I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

Transkrypt

1 I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C] zywmy ciągiem fukcyjym. Defiicj 1.2. Mówimy, że ciąg (f ) N odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C] jest puktowo zbieży do fukcji f : X R [lub f : X C], gdy lim f (x) = f (x), x X. Fukcję f zywmy wtedy gricą puktową ciągu (f ) N. Podto, symboliczie piszemy wówczs f X f. Przykłd 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń przedziłu [, 1] w zbiór R, określoy wzorem f (x) = x, jest zbieży puktowo do fukcji f : [, 1] R o wzorze, gdy x [, 1), f (x) = 1, gdy x = 1. Defiicj 1.. Mówimy, że ciąg (f ) N odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C] jest jedostjie zbieży do fukcji f : X R [lub f : X C], gdy f (x) f (x) < ε. ε> N x X Symboliczie piszemy wówczs f X f. 1

2 Przykłd 1.2. Ciąg (f ) N odwzorowń przedziłu [1, 2] w zbiór R, określoy wzorem f (x) = + x 2, jest jedostjie zbieży do fukcji f : [1, 2] R o wzorze f (x) = 1, x [1, 2]. Istotie, łtwo pokzć, że dl kżdego ε > istieje tki wskźik N, że dl kżdego i x [1, 2] spełio jest ierówość + x 1 2 < ε. Wystrczy zuwżyć, że + x 1 2 = orz Ztem wystrczy przyjąć = [ 4 ε] + 1. x2 + x x2 2 4, x [1, 2], N, 4 < ε > 4 ε. Uwg 1.1. Kżdy ciąg fukcyjy zbieży jedostjie jest zbieży puktowo (do tej smej fukcji). Przykłd 1.. () Ciąg (f ) N, określoy w Przykłdzie 1.1, ie jest jedostjie zbieży. (b) Ciąg (f ) N, określoy w Przykłdzie 1.2, jest jedostjie zbieży, więc rówież puktowo zbieży. Twierdzeie 1.1. Gric jedostj ciągu fukcji ciągłych [ciągłych w pewym pukcie] jest ciągł [ciągł w tym pukcie]. Przykłd 1.4. Ciąg (f ) N, określoy w Przykłdzie 1.1, jest ciągiem fukcji ciągłych, le jego gric f ie jest ciągł w pukcie x = 1. Twierdzeie 1.2. Ciąg (f ) N odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C] jest jedostjie zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy f p (x) f q (x) < ε. ε> N p,q x X 2

3 Twierdzeie 1.. Jeżeli (f ) N jest ciągiem fukcji odwzorowujących przedził (, b) R w zbiór R, które mją ciągłe pochode w przedzile (, b) orz (i) ciąg (f ) N jest puktowo zbieży do fukcji f, (ii) ciąg (f ) N jest jedostjie zbieży do fukcji g, to fukcj f jest różiczkowl w przedzile (, b) orz f (x) = g(x), x (, b), czyli f (x) = lim f (x), x (, b). Twierdzeie 1.4. Jeżeli (f ) N jest ciągiem fukcji ciągłych, odwzorowujących przedził [, b] R w zbiór R, jedostjie zbieżym do fukcji f : [, b] R, to fukcj f jest cłkowl w przedzile [, b] orz czyli b b f(x) dx = lim b ( ) lim f (x) dx = lim b f (x) dx, f (x) dx. 2. Szeregi fukcyje i kryteri ich zbieżości Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 2.1. Niech (f ) N będzie ciągiem odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C]. ( ) (i) Ciąg f k zywmy ciągiem sum częściowych szeregu fukcyjego f. k=1 N (ii) Szereg fukcyjy zywmy zbieżym puktowo, gdy ciąg sum częściowych tego szeregu jest zbieży puktowo do pewego odwzorowi zbioru X w zbiór R [lub C]. (iii) Szereg fukcyjy zywmy zbieżym jedostjie, gdy ciąg sum częściowych tego szeregu jest zbieży jedostjie do pewego odwzorowi zbioru X w zbiór R [lub C]. Twierdzeie 2.1. Niech (f ) N będzie ciągiem odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C]. Szereg fukcyjy f jest zbieży jedostjie wtedy i tylko wtedy, gdy ε> N m N x X +m k=+1 f k (x) < ε.

