AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać i oddać kiedykolwiek. Inne też należy rozwiazać. Należy wybrać trzy spośród zadań o numerach 30, 37, 43, 44, 46 i napisać ich rozwiazania na kartkach. Kartki z rozwiazaniami prosze przynieść nie później niż w rocznice rozpoczecia powstania w getcie warszawskim (czyli w przedzień urodzin adolfa hitlera). 26.! Niech f : (a, b) R bedzie taka funkcja, która ma jednostronne pochodne skończone w każdym punkcie swej dziedziny i której wykres leży nad jednostronna styczna do siebie w każdym punkcie. Udowodnić, że f jest funkcja wypukła, a jeśli nad oznacza ostra nierówność w każdym punkcie w wyjatkiem punktu styczności ściśle wypukła. 27. Czy w poprzednim zadaniu można założyć, że istnieja prawostronne pochodne (zamiast prawoi lewostronnych)? 28.! Udowodnić, że jeśli (f n ), f n : [a, b] R, jest ciagiem funkcji monotonicznych punktowo zbieżnym do funkcji ciagłej f : [a, b] R, to zbieżność jest jednostajna. Czy twierdzenie pozostanie prawdziwe, jeśli przedział domkniety zastapimy przedziałem otwarto domknietym? 29.! Udowodnić, że jeśli (f n ), f n : [a, b] R jest ciagiem funkcji ciagłych punktowo zbieżnym do funkcji ciagłej f : [a, b] R i dla każdego [a, b] ciag (f n ()) jest monotoniczny, to zbieżność jest jednostajna. Czy twierdzenie pozostanie prawdziwe, jeśli przedział domkniety zastapimy przedziałem otwarto domknietym? 30. Podać przykład ciagu (f n ) funkcji ciagłych zbieżnego punktowo do funkcji ciagłej f na przedziale [0, ], który nie jest zbieżny jednostajnie na żadnym podprzedziale domknietym przedziału [a, b]. 3.! Dowieść, że jeśli ciag wielomianów (w n ) jest jednostajnie zbieżny na przedziale domknietym do funkcji w i istnieje taka liczba M, że dla każdego n N zachodzi nierówność st w n M, to funkcja w jest wielomianem, którego stopień nie przekracza M. 32. Niech α < 0. Dla jakich liczb rzeczywistych t szereg funkcyjny n= nα cos(2πnt) jest zbieżny? Na jakich zbiorach zbieżność jest jednostajna? 33.! Czy ciag n( ) n jest jednostajnie zbieżny na [0, ]? 34. Czy ciag n + n jest jednostajnie zbieżny na [0, )? 35.! Czy ciag ( + n) n jest jednostajnie zbieżny na R? 36.! Czy ciag ( + n) n jest jednostajnie zbieżny na [a, b]? 37.! Czy szereg +( n) 2 jest jednostajnie zbieżny na R? 38. Czy szereg 2 n 4 + 4 jest jednostajnie zbieżny na R?
39. Czy szereg ( ) n n+ jest jednostajnie zbieżny na [0, )? 40.! Dowieść, że każda funkcja przedziałami liniowa jest postaci a + b + a + a 2 2 + + a n n. 4. Dowieść, że jeśli funkcja f jest granica punktowo zbieżnego ciagu funkcji ciagłych na przedziale domknietym, to jest też granica punktowo zbieżnego ciagu wielomianów na tym przedziale. 42. Dowieść, że szereg funkcyjny ( ) ( ) + 2 ( ) 2 ( ) + 3 ( ) 3 ( ) + jest zbieżny jednostajnie i bezwzgl ednie na przedziale [0, ]. Zmienić kolejność wyrazów tego szeregu tak, by nowy szereg nie był zbieżny jednostajnie na [0, ]. 43.! Niech (f n ) bedzie ciagiem ciagiem funkcyjnym określonym na przedziale [a, b]. Udowodnić, że jest on jednostajnie zbieżny do funkcji ciagłej f : [a, b] R wtedy i tylko wtedy, gdy z równości lim n = wynika, że lim f n( n ) = f(). n n 44. Wykazać, że granica ciagu wielomianów jednostajnie zbieżnego na całej prostej jest wielomianem. 