CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Transkrypt

1 Ciągi i szeregi - Lucj owlski CIĄGI LICZBOWE N,,,... zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej). Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom turlym liczb rzeczywistych Liczby, =,,,... zywmy wyrzmi ciągu. Stosujemy zpis,,,..., lub ozczeie. Rozptrzmy trzy chrkterystycze przykłdy ciągów. Pewe włsości ciągów moż odczytć z ich wykresów. Przykłd, ztem początkowe wyrzy wyoszą,,,,,... w y k r e s c ią g u /( + ),,, 8,,,, Przykłd, ztem początkowe wyrzy wyoszą,,,,,,... w y k r e s c ią g u ( - ),,,, -, -, -, 7 8 9

2 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Przykłd, ztem początkowe wyrzy wyoszą,, 9,,,,... w y k r e s c i ą g u,,, 9, 7,,,, 9, 7,,,, -, Oprócz podi lityczego wzoru ty wyrz ciągu moż je też defiiowć rekurecyjie. Rekurecyj defiicj ciągu - przykłdy ) - de, + = + r w te sposób defiiujemy ciąg rytmetyczy ) - de, + = q w te sposób defiiujemy ciąg geometryczy ( r - stł), ( q - stł), ) =, =, + = + -, ciąg Fibocciego Ciąg ( ) jest: Ciągi mootoicze - rosący gdy N - mlejący gdy N - iemlejący gdy N - ierosący gdy N Ciąg jest mootoiczy jeśli zchodzi dowoly z powyższych wruków. W przypdku dwóch pierwszych wruków ciąg jest ściśle mootoiczy. W przypdku dwóch osttich wruków ciąg jest słbo mootoiczy. Przykłd Ciąg Ciąg, jest mootoiczy. ie jest mootoiczy.

3 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Ciąg ( ) jest ogriczoy gdy Ciągi ogriczoe M N M Ozcz to, że dl pewego M wszystkie wyrzy ciągu spełiją wruek M M, tz. wykres ciągu moż zwrzeć w ogriczoym psku wyzczoym przez dwie proste poziome. Przykłd Ciąg Ciąg, ie jest ogriczoy. jest ogriczoy. g - liczb rzeczywist g ozcz, że Gric ciągu. g tz. dl dowolego > wszystkie wyrzy ciągu o wyrzch większych iż ustloe spełiją wruek stosujemy też zpis uproszczoy: g g g lub g Przykłd Ciąg, jest zbieży, m gricę,. Ciąg ie m gricy. Przykłd N podstwie defiicji sprwdź, że. Niech > to dowol liczb dodti. Wyzczymy by dl > spełio był ierówość g czyli Jest to rówowże ierówości czyli..

4 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Więc wystrczy przyjąć (lub większą liczbę) by defiicj tej gricy był spełio. ozcz, że zpis uproszczoy: Gric iewłściw ciągu. A lub Przykłd Ciąg, m gricę iewłściwą. A A ozcz, że zpis uproszczoy: A lub Włsość. lsyfikcj ciągów: Ciągi liczbowe rozbieże Nie mjące gricy i włściwej i iewłściwej zbieże Rozbieże do ieskończoości (gric iewłściw) Włsości ) jeśli ciąg jest zbieży to m dokłdie jedą gricę, ) ciąg zbieży jest ogriczoy (odwrot włsość ie zchodzi p. = (-) ), ) ciąg mootoiczy i ogriczoy jest zbieży,

5 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Rchuek gric skończoych. Jeśli ciągi ( ), (b ) są zbieże to: c c ) b) b b c) b b d) b ( b b, b ) Symbole ieozczoe.,,,,,, Przykłdy Widzimy ztem, że te sm symbol ieozczoy może ozczć róże grice, co uzsdi jego zwę. c c Podstwowe wzory k k - liczb dodti, c k k - liczb dodti,

