1.1 Pochodna funkcji w punkcie

Transkrypt

1 Pochod fukcji w pukcie BLOK I RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Zkłdmy, że fukcj f jest określo w przedzile, ) orz, że, ), jest liczą, dl której + ), ) Liczę zywmy przyrostem rgumetu w pukcie, tomist różicę f + ) zywmy przyrostem wrtości fukcji f w pukcie i ozczmy f ) Stosuek w pukcie Defiicj f f + f ) ) ) zywmy ilorzem różicowym fukcji f Jeżeli fukcj f jest określo w przedzile, ) i, ) orz istieje skończo gric lim f + ) f ) i ozczmy f ), to tę gricę zywmy pochodą fukcji w pukcie W tym przypdku mówimy rówież, że fukcj f jest różiczkowl w pukcie A ztem pochod f ) jest gricą ilorzu różicowego fukcji f w pukcie, gdy przyrost zmieej dąży do zer Uwg Pochodą fukcji f w pukcie moż w sposó rówowży określić stępująco: f ) lim f ) f ) Iterpretcje pochodej I Iterpretcj geometrycz Jeżeli fukcj f jest określo w pukcie i w pewym przedzile, którego środkiem jest, tkże jest różiczkowl w, to zchodzi związek: f ) tgα, gdzie α jest kątem chylei do osi styczej do wykresu fukcji w pukcie P, f )) Stycz do wykresu fukcji f w pukcie P, f )) jest prostą o rówiu:

2 y ) Spójrzmy rysuek Jeżeli dąży do zer, to pukt B dąży, po wykresie fukcji f, do puktu A Kżdemu położeiu puktu B odpowid siecz przechodząc przez B i przez A Ztem styczą do wykresu fukcji f w pukcie A, f )) możemy trktowć jko gricze położeie sieczej AB, gdy B dąży po wykresie do A Stąd wyik, że pochodą fukcji f w pukcie moż iterpretowć geometryczie jko współczyik kierukowy styczej do wykresu fukcji f w pukcie A, f )) II Iterpretcj fizycz Niech f t) ozcz długość drogi jką przeył pukt mterily P do chwili t licząc od pewej chwili początkowej t Różic f t + t) f t) jest długością drogi przeytej przez pukt mterily w przedzile czsu t, t + ) A ztem ilorz f t + t) f t) t t jest średią prędkością puktu mterilego P w przedzile t, t) Dodjmy, że mówimy o prędkości średiej, poiewż ogół prędkość t może yć zmie, w odróżieiu od przypdku, gdy prędkość t jest stł i iezleż zrówo od t jk i Gricę t ruch jedostjy)

3 lim t f t + t) f t) t f t ) zywmy prędkością chwilową) puktu mterilego P w chwili t Ztem pochodą f t ) iterpretujemy jko prędkość chwilową) puktu mterilego P w chwili t Przedstwmy jeszcze ią fizyczą iterpretcję pochodej Jeśli f t) ozcz ilość klorii jk jest potrze do ogrzi grm pewego cił od tempertury t o C do t + t o C, to ilorz tego cił między temperturmi: t i t + t Pochodą f t ) lim t f t + t) f t ) t f t + t) f t ) wyrż średie ciepło włściwe t zywmy ciepłem włściwym cił przy temperturze III Iterpretcj ekoomicz Złóżmy, że fukcj K ) przyjmuje wrtości dodtie dl > Fukcję K ) ędziemy iterpretowć jko fukcję tzw kosztów cłkowitych Mówiąc dokłdiej przyjmujemy, że K ) wyrż cłkowity koszt wyprodukowi jedostek pewego dor Ozczmy przez h ezwzględą wielkość przyrostu produkcji Przyrostowi produkcji od do odpowid przyrost fukcji kosztów Ilorz K + h) K ) K + h) K ) h dje przecięty koszt wyprodukowi jedej jedostki pewego dor licząc od poziomu W kosekwecji gric lim h K + h) K ) K ) h czyli pochod K ) jest tzw kosztem krńcowym w pukcie + h 3 Pochod jko fukcj

