Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

Transkrypt

1 Ciągi liczbowe podstwowe defiicje i włsości DEF *. Ciągiem liczbowym (ieskończoym) zywmy odwzorowie zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. :. Przyjęto zpis:,,...,,... Przy czym zywmy -tym wyrzem ciągu. Przykłd () wzór -ty wyrz ciągu ( wzór ogóly) () dl (wzór rekurecyjy) DEF. Ciągiem liczbowym skończoym k- wyrzowym zywmy odwzorowie :,,,...,k. k-elemetowego zbioru liczb turlych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. Elemetre rodzje ciągów liczbowych Ciąg zywmy, jeżeli Przykłd stłym rosącym mlejącym cost (tz. dl kżdego wyrzu ciągu zchodzi rówość cost ) (tz. kżdy kolejy wyrz ciągu jest większy od poprzediego) > tz. kżdy kolejy wyrz ciągu jest miejszy od poprzediego),,,,,,,4,5,,,,,,, iemlejącym,,,,,,4,4, ierosącym,,,,,,, mootoiczym ciąg jest iemlejący lub ierosący -,,,,,,,7,9, przemieym (lub przemieym) ogriczoym z dołu ogriczoym z góry ogriczoym (tz. koleje wyrzy ciągu mją przemi zk ujemy i dodti) m m (tz. istieje liczb ie większ od dowolego wyrzu ciągu) M M (tz. istieje liczb ie miejsz od dowolego wyrzu ciągu) m M m,m mm (tz ciąg jest ogriczoy z góry i z dołu),-,4,-8,6,-,,,,4,5,6,7,,,,,-,-,-,,,,,,,,,, * Ciągiem (ieskończoym) zywmy kżdą fukcję określoą zbiorze liczb turlych. Jeśli wrtościmi ciągu są liczby rzeczywiste, to ciąg zywmy ciągiem liczbowym.

2 Ciąg rytmetyczy Ciąg zywmy ciągiem rytmetyczym, jeżeli różic r między dowolym wyrzem ciągu (oprócz r. pierwszego) i wyrzem poprzedim jest stł, tj. Liczbę r zywmy różicą ciągu rytmetyczego. Jeżeli r, to ciąg rytmetyczy jest rosący, jeżeli r<, to ciąg rytmetyczy jest mlejący, jeżeli r=, to ciąg rytmetyczy jest stły. -ty wyrz ciągu rytmetyczego wyrż się wzorem Kżdy wyrz r ciągu rytmetyczego, oprócz pierwszego jest średią rytmetyczą wyrzów sąsiedich, dl Sum początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego wyrż się wzorem Gric ciągu rytmetyczego Przykłdy i i S... dl r dl r dl r ) 6,,, -, -6, -9, 6, r ),,,,,,, r Ciąg geometryczy Ciąg, dl którego, zywmy geometryczym, jeżeli ilorz q dowolego wyrzu ciągu (oprócz pierwszego) i wyrzu bezpośredio go poprzedzjącego jest stły, tj. q. Liczbę q zywmy ilorzem ciągu geometryczego. q, to ciąg geometryczy jest rosący, Jeżeli q, to ciąg geometryczy jest mlejący, jeżeli < q <, to ciąg geometryczy jest mlejący, jeżeli < q <, to ciąg geometryczy jest rosący, q < to ciąg geometryczy jest przemiey, jeżeli Jeżeli, jeżeli q=, to ciąg geometryczy jest stły. -ty wyrz ciągu geometryczego wyrż się wzorem Kżdy wyrz q ciągu geometryczego, oprócz pierwszego spełi wruek, dl