4 Twierdzeie 2.2. (Kryterium Weierstrss 1 ) Niech (f ) N będzie ciągiem odwzorowń zbioru X w zbiór R [lub C]. Jeśli istieje tki ciąg ( ) N liczb ieujemych, że (i) szereg liczbowy jest zbieży, (ii) istieje tkie N, że f (x), x X,, to szereg fukcyjy f jest zbieży jedostjie w zbiorze X. Przykłd 2.1. Szereg fukcyjy zuwżyć, że więc Podto szereg 1 5 N jedostjie zbieży w zbiorze R. x R N cos 2x 5 + x R jest jedostjie zbieży w zbiorze R. Wystrczy cos 2x 1, cos 2x jest zbieży, więc, mocy kryterium Weierstrss, szereg cos 2x jest 5 + Twierdzeie 2.. (Kryterium Dirichlet 2 ) Niech (f ) N będzie mlejącym ciągiem odwzorowń zbioru X w zbiór R, (g ) N ciągiem odwzorowń ( zbioru X w zbiór R [lub C]. Złóżmy, że ciąg (f ) N jest jedostjie zbieży do zer, ) ciąg g k (x) dl kżdego x X jest ogriczoy przez tę smą liczbę M (, + ). Wtedy k=1 N szereg fukcyjy f g jest zbieży jedostjie w zbiorze X orz f (x)g (x) 2Mf 1(x), x X. 1 Krl Theodor Wilhelm Weierstrss ( ) iemiecki mtemtyk 2 Joh Peter Gustv Lejeue Dirichlet ( ) iemiecki mtemtyk frcuskiego pochodzei 4

5 Twierdzeie 2.4. Niech (f ) N będzie ciągiem odwzorowń przedziłu [, b] R w zbiór R, które mją ciągłe pochode w tym przedzile. Jeżeli szereg fukcyjy f jest zbieży puktowo w przedzile [, b], szereg f jest zbieży jedostjie w przedzile [, b], to ( f (x)) = f (x), x [, b]. Twierdzeie 2.5. Niech (f ) N będzie ciągiem fukcji ciągłych odwzorowujących przedził [, b] R w zbiór R. Jeżeli szereg f jest jedostjie zbieży w przedzile [, b], to b ( ) f (x) dx = b f (x)dx.. Szeregi potęgowe Defiicj.1. Niech ( ) N będzie ciągiem liczb rzeczywistych i iech x R. (i) Szereg fukcyjy (x x ) zywmy szeregiem potęgowym o środku w pukcie x. (ii) Promieiem zbieżości szeregu potęgowego (x x ) zywmy kres góry zbioru wrto- ści bezwzględych wszystkich tych liczb rzeczywistych x x, dl których szereg (x x ) jest zbieży. Promień zbieżości ozczmy przez R. (iii) Zbiór {x R : x x < R}, gdzie R ozcz promień zbieżości szeregu (x x ), zywmy przedziłem zbieżości tego szeregu. Twierdzeie.1. Niech ( ) N będzie ciągiem liczb rzeczywistych i iech x R. Jeżeli istieje gric lim = λ, to promień zbieżości R szeregu potęgowego (x x ) wyrż się wzorem N = N {}, gdy λ = +, 1 R =, gdy < λ < +, λ +, gdy λ =. (1) 5

6 Twierdzeie.2. Niech ( ) N będzie ciągiem liczb rzeczywistych różych od zer i iech x R. Jeżeli istieje gric lim +1 = λ, to promień zbieżości R szeregu potęgowego (x x ) wyrż się wzorem (1). Twierdzeie..(Cuchy ego-hdmrd) Niech ( ) N będzie ciągiem liczb rzeczywistych, x R i iech R będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego (x x ). (i) Jeśli x R i x x < R, to szereg (x x ) jest bezwzględie zbieży. (ii) Jeśli x R i x x > R, to szereg (x x ) ie jest zbieży. Przykłd.1. Wyzczymy promień i przedził zbieżości szeregu potęgowego 2 4 (x 2). Zuwżmy, że więc lim = lim = 2 4, N, 2 4 = lim 2 ( ) 2 = lim 4 4 = 4. Ztem promień zbieżości bdego szeregu potęgowego wyosi R = 4. Podto { x R : x 2 < 4 } ( 2 =, 1 ), więc rozwży szereg jest bezwzględie zbieży dl kżdego x ( 2, ) 1. Pozostje zbdć zbieżość bdego szerefu fukcyjego końcch przedziłu zbieżości. Jeżeli x = 2, to szereg fukcyjy przyjmuje postć ( ) 2 2 ( = 4 = ( 1) 4 ) 2. Oczywiście jest to szereg liczbowy rozbieży, bo ie spełi wruku koieczego zbieżości szeregów, gdyż lim ( 1) 2 ie istieje. Jeżeli x = 1, to szereg fukcyjy przyjmuje postć 2 4 ( ) 1 2 = ( ) 4 = 2.

