- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

Transkrypt

1 Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol) są 0 elemety zerowe, p.: 0 1. Mcierz edostkow, to mcierz digol mąc sme edyki główe przekąte, p.: I Powiemy, że dwie mcierze A i B są rówe, eśli są tego smego wymiru orz i bi dl kżdego i orz. Mcierz trspoową do mcierzy A (ozczeie A) zywmy mcierz, któr powste w wyiku zmiy kolum z wierszmi i-tą kolumę zpisuemy ko i-ty wiersz, p.: Mcierz A est symetrycz, eśli est mcierzą kwdrtową dl które zchodzi: A A (lub rówowżie i i dl kżdego i orz ). 1

2 Dodwie mcierzy est zdefiiowe tylko dl mcierzy, które są tego smego wymiru. Dodąc mcierze sumuemy elemety stoące w tym smym wierszu i kolumie: Możeie mcierzy A przez mcierz B (ozczeie AB) est wykole tylko wtedy, eśli mcierz A m tyle kolum co mcierz B wierszy. Aby wyzczyć elemet ci stoący w i-tym wierszu i -te kolumie mcierzy wyikowe, leży pomożyć i-ty wiersz mcierzy A przez - tą kolumę mcierzy B, p.: 1 1*1*3 1* * *1 4*3 3* 4* *16*3 4* 6* Przydte włsości: ( AB) C A( BC) A( B C) AB AC ( AB) BA ( ABC) CBA. Wyzczik mcierzy Wyzczik mcierzy est zdefiiowy tylko dl mcierzy kwdrtowe. Wyzczik mcierzy A (ozczeie A lub det(a)) defiiuemy w sposób rekurecyy: A i ( 1), 1 i A i 11 11, Ai ozcz mcierz powstłą z mcierzy A poprzez usuięcie i-tego wiersz orz -te kolumy. Wrto pmiętć wzory wyzczik w przypdku mcierzy x i 3x3: 11 1 det det Włsości wyzczik: AB A B A A

3 3. Śld mcierzy Śld mcierzy defiiuemy tylko dl mcierzy kwdrtowe: elemetów stoących główe przekąte (digoli). N przykłd: tr( A) - sum i1 ii A 7 6, tr( A) Niech c będzie liczbą, wektorem kolumowym, A mcierzą kwdrtową. Wówczs prwdą est: tr( ca) ctr( A) tr( A) tr( A) tr( A B) tr( A) tr( B) tr( AB) tr( BA) tr( ) tr( ) tr( ABC) tr( BCA) tr( CAB) 3

4 Mcierz odwrot Mcierz B est mcierzą odwrotą do mcierzy kwdrtowe A (ozczeie B A 1 ), eśli BA I. Wrto podkreślić, iż możeie mcierzy przez mcierz do ie odwrotą est 1 1 przemiee: AA A A I. Mcierz odwrot ie zwsze istiee. Wrukiem koieczym (i wystrczącym) to, żeby istił mcierz odwrot do mcierzy A, est to, żeby wiersze (kolumy) mcierzy A były liiowo iezleże. Tką mcierz zywmy ieosobliwą. Jk sprwdzć w prktyce czy mcierz odwrot istiee? Wystrczy policzyć wyzczik mcierzy, eśli est róży od zer to mcierz odwrot istiee! Wrto pmiętć wzór mcierz odwrotą wymiru x: A, A 0 A A Niech A i B będą mcierzmi ieosobliwymi (istieą mcierze odwrote). Wówczs: 1 1 A A 1 1 ( A ) A ( A ) ( A) ( AB) 1 1 B A

5 Powtórzeie z Alizy 1. Pochod Niech f ( x1,..., x) : R R (fukc sklr). Pochodą fukci sklre względem wektor x defiiuemy ko wektor pochodych cząstkowych: f x1 f f x x f x m Niech f ( x1,..., x) : R R (fukc wektorow). Powyższy zpis możemy iterpretowć w stępuący sposób: f ( x1,..., x ) ( f1( x1,..., x ),..., fm( x1,..., x )), gdzie f i są fukcmi sklrymi. N przykłd: 3 f : R R f ( x1, x, x3) ( x1, x x3), f1( x1, x, x3) x1, f( x1, x, x3) x x3. Pochod fukci wektorowe względem wektor x to mcierz wymiru xm:., f1 f f x x x f1 f f f x x x x f1 f f x x x Niech,. Defiiuemy fukcę sklrą: 1 k 1 f (,..., ).... Dl kżdego i 1 k 1 1 k k pochode fukci sklre otrzymuemy: k m m m f 1 1 f f (**) f k k Pochodą fukci sklre f względem x defiiuemy ko: f f f f x x1 x x Korzystąc z powyższe defiici otrzymuemy: A 3. A, f i i, więc zgodie z defiicą k (*) 1 k 1 A A Niech A będzie mcierzą wymiru x tomist wektorem -elemetowym. Wówczs: 5

6 i i 1 1 i 1 i 1 i i A 1 i 1 i i. Czyli: A i 1 1i i i 1 i i i 1 i i ={Korzystmy z (*)}= A A 1 k i 1 i1i i 1 ii i 1 i i 1 czyli: 1 i1 i 1 i i i i i1 i i A A 4. ( A A), ={Korzystmy z (**)}=A Przy ozczeich z podpuktu 3) mmy: A. Wówczs: i i A 1 i i i i i i Rozwiiemy l-ty elemet powyższe mcierzy: i i l l l 11 l l... lll l... l l l ( l l ) Terz możemy zpisć: A ( 1 1) ( ) ( A A) ( ) l Jeśli mcierz A est symetrycz, to A A, co uprszcz powyższy wzór do postci: A A. 6

7 5. Wrukiem koieczym (le ie wystrczącym!) istieie ekstremum fukci f w * pukcie est zerowie się grdietu: f 1 0 f f 0 f 0 k 6. Mcierz drugich pochodych - Hessi Niech f ( x1,..., x) : R R (fukc sklr). Mcierz drugich pochodych fukci sklre defiiuemy ko: H( x) f f f x x x x x x f f f x x x x x x 1 f f f x x x x x x 1 Jeżeli fukc f est ciągł orz m ciągłe pochode cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu, to Hessi est mcierzą symetryczą. 7. Wruek koieczy i wystrczący istieie ekstremum dl fukci sklre Fukc f m mksimum w pukcie x *, eśli: f ( x1 *,..., x *) x1 0 f ( x1 *,..., x *) ( 0 f x1*,..., x*) x (zerowie się grdietu) x f ( x1 *,..., x *) 0 xk orz H ( x1*,..., x*) f x1 x f x1 x f x1 x ( *,..., *) ( *,..., *) ( *,..., *) x x x x x x f x1 x f x1 x f x1 x ( *,..., *) ( *,..., *) ( *,..., *) x x x x x x 1 ( 1*,..., *) ( 1*,..., *) f x x f x x f ( x1 *,..., x *) x x x x x x 1 est uemie określo. W przypdku miimum, pierwszy wruek się ie zmie tomist Hessi musi być dodtio określoy. 7