4 Defiicj 3 Jeśli fukcj f ) jest określo w ziorze X i w kżdym pukcie D D X ) istieje pochod f ), to fukcję, któr kżdemu D przyporządkowuje, zywmy pochodą fukcji f i ozczmy f Uwg 3 Pochod fukcji f jest fukcją, tomist pochod fukcji f w pukcie jest liczą Te dw pojęci leży rozróżić W prktyce, wyzczjąc pochodą fukcji, korzystmy z odpowiedich wzorów i twierdzeń ułtwijących oliczei Twierdzeie 3 Jeżeli fukcje f, g są określoe i różiczkowle w kżdym pukcie przedziłu, ), to w tym przedzile są rówież różiczkowle fukcje: cf, gdzie c ozcz ustloą liczę f rzeczywistą, f + g, f g, f g, pod wrukiem, że g ) ) i prwdziwe są wzory: g ) [ c] c, ) [ + g )] + g ), 3) [ g )] g ), 4) [ g )] g ) + g ), g ) g ) 5) g ) [ g )] Twierdzeie 3 Fukcje: fukcj stł, fukcj potęgow, fukcje trygoometrycze są różiczkowle w swoich dziedzich Pochode tych fukcji wyrżją się wzormi: ) c, c ustlo licz rzeczywist, α α ) ) α, α R, 3) si ) cos, 4) cos ) si,

5 5) tg ), cos 6) ctg) si Twierdzeie 33 Jeżeli fukcj h jest złożeiem fukcji f z fukcją g i fukcj g jest różiczkowl w pukcie, tomist fukcj g jest różiczkowl w pukcie y f ), to fukcj h jest różiczkowl w pukcie i zchodzi wzór h ) g [ ] Twierdzeie 33 zyw się twierdzeiem o pochodej fukcji złożoej i moż je wypowiedzieć krótko, choć iezyt ściśle, tk: pochod fukcji złożoej rów się iloczyowi pochodej jej fukcji zewętrzej i pochodej fukcji wewętrzej Nleży przy tym pmiętć, że rgumetem pochodej fukcji zewętrzej ie jest, lecz f ) Podstwą do wyprowdzei wzorów pochodą fukcji wykłdiczej i logrytmiczej jest stępujące twierdzeie: Twierdzeie 34 Jeżeli > i, to lim l, gdzie podstwie e i zyw się logrytmem turlym liczy Twierdzeie 35 l ozcz logrytm liczy przy Fukcj wykłdicz i logrytmicz są różiczkowle w swoich dziedzich Prwdziwe są wzory: 7) e ) e, 8) ) l, 9) l ), R \{}, + ) log ), l Twierdzeie 36 R \{} + Jeżeli f jest ściśle mootoicz i ciągł przedzile, ), różiczkowl w, ) i, to fukcj odwrot f określo w ziorze wrtości fukcji f ) jest różiczkowl w y f ) i zchodzi wzór

6 f y)) Podmy jeszcze pochode fukcji cyklometryczych ) rcsi ),, ), ) rccos ),, ), 3) rctg) +, R, 4) rcctg), R + 4 Mootoiczość fukcji różiczkowlej Twierdzeie 4 Jeżeli fukcj f jest określo i różiczkowl w przedzile, ) i przy tym jest fukcją rosącą w tym przedzile, to jej pochod f jest, w kżdym pukcie przedziłu, ) ieujem Twierdzeie 4 Jeżeli fukcj f jest określo i różiczkowl w przedzile, ) i przy tym jest fukcją mlejącą w tym przedzile, to jej pochod f jest, w kżdym pukcie przedziłu, ) iedodti Twierdzeie 43 Jeżeli fukcj f jest określo i różiczkowl w przedzile, ), jej pochod f przyjmuje, w co jwyżej skończoej liczie puktów przedziłu, wrtość zero, we wszystkich pozostłych puktch przedziłu jest dodti, to fukcj f jest w przedzile, ) rosąc Twierdzeie 44 Jeżeli fukcj f jest określo i różiczkowl w przedzile, ), jej pochod f przyjmuje, w co jwyżej skończoej liczie puktów przedziłu, wrtość zero, we wszystkich pozostłych puktch przedziłu jest ujem, to fukcj f jest w przedzile, ) mlejąc