45. Podać przykład ciagu (f n ) funkcji ciagłych na przedziale [0, ] takiego, że szereg n= f n jest zbieżny bezwzglednie i jednostajnie na przedziale [0, ] i jednocześnie zachodzi równość n= sup 0 f n () = +. 46. Niech f() = n= R \ Z. 2 n 2 dla każdego / Z. Wykazać, że funkcja f jest ciagła na zbiorze 47. Niech f() = n= e n 2 dla 0. W jakich punktach funkcja f jest ciagła? 48. Niech f() = n= n sin n. Wykazać, że funkcja f jest ci agła na R i wyjaśnić, czy jest okresowa. 49. Udowodnić, że szereg nieujemnych funkcji ciagłych zbieżny punktowo do funkcji ciagłej jest zbieżny jednostajnie. 50. Dowieść, że szereg n= 2 e n2 dla 0 jest jednostajnie zbieżny na zbiorze wszystkich liczb nieujemnych. 5. Obliczyć lim 0 + n= + 2 n 2. 52. Obliczyć lim ( ) n 0 + n= n. 53. Dowieść, że jeśli lim a n = a, to lim a ( n = a, to lim e n n n=0 n ) a n = a. n! 54. Podać przykład takiego ciagu (f n ) funkcji różniczkowalnych na całej prostej, który jest jednostajnie zbieżny do funkcji zerowej, że ciag (f n) jego pochodnych jest zbieżny punktowo do funkcji niezerowej. 2
55. Dowieść, że funkcja ciagła, nigdzie nieróżniczkowalna, która została skonstruowana na wykładzie, nie jest monotoniczna na żadnym przedziale. 56. Dowieść, że funkcja ciagła, nigdzie nieróżniczkowalna zdefiniowana w czasie wykładu (van der Waerdena) ma nieskończona pochodna w co najmniej jednym punkcie. 57. Niech I, I 2,... bed a otwartymi przedziałami parami rozłacznymi. Dowieść, że istnieje taka nieskończenie wiele razy różniczkowalna funkcja f : R [0, ), że f() > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy I I 2 I 3... 58.! Załóżmy, że < a < b < c < d <. Dowieść, że istnieje taka nieskończenie wiele razy różniczkowalna funkcja f : R [0, ], że / (a, d) f() = 0, [b, c] f() = 59. Niech G R, G 2 R,... bed a zbiorami otwartymi (G n jest otwarty, jeśli dla każdego G n istnieje taka liczba δ > 0, że ( δ, + δ) G n ). Załóżmy, że G G 2... = R. Udowodnić, że istnieja takie funkcje f n : R [0, ), nieskończenie wiele razy różniczkowalne, że jeśli f n () > 0, to G n i n= f n() = dla każdego R. 60. Niech (a n ) n=0 bedzie dowolnym ci agiem liczb rzeczywistych. Udowodnić, że istnieje taka nieskończenie wiele razy różniczkowalna funkcja f : R R, że f (n) (0) = a n dla n = 0,,... Jeśli dla pewnej liczby r > 0 szereg a n n n! jest zbieżny na pewnym przedziale ( r, r), a g jest taka nieujemna funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna, że jeśli 3 a jeśli 2 3 r, to g() = 0, to możemy przyj ać, że f() = g() n=0 a n n n! r, to g() =, funkcja g istnieje. 6. Dowieść, że jeśli I jest przedziałem, f : I R funkcja ciagł a, to dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka funkcja F : I R, że F (n) = f, czyli dowolna funkcja ciagła jest n ta pochodna pewnej funkcji. Dowieść, że jeśli F (n) = G (n) na przedziale I, to funkcja F G jest wielomianem stopnia mniejszego niż n. 62.! Udowodnić, że jeśli funkcja f ma ciagł a pochodna na przedziale domknietym [a, b] oraz f n () = n ( f( + n ) f()), to f n f 63. Niech ζ() = n= n dla >. Udowodnić, że funkcja ζ jest dobrze zdefiniowana oraz, że jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. 