Ciągi i szeregi funkcyjne

Transkrypt

1 Mteriły do ćwiczeń Aliz Mtemtycz II 7/8 Mri Frotczk, Ludwik Kczmrek, Ktrzy Klimczk, Mri Michlsk, Bet Osińsk-Ulrych, Tomsz Rodk, Adm Różycki, Grzegorz Sklski, Stisłw Spodziej Teori pod przed ćwiczeimi pochodzi z pozycji [Sp]. Ciągi i szeregi fukcyje Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Defiicj. (Ciąg fukcyjy). Fukcję określoą zbiorze N o wrtościch w zbiorze R X zywmy ciągiem fukcyjym i ozczmy (f ) N, (f ) = lub f : X R, =,,.... Wtedy piszemy (f ) N R X lub (f ) = RX. Defiicj. (Zbieżość ciągu fukcyjego). Mówimy, że ciąg fukcyjy f : X R, =,,... jest zbieży, gdy istieje fukcj f : X R tk, że dl kżdego X zchodzi to zczy f() = lim f () X ε> N R N ( > N f () f() < ε) Fukcję f zywmy gricą ciągu (f ) N i piszemy f = lim f. Ciąg fukcyjy, który ie jest zbieży, zywmy rozbieżym. Uwg.. Niech (f ) N, (g ) N R X będą ciągmi fukcyjymi zbieżymi odpowiedio do f, g : X R. Wprost z włsości gric ciągów liczbowych dostjemy, że: sum (f + g ) N, różic (f g ) N i iloczy (f g ) N są ciągmi zbieżymi odpowiedio ( do f + g, f g orz fg. Jeśli podto g(), g () dl X orz N, to ciąg f g ) N jest zbieży do f g. Defiicj.3 (Jedostj zbieżość). Mówimy, że ciąg fukcyjy f : X R, =,,... jest jedostjie zbieży, gdy istieje fukcj f : X R tk, że ε> N R N X ( > N f () f() < ε). Wtedy mówimy, że ciąg (f ) N jest jedostjie zbieży do fukcji f i piszemy f f. Włsość.. Niech f : X R, =,,... i f : X R. Ozczmy Wówczs stępujące wruki są rówowże: () f f M = sup{ f () f() : X} dl N. (b) istieje m N, że M R dl m orz lim M =. Twierdzeie. (Wruek Cuchy ego zbieżości jedostjej ciągu fukcyjego). Ciąg fukcyjy f : X R, =,,... jest jedostjie zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy spełi stępujący wruek Cuchy ego: ε> N R,l N X (( > N l > N) f () f l () < ε).

2 Twierdzeie.. Niech ciąg fukcyjy (f ) = RX, gdzie X R, będzie zbieży jedostjie do fukcji f : X R. Jeśli wszystkie fukcje f, N, są ciągłe w pukcie X, to f jest fukcją ciągłą w pukcie. Ćwiczeie.. Udowodić, że dl dowolego A (, ) ciąg fukcyjy f () =, (, A) jest jedostjie zbieży. Ćwiczeie.. Udowodić, że ciąg fukcyjy f () =, R, jest zbieży do fukcji f =, le ie jest o jedostjie zbieży w cłym R. Ćwiczeie.3.. Udowodić, że ciąg fukcyjy f () = + jest jedostjie zbieży w [, ].. Udowodić,że ciąg fukcyjy f () = + ie jest jedostjie zbieży w [, ]. Ćwiczeie.4. Zbdć zbieżość jedostją ciągów fukcyjych:. f () = [, ]; R,. f () = +, [, + ), 3. f () = +, [, ], 4. f () = +, [, + ), 5. f () = +3 +, 6. f () = 7. f () = [, + ), +, R,, 8. f () = +3 +, [, + ), (, + ), 9. f () = e, R,. f () = e, (, + ),. f () = + e, [, + ),. f () = e, [, ], 3. f () = e +e + +e, R, 4. f () = ( ), [, ], 5. f () = ( ), [, ], 6. f () = ( ), [, ], 7. f () = l + +, 8. f () = +, R, 9. f () = +, R, (, + ),. f () = (+) (+) +, R,. f () = +, R. Zbieżość jedostj ciągów fukcyjych.włsości ogóle Ćwiczeie.. Zbdć zbieżość jedostją ciągów fukcyjych:. f () = [], R,. f () = si, R 3. f () = + si, R, 4. f () = l, (, ), 5. f () = l + +, R, 6. f () = l( + ) +, [, ], 7. f () = l ( + ) ( l + +), [, + ), 8. f () = l + 9. f () = l ( +, (, + ), ), R,. f () = rctg( + ), R,. f () = rctg ( + + ), R,. f () = rctg ( + ), 3. f () = rctg +, R, 4. f () = rc si +, R, (, + ), 5. f () = + rctg(e ), R, 6. f () = + rctg(( + ) ), R, 7 f () = +, R, 8 f () = + si cos, R.

