Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 1 of 8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3. Optymalizacja wielowarstwowych płyt laminowanych

Transkrypt

1 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 1 of 8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydiał Mechanicny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 3 1. CEL ĆWICZENIA Wybrane agadnienia optymaliacji elementów konstrukcji Optymaliacja wielowarstwowych płyt laminowanych Podstawowym celem ćwicenia jest wynacenie optymalnego ułożenia włókien wmacniających w ściskanej dwukierunkowo płycie prostokątnej wykonanej laminatu wielowarstwowego. W toku ćwicenia studenci aponają się także podstawowymi pojęciami klasycnej teorii kompoytów, a także metodami obliceniowymi mechaniki materiałów kompoytowych. 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Jedną istotniejsych alet materiałów kompoytowych są ich bardo dobre wględne parametry wytrymałościowe tn. wytrymałość ora stywność odniesione do gęstości materiału. Dięki temu doskonale nadają się do budowy lekkich konstrukcji powłokowych np. premysłu lotnicego, motoryacyjnego itp. Są wykorystywane także w budowie smukłych, wirujących cęści masyn, co do których ocekiwana jest niewielka bewładność np. łopaty wirników turbin wiatrowych. Dodatkową aletą laminatów wielowarstwowych jest możliwość miany wynikowych własności mechanicnych materiału(moduł Younga, moduł Kirchhoffa i współcynnik Poissona) popre mianę kąta ułożenia włókien wmacniających wględem kierunków obciążeń. A atem orientacja włókien kompoytu, podobnie jak np. grubość elementu, może być parametrem projektowym w adaniach konstrukcyjnych. Można atem mówić o swego rodaju projektowaniu materiału. strona18

2 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 2 of 8 Roważmy cienką płytę wykonaną symetrycnego, równoważonego laminatu wielowarstwowego o wymiarach a b i grubości całkowitej h. Płyta jestściskanawkierunkuosioxoraoyodpowiedniosiłamiλn x iλn y,gdie λ jest skalą(mnożnikiem) obciążenia. Zakładamy, że laminat składa się N laminojednakowejgrubościt.pryjmujemyponadto,żekątyθ k ułożenia włókien wmacniających poscególnych warstw laminatu są ogranicone do cterechwartości tj.:0,90,+45 i 45,prycymkąttenmierony jest od osi Ox globalnego układu współrędnych patr Rysunek 1. b 2 y k warstwa k a N x N y 1 x y x N y k N x t=tk k 2 1 płascyna symetrii Rysunek 1. Prykład płyty wykonanej symetrycnego laminatu wielowarstwowego W wyniku diałania sił ściskających płyta ulega wyboceniu, jeśli wartość obciążeń określonych pre współcynnik amplitudy λ osiągnie wartość granicną: λ λ kr =π 2D 11(m/a) 4 +2(D 12 +2D 66 )(m/a) 2 (n/b) 2 +D 22 (n/b) 4, (1) (m/a) 2 N x +(n/b) 2 N y gdie m i n są licbami naturalnymi odpowiadającymi licbie pół-fal postaci wybocenia w kierunku odpowiednio osi x i y(patr Rysunek 2) minimaliującychλ kr. 1 1 Tonacyjesttotakombinacjaparlicbminspośródwsystkichmożliwych,dla którejwartośćλ kr jestnajmniejsa. strona28

3 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 3 of 8 Rysunek 2. Poglądowe postacie wybocenia płyty ściskanej dwukierunkowo:(a)m=1,n=1;(b)m=1,n=2;(c)m=2,n=2 Występującewewore(1)wielkościD ij sąnaywanestywnościami płytowymi: D 11 =U 1 V 0 +U 2 V 1 +U 3 V 3, D 12 =U 4 V 0 U 3 V 3, (2) D 22 =U 1 V 0 U 2 V 1 +U 3 V 3, D 66 =U 5 V 0 U 3 V 3 isąwyrażaneapomocątrechwyrażeńcałkowychv 0D,V 1D,iV 3D ora pięciuniemiennikówmateriałowychu i,i= ZmienneVawierająinformacjęoustawieniuwłókienθ k wposcególnych laminach wględem osi płyty. Oblicane są na podstawie ależności: V 0D = V 1D = V 3D = h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 2 d= 1 N ( 3 3 k k 1) 3 2 ( ) = 3 3 k k 1 3, 2 cos2θd= 2 3 ( 3 k 3 k 1 ) cos2θk, h 2 2 cos4θd= 2 3 ( 3 k 3 k 1 ) cos4θk, gdieh=n tjestgrubościąlaminatu, k odległościąwarstwykodpłascyny symetrii płyty patr Rysunek 1. Występującewrównaniach(2)niemiennikiU i sąfunkcjamijedyniedanych wytrymałościowych materiału kompoytowego. Dane są ależnościa- (3) strona38