7 Rówież te szereg liczbowy rozbieży, bo ie spełi wruku koieczego zbieżości szeregów, gdyż lim 2 = +. Ztem szereg fukcyjy postci 2 (x 2) jest bezwzględie zbieży w przedzile ( 2, ) 1 4. Twierdzeie.4. Niech ( ) N będzie ciągiem liczb rzeczywistych, x R i iech R będzie promieiem zbieżości szeregu potęgowego (x x ). Jeśli r (, R), to szereg (x x ) jest jedostjie zbieży w zbiorze {x R : x x r}. Twierdzeie.5. Niech ( ) N i (b ) N będą ciągmi liczb rzeczywistych i iech x R. Jeżeli szeregi potęgowe (x x ) i b (x x ), odpowiedio o promieich zbieżości R 1 > i R 2 >, mją tę smą sumę w zbiorze {x R : x x r}, gdzie < r < mi {R 1, R 2 }, to ich wszystkie współczyiki są odpowiedio rówe, tj. N = b. 4. Szeregi Tylor Przypomijmy stępujące Twierdzeie 4.1. (Tylor 4 ) Jeżeli fukcj f m ciągłe pochode do rzędu 1 włączie w przedzile domkiętym o końcch x i x orz m pochodą rzędu wewątrz tego przedziłu, to istieje tki pukt c leżący między x i x, że f (x) = f (x )+ f (x ) 1! (x x )+ f (x ) 2! (x x ) f ( 1) (x ) ( 1)! (x x ) 1 + f () (c)! (x x ). Uwg 4.1. Rówość (T ) występującą w tezie Twierdzei 4.1 zywmy wzorem Tylor. Wzór te możemy rówież zpisć w postci gdzie T 1 (x) := 1 k= f (k) (x ) k! f(x) = T 1 (x) + R (x), (x x ) k, R (x) := f () (c)! (x x ). Wówczs T 1 (x) zywmy wielomiem Tylor, zś R (x) -tą resztą Lgrge. (T) 4 Brook Tylor ( ), mtemtyk gielski 7

8 Twierdzeie 4.2. Niech x R. Złóżmy, że fukcj f jest określo w pewym otoczeiu O (x, δ) puktu x. Jeżeli (i) fukcj f m pochode dowolego rzędu N w kżdym pukcie z otoczei O (x, δ), (ii) istieje tkie otoczeie O 1 (x, δ 1 ) O (x, δ), że to dl kżdego x O 1 (x, δ 1 ) zchodzi rówość lim R (x) =, x O 1 (x, δ 1 ), f(x) = f () (x )! (x x ). Defiicj 4.1 Szereg f(x) = f () (x )! (x x ) zywmy szeregiem Tylor fukcji f w otoczeiu puktu x. Twierdzeie 4.. Niech x R. Złóżmy, że fukcj f jest określo w pewym otoczeiu O (x, δ) puktu x. Jeżeli (i) fukcj f m pochode dowolego rzędu N w kżdym pukcie z otoczei O (x, δ), (ii) istieje tkie M (, ), że dl kżdego x O (x, δ) i N spełio jest ierówość f () (x) M, to lim R (x) =, x O (x, δ). Przykłd 4.1. Łtwo pokzć, że fukcję f : R R o wzorze f(x) = e x, moż rozwiąć w szereg Tylor w otoczeiu puktu x =. W tym celu rozwżmy dowole otoczeie zer, czyli ( δ, δ), gdzie δ (, ). Zuwżmy, że f () (x) = e x, N x R więc f () (x) e δ. N x ( δ,δ) 8