3 Ćwiczeie.. Podć przykłd ciągu fukcyjego f : [, ] R, który ie jest zbieży jedostjie w przedzile [, ]. Ćwiczeie.3. Podć przykłd ciągu (f ) N fukcji ciągłych, zbieżego do fukcji ciągłej, le tkiego, że zbieżość ie jest jedostj. Ćwiczeie.4. Niech (f ) N będzie ciągiem fukcji ciągłych przedzile domkiętym [, b]. Jeśli dl kżdego [, b] ciąg (f ()) N jest mootoiczy i zbieży do fukcji ciągłej, to jest zbieży jedostjie. Ćwiczeie.5. Udowodić, że jeśli (f ) N jest ciągiem fukcji jedostjie ciągłych zbiorze E R, jedostjie zbieżym do fukcji f, to f jest fukcją jedostjie ciągłą E. Ćwiczeie.6. Niech (f ) N i (g ) N będą ciągmi fukcyjymi jedostjie zbieżymi odpowiedio do fukcji f i g zbiorze X R. Złóżmy, że istieją stłe M > i K >, że f() K i g () M dl X. Wówczs ciąg ) ( f N jest zbieży jedostjie do fukcji f/g zbiorze X. g Ćwiczeie.7. Niech (f ) N będzie ciągiem fukcji ciągłych jedostjie zbieżym do fukcji f zbiorze zwrtym P R. Niech M = m P f (), M = m P f(). Pokzć, że lim M = M. 3 Zbieżość jedostj szeregów fukcyjych Defiicj 3. (Defiicj szeregu fukcyjego). Niech (f ) = RX. Ciąg fukcyjy (s ) = R X określoy wzorem s () = j= f j () dl X, N, zywmy ciągiem sum częściowych ciągu (f ) =. Szeregiem fukcyjym zywmy prę uporządkową ((f ) =, (s ) = ) i ozczmy = f. Wtedy ciąg (s ) = zywmy ciągiem sum częściowych szeregu = f. Defiicj 3. (Zbieżość szeregu fukcyjego). Szereg fukcyjy = f, gdzie (f ) = RX zywmy zbieżym, gdy zbieży jest jego ciąg sum częściowych. Jeśli s : X R jest gricą ciągu sum częściowych szeregu = f, to mówimy, że szereg te jest zbieży do s, fukcję s zś zywmy sumą tego szeregu i piszemy s = = f. Szereg fukcyjy, który ie jest zbieży zywmy rozbieżym. Defiicj 3.3 (Zbieżość jedostj szeregu fukcyjego). Mówimy, że szereg fukcyjy = f, gdzie f : X R dl N, jest jedostjie zbieży, gdy ciąg sum częściowych tego szeregu jest jedostjie zbieży. Twierdzeie 3. (Wruek koieczy zbieżości szeregu fukcyjego). Jeśli szereg = f jest zbieży jedostjie, to ciąg fukcyjy (f ) = jest zbieży jedostjie do zer. Twierdzeie 3. (Wruek Cuchy ego zbieżości jedostjej szeregu fukcyjego). Niech (f ) = RX. Wówczs szereg = f jest jedostjie zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy spełi stępujący wruek Cuchy ego: ) m ε> N R m,l N X (m l > N f () < ε. Kryterium 3. (Weierstrss). Niech (f ) = RX. Jeśli istieje ciąg liczbowy (M ) = tki, że dl kżdego N zchodzi f () M dl X orz szereg liczbowy = M jest zbieży, to szereg fukcyjy = f jest jedostjie zbieży. Kryterium 3. (Abel). Niech (f ) =, (g ) = RX. Jeśli () istieje M R, że dl kżdego N orz X zchodzi f () M, =l (b) dl kżdego X ciąg (f ()) = jest mlejący, (c) szereg = g jest jedostjie zbieży, to szereg = f g jest zbieży jedostjie. 3

4 Kryterium 3.3 (Dirichlet). Niech (f ) =, (g ) = RX. Jeśli () istieje M R, że dl kżdego k N orz X mmy k = f () M, (b) dl kżdego X ciąg (g ()) = jest mlejący, (c) ciąg (g ) = jest jedostjie zbieży do fukcji g() = dl X, to szereg = f g jest zbieży jedostjie. Ćwiczeie 3.. Zbdć zbieżość i zbieżość jedostją szeregów:. =, [, + ), +. = e, R, 3. = e 5 +, R, 4. = rctg(+)!, R, 5. = (+ ), R, 6. = si , R, 7. = si + e, (, + ), 8. = cos 5 6 +, R, 9. = rctg ( ) +, R,. si () = 3, R, 5 +. rctg () =!, R,. = 4!, [, ], 3. = (+ ), 4. = (+ ), 5. = 3 (+ ), 6. = , R, R, (wyzczyć sumę), R, (wyzczyć sumę), R, (wyzczyć sumę), 7. = + 4, R, 8. = l(+), [, + ), >, 9. = e, [, + ), >,. = e, [, + ),. = e + e, R,. =, [, ], 3. =! ( ), [, ], 4. = ( ) (+ ), R, 5. = ( ), [, ], 6. = ( ) +, 9 =, (, + ), (, + ), 3 = f (), gdzie { f () =, [, + ), dl pozostłych 3 ( ) l, = (, + ), 3 = l, (, e ). Ćwiczeie 3.. Zbdć w jkich podzbiorch zbioru R zbieże są szeregi. = l,. = +, 3. = + ( 3+ ). Czy szeregi te są zbieże jedostjie? Ćwiczeie 3.3. Zbdć zbieżość szeregów si =, cos =, R. Wskzówk: Skorzystć z stępujących wzorów: si k = k= si + si si, 4

5 o ile si. cos k = k= cos + si si, Ćwiczeie 3.4. Udowodić, że istieją fukcje ciągłe R, które ie są różiczkowle w żdym pukcie. Wskzówk. Rozwżyć fukcję f() = = cos(b π), gdzie < <, b N, b > + 3 π. 4 Szeregi potęgowe. Rozwijie fukcji w szereg potęgowy Defiicj 4. (Szereg potęgowy). Niech ( ) = będzie ciągiem liczbowym orz R. Szereg postci ( ), = gdzie R, zywmy szeregiem potęgowym o środku lub szeregiem Tylor o środku w. Przyjmujemy tutj =. Szereg potęgowy o środku w zywmy szeregiem Mcluri. Defiicj 4. (Promień zbieżości). Niech dy będzie szereg potęgowy = ( ). Elemet R R {+ } tki, że powyższy szereg potęgowy jest zbieży dl R tkich, że < R orz rozbieży dl > R zywmy promieiem zbieżości tego szeregu potęgowego. Zbiór { R : < R} zywmy przedziłem zbieżości szeregu potęgowego. Włsość 4.. Biorąc ϱ = lim sup, promieiem zbieżości szeregu = ( ) jest dl ϱ = +, R = /ϱ dl < ϱ < +, + dl ϱ =. Twierdzeie 4.. Niech R > będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego = ( ). Wówczs dl kżdego r R tkiego, że < r < R, szereg = ( ) jest jedostjie zbieży w przedzile { R : r}. Defiicj 4.3. Szeregiem pochodych szeregu potęgowego = ( ) zywmy szereg ( ). = Włsość 4.. Promieie zbieżości szeregu potęgowego = ( ) = ( ) są rówe. i szeregu pochodych Twierdzeie 4.. Niech R > będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego = ( ), orz iech f będzie sumą tego szeregu w przedzile zbieżości P = { R : < R}. Wówczs fukcj f jest klsy C w P orz f (k) () = =k! ( k)! ( ) k dl P. Defiicj 4.4 (Rozwiięcie fukcji w szereg potęgowy). Jeśli fukcj f w pewym otoczeiu puktu R jest sumą szeregu potęgowego o środku postci, f() = ( ) w pewym otoczeiu puktu, = to mówimy, że fukcj f rozwij się w otoczeiu puktu w szereg potęgowy lub w szereg Tylor. Wtedy szereg = ( ) zywmy rozwiięciem fukcji f w szereg potęgowy w otoczeiu puktu lub rozwiięciem w szereg Tylor. 5