4 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 4 of 8 mi: U 1 = 1 8 (3Q 11+3Q 22 +2Q 12 +4Q 66 ), U 2 = 1 2 (Q 11 Q 22 ), U 3 = 1 8 (Q 11+Q 22 2Q 12 4Q 66 ), U 4 = 1 8 (Q 11+Q 22 +6Q 12 4Q 66 ), U 5 = 1 8 (Q 11+Q 22 2Q 12 +4Q 66 ), gdiewystępującewyrażeniaq ij sąredukowanymistywnościamipłaskiego stanu naprężeń w lokalnym układie współrędnych 102 (patr także Rysunek3): σ 1 Q 11 Q 12 0 ε 1 σ 2 = Q 12 Q 22 0 ε 2 (5) τ Q 66 γ 12 gdie występujący po lewej stronie wektor repreentuje tensor stanu naprężenia, aś wektor po prawej stronie repreentuje tensor stanu odkstałcenia. E 1 Q 11 =, Q 12 = ν 12E 2 = ν 21E 1, 1 ν 12 ν 21 1 ν 12 ν 21 1 ν 12 ν 21 E 2 Q 22 =, Q 66 =G 12 ν 21 =ν 12 E 2 /E 1. 1 ν 12 ν 21 WpowyżsychależnościachE 1,E 2,ν 12,ν 21 ig 12 onacająodpowiednio moduły Younga w kierunku ułożenia włókien wmacniających(1) i w kierunku poprecnym(2)(patr rysunek 1), moduły Poissona i moduł Kirchhoffa. Roważmy adanie optymaliacyjne polegające na naleieniu takiego ułożenia kolejnych N warstw laminatu, które odpowiada maksymalnej statecności analiowanej płyty tn. maksymalnej wartości współcynnika amplitudy λ. Z uwagi na fakt, że kąty ustawienia włókien w poscególnych warstwach są ogranicone jedynie do cterech wartości(patr str. 2) można wprowadić (4) (6) strona48

5 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 5 of 8 l 0 σ 1 τ 12 σ 2 τ 21 2 l 0 σ 2 1 τ 21 τ 12 σ 1 Rysunek 3. Płaskistannaprężeń;odkstałceniaε 1 =(l 1 l 0 )/l 0, ε 2 =(l 2 l 0 )/l 0 ;naprężeniastycneτ 12 =τ 21 miennecałkowitolicbowex k pryjmującewartość0,1,2,lub3wależności odkątaustawieniawłókienθ k wdanejwarstwie.wdalsychroważaniach, ora w dołąconym oprogramowaniu komputerowym, pryjmuje się wartość miennejx k równa0odpowiadakątowiθ k =0,oraθ k =90 x k =1, θ k =45 x k =2iθ k = 45 x k =3.Zaletątakiegodefiniowania agadnienia jest istotne uproscenie charakteru adania optymaliacyjnego.zmiennev 0D,V 1D iv 3D równanie(3) mogąbyćbowiemwyrażone popre liniowe funkcje miennych opisujących kąty ułożenia włókien w poscególnych warstwach laminatu. Tym samym, w sposób liniowy od tychmiennychależąstywnościpłytowed ij patr(2)iposukiwana mienna stanu λ będąca miarą dopuscalnego obciążenia płyty. Ostatecnie atem predstawione adanie posukiwania ułożenia włókien w poscególnych warstwach laminatu maksymaliującego jej statecność jest adaniem programowania liniowego i może być wynacone jedną dostępnych metod rowiąań. Reasumując, sformułowane adanie optymaliacyjne można apisać następująco: γ 12 l 1 l 2 strona58