9 Ztem, mocy Twierdzei 4.., lim R (x) =, x ( δ, δ), gdzie R (x) ozcz -tą resztę Lgrge. Stąd, i z Twierdzei 4.2., otrzymujemy więc bo f(x) = e x = f () () x, x ( δ, δ),! x, x ( δ, δ),! N f () () = 1. Łtwo pokzć, że promień zbieżości szeregu e x = x! wyosi +, ztem Jeżeli podstwimy w rozwiięciu (2) x = 1, to otrzymmy rówość e = x, x R. (2)! 1!, którą przyjmuje się iekiedy z defiicję liczby Euler e. 5. Szeregi Fourier 5 Defiicj 5.1. Szereg postci 2 + ( cos x + b si x), () gdzie, i b są pewymi stłymi, x jest zmieą rzeczywistą, zywmy szeregiem trygoometryczym. Podto,, i b, gdzie N, zywmy wspólczyikmi tego szeregu trygoometryczego. Uwg 5.1. Sumy częściowe S (x) = 2 + ( k cos kx + b k si kx), x R k=1 szeregu trygoometryczego () są wielomimi trygoometryczymi. Ze względu okresowość fukcji trygoometryczych sius i kosius, wielomiy trygoometrycze S są fukcjmi okresowymi o okresie 2π, tj. S (x + 2π) = S (x), x R. 5 Je Bptiste Joseph Fourier ( ) - frcuski mtemtyk 9

10 Stąd wyik, że jeżeli szereg trygoometryczy () jest zbieży w przedzile [ π, π), to jest zbieży w zbiorze R i jego sum rówież jest fukcją okresową o okresie 2π. Twierdzeie 5.1. Jeżeli szereg trygoometryczy () jest zbieży jedostjie w przedzile [ π, π) do fukcji f, to orz, dl kżdego N, = 1 π b = 1 π = 1 π π π π f(x)dx, (4) f(x) cos x dx, (5) f(x) si x dx. (6) Defiicj 5.2. Wzory (4), (5) i (6) zywmy wzormi Euler-Fourier, wspólczyiki,, b ( N), określoe tymi wzormi, zywmy współczyikmi Fourier fukcji f. Szereg trygoometryczy (), którego współczyiki określoe są wzormi (4), (5) i (6), zywmy szeregiem Fourier fukcji f. Uwg 5.2. Wspólczyiki Fourier są określoe ie tylko dl fukcji f ciągłej, le dl dowolej fukcji f cłkowlej w sesie Riem przedzile [ π, π]. Uwg 5.. Szereg Fourier fukcji f, ciągłej i 2π-okresowej, ie musi być zbieży. Dltego stwierdzeie, że fukcj f m współczyiki Fourier postci (4), (5) i (6), zpisujemy f(x) 2 + ( cos x + b si x). Szereg po prwej stroie m tylko ses formly. Nie musi być wcle zbieży, jeżeli jest, to jego sumą ie musi być wyjściow fukcj f. Twierdzeie 5.2. Złóżmy, że fukcj f jest cłkowl w sesie Riem przedzile [ π, π]. (i) Jeżeli fukcj f jest przyst, to orz = 2 π (ii) Jeżeli fukcj f jest ieprzyst, to b =, N f(x) cos x dx, N. orz b = 2 π =, N f(x) si x dx, N. 1

11 Wiosek 5.1. Jeżeli szereg Fourier 2π-okresowej fukcji ciągłej f jest jedostjie zbieży w przedzile [ π, π), to jego sumą w zbiorze R jest fukcj f. Twierdzeie 5.. Jeżeli dwie fukcje ciągłe i 2π-okresowe mją jedkowe współczyiki Fourier, to te fukcje są sobie rówe w zbiorze R. Przykłd 5.1. Niech f będzie fukcją 2π-okresową, określoą wzorem f(x) = x 2, x [ π, π]. Poiewż fukcj f jest ciągł przedzile [ π, π] i przyst, z Twierdzei 5.2. (i), mmy = 1 f(x) dx = 2 π π π orz, dl kżdego N, Ztem szereg postci b =, N, f(x) dx = 2 π x 2 dx = 2 π = 1 f(x) cos x dx = 2 f(x) cos x dx = 2 π π π π = 2 ([ ] x 2 π si x 2 ) x si x dx = 4 π π = 4 ( [ x ] π π cos x + 1 ) cos x dx 1 π2 + ( 1) 4 cos x 2 [ x ] π = 2 π2, x 2 cos x dx x si x dx = 4 2 cos π = ( 1) 4 2. jest szeregiem Fourier fukcji f przedzile [ π, π). Podto z kryterium Weierstrss wyik, że szereg ( 1) 4 cos x 2 jest jedostjie zbieży w przedzile [ π, π), bo 4 ( 1) cos x i szereg liczbowy N x [ π,π) 4 jest zbieży. Stąd, mocy Wiosku 5.1., 2 x 2 = 1 π2 + ( 1) 4 cos x, 2 dl kżdego x R. W szczególości, przykłd, dl x = mmy π 2 12 = ( 1) 1 1, 2 11