3 Sum początkowych wyrzów ciągu geometryczego wyrż się wzorem Gric ciągu geometryczego Jeżeli q S q... i i dl q orz dl q orz dl q = dl q< brk dl q - dl q dl q= jest ieskończoym ciągiem geometryczym tkim, że q... S q, to istieje sum zw sumą szeregu geometryczego lub sumą ieskończoego ciągu geometryczego. Przykłdy ) 6, -, 4,-48,96, 6, q ),,,,,,, q ) Ciągi zbieże Mówimy, że ciąg,,,,,, N N jest zbieży do liczby g, jeżeli g - g, q, S (tz. liczb g jest gricą ciągu liczbowego, jeśli dl kżdego istieje tk liczb N, że dl kżdego N ierówość - g ; ztem poz przedziłem g, g Liczbę g zywmy gricą ciągu, Zmist zchodzi zjduje się co jwyżej skończo liczb wyrzów ciągu ciąg - zbieżym do liczby g. g piszemy rówież g [formlie g]. W szczególym przypdku ( g =) mmy N N ) Przykłd,,,,,... jest zbieży do g =; 4 5 Ciągi rozbieże Mówimy, że ciąg jest rozbieży do +, jeżeli + A A M M (tz. jeśli prwie wszystkie wyrzy ciągu są większe od dowolej zdej liczby; prwie wszystkie ozcz wszystkie z wyjątkiem skończoej ich liczby, zzwyczj początkowych wyrzów)

4 Mówimy, że ciąg jest rozbieży do, jeżeli B B M M (tz. jeśli prwie wszystkie wyrzy ciągu są miejsze od dowolej zdej liczby) Twierdzei o gricch ciągów zbieżych Jeżeli ciągi orz b są zbieże (tj. istieją ich grice skończoe) tkie, że b zś ) ciąg ) ciąg -b b,to: b jest zbieży orz b b +b jest zbieży orz b b b ) ciąg c jest zbieży orz c c c (*ptrz iżej gric stłej c) 4) ciąg 5) ciąg b jest zbieży orz b b b b jest zbieży, jeśli b i b orz b b b 6) jeśli 7) jeśli b c orz c g, to b g (tw. o trzech ciągch) Podto rówież: Ciąg stły jest zbieży i stąd jego gric c c. Jeśli ciąg jest zbieży do zer, ciąg b ogriczoy, to ciąg si si si ciąg ogriczoy. b jest zbieży do zer. p.: Ciągi rozbieże do ieskończoości Jeżeli, to, to Jeżeli, to Jeżeli ( ozcz w logice i, czyli koiukcję) Jeżeli, to b b 4

5 Ie tw. o ciągch rozbieżych do możemy zpisć symboliczie. [j.w.] , gdy, gdy 9., gdy, gdy Wyrżei ieozczoe przy oblicziu gric, [stosuje się regułę ˆ de l'ospitl lub odpowiedio przeksztłc wyrz ogóly ciągu] [ b / b, co dje ieozczoość typu lub ],, [wyrżeie zlogrytmowć (co d ), potem j.w. lub gricę A, ostteczie zś gricę A e ] [ Grice iektórych ciągów b /, co dje ieozczoość typu ] b b e, e bo e!!!!! e e, dl,,! jeżeli l,, otrzymujemy stąd Czyli obliczyć gricę z logrytmu, tj. A l A, stąd e. 5

6 Przykłdy ) ciąg przemiey, -,, -,, -, ie m gricy (tz. ie jest zbieży; choć jest ogriczoy!, z góry przez, z dołu przez -), gdyż jeśli weźmiemy pod uwgę / 4, to żde przedził g,g (długości ½) ie może jedocześie zwierć liczb orz -; poz tym przedziłem leży więc ieskończeie wiele wyrzów dego ciągu; ) ciąg,,,,,,... m gricę w rówą ; ) ciąg,,,4,5,... przy jest rozbieży do ; 4) Z defiicji: jest gricą ciągu /, gdyż dl dowolego istieje tkie N, że / N orz jeśli N, to N / /, czyli prwie wszystkie wyrzy ciągu (tj. ieskończeie wiele wyrzów) leżą w przedzile,, co zpiszemy stępująco 5) Z defiicji: Niech. Pokżemy, że gjest gricą ciągu przy. Sprwdźmy, dl jkich spełio jest stępując ierówość g Niech. Ztem dl / N mmy, że gric g Jk liczyć grice ciągów liczbowych ) b) c)

7 d) e) Jeżeli jede z ciągów jest ogriczoy, zś gric drugiego jest rów zero, to gric ich iloczyu też jest rów zero. si si ogr f) Jeżeli jede z ciągów jest ogriczoy, zś gric drugiego jest rów zero, to gric ich iloczyu też jest rów zero. ogr ogr lub z tw. o trzech ciągch g) h) i) 7

