MECHNIK III (Mechanika analicna) Semes: I, ok akad. 2018/2019 Licba godin: - wkład 15 god., ćwicenia 15 god. *) egamin Wkładając: pof. d hab. inż. Edmund Wibod Kaeda Mechaniki i Mechaoniki p. 101 (sekeaia p. 102) WM Ćwicenia ablicowe: mg inż. Gego Banasek
Chaakeska pedmiou Celem wkładu jes oseenie dobej wied w amach Mechaniki ogólnej na sudiach piewsego sopnia (inżnieskich), w m: kinemaki i dnamiki bł swnej oa uchu wględnego, a pede wsskim aponanie asadami mechaniki analicnej, o więksm sopniu absakcjności i ogólności. Powiąanie innmi pedmioami Koniecna jes najomość maemaki, w scególności geomeii i gonomeii, achunku óżnickowego, wekoowego i macieowego, a akże agadnień w akesie Mechaniki I oa Mechaniki II. Egamin jes pisemn, a spawdeniu podlega najomość eoii, w m podsawowch wiedeń, asad i wpowadeń woów.
Pogam amow. Wkład Wsęp. Kinemaka punku we współędnch kwoliniowch i wekoowch oa w uchu łożonm (wględnm) (1). Kinemaka uchu kulisego bł. Ką Eulea. Pecesja egulana (1). Pędkość i pspiesenie oboowe i doosiowe punku bł w uchu kulism. Kinemaka bł w uchu dowolnm (1). Dnamika bł w uchu kulism i dowolnm. Kę bł (1). Enegia kinecna, asad dnamiki i ównania dnamiki bł w uchu kulism i dowolnm (1). Dgania własne i wmusone układu o jednm i wielu sopniach swobod (2). Mechanika analicna: współędne, wię, sopnie swobod, współędne uogólnione, pemiescenia uogólnione (1). Zasada pac pgoowanch (1). Zasada d lembea ogólne ównanie dnamiki analicnej (1). Równania Lagange'a II odaju (2). Równania Lagange a I odaju (1). Dnamika układu o miennej masie (1). Dnamika punku w uchu łożonm (1).
B. Ćwicenia Oblicanie pędkości i pspieseń punku bł w uchu płaskim: mechanim pęowe (1) i mechanim kołami (1). Oblicanie pędkości i pspieseń punku w uchu łożonm (1). Oblicanie pędkości i pspieseń bł w uchu kulism (1) oa punku bł w uchu kulism (1). Dgania układów o 1 sopniu swobod (1). Kolokwium I (1). Dgania układów o wielu sopniach swobod (1). Rowiąwanie pkładów p wkosaniu asad d lembea (1). Rowiąwanie adań a pomocą asad pac pgoowanch (1). Rowiąwanie adań a pomocą ównań Lagange a II odaju (1) oa ównań Lagange a I odaju (1). Oblicanie paameów bł o miennej masie (1) oa punku w uchu łożonm (1). Kolokwium II (1).
