6. Kinematyka przepływów

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6. Kinematyka przepływów"

Grażyna Tomaszewska
6 lat temu
Przeglądów:

1 6. Kinemk pepłwów Podswowe deinije To jekoi elemenu płnu jes o miejse geomene kolejnh położeń pousjąego się elemenu płnu upłwem su. Równnie óżnikowe ou elemenu płnu: d d d d Lini pądu o lini spełniją wunek snośi do wsskih wekoów pędkośi elemenów płnu położonh n ej linii w dnej hwili su. Równnie óżnikowe linii pądu: d Dl pepłwu uslonego lini pądu pokw się oem elemenu płnu. Ruk pądu włókno pądu. Jeżeli pe kżd punk mknięego konuu ojąego nieskońenie młe pole ds popowdim linie pądu wóws uwoą one powiehnię wną uką pądu. Jednoeśnie możn pepowdić linie pądu pe kżd punk powiehni ds; ki ió linii pądu nwm włóknem pądu. Jeżeli pepłw jes nieuslon wóws ksł h ioów ędą się mienić ędą o: hwilow uk pądu hwilowe włókno pądu. Jeżeli nomis ędie o pepłw uslon wóws ksł uki i włókn ędie niemienn. d d 8

2 8 Meod opisu uhu płnu. Meod Lgnge nli wędown. Meod Lgnge służ do nli miennośi wielkośi inh j.: pędkośi pspieseni iśnieni gęsośi i empeu indwidulnie dl kżdego elemenu płnu wdłuż jego ou. W hwili poąkowej położenie kżdego elemenu płnu okeślone jes pe współędne w pjęm ukłdie współędnh. Ruh płnu ędie łkowiie okeślon jeżeli dl kżdego elemenu płnu poim wnć upłwem su weko położeni: k j i v lu jego skłdowe: kże iśnienie gęsość i empeuę płnu: T p ρ Wielkośi w powżsh ównnih są miennmi nieleżnmi i nwne są miennmi Lgnge. Jko wunki poąkowe pjmuje się: p p ρ ρ. Znją ównnie uhu dnego elemenu płnu wnć możn jego pędkość i pspiesenie w kolejnh hwilh su:

3 8 F F F F F F Meod Eule nli lokln. Meod Eule usl hisoię min pmeów hdodnminh pepłwu w okeślonm punkie peseni w kżdej kolejnej hwili su. W m elu nleż wnć os konoln. Pole pędkośi pepłwu iśnień gęsośi i empeu w meodie Eule pedswi się jko unkję położeni i su: T T p p d d ρ ρ lu:

4 T p d d d d d d ρ Jeżeli w ównnih h s pjmiem sł mienne o ównni e ędą okeślł pędkość pme ine kolejnh elemenów płnu njdująh się w peseni w dnej hwili su. Jeżeli ś współędne pjmiem słe s mienn o ównni e ędą okeślł pędkość pme ine elemenów płnu pehodąh pe dn punk peseni w unkji su. Pspiesenie elemenów płnu w meodie Eule okeśl pohodn upełn pędkośi wględem su: d d Pohodn sow pisn w miennh Eule onon smolem D D on opeo Sokes: D D gdie: D/D - pohodn susnjln upełn indwiduln wędown ędą sumą pohodnej loklnej i konwekjnej - pohodn lokln wżją minę w sie pędkośi elemenów płnu pepłwjąh pe os konoln - pohodn konwekjn wżją minę pędkośi elemenu płnu w e miną położeni w peseni o d d d. Funkj pądu poenjł pędkośi. Rowżm pepłw płski płnu doskonłego. Dl kżdego płskiego uhu płnu doskonłego isnieje pewn unkj umożliwiją okeślenie posególnh skłdowh pędkośi. Z wunku iągłośi płnu doskonłego: wnik że:

