7. Szeregi funkcyjne

Transkrypt

1 7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych { } tego szeregu, gdzie u u u jest zbieży dokłdiej: zbieży puktowo do ukcji Zpisujemy to u Poiewż jest to zbieżość puktow, więc ozcz to, że dl kżdego X szereg u jest zbieży do sumy Jest to więc zbieżość rozumi jk dl ciągów liczbowych, tyle, że dl kżdego X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży jedostjie w zbiorze A X, jeżeli dl kżdego ε > istieje tkie N, że dl kżdego > N orz dl kżdego A zchodzi ierówość u < ε

2 Szereg ukcyjy postci L L osi zwę szeregu potęgowego Promieiem zbieżości szeregu potęgowego zywmy tką liczbę R >, że dy szereg jest zbieży dl < R, dl wrtości > R jest rozbieży Przedził -R ; R zywmy przedziłem zbieżości Twierdzeie Jeśli dl dego szeregu potęgowego g kryterium d Alembert to promień zbieżości tego szeregu wyosi istieje lbo s kryterium Cuchy ego R lbo g R Jeśli zś s g lbo s to R ; jeśli g lbo s to R Przykłd Wyzczyć obszr zbieżości szeregów: Rozwiązie orzystmy z kryterium d Alembert bdjąc jego bezwzględą zbieżość Otrzymujemy γ

3 Stąd ; Pozostją do rozstrzygięci przypdki, kiedy gric jest rów jede, czyli gdy lub W obydwu przypdkch otrzymuje się szeregi rozbieże: orz Ostteczie szereg ukcyjy jest zbieży gdy ; b Podobie jk w przypdku otrzymujemy Stąd ; γ Gdy lub otrzymujemy szeregi rozbieże ; Ostteczie szereg ukcyjy jest zbieży gdy c Obliczmy γ Ozcz to, że szereg jest zbieży dl dowolego R

4 Twierdzeie o różiczkowiu szeregów potęgowych Jeśli szereg potęgowy m promień zbieżości R, jego sum rów się, to szereg potęgowy z pochodych wyrzów szeregu pierwotego m te sm promień zbieżości R, jego sum g jest pochodą sumy szeregu pierwotego, czyli g Oblicz sumę szeregu dl -; Szeregi Tylor i McLuri Twierdzeie Tylor wzór Tylor Jeżeli ukcj m ciągłe pochode do rzędu - włączie przedzile ; b, istieje pochod przedzile ; b orz i są dowolymi różymi puktmi przedziłu ; b, to istieje tki pukt c, że L c gdzie < c < przy > i < c < przy < Ostti wyrz we wzorze Tylor zywmy resztą wzoru Tylor w postci Lgrge i ozczmy R c

5 Szereg potęgowy postci L L zywmy szeregiem Tylor Szereg te przedstwi rozwiiecie ukcji w szereg potęgowy Przykłd Rozwiąć w szereg Tylor ukcję w otoczeiu puktu Rozwiązie Obliczmy koleje pochode ukcji :,,,,,,,, czyli Przedstwić w postci szeregu Tylor w otoczeiu puktu ukcję

6 Twierdzeie Fukcj jest rozwijl w szereg Tylor w przedzile δ ; δ jeżeli w tym przedzile ukcj m pochode kżdego rzędu R UWAGA: wruek jest w szczególości spełioy, jeżeli wszystkie pochode są wspólie ogriczoe w przedzile δ ; δ, tz istieje tk liczb M, że dl kżdego < M Jeżeli we wzorze Tylor przyjmiemy, to otrzymujemy tzw wzór Mcluri: L c W podoby sposób otrzymuje się tzw szereg Mcluri: L L 6

7 7 Przykłd Rozwiąć w szereg Mcluri ukcję: Rozwiązie Obliczmy koleje pochode ukcji :,,,,,, 7, czyli Zdi Wyzczyć obszr zbieżości szeregów:, b, c, d si, Wyzczyć obszr zbieżości szeregu orz zleźć jego sumę S:, b, c, d, Wskzówk: w podpuktch c, d i e wykorzystć cłkowie szeregu geometryczego Rozwiąć w szereg Tylor Mcluri ukcję: l w otoczeiu, b e, c si,