6 Ciągi i szeregi - Lucj owlski c ; ( b ; c Włsości ) ogriczo y ( b ) ogriczo y gdy gdy b b gdy b b gdy b Liczb e (liczb Euler) e,788,7 (jest to ciąg rosący i ogriczoy). Uwg: e e e ` gdzie

7 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Przykłd Rozptrzmy ciąg zdefiiowy rekurecyjie: dl ztem,...,8...,9...,9...,... itd. Jeśli, 8989 to tzw. "złot liczb" to... Uzsdieie. Zkłdmy, że ciąg jest zbieży i m gricę g. Pokżemy, że g = φ. g... g g ztem mmy rówość g g 7

8 Ciągi i szeregi - Lucj owlski 8 z której wyik, że g = φ. Przykłd Obliczymy ) (... Poiewż... ) (... Ztem ) (... Twierdzeie o trzech ciągch Jeśli N c b orz g c to g b c b Przykłdy ) (liczik i miowik podzieliliśmy przez jwyższą potęgę miowik tz. przez ) b) g

9 Ciągi i szeregi - Lucj owlski 9 c) d) ) ( Skorzystliśmy z przeksztłcei b b b wyikjącego z wzoru skrócoego możei b b b. e) ) ( (w drugim wierszu liczik i miowik podzieliliśmy przez jwyższą potęgę miowik tz. przez ) f) e, bo g) e e, bo h) e e e i) orzystmy z twierdzei o trzech ciągch Ztem

10 Ciągi i szeregi - Lucj owlski ( ) - ciąg o wyrzch dodtich. Stop wzrostu wyrzu ( > ) to (*) Stop wzrostu ciągu. k dl = przyjmujemy k = Powyższy wzór moż stosowć p. do obliczi stóp zwrotu kcji, wtedy ciąg ( ) to ciąg otowń rozptrywych kcji. Stopy zwrotu wyrżmy często w procetch. Ciąg stły m zerowe stopy wzrostu. Ciąg rytmetyczy m stopy wzrostu dążące do zer. Ciąg geometryczy m stłe stopy wzrostu. - kpitł początkowy, p - rocz stop procetow, - wrtość kpitłu po ltch, Odsetki po kżdym roku są stłe i wyoszą Ciąg kpitłów,,,...,,... Procet prosty. p p ztem jest ciągiem rytmetyczym. Procet skłdy. p p p Odsetki po kolejych ltch wyoszą,,,... Ztem p p, itd. p p p, itd.

11 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Ogólie p Ciąg kpitłów,,,...,,... jest ciągiem geometryczym. Jeśli k = liczb kpitlizcji odsetek w ciągu roku to po ltch wrtość kpitłu wyosi p k k Oprocetowie ciągłe: (k ) k k p k k e p Sumy częściowe ciągu ( ): S =, S = +,... S = , Stosujemy zpis: S i i Ciąg (S ) zywmy ciągiem sum częściowych. Sum ciągu rytmetyczego: Przykłd = S

12 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Przykłd = Sum ciągu geometryczego: Przykłd S = q q gdy q S gdy q = Przykłd =. Oblicz: ) CIĄGI - zdi [-] b) [-,] c) [] d) [] e) [/] f) ( )!! ( )!! [] g) [-] h) [/] i) [] j) []. Oblicz: ) ( 8 ) [] b) ( ) [,]

13 Ciągi i szeregi - Lucj owlski c) ( ) [-] d) ( ) []. Oblicz: ) [ e ] b) [ e ] c) 8 [ e ] d) [ e ] e),7 [ e ] f) [] g) 8 [ e ] h) [ e ] i) 8 [ e ] j) [ e ] k) [ e ] l) [ e ]. Oblicz: )... [ ] b)... [] c) [] d) []. Oblicz: ) 9 7 [9] b) [] ) [] b) [] ) [] b) si [,]