64. Zbadać, dla jakich R szereg n= ( )n n+ punktów różniczkowalności jego sumy. jest zbieżny i znaleźć zbiór wszystkich 65. Niech f : R R bedzie funkcja nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Załóżmy, że dla każdego R zachodzi równość lim f (n) () = g(), przy czym na każdym przedziale ograniczonym ta zbieżność jest jednostajna. Dowieść, że istnieje taka liczba c, że f(c) = ce n dla każdego R. 66. Ile pochodnych ma funkcja n= n 3 sin(n)? 67. Niech f n () = n sin2 (2 n+ π), jeśli 2 n+ < < 2 n oraz f n () = 0 dla pozostałych z przedziału [0, ]. Dowieść, że szereg f n jest zbieżny jednostajnie na przedziale [0, ] oraz sup{fn () : [0, ]} =. Oznacza to, ze zbieżności jednostajnej tego szeregu nie można stwierdzić za pomoca kryterium Weierstrassa. 3
68. Dowieść, że jeżeli funkcja f jest nieparzysta i analityczna w punkcie 0, to f (2n) (0) = 0 dla n = 0,, 2,... 69. Znaleźć szereg Maclaurina funkcji f, jeśli f() =. ( + ) ln( + ); 2. + 4 ln + 2 arctg ; 3. arctg 2 2 +4 ; 4. arctg 2 2 2 ; 5. 2 5 6 5 2 ; 6. arccos( 2 2 ); 7. arctg ln + 2 ; 8. arcsin 2 ; 9. ln(+ + 2 ) + 2 ; 0. ( + )e ;. e sin ; 2. ( ) 2 cosh ; 3. ( ln( ) ) 2 ; 4. ln + ; 5. e cos ; 6. ( + ) ln( + ); 7. cos(b arcsin ), b R; 8. 2 (arcsin ) 2 ; 9. cos 2 ; 20. sin 3 ; 2. 2 ; 22. ( )( 2 ) ; 23. ( + + 2 + 3 + 4 ) ; 24. ( + + 2 ) ; 25. e cos α sin( sin α), α R; 26. ( 2 ) 2 27. sin(b arcsin ), b R; 28. (arctg ) 2 ; 29. sin(b arccos ), b R; 30. sin(3) sin(5). 70. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potegowego a. n= n p n, p R; b. n= n( 3 n + ( 2) n) n ; c. (n!) 2 n= (2n)! ( + )n ; d. ( 3 5 (2n ) ) p n= 2 4 6 (2n) n ; e. n= an2 n, a (0, ); f. ( n= + n 2 n) n ; g. ( n= + 2 + + ) n n ; h. n= 2 n n2 ; i. n= n ( ) n n ; j. n= sin n n n ; k. ( ) n ( ) n= ln n + 2 cos nπ 4 n ; l. ( n= n an + b n) n 2( ) + n, n 2 2 gdzie a > 0, b > 0; m. n= n 0l(n) (2 ) n, l(n) to liczba cyfr liczby n. 7. Przedstawić funkcj e ln(2 + 2 + 2 ) w postaci a n ( + ) n. 72. Przedstawić funkcj e ( ) w postaci a n n. 73. Przedstawić funkcj e ln w postaci a n ( + ) n. 74. Przedstawić funkcj e + w postaci a n ( +) n. 75.! Zsumować szereg a. n=0 c. n=0 2n 2n+ 2n+ ; b. n=0 ( )n (2n)! ; d. n= n(n+) n ; 2n+ 2n+ ; e. 3 5 (2n ) n= 2 4 6 (2n) n ; f. n= nn ; g. n= ( )n n 2 n ; h. n= n(n + )n. 76. Znaleźć n ta pochodna w punkcie 0 funkcji a. e 2 ; b. arctg(2). 4
77. Znaleźć n ta pochodna funkcji a. e 2 ; b. arctg(2); c. e 0/. 78. Niech f() = n=0 a n n dla R i F () = f() dla <. Znaleźć F (n) (0). 79. Dowieść, że jeśli funkcja f : (a, b) R jest analityczna oraz a < 0 < b, to f() = f (n) ( 0 ) n=0 n! ( 0 ) n dla każdej liczby, dla której szereg wystepuj acy po prawej stronie równości jest zbieżny. 80. Dowieść, że jeśli funkcja f : ( 2, 2) R jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna we wszystkich punktach przedziału [, ] i f (n) () 0 dla każdego n i każdego [, ], to funkcja ta jest analityczna w przedziale (, ) promień zbieżności i promień zbieżności jej szeregu Maclaurina nie jest mniejszy niż. 8. Dowieść, że jeśli funkcja f : (a, b) R jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna oraz f (n) () c n dla każdego (a, b) i każdego n Z, to dla dowolnych, 0 (a, b) f() = f (n) ( 0 ) n=0 n! ( 0 ) n. 5