Lieaua 1. Wibod E., Sawiak S.: Mechanika ogólna. Teoia i adania. Wdawnicwo Poliechniki Gdańskiej, Gdańsk 2017 (wd. VI) 2. Sawiak S., Wibod E.: Mechanika. Wbane agadnienia. Teoia i adania. Wdawnicwo Poliechniki Gdańskiej, Gdańsk 2007 3. wejcewic J.: Mechanika. WNT, Wasawa 2007
www.mech.pg.edu.pl/kmim Maeiał ddakcne Mechanika III (mechanika analicna) Maeiał podielone są na bloki 1-godinne: Wkład 1 Wkład 15 Pania egaminacjne: Zesaw 19 pań
Kinemaka punku we współędnch kwoliniowch naualne biegunowe walcowe (clindcne) kulise (sfecne) Współędnmi kwoliniowmi mogą bć dowolne funkcje ( q 1, q2, q3) współędnch kaejańskich o ównaniach: q 1 = q1( x,, ) q 2 = q2 ( x,, ) q = q x,, ), kóe powinn jednonacnie wnacać współędne kaejańskie: x = x q, q, ) ( 3 3 = = ( 1 2 q3 ( q1, q2, q3 ( q1, q2, q3 ) )
Opis uchu we współędnch naualnch Podcas uchu punku po dowolnm oe możem popowadić do ou płascnę ściśle scną, płascnę nomalną i płascnę posującą w miejscu, w kóm najduje się akualnie oważan punk. Kawędie pecięcia się płascn są osiami: scną, nomalną główną i binomalną. b płascna posująca O s() () o n płascna ściśle scna płascna nomalna Opis uchu punku we współędnch naualnch; oś scna, n oś nomalna główna, b oś binomalna, O położenie pocąkowe punku, s() ównanie dogi pebej po oe Można wkaać, że uch punku odbwa się chwilowo w płascźnie ściele scnej i w dalsch oważaniach bać pod uwagę lko o naniesionm osiami: scną i nomalną. O s() () s v() (+) n Ruch punku w płascźnie ściśle scnej
Położenie. Położenie punku we współędnch naualnch jes okeślone, gd dan jes: 1) o pousającego się punku (ównanie ou), 2) położenie pocąkowe i chwila pocąkowa, 3) ównanie uchu po oe s = s(). (3.14) Pędkość. Ponieważ uch punku odbwa się w płascźnie ściśle scnej, weko pędkości pokwa się awse kieunkiem osi scnej. Waość wekoa pędkości śedniej licm e wou v ś s =, (3.15) naomias pędkości chwilowej (ścisłej), dla dowolnej chwili casu, e wou s v = lim = s, (3.16) 0 Weko pędkości możem aem apisać v = ve, (3.17) gdie e weso osi scnej.
Pspiesenie. Możem ównież wkaać, że pspiesenie punku jes wekoem leżącm awse w płascźnie ściśle scnej. b je wnacć óżnickujm pędkość (3.17) wględem casu d a = v = ( ve ) = ve + ve d, (3.18) gdż weso e mienia swój kieunek w casie.
Okeślenie pochodnej wesoa e wględem casu. Zgodnie definicją pochodnej mam e gdie e e e e = lim, (3.18a) 0 =. n n Δ 2 e e Δe Δ Weko e O n e n () n (+) e e n e v() o Zmian wesoa osi nomalnej e v( + Δ) = = =. 2 2 Gd 0, kieunek wekoa e dąż do kieunku wesoa e n, naomias jego waość e e 2e sin 2sin Z kolei pochodna gdie: Zaem osaecnie e 2sin sin sin lim lim 2 lim 2 s e = = = = 2 s 1 v = lim lim lim = 1kv = 1 v =, 0 0 0 s 0 s 0 s 0 2 2 k kwina ou, pomień kwin ou. Pe analogię można wkaać, że e = e n, gdie v lim 0 = = =. (3.18b) e = e. (3.18c) n Znak minus onaca, że kieunek mian w casie wesoa e n jes peciwn do osi scnej.
Po podsawieniu ależności (3.18b) do (3.18) omujem gdie: a = ae + ane n, (3.19) a = v = s, (3.19a) pspiesenie scne a n = v 2 pspiesenie nomalne., (3.19b) Waość wekoa pspiesenia całkowiego oblicam e wou 2 2 n a a a = +. (3.19c) Zaówno weko pędkości jak i weko pspiesenia we współędnch naualnch pedsawiono na s. o ae v Pędkość i pspiesenie punku we współędnch naualnch ae n n n a
Pomień kwin ou płaskiego, gd dan on jes a pomocą ównania = (x), oblicam e wou 3 2 2 d [1 + ( ) ] dx d = 2, (3.20a) dx 2 naomias w ppadku ou pesennego, gd o dan jes w posaci paamecnch ównań ou (PRT), j.: x(), (), (), kosam e wou = 3 2 2 2 2 [ x + + ] 2 2 2 ( ) + ( x x) + ( x x). (3.20b) Jeżeli o jes adan w posaci uwikłanej F(x, ) = 0, o jego pomień kwin oblicam e wou = 3 2 2 2 F F + x 2 2 2 2 2 2 F F F F F F F 2 + 2 2 x x x x. (3.20c) W scególnm ppadku, gd uch odbwa się po oe posoliniowm, wówcas pomień kwin ou =, a aem pspiesenie nomalne a n = 0. v Pędkość i pspiesenie punku w uchu po oe posoliniowm O () n a W uchu posoliniowm (uch po oe posoliniowm) aówno weko pędkości jak i pspiesenia są scne do ou.
