Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Transkrypt

1 Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń o liczbch turlych. Zim przejdziemy do sformułowie tego twierdzei podjmy prę przykłdów ie koieczie związych z mtemtyką. A. Ruch flowy. Zpewe kżdy obserwowł powstie fli wodzie po wrzuceiu kmiei. Doskole widć jk w pukcie updku kmiei powstją okręgi, których promieie rosą corz brdziej. Jeżeli dokłdiej zobserwujemy zjwisko, to zuwżymy, że updek kmiei spowodowł poprzecze drgie cząsteczek wody w miejscu updku. To z kolei powoduje poprzecze drgi cząsteczek sąsiedich, które pobudzją do drgi swoich sąsidów itd. Cząsteczki wody ie przeoszą się, z to drgjąc przeoszą iejko impuls spowodowy wrzuceiem kmiei. B. Przekzywie eergii i pędu (kołysk Newto). Ze z lekcji fizyki doświdczeie, w którym odchylmy pierwszą kulkę wiszącą w szeregu kulek. Pierwsz kulk po uderzeiu w drugą przekże impuls drugiej, t z kolei trzeciej, itd. W wyiku doświdczei odskoczy kulk ostti, chociż jej ie dotykliśmy. C. Kostki domi. Jeżeli ustwimy kostki domi jed z drugą i w tkiej odległości, że updek którejkolwiek kostki spowoduje updek kostki stępej. Po czym przewrócimy kostkę pierwszą, to po chwili przewrócą się wszystkie kostki (impuls zostie przekzy dlej). Opise powyżej sytucje mją dwie cechy wspóle: ) istieje pierwszy impuls, który powoduje dlsze skutki (wrzuceie kmiei do wody, odchyleie i puszczeie pierwszej kulki, przewróceie pierwszej kostki domi), ) w kżdej obserwcji d się wyróżić wrz z jkimś elemetem jego stępik, elemet bezpośredio z im sąsidujący (cząsteczki wody sąsidują ze sobą, kulki sąsidują ze sobą, kostki domi sąsidują ze sobą). Przy spełieiu tych wruków doświdczei pokzują, że zpoczątkowy impuls obejmie wszystkie elemety w zbiorze (oczywiście w wrukch fizyczych słowo wszystkie leży rozumieć zdroworozsądkowo). Idelizcją mtemtyczą opisych obserwcji jest iezwykle wże i przydte twierdzeie, które przedstwimy poiżej.

2 Twierdzeie 5. (zsd idukcji mtemtyczej) Jeżeli A jest podzbiorem zbioru N tkim, że: ) A (elemet pierwszy leży do zbioru A), b) A ( + ) A (dl dowolego elemetu leżącego do zbioru A jego stępik rówież leży do zbioru A), to A N (zbiór A jest rówy zbiorowi N). Dowód. Ze względu ) zbiór A jest iepusty. Przypuśćmy tezę przeciwą tz. pomimo spełiei wruków ) i b) iech A N. Ozczmy B N A. Zbiór B jest iepusty, więc podstwie zsdy miimum istieje w im elemet jmiejszy. Ozczmy te elemet przez k. Liczb k ie leży do zbioru B, musi więc leżeć do zbioru A. N podstwie b) mmy, że ( k ) + A, co ozcz, że k A. Jest to sprzecze z określeiem liczby k jko jmiejszej liczby w zbiorze B. Pokz sprzeczość dowodzi prwdziwości tezy. Oczywiście zsdę idukcji mtemtyczej moż formułowć róże sposoby. N przykłd tk: ) jeżeli liczb spełi jkieś zdie (twierdzeie) o liczbch turlych (zbiór A są to liczby spełijące to zdie), b) dl kżdej liczby, któr to zdie (twierdzeie) spełi, jej stępik rówież to zdie (twierdzeie) spełi (rówież leży do zbioru A), to wszystkie liczby turle spełiją to zdie (twierdzeie) (zbiór A jest cłym zbiorem N). Aby przy pomocy twierdzei 5. udowodić jkiekolwiek twierdzeie o liczbch turlych leży po pierwsze sprwdzić spełieie wruku ) te krok zyw się sprwdzeiem idukcyjym. Po drugie leży złożyć prwdziwość twierdzei dl liczby jest to złożeie idukcyje. Po trzecie leży pokzć, że twierdzeie jest spełioe dl stępik liczby, czyli liczby +, pokzujemy prwdziwość wruku b) te krok zyw się dowodem idukcyjym. Po spełieiu tych trzech kroków stwierdzmy prwdziwość dowodzoego twierdzei podstwie zsdy idukcji mtemtyczej. Przykłdy dowodów idukcyjych. Udowodić wzór : ( ). Sprwdzeie idukcyje., co więcej + 3 (dokoliśmy sprwdzei ie tylko dl le rówież dl ). Złożeie idukcyje. Zkłdmy prwdziwość wzoru dl, czyli ( ). Jest to pierwszy zy w historii dowód idukcyjy przeprowdzoy w 575 r. przez włoskiego mtemtyk Frcesco Murolico.