5 Z ównni óżnikowego linii pądu wnik nomis: d d d d N podswie powżsh leżnośi możn swiedić że isnieje unkj pądu Ψ spełniją wunki że: Ψ Ψ i 4 Po wswieniu h leżnośi do ównni linii pądu wnik że jes ono óżniką upełną unkji Ψ: Ψ Ψ d d dψ skąd po słkowniu uskm ównnie odin linii pądu Ψ C. Wnik sąd że unkj pądu jes sł wdłuż dnej linii pądu. Znją unkję pądu Ψ okeśljąą dn pepłw możem w kżdm punkie pepłwu okeślić skłdowe pędkośi pepłwu. Funkj pądu w pepłwie -wmiowm pedswi ió powiehni wlowh kóh woąe są nomlne posopdłe do płsn pepłwu. Peięie h powiehni płsną C ons pedswi ió linii pądu. Jeżeli nliown pepłw jes poenjln li niewiow o w kżdm punkie pepłwu wiowość: o Ω li: 5 em isnieje ki poenjł pędkośi φ dl kóego: ϕ ϕ i 6 em: ϕ ϕ dϕ d d. Po wswieniu wżeń 6 do ównni iągłośi woów 4 do wunku poenjlnośi 5 omm: ϕ ϕ Ψ Ψ o skąd wnik że unkj pądu i poenjł pędkośi spełniją ównnie Lple. 84

6 PRZYKŁADOWE ZADANIA Zdnie 6. po. il. [4] d. 5 s. 46 Płn njduje się w uhu uslonm posoliniowm. Npisć ównnie uhu elemenu płnu kó w hwili poąkowej njdowł się w punkie A 4 po upłwie su s jmuje położenie w punkie B4 4. Dne: A 4 s B4 4 Równnie uhu elemenu: Podswim dne: Wnć: ównnie uhu Rowiąnie: 4.5 m / s 4. m / s Osenie mm: 4. m / s Zdnie 6. po. il. [4] d. 6 s. 46 Dne jes ównnie uhu elemenu płnu: gdie - s współędne w meh. Okeślić współędne elemenu płnu o jego pędkość po upłwie s od poąku uhu. Dne: Wnć: s Rowiąnie: Zkłdm że w hwili poąkowej Skłdowe pędkośi: 85

7 d d d d d d Moduł weko pędkośi: 8 Dl s: 8 m/s 4 m 4 m 4 m Zdnie 6. po. il. [4] d. 7 s. 46 Dne jes ównnie uhu elemenu płnu: gdie - s współędne w meh. Okeślić pspiesenie elemenu płnu dl kóego 8. Dne: Wnć: m Rowiąnie: Ze wou n współędną olim s: dl sąd: Skłdowe pspieseni: s. d d 8 d d 8 d d Pspieseni elemenu płnu po upłwie su.9 s:.9 m / s 86

8 Zdnie 6.4 po. il. [4] d. 9 s. 46 Dne jes pole pędkośi pepłwu uslonego:. Okeślić skłdowe weko pspieseni o olić pspiesenie w punkie A. Npisć ównnie linii pądu pehodąej pe punk B 4 8. Dne: A B 4 8 Skłdowe weko pspieseń: D D Wnć: Rowiąnie: D D D D. Sąd: Moduł weko pspieseni wnosi: m / s 87

9 Równnie óżnikowe linii pądu: d d d lu Po słkowniu omm: d d d d d d i d. C C Pepłw jes uslon: ównni odin linii pądu są jednoeśnie ównnimi oów elemenów płnu. Wnm słe łkowni: C Równnie linii pądu pehodąej pe punk B: 4 C Zdnie 6.5 po. il. [6] d. 4.. s. 6 Dne jes pole pędkośi pepłwu płskiego nieuslonego płnu doskonłego:. Olić pędkość i pspiesenie elemenu płnu kó w hwili s njduje się w punkie K. Dne: Wnć: s K Rowiąnie: W hwili s elemen płnu njduje się w punkie K : 8 m/s m/s i weko pędkośi wnosi: i j 8 i - j Moduł weko pędkośi: 88

10 8.5 m/s Wnm skłdowe pspieseni: gdie: 4 Podswim do wou: W punkie K dl s mm: [ ] Weko pspieseni: Moduł weko pspieseni: m/s m/s i j i - j m/s Zdnie 6.6 po. il. [6] d. 4.. s. 6 Płski nieuslon pepłw płnu okeśl weko pędkośi i j. Wnć: ównnie linii pądu kó w hwili pehodi pe punk K ównnie ou elemenu płnu kó w hwili njduje się w punkie K pol pepłwu udowodnić że dl j. w ppdku pepłwu uslonego lini pądu pokw się oem pousni się elemenu płnu. Dne: Wnć: i j ównnie linii pądu ównnie ou elemenu płnu K Rowiąnie: Równnie óżnikowe linii pądu możem pisć w posi: W m ppdku: d d 89