Opis uchu we współędnch biegunowch Współędne biegunowe sosujem do opisu agadnień płaskich. Położenie. Do opisu położenia punku sosujem współędne: = (), = (). (3.24) φ Opis uchu punku we współędnch biegunowch φ() ρ() o punku x
Pędkość. Ponieważ weko wodąc punku możem apisać = e, gdie e jes wesoem osi, pędkość punku oblicm v = = e + e. Pochodna wesoa e, kó wiuje pędkością kąową =, na podsawie (3.18b), jes ówna e = e, gdie e jes wesoem osi. Zaem ależność na pędkość punku we współędnch biegunowch pjmuje posać v = ve + ve, (3.25) gdie: v v =, =. (3.25a)
Pspiesenie. Pspiesenie punku wnacm óżnickując (3.25) wględem casu d a = v = ( e + e ) = e + e + e + e + e d. Ponieważ pochodne wesoów są ówne: e = e, e = e, wó na pspiesenie punku we współędnch biegunowch pjmuje posać a = ae + ae, (3.26) gdie: 2 a =, a = + 2. (3.26a) Zaówno weko pędkości jak i pspiesenia pedsawiono na s. φ ve v a ae ve Pędkość pspiesenie punku we współędnch biegunowch ae o punku x
Opis uchu we współędnch walcowch (clindcnch) Współędne walcowe sosujem do opisu agadnień pesennch. Są one łożone współędnch biegunowch dla płascn x,, a ponado dochodi kieunek pionow. Położenie. Do opisu położenia punku sosujem współędne: = (), = (), = () Zwiąek współędnch kaejańskich walcowmi jes np.: Pędkość. Pędkość punku we współędnch walcowch oblicam gdie: v + v v v = ve + v e ve, (3.25) =, =, =. Pspiesenie. Pspiesenie punku we współędnch walcowch oblicam gdie: a + = ae + a e ae, (3.26b) 2 =, a a = + 2, a = x = cos = sin =
Opis uchu a pomocą współędnch kulisch (sfecnch) Położenie. Do opisu położenia punku sosujem współędne: = (), = (), = () Zwiąek współędnch kaejańskich kulismi jes np.: x = cos cos = cos sin = sin Pędkość. Pędkość punku we współędnch kulisch oblicam v =, v = cos, v = Pspiesenie. Pspiesenie punku we współędnch kulisch oblicam = 2 cos + cos 2 sin 2 2 2 a = cos, a, a 2 = 2 + + 2 sin cos
Kinemaka punku we współędnch wekoowch Wekoem wodącm jes weko o pocąku w punkcie odniesienia O, a końcu w miejscu, gdie w danej chwili najduje się oważan punk. Roważm ea punk, kóego położenie opisuje weko wodąc o składowch: x x () gdie jes casem. =, = (), = (), (3.1) Opis uchu punku a pomocą wekoa wodącego O Równania (3.1) nawam ównaniami uchu (RR). Są one jednoceśnie paamecnmi ównaniami ou (PRT). Wsac ównań uchu wugować paame, kóm jes cas, ab omać ównanie ou. Położenie. Jeżeli pocąek wekoa wodącego, opisującego położenie punku, pjmiem w pocąku układu odniesienia, wówcas jego współędne są ówne: x x () =, () Położenie punku we współędnch wekoowch =, (3.2) = (), a weko wodąc możem apisać = ( ) i + ( ) j + ( ) k. (3.3) x x O x