6 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 6 of 8 wynacyć wektor miennych decyyjnych taki,aby wobec x=θ={θ 1,θ 2,...,θ k } T k (1...) (7) maxλ(m, n, x) (8) x θ k (0,90,45, 45 ) where,...,, (9) (θ k =45 )= (θ k = 45 ) (10) Ogranicenie(9) naruca poscególnym miennym θ jedynie dowolone wartości kąta ułożenia włókien, aś ogranicenie(10) odpowiada warunkowi równoważenialaminatu(licbawarstw,wktórychkątwynosi45 musi odpowiadaćlicbiewarstw,wktórychkątwynosi 45 ). 2 Występującew(8) parametry(m, n) odpowiadają możliwym postaciom wybocenia płyty pred rowiąaniem adania postać deformacji nie jest bowiem nana. Z uwaginafakt,żewyżsepostacie(np.m,n=3,4itd.występująbardo radko, w praktyce wystarcy sprawdić statecność dla dowolnej kombinacji licba1i2. 3. PRZEBIEG ĆWICZENIA Prowadący ajęcia prydieli każdemu espołowi laboratoryjnemu parametry geometrycne płyty kompoytowej i stałe wytrymałościowe materiału kompoytowego. Na podstawie otrymanych danych studenci oblicają wartościniemiennikówmateriałowychu i (patr(4))oramiennychv i (patr (3)) dla dopuscalnych kątów θ. Otrymane wyniki obliceń skonsultować prowadącym. Następnie należy, korystając dowolnego edytora tekstu, utworyć plik ASCI dane.txt danymi do obliceń optymaliacyjnych; wydruk worcowego plik danymi amiescono na rysunku 4. Plik utworonymi danymi apisać w prydielonym foldere. Uruchomić program optymaliacyjny 2 Zrównoważenielaminatupowoduje,żediałanienaprężeńnormalnychniepowoduje deformacjipostaciowejγ 12 próbki;równieżodwrotnie diałanienaprężeństycnychnie powoduje miany wymiarów liniowych patr rysunek 3 strona68

7 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 7 of a - wymiar płyty [mm] 0.7 ba - stosunek b/a [-] 100 Nx - obciążenie wdłuż x (na jedn. długości [N/m]) 0.2 NyNx - stosunek obciążeń [-] 0.13 t - grubość jednej warstwy laminatu [mm] E1 - m. stwyności wdłuż osi OX [MPa] 900 E2 - m. stwyności wdłuż osi OY [MPa] 6000 G12 - m. stwyności postaciowej [MPa] 0.28 v12 - wsp. Poissona 2 m_max - max licba analiowanych postaci wybocenia 2 n_max - max licba analiowanych postaci wybocenia Rysunek 4. Wydruk prykładowego pliku danymi do obliceń kompoyt.exe. Wyniki obliceń(wartość współcynnika amplitudy obciążeń λ) odcytać pliku wyniki.txt, aś pliku konfiguracje.txt odcytać kolejność ułożenia warstw w rowiąaniu optymalnym. Powtóryć oblicenia optymaliacyjne dla różnych proporcji obciążeń ściskających(n y /N x )wakresiepodanympreprowadącego.wykonać kilkanaście symulacji. 4. OPRACOWANIE WYNIKÓW Dane geometrycne i stałe materiałowe otrymane od prowadącego estawić w Tabeli 1. W tabeli amieścić ponadto wyniki obliceń niemienników materiałowychu i. Wyniki obliceń optymaliacyjnych amieścić w Tabeli 2 5. SPRAWOZDANIE Sprawodanie realiacji ćwicenia powinno awierać: 1. Tabelkę identyfikacyjną. 2. Cel ćwicenia. 3. Sformułowanie adania optymaliacji wg.(7)-(10) 4. Zestawienie danych geometrycnych płyty i stałych materiałowych Tabela1 strona78

8 Document: Exercise-03-manual /12/ :54--- page 8 of 8 Tabela 1. Zestawienie danych do obliceń E 1 = E 2 = G 12 = ν 12 = a= b= t= N x = m max n max U 1 = U 2 = U 3 = U 4 = U 5 = Tabela 2. Zestawienie obliceń optymaliacji wielowarstwowej płyty kompoytowej Rowiąanie N y /N x λ N y N x Ułożeniewarstw Licbarowiąań OblicenianiemiennikówU 1...U 5 imiennychv 0,V 1,V 3 dlarowiąania optymalnego jednego analiowanych prypadków(dowolnie wybrany o różnym układie warstw). 6. Tabelę 2 w wynikami obliceń optymaliacyjnych. 7. Wnioski. strona88