7 5 Ekstrem lokle Niech f ędzie fukcją określoą w pewym otoczeiu puktu Defiicj 5 Mówimy, że fukcj f m w pukcie mksimum lokle krótko: mksimum), jeśli r > r, + r) tz dl dostteczie liskich fukcj f przyjmuje wrtości miejsze lu rówe od wrtości f w pukcie ) Defiicj 5 Mówimy, że fukcj f m w pukcie miimum lokle krótko: miimum), jeśli r > r, + r) tz dl dostteczie liskich fukcj f przyjmuje wrtości większe lu rówe od wrtości f w pukcie ) Defiicj 53 Mówimy, że fukcj f m w pukcie ekstremum lokle, jeśli m w tym pukcie mksimum lokle lu miimum lokle Uwg 5 W przypdku występowi ekstremum fukcji f w pukcie jest wże zchowie się fukcji wyłączie dostteczie lisko To jk fukcj zchowuje się dl dlekich od ie jest tu wże Uwg 5 Zwróćmy uwgę, że w defiicji ekstremum ic ie mówimy o pochodej fukcji f w pukcie Fukcj f może mieć ekstremum w, tomist pochod f ) istieć może istieć lu ie Wyzczjąc ekstremum lokle fukcji ogół korzystmy z pewych twierdzeń Poiższe twierdzeie podje wruek dostteczy to, y fukcj f w pukcie Twierdzeie5 Wruek dostteczy istiei ekstremum) mił ekstremum lokle Niech f ędzie fukcją ciągłą określoą przyjmiej w pewym otoczeiu r, + ) r

8 puktu orz różiczkowlą w ziorze r, ), + r) pochod f ) ie musi istieć) Wówczs Jeśli > dl r, ) i < dl, + ), to fukcj f m w mksimum lokle r Jeśli < dl r, ) i > dl, + ), to fukcj f m w miimum lokle r Powstje pytie, jk dl dej fukcji f wyzczyć pukty, leżące do jej dziedziy, w których może o mieć ekstremum lokle Odpowiedź to pytie dl pewej klsy fukcji) zwrt jest w stępującym twierdzeiu Twierdzeie 5 Wruek koieczy istiei ekstremum fukcji różiczkowlej) Jeśli f jest różiczkowl w pukcie i m w tym pukcie ekstremum lokle, to f ) Uwg 53 Z fktu, że f ) ie wyik jeszcze, że f m w ekstremum Uwg 54 Fukcj może mieć w ekstremum lokle, le ie musi yć w tym pukcie różiczkowl, p fukcj m w pukcie miimum lokle, le f ) ie istieje Twierdzeie 53 Niech f ędzie fukcją posidjącą pochode f i f w pewym otoczeiu puktu, przy czym jest ciągł w i f ) Wówczs Jeśli f ) >, to f m w pukcie miimum lokle Jeśli f ) <, to f m w pukcie mksimum lokle

9 6 Fukcj pierwot Cłk ieozczo Niech f ędzie fukcją określoą przedzile P Defiicj 6 Mówimy, że fukcj F określo P jest fukcją pierwotą fukcji f, jeśli P F ) Zuwżmy, że jeśli F) jest fukcją pierwotą fukcji f, to tkże F) + c, gdzie c jest stłą, jest fukcją pierwotą fukcji f Twierdzeie 6 Niech F ędzie fukcją pierwotą fukcji f Wówczs F jest też fukcją pierwotą fukcji f wtedy i tylko wtedy, gdy F ) F ) + c, gdzie c jest pewą stłą Ztem fukcj pierwot fukcji f o ile istieje) ie jest wyzczo jedozczie Jeśli istieje jed tk fukcj, to tym smym istieje tych fukcji ieskończeie wiele Defiicj 6 Niech F ędzie fukcją pierwotą fukcji f Wyrżeie F + c, ędące ogólą postcią fukcji pierwotej fukcji f zywmy jej cłką ieozczoą i piszemy d F ) + c Po prwej stroie powyższej rówości mmy wyrżeie ozczjące dowolą fukcję pierwotą fukcji f Cłkowie jest więc opercją określoą pewej klsie fukcji) iejedozczą, owiem wyikiem cłkowi jest ie jed fukcj, pew kls rodzi) fukcji Ndmieimy dl przypomiei, że pochod dej fukcji f w pewym ziorze), o ile istieje, jest wyzczo jedozczie Defiicj 63 Mówimy, że fukcj f, określo przedzile P, jest tym przedzile cłkowl, jeśli cłk d istieje Cłki ieozczoe istieją dl dość liczej klsy fukcji Jedkże pewe fukcje ie mją cłki ieozczoej Dl przykłdu fukcj f : R R określo stępująco: dl f ) dl <