6 Twierdzeie 4.3 (Współczyiki rozwiięci fukcji w szereg). Jeśli fukcj f rozwij się w pewym otoczeiu puktu w szereg potęgowy f() = = ( ), to rozwiięcie to jest określoe jedozczie, podto = f () ( )! dl =,,... Defiicj 4.5. Niech f : (, b) R będzie fukcją klsy C orz (, b). Dl N, fukcję R : (, b) R tką, że f() = k= f (k) ( ) ( ) k + R () dl (, b) k! zywmy -tę resztą we wzorze Tylor. Ciąg fukcyjy (R ) = Tylor. zywmy ciągiem reszt we wzorze Twierdzeie 4.4. Niech f : (, b) R będzie fukcją klsy C, (, b) orz (R ) = będzie ciągiem reszt we wzorze Tylor. Wówczs fukcj f rozwij się w otoczeiu Ω (, b) puktu w szereg potęgowy wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego Ω zchodzi lim R () =. Wzory 4.. Poiższe fukcje rozwijją się w stępujące szeregi: e = =! dl R, Podto dl α R mmy si = cos = = ( ) ( + )! + dl R, = ( ) ()! dl R, = dl (, ), = ( ) + l( + ) = dl (, ). = ( + ) α = = ( ) α dl (, ), gdzie ( ) α α(α ) (α + ) =! dl N orz ( ) α =. Ćwiczeie 4.. Wykzć, że fukcje. f() =, R,. f() = (, ) rozwijją się w szereg Tylor o środku w pukcie =. Ćwiczeie 4.. Zleźć sumy stępujących szeregów, o ile istieją. =,. =, 3. = 3, 4. = ( ) +, 6

7 5. = + +3, 6. = ( ) (+) 3 4, 7. = +, <, 8. =. Ćwiczeie 4.3. Opisć wszystkie szeregi potęgowe, które są jedostjie zbieże R. Ćwiczeie 4.4. Zleźć promień zbieżości R szeregu =! ( + )! + orz wykzć, że jego sum f spełi rówie f () = + f(), ( R, R). Ćwiczeie 4.5. Dowieść, że szereg = 3 (3)! jest zbieży R orz jego sum f spełi rówie f () + f () + f() = e. Ćwiczeie 4.6. Niech f() = = dl <. Wykzć, że istieje stł M >, tk że f () < M dl <. Ćwiczeie 4.7. Zleźć rozwiięcie fukcji e w szereg Tylor o środku w pukcie R. Ćwiczeie 4.8. Zleźć rozwiięcie fukcji, >,, w szereg Tylor o środku w pukcie R. Ćwiczeie 4.9. Zleźć rozwiięcie fukcji l w szereg Tylor o środku w pukcie R +. Ćwiczeie 4.. Zleźć rozwiięcie fukcji. log, >,,. α w szereg Tylor o środku w pukcie R +. Ćwiczeie 4.. Zleźć rozwiięcie fukcji w szereg Tylor o środku w dl fukcji. rc si (skorzystć z fktu, że(rc si ) = ),. rctg (skorzystć z fktu, że(rctg ) = + ). Ćwiczeie 4.. Zleźć rozwiięcie stępujących fukcji w szereg Mcluri. f() = sih = e e,. f() = cosh = e +e, 3. f() = l(3 + ), 4. f() = e, 5. f() = ( ), 6. f() = , 7. f() = + +, 8. f() = 3, 9. f() = si,. f() = si (3) cos (4),. f() = si (3). 5 Rozwijie fukcji w szereg potęgowy. Twierdzeie Weierstrss i Arzeli-Ascoliego Twierdzeie 5. (Weierstrss o proksymcji). Kżd fukcj f ciągł w przedzile domkiętym [, b] jest gricą pewego jedostjie zbieżego w [, b] ciągu wielomiów. Defiicj 5. (Ogriczo rodzi fukcji). Niech X R, X orz iech R będzie rodzią fukcji rzeczywistych określoych zbiorze X. Mówimy, że rodzi R jest ogriczo w pukcie X, gdy istieje M R, że dl kżdej fukcji f R zchodzi f( ) M. Mówimy, że rodzi R jest ogriczo, gdy istieje M R, że dl kżdej fukcji f R orz kżdego X zchodzi f() M. 7

8 Defiicj 5. (Jedkowo ciągł rodzi fukcji). Niech X R, X orz iech R będzie rodzią fukcji rzeczywistych określoych zbiorze X. Mówimy, że rodzi R R X jest jedkowo ciągł, gdy dl kżdego ε > istieje δ >, że dl kżdej fukcji f R orz kżdych, X tkich, że < δ zchodzi f( ) f( ) < ε. Twierdzeie 5. (Arzeli-Ascoliego). Niech R będzie rodzią fukcji rzeczywistych określoych przedzile ogriczoym P. Jeśli R jest rodzią jedkowo ciągłą i ogriczoą w pewym pukcie P, to z kżdego ciągu (f ) = R tej rodziy moż wybrć podciąg jedostjie zbieży. Ćwiczeie 5.. Zleźć rozwiięcie stępujących fukcji w szereg Tylor w otoczeiu puktu. f() = , = 4,. f() = ( 4 + 4) 3, =, 3. f() =, =, 4. f() = e 3, =, 5. f() = e +5, = 7, 6. f() =, =, 7. f() = (+), =, 8. f() = +4 +5, =, 9. f() = +3, =,. f() =, =,. f() = 3, = 5,. f() = 3 + 5, = 3, 3. f() = ( ) l( + ), =, 4. f() = l (4 + 5), =, 5. f() = ( 4) l( 5), = 4, 6. f() = l( 3), =, 7. f() = l( + 3), =, 8. f() = si, = π, 7 f() = +, R \ {}. Ćwiczeie 5.. Udowodić, że dl dowolego R > istieje ciąg wielomiów (W ) N zbieży jedostjie do fukcji f() = w przedzile [ R, R] tki, że W () =, dl N. Ćwiczeie 5.3. Podć przykłd ciągu wielomiów (W ) N, który jest jedostjie zbieży przedzile [, ] do fukcji f() = e. Ćwiczeie 5.4. Zbdć, czy istieje ciąg wielomiów jedostjie zbieży przedzile [, ] do fukcji { si f() = dl [, ] \ {} dl = Ćwiczeie 5.5. Udowodić, że fukcj f określo w przedzile I ie jest gricą jedostjie zbieżego ciągu wielomiów. f() = si, I = (, ),. f() = cos, I = (, ), 3. f() =, I = (, + ), 4. f() = l, I = (, ). Ćwiczeie 5.6. Podć przykłdy, że w twierdzeiu Arzeli-Ascoliego ie moż opuścić żdego z złożeń. Ćwiczeie 5.7. Udowodić, że jeżeli ciąg fukcyjy (f ) N jest zbieży przedzile ogriczoym P i tworzy rodzię jedkowo ciągłą, to jest ciągiem jedostjie zbieżym P. Ćwiczeie 5.8. Udowodić, że kżd fukcj ciągł f : [, b] R jest gricą jedostjie zbieżego ciągu łmych, tz. fukcji, które są ciągłe i kwłkmi liiowe. 8