8 j) k) l) m) , ) bo orz, bo 8

9 5 5 5, o) bo orz 5, bo,, p) z tw. o trzech ciągch 5 7 dl q) r)!!!!!!!!!! z włsości f cji wykłdiczej s) t) u) l l l l v) e Sili :!...! 9

10 Gric i ciągłość fukcji Niech będzie d fukcj f : X, gdzie X. DEF. (gric fukcji w ieskończoości) Jeśli fukcj f jest określo w przedzile (, +) ;b gricę w., to możemy określić jej f g f g X, (tz. mówimy wówczs, że f m w + [] gricę rówą g lub, że zbieg symptotyczie do g w + []; prost y = g jest symptotą poziomą prwostroą [lewostroą] fukcji f ) y y y = f () y = f () DEF. (gric fukcji w pukcie) Powiemy, że g jest gricą fukcji f w pukcie (w sesie eiego [Cuchy ego]), jeżeli (G) f g f g X, (tz. dl dowolego ciągu tkiego, że dl kżdego zchodzi, X (dziedziy fukcji), jeśli, to f g ) g y y = f () (GC) f g f g X DEF. (gric iewłściw fukcji w pukcie) Jeśli fukcj f jest określo w pewym otoczeiu puktu f f X, y y = f () Twierdzei o gricch fukcji w pukcie f g f g f - g f g f g f g c f c f (*ptrz iżej gric stłej c) f f, jeżeli g g g Podstwowe wzory c c W smym pukcie ie musi być określo.

11 si si si si cos cos cos cos si DEF. (grice jedostroe fukcji w pukcie) Gricą lewostroą [prwostroą] fukcji f :Xw pukcie zywmy tki elemet g,, dl którego f g f g X (tz. mówimy wówczs, że fukcj f m gricę lewostroą [prwostroą] w pukcie rówą g; jeśli zś f g f, to mówimy, że fukcj f m gricę w pukcie rówą g f f X y y = f () (tz. jeśli grice f f, to mówimy, że f jest rozbież do w pukcie ; prost jest symptotą lewostroą (gdy ) [prwostroą (gdy )] fukcji f) Ciągłość fukcji w pukcie Powiemy, że f : X, X jest ciągł w pukcie (C) f f X f f (CC) X (tz. fukcj f jest ciągł w pukcie z dziedziy, jeśli jest w tym pukcie określo orz gric f istieje i jest rów f ) X(w sesie eiego[ Cuchy ego]), jeżeli UWAGA: Jeśli istieje tylko gric jedostro f f [lub f f pukcie ciągł lewostroie [prwostroie]. A Fukcję zywmy ciągłą w zbiorze X, jeśli jest ciągł w kżdym pukcie tego zbioru. Fukcję zywmy ciągłą, jeśli jest ciągł w kżdym pukcie swej dziedziy. Fukcj jest ciągłą w kżdym izolowym pukcie swej dziedziy. y f ( ) ], to mówimy, że fukcj f jest w y = f () y = f () Pukt izolowy Włsości fukcji ciągłych Tw. o dziłich rytmetyczych fukcjch ciągłych Jeśli fukcje f i g określoe zbiorze X są ciągłe w pukcie X, f f g, f g, f g, gdy g rówież są ciągłe w pukcie. g Złożeie fukcji ciągłych jest tkże fukcją ciągłą. to fukcje

