkowch gdzie R Przestrze dwuwmirow ozczm przez R : R de { : R} Podoie przestrzei trójwmirow przestrzei zwm ziór wszstkich uporzdkowch z gdzie z R Przestrze trójwmirow ozczm przez R 3 : 3 R de { z : z R} Elemet orz z tch przestrzei zwm odpowiedio puktmi płszczz lu przestrzei Licz orz z zwm odpowiedio współrzdmi krtezj skimi puktów orz z De 3 odległo puktów Odległo puktów P P płszczz lu przestrzei ozczm smolem P P i okrelm wzorem: P P gdzie P P R lu wzorem P P gdzie P z P z R 3 de de z z Rs 3 Odległo dwóch puktów płszczie Rs 3 Odległo dwóch puktów w przestrzei De 33 otoczeie puktu Otoczeiem o promieiu r > puktu P płszczie lu przestrzei zwm ziór: de { P P P < r} O P r : Otoczeiem puktu płszczie jest koło otwrte o rodku w dm pukcie Otoczeiem puktu w przestrzei jest kul otwrt o rodku w dm pukcie De 34 ssiedztwo puktu Ssiedztwem o promieiu r > puktu P płszczie lu przestrzei zwm ziór: S de P r O P r { P } \ Ssiedztwem puktu płszczie jest koło otwrte ez rodk Podoie ssiedztwem puktu w przestrzei jest kul otwrt ez rodk Rs 33 Otoczeie o promieiu r puktu P płszczie Rs 34 Ssiedztwo o promieiu r puktu P płszczie

61 De 35 ziór ogriczo i ieogriczo Ziór A jest ogriczo jeeli jest zwrt w otoczeiu pewego puktu tz A O P r P r> W przeciwm przpdku mówim e ziór A jest ieogriczo Rs 35 Ziór A jest ogriczo płszczie De 36 pukt wewtrz zioru wtrze zioru Niech A dzie ziorem płszczie lu w przestrzei Pukt P jest puktem wewtrzm zioru A jeeli istieje otoczeie tego puktu zwrte w ziorze A tz O P r r> A Wtrzem ziór zwm ziór wszstkich jego puktów wewtrzch De 37 pukt rzegow zioru rzeg zioru Niech A dzie ziorem płszczie lu w przestrzei Pukt P jest puktem rzegowm zioru A jeeli w kdm otoczeiu tego puktu mo zle pukt lece do zioru A i pukt ie lece do zioru A tz O P r A orz O P r A' r > Brzegiem zioru zwm ziór wszstkich jego puktów rzegowch Rs 36 Pukt P jest puktem rzegowm zioru A De 38 ziór otwrt Ziór jest otwrt jeeli kd pukt tego zioru jest jego puktem wewtrzm De 39 ziór domkit Ziór jest domkit jeeli zwier swój rzeg Rs 37 Ziór A jest otwrt płszczie Rs 38 Ziór B jest domkit w przestrzei De 3 oszr oszr domkit Niepust ziór jest oszrem jeeli:

62 jest otwrt kde dw pukt zioru mo połcz łm cłkowicie w im zwrt Oszr łczie ze swoim rzegiem zwm oszrem domkitm Rs 39 Ziór A jest oszrem domkitm płszczie Rs 3 Ziór B ie jest oszrem płszczie 3 FUNKCJE DWÓCH I TRZECH ZMIENNYCH De 3 ukcj dwóch zmiech Fukcj dwóch zmiech okrelo ziorze A R o wrtocich w R zwm przporzdkowie kdemu puktowi ze zioru A dokłdie jedej licz rzeczwistej Wrto ukcji w pukcie ozcz przez Fukcj tk ozczm przez : A R lu z gdzie A Rs 3 Ilustrcj do deiicji ukcji dwóch zmiech De 3 ukcj trzech zmiech Fukcj trzech zmiech okrelo ziorze A R 3 o wrtocich w R zwm przporzdkowie kdemu puktowi ze zioru A dokłdie jedej licz rzeczwistej Wrto ukcji w pukcie z ozcz przez z Fukcj tk ozczm przez : A R lu w z gdzie z A

63 Rs 3 Ilustrcj do deiicji ukcji trzech zmiech De 33 dziedzi dziedzi turl Niech : A R gdzie A jest podziorem płszczz lu przestrzei Ziór A zwm dziedzi ukcji i ozczm przez D Jeeli d jest tlko wzór okreljc ukcj to ziór tch puktów płszczz przestrzei dl którch wzór te m ses zwm dziedzi turl ukcji De 34 wkres i poziomic ukcji dwóch zmiech Wkresem ukcji dwóch zmiech zwm ziór: 3 z R : D z { } Poziomic wkresu ukcji odpowidjc poziomowi h R zwm ziór: D : h { } Rs 33 Poziomic wkresu ukcji odpowidjc poziomowi h Fkt 35 wkres wiejszch ukcji dwóch zmiech Wkresem ukcji z A B C jest płszczz o wektorze ormlm A B przechodzc przez pukt C Wkresem ukcji z jest proloid orotow tj powierzchi powstł z orotu proli z wokół osi Oz 3 Wkresem ukcji z k jest stoek tj powierzchi powstł z orotu półprostej z k dl wokół osi Oz 4 Wkresem ukcji

64 z ± R jest gór lu dol - półser o rodku w pocztku ukłdu współrzdch i promieiu R 5 Wkresem ukcji z jest siodło z Fkt 36 przesuici i odici wkresów ukcji Wkres ukcji z c powstje z wkresu ukcji z przez przesuicie o wektor v c Wkres ukcji z powstje z wkresu ukcji z przez smetri wzgldem płszczz O