9 Cłk Riem 6 Cłk ieozczo. Wzory podstwowe Defiicj 6. (Fukcj pierwot). Niech f będzie fukcją określoą przedzile P. Mówimy, że fukcj F : P R jest fukcją pierwotą fukcji f w przedzile P, gdy F jest fukcją różiczkowlą i F () = f() dl P. Twierdzeie 6. (o istieiu fukcji pierwotej fukcji ciągłej). Niech P będzie przedziłem. Wówczs kżd fukcj ciągł f : P R m fukcję pierwotą w przedzile P. Defiicj 6. (Cłk ieozczo). Niech P będzie przedziłem orz f fukcją określoą P. Jeśli fukcj f m fukcję pierwotą w przedzile P, to zbiór wszystkich fukcji pierwotych fukcji f w przedzile P zywmy cłką ieozczoą fukcji f w przedzile P i ozczmy f d lub f() d. Jeśli fukcj f ie m fukcji pierwotej w przedzile P, to mówimy, że fukcj t ie m cłki ieozczoej w tym przedzile. Włsość 6.. Jeśli fukcje f i g mją cłki ieozczoe w przedzile P, to fukcje f + g orz αf, gdzie α R, mją cłki ieozczoe w przedzile P i (f + g) d = f d + g d orz αf d = α f d. Twierdzeie 6. (Cłkowie przez części). Niech P będzie przedziłem orz iech f, g będą fukcjmi różiczkowlymi w przedzile P. Jeśli fukcj f g m w przedzile P cłkę ieozczoą, to fukcj f g m w przedzile P cłkę ieozczoą orz f g d = fg f g d. Twierdzeie 6.3 (Cłkowie przez podstwieie). Niech P, Q będą przedziłmi orz iech ϕ : Q R będzie fukcją różiczkowlą tką, że ϕ(q) P. Jeśli fukcj f m w przedzile P cłkę ieozczoą, to fukcj f ϕ ϕ m w przedzile Q cłkę ieozczoą orz ( ) f ϕ() ϕ () d = f(t)dt ϕ(). Wzory 6.. Niech α, R. Wówczs w odpowiedim przedzile, mmy α d = α+ α+ + C, w (, + ), gdy α R \ { }, α d = α+ α+ + C, w R, gdy α N, α d = α+ α+ + C, w (, ), gdy α Z \ { }, d = l + C, w (, + ), d = l( ) + C, w (, ), e d = e + C, w R, d = l + C, w R, gdy >,, si d = cos + C, w R, cos d = si + C, w R, cos d = tg + C, w ( π + kπ, π + kπ), gdzie k Z, d = ctg + C, w (kπ, π + kπ), gdzie k Z, si + d = rctg + C, w R, d = rc si + C, w (, ). gdzie C R jest dowolą stłą. 9

10 Ćwiczeie 6.. Obliczyć cłki ieozczoe. ( ) 3 3 si + cos d,. ( ) d, 3. 3 d, 4. e 3 e d, 5. ctg d, 6. si cos d, 7. 5 d, 8. d, d,. si 3 +cos 3 si si cos +cos d. Ćwiczeie 6.. Niech f : P R (P -dowoly przedził) będzie fukcją klsy C, tką, że f() dl P. Udowodić, że wówczs f d = l f + c f Ćwiczeie 6.3. Obliczyć cłki ieozczoe. + d, d, 3. l d, 4. e e + d, 5. e si cos d, d, 7. 6 d, 8. cos si cos d, 9. e 3 +e 6 d,. cos d.. ctg d,. si +3 cos d, 3. 3 cos 4 d, 4. si 4 cos 5 d, 5. si d, 6. (+4 )(rctg ) d, 7. tg si d, ( ) d. Ćwiczeie 6.4. Udowodić, że jeśli fukcje f, g : P R (P -dowoly przedził) posidją cłki ieozczoe, to ich iloczy f g może ie posidć cłki ieozczoej. Wskzówk. Rozwżyć fukcję f() = { si = i wykzć, że posid o cłkę ieozczoą, lecz jej kwdrt f ie m tej włsości. Ćwiczeie 6.5. Obliczyć cłki ieozczoe. si d,. cos d. 3. e cos d, 4. l d, 5. log 3 d, 6. e d, 7. e 3 d, 8. rctg d, 9. l d,. d,. 3 si d,. si d, 3. cos l d. Ćwiczeie 6.6. Obliczyć cłki ieozczoe. 3 + d,. e d, 3. l d, 4. l d, 5. +l d, 6. l(rctg ) + d, 7. ctg l(si ) d, d, d, d, d,. 3 4d, d, 4. si 3 + cos d, 5. e d, 6. rc si d, 7. rctg d, 8. +l 3+ l d.