14 Ciągi i szeregi - Lucj owlski (*) SZEREGI LICZBOWE. Szereg liczbowy to ieskończoy ciąg sum częściowych: Przykłd. 8 Przykłd Przykłd.... Szereg jest zbieży jeśli ciąg sum częściowych (S ) jest zbieży. W przeciwym przypdku mówimy, że szereg jest rozbieży. Wtedy S S zywmy sumą szeregu. Przykłd. 8 Szereg... jest zbieży m sumę rówą. Przykłd. Szereg... jest rozbieży. Przykłd Zbdć zbieżość szeregu Wyrz -ty ciągu sum częściowych tego szeregu moż przeksztłcić stępująco: S ( ) k k( k ) k k k k k k k Stąd S więc rozptrywy szereg jest zbieży i jego sum wyosi

15 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Wruek koieczy zbieżości szeregu: Twierdzeie. Jeśli szereg jest zbieży to Dowód Zuwżmy, że S S gdzie S i S ozczją odpowiedio (-)-szą i -tą resztę szeregu Szereg jest zbieży, więc:. ztem: S i S, ( S S ) Uwg. Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe. Szereg spełi wruek koieczy lecz ie jest zbieży. Szereg geometryczy. + q +q + q +...= q q = cost Sum szeregu geometryczego. Gdy q to S q

16 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Przykłd Przykłd () (b) Przykłd ( )... ( )... szereg zbieży szereg zbieży Stosując wzór sumę ciągu geometryczego moż zmieić ułmki okresowe zwykłe.,7 7, (7),7,7,7..., 99 Szereg hrmoiczy rzędu r. r Twierdzeie. r r... r Szereg hrmoiczy rzędu r > jest zbieży. Szereg hrmoiczy rzędu r jest rozbieży. Przykłd. Przykłd. Defiicj jest zbieży ( r = > ) jest rozbieży ( r =, < ) Jeśli - dy szereg. b N to szereg b zywmy mjortą szeregu

17 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Jeśli c N to szereg c zywmy miortą szeregu ryteri zbieżości szeregów = wruki dosttecze zbieżości szeregu. Zkłdmy, że. ryterium porówwcze. Mjort dego szeregu zbież dy szereg zbieży. Miort dego szeregu rozbież dy szereg rozbieży. Przykłd. jest zbieży, bo m mjortę zbieżą ( r = > ) ryterium ilorzowe (d'alembert). Niech g Jeśli g > to jest rozbieży, Jeśli g < to jest zbieży, Jeśli g = to kryterium ilorzowe ie rozstrzyg o zbieżości szeregu. 7

18 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Przykłd. Zbdmy zbieżość szeregu!,!!,!!! e! Szereg! jest ztem rozbieży mocy kryterium ilorzowego. ryterium pierwistkowe (Cuchy'ego). Niech g Jeśli g > to jest rozbieży, Jeśli g < to jest zbieży, Jeśli g = to kryterium pierwistkowe ie rozstrzyg o zbieżości szeregu. Przykłd. Zbdmy zbieżość szeregu,, Szereg jest ztem zbieży mocy kryterium pierwistkowego. 8

19 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Defiicj Szereg Szeregi o wyrzch dowolych zywmy szeregiem przemieym. Wyrzy tego szeregu są przemi dodtie i ujeme. ryterium Leibiz. Jeżeli ciąg jest ierosący, tz. orz to szereg przemiey jest zbieży. Przykłd Szereg jest zbieży, poiewż spełi złożei kryterium Leibiz: jest to szereg przemiey, dl kżdego mmy, gdyż. Moż udowodić, że sum S szeregu rów jest l. Przykłd Szereg jest zbieży podstwie kryterium Leibiz. Defiicj Szereg zbieży zywmy bezwzględie zbieżym, jeżeli jest zbieży szereg. Przykłd Szereg jest zbieży mocy kryterium Leibiz. 9