Pędkość. Roważm ea dwa położenia punku, jedno w chwili i dugie w chwili +. O () ( ) Δ (+) (+) v s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, = x (+) = (x(+), (+), (+)) Pędkość śednią punku wnacam ależności v ś =. (3.4) Pędkość punku we współędnch wekoowch Weko v ś ma kieunek i wo godn wekoem, a jego waość ależ od pjęego pediału casu. b wnacć pędkość chwilową (ścisłą), dla danej chwili casu, należ oblicć ganicę (3.4), p 0 d v = lim = =. (3.5) 0 d Weko pędkości v jes awse scn do ou, w punkcie, w kóm najduje się oważan punk. Podsawiając (3.3) do (3.5) omujem wiąek pomięd położeniem a pędkością punku v = = vxi + v j + vk, (3.5) gdie składowe wekoa v są ówne: v x =, v =, v x =. (3.7) Składowe wekoa v są pędkościami punku w kieunku osi x,,. x O vx i vk v v j o 2 2 2 Waość wekoa v licm e wou v = v + v + v. (3.8) x x Weko pędkości punku
Pspiesenie. Podobnie jak pędkość śednią, możem oblicć śednie pspiesenie punku, kóe jes mianą wekoa pędkości w jednosce casu. Oblicam je ależności a ś v v ( + ) v ( ) = =. (3.9) Zaówno waość jak i pośednio kieunek wekoa a ś ależ od pjęego pediału casu. b oblicć pspiesenie chwilowe (ścisłe) dla casu pechodim pspieseniem śednim (3.9) do ganic, p 0 v dv a lim v 0 d = = = = =. (3.10) Podsawiając (3.3) do (3.10) omujem a = v = axi + a j + ak, (3.11) gdie składowe wekoa a licm e woów ax = vx = x, a = v =, a v naomias waość wekoa pspiesenia 2 2 2 x a a a a = =, (3.12) = + +. (3.13) Należ podkeślić, że weko pspiesenia na ogół nie jes scn do ou.
Kinemaka punku w uchu łożonm (wględnm) Z uchem łożonm (wględnm) punku mam do cnienia wed, gd uch punku opisan jes w układie odniesienia x 1, 1, 1, kó o układ pousa się wględem innego, pjęego a nieuchom, układu odniesienia x,,. 1 ρ 1 O1 O O x1 x Położenie punku w uchu łożonm Położenie. Położenie punku wględem układu uchomego opisuje weko, a wględem układu nieuchomego weko, p cm = O +, (3.66) gdie O jes wekoem wodącm punku O 1, będącm pocąkiem układu uchomego.
Pędkość. Różnickując (3.66) wględem casu, omujem v = = O + +, (3.67) gdie jes wekoem pędkości kąowej układu uchomego. Równanie (3.67) apisujem w posaci v = vu + vw, (3.68) gdie: vu = O + (3.68a) - pędkość unosenia punku, vw = (3.68b) - pędkość wględna. Pędkość unosenia v u jes pędkością punku, akowanego jako nieuchom wględem układu uchomego x 1, 1, 1, naomias pędkość wględna v w jes pędkością punku wględem układu uchomego, akowanego jako nieuchom. a) b) v u 1 O1 1 1 O1 v w 1 O x1 x1 Pędkości punku w uchu łożonm: a) unosenia, b) wględna x
Pspiesenie. Pspiesenie punku omam, óżnickując (3.67) wględem casu a = v = + + + ( + ) +, (3.69) O co apisujem a = au + aw + a c, (3.70) gdie: a = + + ( ) (3.70a) u O - pspiesenie unosenia punku, a w = (3.70b) - pspiesenie wględne punku - pspiesenie Coiolisa. a = 2 = 2 v (3.70c) c w
Pspiesenie unosenia a u jes pspieseniem punku, akowanego jako nieuchom wględem układu uchomego. Pspiesenie wględne a w jes pspieseniem punku wględem układu uchomego x 1, 1, 1, akowanego jako nieuchom. Naomias pspiesenie Coiolisa a c jes dodakowm pspieseniem, pojawiającm się wed, gd układ uchom x 1, 1, 1 pousa się pędkością kąową (obaca się), a dodakowo punk pousa się pędkością wględną v w wględem układu uchomego. a) a u b) a w 1 1 1 1 O 1 O 1 O x 1 x 1 x c) a ω c 1 v w ω 1 O 1 Pspiesenia punku w uchu łożonm: a) unosenia, b) wględne, c) Coiolisa x O x 1