11 7 Cłkowie fukcji wymierych i trygoometryczych Defiicj 7. (Ułmki proste). Niech N orz, b, c, d, p, q R. Ułmkmi prostymi zywmy fukcje wymiere postci f() = ( b), b, g() = c + d ( + p + q), R, gdzie p 4q <. Włsość 7.. Niech N, > orz, b R. Wówczs d = l(b ) + C, w przedzile (, b), b d = l( b) + C, w przedzile (b, + ), b ( b) d = + C, w przedzile (, b), ( )( b) gdzie C R jest dowolą stłą. ( b) d = + C, w przedzile (b, + ), ( )( b) Włsość 7.. Niech b R, b >. Wówczs + b d = l( + b) + C, w zbiorze R, ( + b) α d = ( α)( + C, w zbiorze R, gdzie α R \ {} + b) α orz C R jest dowolą stłą. Włsość 7.3. Ozczmy I = ( d, w zbiorze R, gdzie N. + ) Wówczs gdzie C R jest dowolą stłą orz I = rctg + C w zbiorze R, I + = ( + ) + I dl N. Twierdzeie 7.. Dl kżdej fukcji wymierej f istieje wielomi W orz skończoy ciąg ułmków prostych g,..., g k, że f = W + g + + g k, w puktch, gdzie fukcj f jest określo. Lemt 7.. Kżdy wielomi doddiego stopi (o współczyikch rzeczywistych) jest iloczyem skończoej ilości wielomiów stopi pierwszego orz wielomiów stopi, które ie mją pierwistków. Lemt 7.. Niech P, Q będą wielomimi orz R, k N. Jeśli Q(), to przyjmując A = P () Q(), istieje wielomi P tki, że gdzie R, ( )Q(). P () ( ) k Q() = A ( ) k + P () ( ) k Q(),

12 Lemt 7.3. Niech P, Q będą wielomimi orz p, q R, k N. Jeśli wielomi + p + q ie dzieli żdego z wielomiów P i Q orz p 4q <, to istieją B, C R orz istieje wielomi P tki, że dl kżdego R spełijącego Q(), zchodzi P () ( + p + q) k Q() = B + C ( + p + q) k + P () ( + p + q) k Q(). Twierdzeie 7. (Cłkowie fukcji trygoometryczych). Niech (, b) ( π, π) orz iech f : (, b) R będzie fukcją postci f() = W (si, cos ), (, b), gdzie W jest fukcją wymierą dwóch zmieych. Jeśli ϕ : (, b) R jest fukcją określoą wzorem ϕ() = tg, (, b), to ( ) f() = W t +t, t +t + t ϕ() ϕ (), (, b). W szczególości W f() d = ( ) t +t, t +t + t dt ϕ() w przedzile (, b). Ćwiczeie 7.. Obliczyć cłki ieozczoe. 3 d, d, d, (+) d, 5. + d, d, d, 8. 4 d, 9. e + e d,. 3 (+)( ) d, d, d, d, 4. ( +) d, 5. ( +) 3 d, d. Ćwiczeie 7.. Obliczyć cłki ieozczoe. cos 3 si d,. cos d, 3. cos 3 d, 4. si +cos d, 5. si 4 d, 6. si cos +si 4 d, 7. si 4 +cos 4 d, 8. si cos +5 d, 9. +si cos (+cos )(+si ) d,. 5+4 cos d,. cos d,. cos 5 +si d, 3. si 3 cos d, 4. cos cos 3d, 5. si 3 si 4d. 8 Cłkowie pewych fukcji iewymierych Twierdzeie ( 8. (I podstwieie Euler). Niech f będzie fukcją postci f() = W, ) + b + c, P. Jeśli > i b 4c, to fukcj ϕ : P R określo wzorem ϕ() = + b + c +, P jest różiczkowl i dl P mmy ( t ) c = ϕ(), t + b orz ( t + bt + c ) + b + c = ϕ() t + b ( t + bt + c ) = ( t + b) ϕ()ϕ ().

13 W szczególości w przedzile P, f() d = [ W ( t c t + b, t + bt + c t + b ) t + bt + c ] ( t + b) dt ϕ. Ćwiczeie 8.. Obliczyć cłki ieozczoe. + d, >, R,. + d, >, R, 3. + d, >, R, 4. d, >, (, ), 5. d, >, (, ), 6. d, >, (, ). Ćwiczeie 8.. Obliczyć cłki ieozczoe. 4 d,. d, 3. + d, d, d, d, 7. rc si d, 8. d, 9. rc si d,. 3 4 d,. k d, d, d, d, 5. ( 3 7) d. 9 Cłk Riem. Podstwowe włsości. Cłk jko gric sum Riem Defiicj 9. (Podził przedziłu). Niech, b R, < b. Kżdy skończoy ciąg P postci P = (,..., ), gdzie N, = < <... < < = b. zywmy podziłem przedziłu [, b]. Wyrzy i, i =,...,, podziłu P zywmy puktmi podziłu P. Dl podziłu P powyższej postci określmy ciąg i = i i, i =,...,. Liczbę zywmy średicą podziłu P. δ(p) = m{ i : i =,..., } Defiicj 9. (Dol i gór sum Drbou). Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą i iech P będzie podziłem przedziłu [, b]. Połóżmy Liczby m i = if f([ i, i ]), M i = sup f([ i, i ]), i =,...,. L(P, f) = m i i orz U(P, f) = M i i i= i= zywmy odpowiedio dolą orz górą sumą Drbou fukcji f w przedzile [, b] wyzczoą przez podził P. 3

14 Defiicj 9.3 (Dol i gór cłk Drbou). Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą. Ozczmy przez L(f) zbiór wszystkich dolych sum Drbou L(P, f) orz przez U(f) zbiór wszystkich górych sum Drbou U(P, f), gdzie P przebieg wszystkie podziły przedziłu [, b]. Liczbę sup L(f) zywmy dolą cłką Drbou fukcji f w przedzile [, b]. Liczbę if U(f) zywmy górą cłką Drbou fukcji f w przedzile [, b]. Dolą i górą cłkę Drbou fukcji f w przedzile [, b] ozczmy odpowiedio f() d, f() d. Włsość 9.. Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą i iech P będzie podziłem przedziłu [, b]. Wówczs L(P, f) f() d f() d U(P, f). Defiicj 9.4 (Cłk Riem). Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą. Mówimy, że fukcj f jest cłkowl w sesie Riem w przedzile [, b], gdy dol i gór cłk Drbou fukcji f w przedzile [, b] są rówe, to zczy f() d = f() d. Zbiór wszystkich fukcji cłkowlych w sesie Riem w przedzile [, b] ozczmy R([, b]). Jeśli f R([, b]), to wspólą wrtość dolej i górej cłki Drbou ozczmy f d lub f() d i zywmy cłką Riem fukcji f w przedzile [, b] lub cłką ozczoą Riem fukcji f w przedzile [, b]. Twierdzeie 9.. Kżd fukcj ciągł w przedzile domkiętym jest cłkowl w sesie Riem w tym przedzile. Twierdzeie 9.. Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą. Jeśli fukcj f jest ciągł w przedzile [, b], z wyjątkiem co jwyżej skończoej ilości puktów, to f jest cłkowl w sesie Riem w tym przedzile. Twierdzeie 9.3. Kżd fukcj mootoicz w przedzile domkiętym jest cłkowl w sesie Riem w tym przedzile. Twierdzeie 9.4 (Podstwowe twierdzeie rchuku cłkowego). Jeśli fukcj f m w przedzile [, b] fukcję pierwotą F : [, b] R orz f R([, b]), to f d = F (b) F (). Twierdzeie 9.5. Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą orz iech A R. Wówczs stępujące wruki są rówowże: () f R([, b]) orz f() d = A. (b) Dl kżdego ciągu (P ) = podziłów przedziłu [, b] tkiego, że lim δ(p ) =, zchodzi lim L(P, f) = A orz lim U(P, f) = A. () (c) Istieje ciąg (P ) = podziłów przedziłu [, b] tki, że zchodzi (). 4