12 dl x = π otrzymujemy π 2 6 = 1. 2 Twierdzeie 5.4. Jeżeli 2π-okresow fukcj f m ciągłą pochodą f w przedzile [ π, π], to szereg Fourier fukcji f jest jedostjie i bezwzględie zbieży w zbiorze R orz f(x) = 2 + ( cos x + b si x), x R. Twierdzeie 5.5. (Kryterium Dirichlet) Jeżeli 2π-okresow fukcj f jest przedziłmi mootoicz w przedzile [ π, π] i m co jwyżej skończoą liczbę puktów ieciągłości pierwszego rodzju, to jej szereg Fourier m sumę rówą f(x ) w kżdym pukcie x jej ciągłości i sumę rówą w kżdym pukcie x ieciągłości fukcji f, gdzie 1 ( f(x + 2 ) + f(x ) ) f(x + ) = lim f(x) orz f(x x x + ) = lim f(x). x x Przykłd 5.2. Niech f(x) = { x, gdy x ( π, π),, gdy x { π, π}. Zuwżmy, że fukcj f spełi złożei kryterium Dirichlet. Podto jest fukcją ieprzystą, więc =, N, orz Ztem b = 2 π f(x) = 2 x si x dx = 2 ( 1), N. ( 1) si x, x [ π, π]. Twierdzeie 5.6. Niech fukcj f, o wrtościch rzeczywistych, będzie 2π-okresow i cłkowl w sesie Riem przedzile [ π, π]. Wtedy fukcj Φ : R 2+1 [, + ) określo wzorem Φ (c, c 1, d 1,..., c, d ) = 1 ( π f(x) c 2 π 2 (c k cos kx + d k si kx)) dx, π k=1 12

13 przyjmuje wrtość jmiejszą, gdy c k = k i d k = b k, k {,1,...,} k {1,...,} gdzie ( ) N i (b ) N są ciągmi współczyików Fourier fukcji f. Podto zchodzi rówość = 1 π ( 1 π f(x) 2 π π 2 ( k cos kx + b k si kx)) dx π k=1 (f(x)) 2 dx 2 2 ( ) 2 + b 2. Twierdzeie 5.7. (Nierówość Bessel 6 ) Niech ( ) N i (b ) N będą ciągmi współczyików Fourier 2π-okresowej fukcji f cłkowlej w sesie Riem przedzile [ π, π]. Wtedy ( 2 + b) 2 1 π (f(x)) 2 dx. π π Uwg 5.4. Moż pokzć, że w ierówości Bessel dl fukcji cłkowlej w sesie Riem przedzile [ π, π] zwsze zchodzi rówość, tj ( 2 + b) 2 1 π = (f(x)) 2 dx. π π Rówość tę zywmy tożsmością Prsevl 7. Twierdzeie 5.8. (Twierdzeie Riem 8 -Lebesgue 9 ) Ciągi ( ) N i (b ) N współczyików Fourier 2π-okresowej fukcji cłkowlej w sesie Riem przedzile [ π, π] dążą do zer przy +. 6 Friedrich Wilhelm Bessel ( ) iemiecki stroom, geodet i mtemtyk 7 Mrc Atoie Prsevl ( ) - frcuski mtemtyk 8 Georg Friedrich Berhrd Riem ( ) - iemiecki mtemtyk 9 Heri Léo Lebesgue ( ) - frcuski mtemtyk 1