20 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Poiewż szereg, tkże jest zbieży, więc szereg jest zbieży bezwzględie. Twierdzeie Jeśli szereg jest zbieży bezwzględie to jest zbieży. Twierdzeie odwrote ie jest prwdziwe: Szereg jest zbieży mocy kryterium Leibiz. Ntomist szereg, jest rozbieży. Przykłd Zbdć zbieżość szeregu si. Rozwżmy szereg utworzoy z bezwzględych wrtości wyrzów szeregu si do którego możemy zstosowć kryterium porówwcze. si : Poiewż dl kżdego turlego si, / więc szereg si jest zbieży. N podstwie twierdzei wyik stąd, że szereg jest zbieży i to bezwzględie. si Defiicj szeregu zbieżego wrukowo Szereg zbieży lecz ie bezwzględie zbieży zywmy szeregiem zbieżym wrukowo.

21 Ciągi i szeregi - Lucj owlski Przykłd Szereg postci ( ) ( ) jest szeregiem bezwzględie zbieżym, poiewż szereg jest szeregiem zbieżym, co wyik z kryterium Cuchye go. Istotie, więc szereg ( ) mocy twierdzei jest zbieży. Przykłd Szereg postci ( ) bezwzględych wrtości ie jest szeregiem bezwzględie zbieżym, bo szereg jego ( ) więc jest szeregiem rozbieżym. jest szeregiem hrmoiczym rzędu, Z kryterium Leibiz wyik tomist, że szereg ( ) jest zbieży poiewż ciąg jest ciągiem mlejącym dążącym do zer. Więc szereg przemiey jest wrukowo zbieży. ( ) Przykłd. Szereg hrmoiczy ( ) jest szeregiem wrukowo zbieżym. Przykłd Szereg ( ) ( ) (!) ()! (!) jest szeregiem bezwzględie zbieżym, poiewż szereg ()! (!) jest zbieży, co wyik z kryterium d Alembert. Istotie ()! (( )!) ()! ( ). Więc szereg ( )!(!) ( )( ) ( ) zbieży.! ()! jest Twierdzeie Jeśli szereg turlych szereg jest bezwzględie zbieży, to dl dowolej permutcji m liczb m jest zbieży i m tką smą sumę jk szereg Twierdzeie Riem Niech będzie szeregiem wrukowo zbieżym. Dl dowolego N permutcj m zbioru liczb turlych tk, że A jest sumą szeregu.. N A R, istieje m

22 Ciągi i szeregi - Lucj owlski. Wyzcz sumę szeregu: ) [] b) SZEREGI - zdi [,] c) ( +)( ), d) Wykzć, że de szeregi są rozbieże (ie spełiją wruku koieczego zbieżości): - ), b) = d) cos( ), e) +., c) ( ),. Stosując kryterium porówwcze zbdj zbieżość szeregu: ) [rozb.] b) ) [zb.] c)... [zb.] d)... [rozb.]. Stosując kryterium porówwcze zbdć zbieżość szeregów: ), b) +, c) l( ), + d), e) ( + ) ( + ).. Stosując kryterium ilorzowe zbdj zbieżość szeregu: )! [rozb.] b) [rozb.] c)! [zb.] d)!! [zb.]

23 Ciągi i szeregi - Lucj owlski. Stosując kryterium ilorzowe zbdć zbieżość szeregów: ), b) ( )!, c)... ( -),! d) ( + ), e)! 9. Stosując kryterium pierwistkowe zbdj zbieżość szeregu: ) [rozb.] b) [rozb.] c) [rozb.] d) [zb.]. Stosując kryterium pierwistkowe zbdć zbieżość szeregów: ) + - =, b).. Zbdj zbieżość szeregu. Dl szeregów zbieżych leży ustlić, czy zbieżość jest wrukow czy bezwzględ. ) c) [zb. wr.] b) [zb. bezwzgl.] d) l( ) [rozb.] [zb. wr.] Uwg. d. d) l( )