15 Twierdzeie 9.6 (Cłk jko gric sum Riem). Niech f : [, b] R będzie fukcją ogriczoą i iech A R. Wówczs stępujące wruki są rówowże: () f R([, b]) i f d = A, (b) dl kżdego ε > istieje η > tk, że dl kżdego podziłu P = (,..., ) przedziłu [, b] o średicy miejszej od η orz kżdego ciągu puktów t i [ i, i ], i =,...,, zchodzi A f(t i )( i i ) < ε. i= Twierdzeie 9.7. Niech (f ) N będzie cigiem fukcji określoych przedzile [, b]. Jeśli f R([, b]) dl N orz szereg f jest jedostjie zbieży w [, b] do fukcji f, to f R([, b]) orz fd = f d = f d. Ćwiczeie 9.. Korzystjąc z defiicji cłki Riem wykzć, że fukcje = =. f() =, [, ],. f() =, [, ] 3. f() = 3, [, ], 4. f() = +, [, 3] są cłkowle. Wskzówk. Skorzystć z rówości: () = (+), (b) = (+)(+) 6. Ćwiczeie 9.. Podć przykłd fukcji cłkowlej o ieskończoej liczbie puktów ieciągłości. Ćwiczeie 9.3. Udowodić, że jeśli fukcj f : [, b] R jest ciągł, f() dl [, b] i f()d =, to f =. Ćwiczeie 9.4. Niech f, g R([, b]). Udowodić, że zchodzi stępując ierówość Schwrz dl cłek ( fgd) f d g d. Ćwiczeie 9.5. Obliczyć wrtości cłek. π π si 3d,. 5 d, e d, ( ) d, ( + ) d, 6. ( + 3 )d, e d, d, 9. 3 e d,. e l d,. e l d, e l rctg + d, +4 d, 4. + d, d, d, +9 d, 8. π π (si + cos )d, 9. 4 rc cos d,. π +cos d,. e e. l l d, +e d, 3. erctg + d, 4. 4 d, d. 5

16 Ćwiczeie 9.6. Obliczyć grice ( ). lim , ( ). lim , 3. lim ( lim ( 5. lim ( ), 4 + ), ), 6. lim ( lim , 8. lim + + +, lim ( e + e e ), lim ( + )( + ) ( + ), 4 ), lim p+ ( p +3 p + +( ) p), p >. Ćwiczeie 9.7. Podć przykłd fukcji cłkowlej f w przedzile [, b], ie posidjącej fukcji pierwotej. Ćwiczeie 9.8. Podć przykłd fukcji cłkowlej w przedzile [, b], dl której fukcj F () = fd jest różiczkowl w [, b], lecz F ( ) f( ) dl pewego [, b]. Ćwiczeie 9.9. Obliczyć cłki. e d,. si( )d, 3. si d. Ćwiczeie 9.. Podć przykłd ciągu (f ) N fukcji cłkowlych zbieżego (le iejedostjie) do fukcji cłkowlej f, dl którego zchodzi rówość lim f d = lim f d. Ćwiczeie 9.. Wychodząc z rówości l( + + ) = +t dt rozwiąć fukcję f() = l( + + ) w szereg Mcluri. Ćwiczeie 9.. Niech f : [, b] R będzie fukcją ciągłą, tką że k f()d = dl k =,,,... Pokzć, że f() = dl [, b]. Wskzówk. Skorzystć z twierdzei proksymcyjego Weierstrss. Ćwiczeie 9.3. Udowodić. wzór Wllis π = lim () () ( ) ( ),. wzór Stirlig. Dl kżdej liczby turlej istieje liczb θ tk, że < θ i Cłki iewłściwe! = e πe θ. Defiicj. (Cłk w przedzile [, b) ). Niech f będzie fukcją określoą w przedzile [, b), gdzie < b, b R. Jeśli dl kżdego β (, b) fukcj f jest cłkowl w sesie Riem w przedzile [, β] orz istieje skończo gric β A = lim f d, β b 6

17 to liczbę A zywmy cłką iewłściwą Riem fukcji f w przedzile [, b) lub cłką iewłściwą fukcji f w przedzile [, b) i ozczmy f d. Wtedy mówimy, że f d jest zbież do A. Jeśli gric lim β β b f d ie istieje lbo jest ieskończo, to mówimy, że cłk iewłściw fukcji f w przedzile [, b) ie istieje lub, że cłk jest rozbież. Jeśli A = + lub A =, to mówimy, że cłk fd jest rozbież do + lub do. Jeśli zbież jest cłk f d, to mówimy, że cłk f d jest bezwzględie zbież. Jeśli cłk f d jest zbież lecz ie jest zbież bezwzględie, to mówimy, że cłk t jest wrukowo zbież. Alogiczie określmy cłkę fukcji w przedzile (, b], którą ozczmy f d. Defiicj. (Cłk w przedzile (, b) ). Niech f będzie fukcją określoą w przedzile (, b) gdzie, b R, < b. Jeśli istieje c (, b) tkie, że cłki c f d orz c f d są zbieże, to określmy cłkę iewłściwą Riem fukcji f w przedzile (, b) jko f d = c f d + f d, c i mówimy, że cłk t jest zbież. Jeśli cłk c f d lub c f d jest rozbież, to cłkę f d zywmy rozbieżą. Jeśli cłk f d jest zbież, to cłkę f d zywmy bezwzględie zbieżą. Jeśli cłk f d jest zbież lecz ie jest zbież bezwzględie, to mówimy, że cłk t jest wrukowo zbież. Włsość.. Niech f będzie fukcją określoą w przedzile (, b). Wówczs: () Cłk f d jest zbież wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego c (, b) zbieże są cłki c f d orz c f d. (b) Jeśli cłk f d jest zbież, to f d = c f d + c f d dl kżdego c (, b). Twierdzeie.. Niech f, g : [, b) R orz iech f, g R([, β]) dl kżdego β (, b). () Jeśli cłk f d jest bezwzględie zbież, to jest zbież orz f d f d. (b) Jeśli f() g() dl [, b) orz cłk g d jest zbież, to cłk f d jest zbież bezwzględie orz f d (c) Jeśli f() g() dl [, b) orz cłk f d jest rozbież, to cłk g d jest rozbież. g d. Ćwiczeie.. Dl jkich wrtości > cłk iewłściw d jest zbież? Ćwiczeie.. Udowodić, że jeśli fukcj f : P R ( P = [, b]) m jedyy pukt osobliwy b i jest o cłkowl w kżdym przedzile miejszym [, β], < β < b orz cłk iewłściw f d jest zbież, to jest zbież i cłk fd. Ćwiczeie.3. Udowodić, że jeśli cłk + fd jest zbież, to. dl dowolego A > cłk + A f d cłk jest zbież,. lim A + A fd =. Ćwiczeie.4. Zbdć zbieżość cłki + si d. 7