12 Twierdzeie Weierstrss o osiągiu kresów Jeżeli fukcj f jest ciągł w przedzile domkiętym ;b, to jest w tym przedzile ogriczo i osiąg swoje kresy. Tz., że w przedzile ; b, istieją tkie pukty, ;b, ;b. Co moż zpisć stępująco f ciągł w ;b Włsość Drbou, ;b ;b f f f że f f f dl kżdego Fukcj ciągł w przedzile domkiętym ;b przyjmuje wszystkie wrtości pośredie między f i f b. Wiosek: Jeśli fukcj f jest ciągł w przedzile ;b i f f b, to istieje tkie c ;b, że f c. Tw. o loklym zchowiu zku Jeżeli fukcj f jest ciągł w przedzile otwrtym ;b i w pukcie ;b [ujemą], to istieje otoczeie puktu, w którym fukcj f jest dodti [ujem]. Jeśli istieje skończo gric y f i fukcj y przyjmuje wrtość dodtią h jest ciągł w pukcie y,to h f h f h y (tz możemy wejść z gricą pod zk fukcji) Jeśli fukcj f w przedzile ;b jest ciągł i różowrtościow, to jest w tym przedzile ściśle mootoicz (tj. rosąc lub mlejąc) Reguł de l'ospitl ˆ Jeśli fukcje f i g są określoe w sąsiedztwie puktu (w smym ie muszą być określoe), są w im różiczkowle (tz. pochode f' i g' są skończoe), przy czym g' o f g lub f g o istieje gric f' g' to istieje rówież gric f g f' g' Regułę de l ospitl stosuje się zwsze w sytucji wyrżei ieozczoego postci lub., i spełioe są wruki Ztem jeśli w trkcie obliczi gricy fukcji po rz kolejy otrzym zostie ieozczoość powyższego typu, regułę stosuje się poowie. Reguł de l ospitl pozostje prwdziw w przypdku: gric w ieskończoości, gric w pukcie, gric jedostroych. Nieozczoości typów : lub.,,,, przeksztłc się tk, by otrzymć ieozczoość typu

13 Przykłdy ) ) ) 4) 5) Spr., że jedocześie f 7, co ozcz ciągłość fukcji w pukcie = 6) 7) 8) 9) ) ) tg si si cos cos tg si si si cos cos cos e

14 ) si si si, poiewż si ) e e 4) e 5) 6) f, gdy, gdy jest określo dl / f f f f Ztem ie istieje gric f, gdyż f f. Podto fukcj jest ciągł w swej dziedziie /. (Uwg: ie rozwżmy ciągłości w pukcie, gdyż ie leży do dziedziy!!!) (dziedzi) Wyzcz gricę wykorzystując regułę de l ospitl 7) 8) 9) ) e e e e si cos l l l l e e e l e e si5 cos5 5 si5 4

15 9e 9 9 cos si ) si l si cos si ctg si cos si ogriczo si l si si ctg ) si si si ) cos si si cos cos cos si l l l 4) l l 5) l l l l e e e e e e e e 6) f e e f ie istieje, bo f tomist f (grice są róże) e e e e e e 7) e e e e 5

16 e e e e e... 8) 9) e e e e e ) ) ) ) 4) 5) 6) e e e si cos si cos si cos l si si cos si cos ctg si cos cos si si cos si si si cos si cos ctg si cos si tg cos si cos cos si cos cos si

17 Wyzcz dziedzię i grice iewłściwe fukcji (tj. grice w ieskończoości) i puktch ieokreśloości (grice jedostroe) dej wzorem ) f D \, ) f D, / 7

18 4 ) f D \ ) e f D \, e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e f 5) D \, 8

19 Zbdj ciągłość fukcji dl ) f, w pukcie dl Pukt leży do dziedziy fukcji (iymi słowy fukcj jest określo dl ) Podto przyjmuje wrtość f 4 Obliczjąc grice jedostroe w pukcie otrzymujemy Ztem ie istieje gric f i fukcj ie jest ciągł w pukcie. 4 dl ) f dl Fukcj jest ciągł w swej dziedziie D \. dl ) f dl Fukcj ie jest ciągł w pukcie, poiewż grice jedostroe w pukcie mją róże wrtości Stąd ie istieje gric w pukcie f. 9

20 dl 4) f dl dl Fukcj ie jest ciągł w pukcie. Mimo że grice jedostroe w pukcie mją rówe wrtości i tym smym gric f, to f. Stąd f f. 5 dl 5) f 5 dl dl 8 Fukcj jest ciągł w swej dziedziie D i tym smym istieją grice f 5 orz f. Podto wrtości fukcji f 5 5 i f Ztem f 5 f orz f f, co ozcz ciągłość fukcji w obu puktch. dl dl 6) f dl dl Fukcj jest ciągł w swej dziedziie D,,, poiewż kżd fukcj jest ciągł w puktch izolowych (tutj są to pukty dl i ) 5 4 4