3 Dowód idukcyjy ( ) + ( + ) + + ( + ) Pokzliśmy prwdziwość twierdzei dl stępego. W tkim rzie podstwie zsdy idukcji mtemtyczej stwierdzmy prwdziwość twierdzei dl dowolego N. ( + ). Udowodić wzór: Sprwdzeie idukcyje. ( + ) Złożeie idukcyje. Zkłdmy idukcyjie prwdziwość wzoru. dl liczby. Dowód idukcyjy. ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) N podstwie zsdy idukcji mtemtyczej stwierdzmy prwdziwość wzoru dl dowolego N. Udowodioy powyżej wzór dje się elemetrie wyprowdzić, (czym iym jest udowodić, że jkiś wzór m miejsce czym iym zleźć te wzór). Przeksztłćmy sumę: ( ) + ( ) + [ + ] + [ + ( )] + [3 + ( )] + ( + ) Dokoł tego w wieku 7 lt (!) Crl Friedrich Guss zwy księciem mtemtyków. Nuczyciel lekcji rchuków kzł ucziom zsumowć liczby od do 00. Po miucie Guss podszedł do uczyciel i podł tki wyik: ( + 00) + ( + 99) + (3 + 98) + + (50 + 5) Pokzć, że dl dowolego zchodzi 8 ( 3 ) (liczby postci 3 są podziele przez 8). Sprwdzeie idukcyje. Dl mmy: Złożeie idukcyje. Zkłdmy prwdziwość tezy

4 Dowód idukcyjy (8 + 3) ( 3 Pierwszy skłdik sumy po prwej stroie dzieli się przez 8 w sposób oczywisty, drugi skłdik dzieli się przez 8 podstwie złożei idukcyjego. N podstwie zsdy idukcji mtemtyczej stwierdzmy prwdziwość tezy 3. Dowodząc twierdzei 5. korzystliśmy z zsdy miimum. Poiewż t zsd, przy dodtkowym złożeiu obowiązuje rówież dl liczb cłkowitych suw to przypuszczeie, że zsdę idukcji mtemtyczej moż rozszerzyć rówież liczby cłkowite. Rzeczywiście stosując dowody idukcyje liczbch cłkowitych leży pmiętć, że dowodzimy ie dl wszystkich liczb leżących do Z, lecz dl tych liczb leżących do Z, które są większe od pewego k. Zuwżmy rówież, że w dowodzie twierdzei 5. mow jest o pierwszym elemecie spełijącym tezę (sprwdzeie idukcyje), co ie zczy, że mówimy o elemecie. Pierwszym elemetem rówie dobrze może być 7 czy 50. Chodzi o to, że od tego pierwszego elemetu tez obowiązuje i dowodzimy jej już ie dl wszystkich N, lecz dl prwie wszystkich N (wszystkich z wyjątkiem skończoej ilości, które są miejsze od elemetu pierwszego). Wskzie pierwszego elemetu potrzebe jest, by zpewić iż zbiór A jest iepusty (iczej ie byłoby czego dowodzić). Bywją tkie dowody, w których korzyst się z zsdy idukcji mtemtyczej w sposób iejwy i dopiero głębsz liz dowodu te fkt uzmysłwi. Dlsze przykłdy rozumowń idukcyjych 4. Pokzć, że jeżeli x + jest liczbą cłkowitą, to cłkowit jest rówież liczb x +. x x Z treści zdi wyik, że sprwdzeie idukcyje jest zbęde. Zkłdmy prwdziwość tezy dl liczby. Rozwżmy iloczy: + + x + x + x + + x + x + + x x x x x x x Po lewej stroie rozptrywej rówości mmy iloczy liczb cłkowitych ( podstwie treści zdi i złożei idukcyjego). Wobec tego sum po prwej stroie rówież musi być liczbą cłkowitą. Pierwszy skłdik sumy jest cłkowity podstwie złożei idukcyjego (skoro złożeie obowiązuje dl liczby, tym brdziej obowiązuje dl liczby ). W tkim rzie drugi skłdik sumy tkże musi być cłkowity i tego leżło dowieść Pokzć, że dl kżdego turlego zchodzi 6 ( + 5). Dl otrzymmy Zkłdmy prwdziwość tezy dl. Liczymy: 3 3 ( ) 5( ) ) 4

5 3 3 ( + 5 ) + 3( + + ) ( + 5 ) + 3 [ ( + ) + ] Pierwszy skłdik sumy dzieli się przez 6 podstwie złożei idukcyjego, drugi dzieli się przez 3 i przez (w wisie kwdrtowym pierwszy skłdik sumy jko iloczy kolejych liczb jest przysty drugim skłdikiem jest ). 6. Pokzć, że dl dowolej liczby turlej > zchodzi >. + + Mmy tu przypdek gdzie pierwszą liczbą, któr m spełić tezę ie jest. Zuwżmy, że dl dowolego k,,, zchodzi ierówość >. Stąd: + k > Powstje pytie, co z dowodem idukcyjym? Jest to przykłd zdi, gdzie zsd idukcji mtemtyczej jest obec iejwie. Zuwżmy, że bez specjlych dociekń przyjęliśmy istotą dl dlszej części dowodu ierówość: > + k Spełioą dl kżdego k,,...,. Jest o tk oczywist, że ie wymg dowodu. T oczywistość m turę idukcyją i chcąc formlie potrktowć zdie leżłoby przeprowdzić idukcyjy dowód tej ierówości. Corz częściej spotykć się będziemy z summi postci gdzie sumujemy elemetów (ie muszą być róże między sobą). Istieje prosty i wygody sposób zpisu tkich sum: Zczek jest grecką literą sigm duże i w zpisie powyżej ozcz: z i podstw, weź elemet, z i podstw, weź elemet dodj do elemetu, z i podstw 3, weź elemet 3 dodj do otrzymej wcześiej sumy itd. ż z i podstwisz elemet. i i Wprowdźmy jeszcze jede symbol Zczek jest grecką literą pi duże i i, który skrc zpis możei. Przykłdy i i 5050, i i i 00 Oczywiście i dodwie i możeie ie musi rozpoczy się od ideksu i. Może rozpoczy się od dowolej liczby cłkowitej. Wże jest tylko by zwsze było i bo iczej wyrżeie strci ses. 5