18 Ćwiczeie.5. Zbdć zbieżość cłek iewłściwych. d, d, d, d, d, d, 7. + π cos d, 8. π tg d, 9. + d,.. π. e 3. 3 π π Ćwiczeie.6. Obliczyć cłkę d. (rc si ) d, cos etg d, ( l ) d, si d, 4. π si d, 5. π si d. 6. π cos d, 7. + e d, 8. + e d, Ćwiczeie.7. Zbdć zbieżość cłek iewłściwych d,. + + d, π (+) d, e +e d, ++3 d, si d, 5. + cos d, 6. e /e l d.. e. 3 l d, 4 d, 3. + e l l d, 4. + e rctg e +e d, 5. + e si d, e ( ) d, +si d, d, d, 4 d, 4 d, 5 d, e 5 d, 5 d, rctg d, d, cos ( ) 3 d, e d, e cos d, cos + d, d, ( 3)(5 ) 4 d, [] d, gdzie [ ] ozcz cłość z liczby R. Kryterium cłkowe zbieżości szeregów. Mir Jord Kryterium. (Kryterium cłkowe zbieżości szeregów). Niech f : [, + ) R będzie fukcją mootoiczą. Wówczs szereg f() jest zbieży, wtedy i tylko wtedy, gdy cłk f d jest zbież. = Defiicj.. Prostokątem zywmy podzbiór P płszczyzy R, postci P = [, b ] [, b ], gdzie [, b ], [, b ] są przedziłmi domkiętymi. Wętrzem prostokąt P zywmy zbiór It P = (, b ) (, b ). Zwrtością prostokąt P = [, b ] [, b ] zywmy liczbę P = (b ) (b ). Dl rodziy prostokątów Π = {P,..., P k } przyjmujemy Π = P + + P k. Defiicj. (Mir zewętrz Jord). Niech D R będzie zbiorem ogriczoym. Ozczmy przez U(D) zbiór wszystkich rodzi prostokątów {P,..., P k } tkich, że D P... P k orz It P i It P j = dl i j. 8

19 Mirą zewętrzą Jord zbioru D zywmy liczbę m z (D) = if{ Π : Π U(D)}. Defiicj.3 (Mir wewętrz Jord). Niech D R będzie zbiorem ogriczoym. Ozczmy przez L(D) zbiór wszystkich rodzi prostokątów {P,..., P k } tkich, że P... P k D orz It P i It P j = dl i j. Mirą wewętrzą Jord zbioru D zywmy liczbę m w (D) = { sup{ Π : Π L(D)}, gdy L(D),, gdy L(D) =. Defiicj.4 (Zbiór mierzly w sesie Jord). Zbiór ogriczoy D R zywmy mierzlym w sesie Jord, gdy m w (D) = m z (D). Jeśli D R jest zbiorem mierzlym w sesie Jord, to mirę zewętrzą zbioru D zywmy mirą Jord zbioru D i ozczmy m J (D). Twierdzeie. (Mir Jord cłk Riem). Niech f, g R([, b]) orz f() g() dl [, b]. Wówczs zbiór D = {(, y) R : b g() y f()} jest mierzly w sesie Jord i m J (D) = (f g) d. Ćwiczeie.. Udowodić, że złożeie o mootoiczości fukcji f w kryterium cłkowym zbieżości szeregów jest istote. Ćwiczeie.. Zbdć zbieżość szeregów. =,. = l, 3. = e +e, 4. =3 l, 5. = e, 6. = e, 7. = e, 8. = l, 9. = (l ),. = +3 +6,. = l,. = +, 3. = ( π rctg ). Ćwiczeie.3. Niech f : [, ) [, ) będzie fukcją ciągłą. Jeżeli to Czy prwdziwe jest twierdzeie odwrote? A = lim Ćwiczeie.4. Obliczyć mirę Jord zbiorów f k= f()d = A. ( k ),. zbioru ogriczoego zwrtego między prbolmi y = orz y =,. zbioru ogriczoego zwrtego między prbolą y = i prostą + y =, 3. zbioru ogriczoego zwrtego między hiperbolą y = 4 i prostą + y = 5, 4. zbioru zwrtego między wykresem fukcji y = cos, [, π] i prostą y =. 9