10 ie m fukcji pierwotej, tz ie istieje fukcj F : R R tk, że F ), R Podmy poiżej cłki fukcji elemetrych: ) d c, c stł; ) d d + c; α + α 3) d + c, α, > ; α + 4) d d l + c, ; 5) d + c, >,, R; l 6) e d e + c ; 7) si d cos + c, R; 8) cos d si + c, R; 9) d ctg + c, si kπ k Z; π ) d tg + c, + kπ k Z; cos ) d rctg + c rcctg + c, R; + ) d rcsi + c rccos + c,, ) 7 Elemetre włsości cłki ieozczoej Twierdzeie 7 Jeżeli f i g są fukcjmi ciągłymi przedzile P, to dl dowolych α R, β R, βg )) d α d + β α + g ) d 7) Z twierdzei 7 wyik w szczególości, że α d α d, 7) tz stłą moż wyłączyć przed zk cłki orz, że

11 ) g )) d d ± f ± g ) d, 73) tz cłk sumy różicy) dwóch fukcji f i g jest rów sumie różicy) cłek cłki fukcji f i cłki fukcji g Twierdzeie 7 O cłkowiu przez części) Jeżeli fukcje f i g są ciągłe i mją ciągłe pochode przedzile P, to g ) d g ) g ) d 74) Wzór 74) jest wzorem cłkowie przez części Drugą wżą metodą cłkowi jest cłkowie przez podstwieie Twierdzeie 73 O cłkowiu przez podstwieie) Jeżeli f jest fukcją ciągłą wrz ze swoją pochodą przedzile P, zś g jest fukcją ciągłą ziorze wrtości fukcji f, to g ) d g t) dt, t ) 75) Wzór 75) zyw się wzorem cłkowie przez podstwieie 8 Cłk ozczo Niech f ędzie fukcją określoą przedzile domkiętym, Defiicj 8 Mówimy, że liczy rzeczywiste,,,, K pukty prostej) wyzczją podził przedziłu domkiętego,, jeśli < < < K < Dl dego przedziłu, rozwżmy ciąg π ) podziłów tego przedziłu Złóżmy, że -ty podził przedziłu czym zgodie z defiicją 8 mmy: π : < < < K < k, jest wyzczoy przez pukty,,, K, przy W tym podzile spośród odcików K,,,,, k, wyiermy te, który m jwiększą długość Niech,, K) ozcz długość jwiększego odcik k k

12 Defiicj 8 Mówimy, że ciąg podziłów π ) jest ormly, jeśli lim, długość jwiększego odcik wrz ze wzrostem zmierz do zer) Niech π ) ędzie ciągiem ormlym podziłów przedziłu, Ozczmy przez γ ) ciąg liczowy, którego ty wyrz jest określoy stępująco: k γ f c ) ),,, K, i i i i gdzie c,, i,, K k,,, K i Defiicj 83 i i Jeżeli gric ciągu γ ) jest skończo orz ie zleży o i od wyoru ormlego ciągu podziłów przedziłu ),, i od wyoru puktów c, to mówimy, że f jest cłkowl k w sesie Riem przedzile,, zś gricę γ ciągu γ ) ozczmy symolem d i zywmy cłką Riem cłką ozczoą ) fukcji f przedzile, A ztem f ) d : lim γ Twierdzeie 8 + Jeżeli f jest fukcją ciągłą przedzile domkiętym,, to ) Istieje, fukcj pierwot F fukcji f; ) f jest cłkowl, i zchodzi wzór: d [ F )] F ) F ) 8) Uwg 8 We wzorze 8) F jest jkąkolwiek fukcją pierwotą fukcji f Twierdzeie 8 Fukcj cłkowl, jest tym przedzile ogriczo

13 Wiosek Jeżeli f ie jest ogriczo,, to cłk Twierdzeie 83 d ie istieje Jeżeli f i g są fukcjmi cłkowlymi przedzile,, to dl dowolych α i β fukcj α + βg ) też jest cłkowl, i zchodzi wzór: α ) + βg )) d α d + β Twierdzeie 84 f g ) d Niech f ędzie fukcją określoą przedzile, i iech < c < Wówczs cłk d istieje wtedy i tylko wtedy, gdy istieją cłki rówość: ) d d + Twierdzeie 85 c f d c c d, c d i zchodzi Jeżeli dl, i cłk d istieje, to d Tk więc cłk z fukcji ieujemej, o ile istieje, jest liczą ieujemą 9 Cłk ozczo jko pole Niech dl,

14 Wprost z defiicji cłki ozczoej defiicj 83) wyik, że cłk ozczo jest polem oszru P {, y) : y } Cłkę d d moż iterpretowć jko pole ez złożei, że dl, Bowiem, jeśli dl,, to przyjmujemy, że pole oszru jest rówe P d