CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA"

Amelia Głowacka
8 lat temu
Przeglądów:

1 Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl AŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA Niech ędzie płsim lu pzeszeym łuiem głdim o pmeyzcji: x : y weoowo ; ) z z [ ] Uwg: Złożeie głdości x,, z, ) gwuje posowlość łuu posowl z. posid długość) Ozczei P {,,..., }, gdzie < <... < ozcz podził odci [, ] podpzedziłów. d P ) mx{ } śedi podziłu i i i Podził P iduuje podził zywej pumi A ) w żdym z pzedziłów, ] wyiemy pu pośedi, ],...,. Puom Ozczmy pzez odpowidją puy [ A zywej. l długość łuu A A. l x ) + y ) + z ) d Niech f ędzie fucją ogiczoą łuu głdim. d [ ef. łę zywoliiową iezoieową fucji f po łuu defiiujemy iezy pecyzyjie) wzoem: f dl lim f A ) l lim f )) d P) d P) sończo i ie zleży od podziłu P i od wyou puów pośedich. * o ile gic powyższ jes ołdiej: I f dl ε δ P { } d P) δ f )) I ε. Z defiicji cłi zywoliiowej iesieowej i z włsości gic ozymujemy sępujące włsości pzy złożeiu isiei odpowiedich cłe): f + g) dl f dl + gdl cf ) dl c f dl c R

2 Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl i i m f dl m... f dl,,..., m - łui głdie Tw. o zmiie cłi zywoliiowej iesieowej cłę Riem) Niech: f ędzie fucją ciągłą łuu głdim o pmeyzcji ;. Wówczs f ) dl f ) ' d. W szczególości dl pzypde zywej pzeszeej) mmy ' f ) dl f ) d f x,, z ) x ) + y ) + z ) d Rówi pmeycze ieóych łuów:. Odcie o ońcch A x, y, ) B x, y, ) x + x x ) y + y y) z z + z z) z z. Oąg o śodu S x, y ) i pomieiu R x y + R cos + R si π. Elips o śodu S x, y ) i półosich, x + cos y + si π 4. lii śuow o sou wiię wlec x + R cos y + R si h z π Zdie. Spmeyzowć zywą Viviego Pzyłd. oliczyć x ydl, gdzie cześć oęgu x + y 4 w I-szej ćwice I pmeyzcj: π cos π y si x ydl 8cos si si + cos d 6cos π si d 6

3 Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl x II pmeyzcj: y 4 x 4 ydl + d 4 6 d Zsosowi ms łuu meilego o gęsości liiowej ρ ρ m z, dl momey sycze i współzęde śod msy łuu meilego M XOY zρ z, dl M XOZ yρ z, dl M YOZ xρ z, dl śode msy M YOZ xc M XOZ yc m M zc m m ężeie pol gwicyjego wywozoego pzez łu meily ężeie pol eleosyczego wywozoego pzez łu meily eleyzowy łduiem o gęsości liiowej λ : E ) d 4 λ πε XOY AŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA ZORIENTOWANA) Jeżeli łuu oeśloo począe i oiec czyli ieue) o łu zywmy zoieowym. Łu o oiecji pzeciwej do ędziemy ozczć: -. Jeżeli ze wzosem pmeu pouszmy się po łuu zgodie z oiecją, o pmeyzcję zwiemy zgodą z oiecją. ) A począe ) B oiec pmeyzcj zgod Powyższy sposó ozóżiei oiecji ie sosuje się do zywych zmięych, gdyż począe zywej zmięej poyw się z jej ońcem Umow. Oiecję płsiej zywej zmięej uzjemy z dodią jeżeli pouszjąc się po zywej zgodie z oiecją mmy węze oszu ogiczoego pzez zywą po lewej soie- iczej - pzeciwie do uchu wszówe zeg)

4 Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl Płsie pole weoowe w oszze F P, Q. ) R o fucj weoow Pzeszee pole weoowe w oszze V R o fucj weoow F P, Q, R. ) Jeżeli słdowe P,Q,R są ciągłe, o pole weoowe zywmy ciągłym, jeżeli słdowe P,Q,R mją ciągłe pochode cząsowe, o pole zywmy óżiczowlym w sposó ciągły lsy Ozczei łu zoieowy o pmeyzcji [, ] zgodej z oiecją. P,,..., } < <... < - podził, { dp) - śedic podziłu * [, ],..., - puy pośedie Ai i ) i,...,, A ),,.., ) ) ). ef. Niech F ędzie płsim lu pzeszeym polem weoowym łuu zoieowym. ł zywoliiow zoieow sieow) pol weoowego F po łuu zoieowym defiiujemy wzoem: df F o d lim d P) F * )) o o ile gic jes sończo i ie zleży od podziłu P wyou puów pośedich. Po ozpisiu współzęde mmy dl F o d P dx + Q dy F P, Q) d d d F o d P dx + Q dy + R dz, F P, Q, R) Iepecj fizycz, d d d d F o d - pc pol F zmieej sił dodze. Włsości z defiicji cłi i gic pzy złożeiu isiei cłe): F + G o d F o d + G o d ) 4

5 Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl cf ) o d c F o d F o d F o d... pzy czym oiec i począe i F o d i i F o d Tw.o zmiie cłi zywoliiowej zoieowej cłę Riem). Jeżeli pole weoowe F jes ciągłe zoieowym łuu głdim o pmeyzcji [, ] zgodej z o oiecją, o F o d F ) Po ozpisiu współzęde mmy d. P dx + Q dy [ P x, ) x + Q x, ) y ] d P dx + Q dy + R dz [ P x,, z ) x + Q x,, z ) y R x,, z ) z' ] + Tw. Gee dl pzypde plsi, ędzie uogólieie dl - w. Soes) Jeżeli fucje P i Q są lsy w oszze omly względem ou osi, óego zegiem jes zyw sieow dodio względem węz, o Q Pdx + Qdy dxdy. x d ow szic): Wysczy pozć, że dxdy Pdx oz Q x dxdy Qdy g - gó zyw d - dol zyw 5

6 Auomy i Rooy Aliz Wyłd 4 d Adm Ćmiel cmiel@gh.edu.pl dxdy ψ x) ϕ x) dy dx P ψ x)) dx P ϕ x)) dx P ψ x)) P ϕ x)) ) dx P dx g d P dx Pdx Twiedzeie Gee pozosje pwdziwe dl oszów jedospójych i wielospójych djących się podzielić sończoą ilość oszów omlych. Po dzielących łuch cłujemy dw zy w óże so czyli w efecie cłi ziosą się. W efecie ego ozymmy Pdx + Qdy Q dxdy x Pzyłd. Oliczyć xy dx + xdy łu poli y + d + ) d xydx + xdy 6 Pzyłd. Oliczyć xy dx x y dy I sposó zmi cłi zywoliiowej cłę pojedyczą)): + cos π y si II sposó z w. Gee) xy dx x y dy π [ + cos )si si + cos si cos] d xy x dxdy 4 xy dxdy Uwg. ciewe zsosowie wzou Gee).Jeżeli we wzoze Gee pzyjmiemy P y Q x o ozymmy ydx + xdy - pole oszu ogiczoego zywą. F e zlzł zsosowie w plimeze Amsle. 6

Podobne dokumenty

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k

takimi, że W każdym przedziale k 1 x k wybieramy punkt k ) i tworzymy sumę gdzie jest długością przedziału, x ). 1 k RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Cł ozczo Niech ędzie ucją oreśloą i ogriczoą w przedzile . Przedził e dzielimy pumi,,,..., imi, że....,,.,..., W żdym przedzile wyiermy pu, i worzymy sumę gdzie