20 Ćwiczeie.5. Obliczyć mirę Jord zbiorów. D = {(, y) R : 4, y },. D = {(, y) R :, y rctg }, 3. D = {(, y) R : π 4, y tg }, 4. D = {(, y) R :, y rc si 5}, 5. D = {(, y) R : 3, y + 3}, 6. D = {(, y) R : π 6, si y cos }, 7. D = {(, y) R :, rctg y rcctg }, { } 8. D = (, y) R :, y +, 9. D = {(, y) R : e e, e y l },. D = {(, y) R : + y R },. D = {(, y) R : + y b, >, b > }. Długość krzywej Defiicj.. Dl puktu = (,..., k ) R k, ozczmy = + + k i zywmy ormą. Jeśli, y R k, to liczbę y zywmy odległością euklidesową puktów i y, gdzie y = ( y,..., k y k ). Defiicj.. Niech γ,..., γ k : [, b] R będą fukcjmi ciągłymi. Odwzorowie γ = (γ,..., γ k ) : [, b] R k zywmy krzywą. Pukty γ(), γ(b) zywmy odpowiedio początkiem i końcem krzywej γ. Jeśli γ jest odwzorowiem różowrtościowym, to krzywą γ zywmy łukiem. Jeśli γ() = γ(b), to krzywą γ zywmy zmkiętą. Jeśli wszystkie fukcje γ,..., γ k sę różiczkowle w przedzile [, b] orz γ,..., γ k są ciągłe, to γ zywmy krzywą głdką. Defiicj.3 (Długość krzywej). Niech γ : [, b] R k będzie krzywą. Dl kżdego podziłu P = (,..., ) przedziłu [, b] określmy Długością krzywej γ zywmy V (P, γ) = γ( i ) γ( i ). i= V (γ) = sup{v (P, γ) : P jest podziłem przedziłu [, b]}. Jeśli V (γ) < +, to krzywą γ zywmy prostowlą. Twierdzeie.. Jeśli γ : [, b] R k jest krzywą głdką, to γ jest prostowl orz gdzie γ = (γ,..., γ k ) : [, b] Rk. V (γ) = γ (t) dt, Włsość.. Niech f : [, b] R będzie fukcją klsy C. Długość wykresu fukcji f, czyli krzywej γ(t) = (t, f(t)), t [, b], jest określo wzorem V (γ) = + (f (t)) dt.

21 Ćwiczeie.. Wykzć, że. krzyw γ : [, π] R, γ(t) = (R cos t, R si t), R > jest krzywą zmkiętą i głdką.. obrzem γ jest okrąg o środku w zerze i promieiu R, tz. γ([, π]) = S R, gdzie S R = {(, y) R : + y = R }. Ćwiczeie.. Obliczyć długość krzywych. steroidy: γ(t) = ( cos 3 t, si 3 t), t [, π], >,. cykloidy: γ(t) = ((t si t), ( cos t)), t [, π], >, 3. liii śrubowej: γ(t) = (3 cos t, 3 si t, 4t), t [, π]. Ćwiczeie.3. Wyzczyć długość odcik w R i w R. Ćwiczeie.4. Podć przkłd krzywej ieprostowlej. Wskzówk. Zdefiiowć krzywą łmą tk, by koleje odciki tej łmej miły długość,, 3,... Ćwiczeie.5. Obliczyć długości wykresów fukcji. f() = 3 +, [, 5],. f() =, [, 3], 3. f() =, s [, ], 4. f() = , [, 3], 5. f() = 4 l, [, e], 6. f() = l (si ), [ π 4, π ], 7. f() = l (cos ), [, π 3 ], 8. f() = l ( ), [, 3], 9. f() = l, [, e],. f() = + rc si, [ 3, ],. f() = 3, [, ]. f() = e +e, [, ], 3. f() = e, [, ], 4. f() =, [, ], 5. f() = ( ) 3, [ ] 5,. 3 Kolokwium odbędzie się w dich Kolokwium poprwkowe odbędzie się w dich Szeregi Fourier Defiicj 4. (Szereg Fourier). Szeregiem Fourier lub szeregiem trygoometryczym zywmy szereg fukcyjy postci + ( cos + b si ), = gdzie ( ) =, (b ) = są ciągmi liczbowymi. Defiicj 4. (Rozwiięcie fukcji w szereg Fourier). Mówimy, że fukcj f : R R rozwij się w szereg Fourier, gdy istieje szereg Fourier postci + = ( cos + b si ), który w kżdym pukcie R jest zbieży do f(). Wtedy szereg + = ( cos + b si ) zywmy rozwiięciem fukcji f w szereg Fourier. Twierdzeie 4. (Współczyiki szeregu Fourier). Jeśli fukcj f : R R m rozwiięcie w szereg Fourier f() = + ( cos + b si ), R =

22 i szereg po prwej stroie jest zbieży jedostjie, to π = f() d, π π () orz = π f() cos d, b = π f() si d π π π π dl N. (3) Defiicj 4.3 (Szereg Fourier fukcji). Niech f R([ π, π]). Szereg + ( cos + b si ), = gdzie współczyiki i b określoe są wzormi () i (3) zywmy szeregiem Fourier fukcji f. Twierdzeie 4. (Dirichlet). Jeśli fukcj f : R R jest ogriczo, okresow o okresie π orz jest przedziłmi mootoicz w przedzile [ π, π] i m skończoą ilość puktów ieciągłości w przedzile [ π, π], to szereg Fourier fukcji f m sumę rówą f() w kżdym pukcie ciągłości fukcji f orz rówą [ ] lim f(y) + lim f(y), y y + w kżdym pukcie ieciągłości fukcji f. Ćwiczeie 4.. Rozwiąć stępujące fukcje w szeregi Fourier. f() = ( π, π),. f() = [ π, π], 3. f() = si [ π, π], 4. f() = e [ π, π]. Ćwiczeie 4.. Podć rozwiięcie stępujące fukcje w szeregi Fourier:. f() =, R,. f() = si 3, R. Ćwiczeie 4.3. Udowodić, że dl fukcji f cłkowlej w przedzile [ π, π]. jeśli fukcj f jest ieprzyst, to współczyiki Fourier przy cos zikją,. jeśli fukcj f jest przyst, to współczyiki Fourier przy si zikją. Ćwiczeie 4.4. Wyprowdzić wzór Leibiz ( ) + = π 4 i Euler = = = π 6. Litertur [B] J. Bś, S. Wędrychowicz Zbiór zdń z lizy mtemtyczej, WNT, Wrszw 997. [D] B. P. Demidowicz Zbiór zdń i ćwiczeń z lizy mtemtyczej, Nuk, Moskw 977, (w języku rosyjskim). [F] G. M. Fichteholz Rchuek różiczkowy i cłkowy, t.,, 3, PWN, Wrszw 96. [K] T. Krsiński Aliz mtemtycz, WUŁ, Łódź. [Ki] K. Kurtowski Rchuek różiczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw 973. [L] F. Lej Rchuek różiczkowy i cłkowy, PWN, Wrszw 969. [S] W. Sierpiński Dziłi ieskończoe, Spółdzieli Wydwicz Czytelik, 948. [Sp] S. Spodziej Wstęp do Alizy Mtemtyczej. Fukcje jedej zmieej,