11 9. Podswim dl hwili : d d Po słkowniu mm: C Słą łkowni wnm wunku egowego okeślonego współędnmi punku K : C Osenie omujem ównnie linii pądu: Równni óżnikowe ou elemenu płnu: d d d d Dl: mją posć: d d d d Po słkowniu piewsego ównni: C gdie dl mm: C Zem: Po podswieniu usknej leżnośi do dugiego ównni óżnikowego ou omm: d d Po słkowniu i uwględnieniu wunku egowego dl i mm: 6 Osenie ównni ou możem pisć ukłdem ównń pmenh: 6 W ppdku pepłwu uslonego li dl ównnie linii pądu ups się do posi:

12 Równni pmene ou mją posć: Eliminują osnih leżnośi - omujem: Z pepowdonh owżń wnik że dl pepłwu uslonego lini pądu pokw się oem pousni się elemenu płnu. Zdnie 6.7 po. il. [6] d. 4.. s. 6 Płski pepłw płnu doskonłego okeślją skłdowe weko pędkośi: i. Wpowdić ównnie linii pądu o ównnie ou pousni się ąseki płnu kó w sie njduje się w punkie K- -. Dne: Wnć: ównnie linii pądu K- - ównnie ou elemenu płnu Równnie óżnikowe linii pądu: dl skłdowh pędkośi: pjmuje posć: Ogólnm owiąniem jes łk: Rowiąnie: d d d d C Z wunku egowego dl - -: C Równnie linii pądu : Wpowdm ównnie ou pousni się ąseki płnu: d d d d Rowiąnie ogólne: 9

13 C e C e Dl - - C C Cli: Eliminują s omujem ównnie ou po kóm pous się ąsek płnu: Zdnie 6.8 po. il. [4] d. 4 s. 47 Npisć ównnie iągłośi dl włókn pądu płnu jednoodnego nieśiśliwego jeżeli dne jes pole pędkośi pepłwu: i j k Dne: Wnć: i j ównnie iągłośi k Rowiąnie: Równnie iągłośi dl płnu nieśiśliwego m posć: div Dl podnego pol pędkośi mm: Równnie iągłośi m wed posć: Osenie: Zdnie 6.9 po. il. [4] d. 5 s. 47 Spwdić dne pole pędkośi: może ć polem pędkośi pepłwu płnu nieśiśliwego. 9

14 Dne: Wnć: div? Rowiąnie: A dne pole pędkośi ło polem pędkośi pepłwu nieśiśliwego musi ć spełnione ównnie iągłośi dl pepłwu płnu nieśiśliwego: div lu li: Pohodne skłdowh pędkośi wnosą: i. Poniewż: sąd: Pedswione pole pędkośi może ć polem pędkośi pepłwu płnu nieśiśliwego. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zdnie 6. Dne jes ównnie uhu elemenu płnu: 4 gdie - s współędne w meh. Okeślić współędne elemenu płnu o jego pędkość po upłwie s od poąku uhu. m Odpowiedź: K 8. s Zdnie 6. Dne jes ównnie uhu elemenu płnu:

15 gdie - s współędne w meh. Okeślić pspiesenie elemenu płnu dl kóego Odpowiedź: m 5. s. 6 Zdnie 6. po. il. [4] d. s. 46 Dne jes pole pędkośi pepłwu: 4 4. Npisć ównnie linii pądu. Odpowiedź: C jes o odin hipeol. Zdnie 6. po. il. [4] d. s. 47 Dne jes pole pędkośi pepłwu: k k gdie k wielkość sł. Znleźć ównnie odin linii pądu o okeślić kieunek uhu. Odpowiedź: C kieunek uhu peiwn do uh wskówek eg. Zdnie 6.4 po. il. [6] d. 4.. s. 6 Funkj pądu Ψ opisuje płski nieuslon pepłw płnu doskonłego. Wnć pole pędkośi pepłwu o olić pędkość i pspiesenie elemenu płnu kó w hwili njduje się w punkie K. Odpowiedź:.46. Zdnie 6.5 po. il. [6] d s. 6 Zdć unkje: ϕ ϕ mogą ć poenjłmi pędkośi płskiego uslonego uhu poenjlnego płnu doskonłego. Odpowiedź: Tlko unkj ϕ może ć poenjłem pędkośi płskiego uslonego uhu poenjlnego płnu doskonłego. Zdnie 6.6 po. il. [6] d s. 6 Jk leżność musi hodić pomięd słmi i ównnie: poenjł pędkośi płskiego uslonego uhu niewiowego? Odpowiedź: - lu -. ϕ okeślło 94

Podobne dokumenty

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi