Funkcje analityczne. Wykład 12

Transkrypt

1 Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy szeregi Laurenta funkcji holomorficznych w pierścieniu zera i krotności zer funkcji holomorficznych residua i sposoby liczenia residuów funkcji zespolonych.. Szeregi Laurenta Przykład: funkcja holomorficzna w pierścieniu Rozważmy funkcję f : \ { 2, } (z )(z + 2) z \ { 2, }. Zobaczymy, że funkcję f można rozwinąć w zbiorze {z : < z z 0 < 2} pewien typ szeregu o środku w z 0 = 0. 3 z 3 z + 2 = 3z z (dla < z < 2 zachodzi nierówność z < oraz z < ) 6 + z 2 gdzie = 3z = z n 6 a n z n, ( ) n 2 n zn = 3 zn ( ) n zn 3 2n+ { a n = 3, n < 0 ( )n 3 2, n 0 n+ Przykład: funkcja holomorficzna w pierścieniu podsumowanie (z )(z + 2) z \ { 2, }.

2 W obszarze {z : z < } funkcja jest holomorficzna, więc rozwija się w szereg potęgowy o środku w z 0 = 0 ( ( ) n 3 2 3) z n. n+ W obszarze {z : < z < 2} funkcja jest holomorficzna, więc rozwija się w tzw. szereg Laurenta o środku w z 0 = 0 2 Szeregi Laurenta 3 zn + ( ) n zn 3 2n+ Twierdzenie 2. Niech f będzie funkcją holomorficzną w pierścieniu {z : r < z z 0 < R}, gdzie r, R (0, ]. Wówczas f można wyrazić za pomocą szeregu Laurenta w następujący sposób a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. Współczynniki rozwinięcia można liczyć wzorami a n = f(ξ) dξ, n Z, 2πi (ξ z 0 ) n+ gdzie jest dowolnym okręgiem o środku w z 0 i promieniu s (r, R). n= Szeregi Laurenta Niech f będzie dana za pomocą szeregu Laurenta } {{ } część regularna a n (z 0 ) n a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. n= } {{ } część osobliwa Szereg Laurenta jest zbieżny bezwględnie oraz niemal jednostajnie w pierścieniu zbieżności. W pierścieniu zbieżności szereg Laurenta jest zbieżny: punktowo niemal jednostajnie bezwzględnie 2. Osobliwości funkcji zespolonych Krotność zera Mając wielomian W, np. W (z) = z n + a n z n + + a z + a 0, z 0 nazywamy zerem k-krotnym, jeśli W (z) = (z z 0 ) k (z z )... (z z i ). Zauważmy, że w powyższym przykładzie, jesli z 0 jest zerem k-krotnym, to W (z 0 ) = W (z 0 ) = = W (k ) (z 0 ) = 0 oraz W (k) 0. 2

3 Uogólnimy pojęcie krotności zera dla dowolnej funkcji holomorficznej. Jeśli f można przedstawić w postaci szeregu Taylora, czyli a n (z z 0 ) n, to mówimy, że f ma zero k-krotne w punkcie z 0, jeśli a 0 = a = = a k = 0 oraz a k 0. Krotność zera Jeśli oraz w z 0 f ma zero k-krotne, to a n (z z 0 ) n oraz a k+n 0, n = 0,,... a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) k n=k a n+k (z z 0 ) n Osobliwości funkcji zespolonych Mówimy, że funkcja f ma w punkcie z 0 osobliwość izolowaną, jeśli f jest holomorficzna w pewnym otoczeniu z 0, ale nie jest holomorficzna w punkcie z 0. Na przykład funkcja f : z z ma osobliwość w punkcie z 0 = 0. Szeregi Laurenta wykorzystuje się do klasyfikowania punktów osobliwych. Rodzaje osobliwości funkcji zespolonych Niech f będzie funkcją zespoloną mającą w punkcie z 0 osobliwość izolowaną. Wówczas a n (z z 0 ) n z z 0 < r. Jeśli f ma osobliwość pozorną, jeśli a n = 0 dla wszystkich n < 0 f ma biegun k-tego rzędu, jeśli a k 0 oraz a n = 0 dla wszystkich n < k f ma osobliwość istotną, jeśli istnieje taki nieskończony ciąg liczb naturalnych k n, że a kn 0 Rodzaje osobliwości funkcji zespolonych Twierdzenie 3. Przypuśćmy, że f ma osobliwość izolowaną w z 0 jeśli f ma osobliwość pozorną w z 0, to granica lim istnieje jeśli f ma biegun w z 0, to jeśli f ma istotną osobliwość w z 0, to lim = lim nie istnieje. 3

4 Twierdzenie Picarda z z z e z Twierdzenie 4 (Picard). Jeśli funkcja f jest analityczna w otoczeniu punktu w oraz ma w tym punkcie osobliwość istotną, to w każdym (w szczególności dowolnie małym!) otoczeniu punktu w funkcja f przyjmuje wszystkie wartości zespolone z wyłączeniem co najwyżej jednej. Osobliwości funkcji zespolonych: przykład Jeśli f = g h oraz g w z 0 zero k-go rzędu, natomiast h ma w z 0 zero n-go rzędu oraz n > k, to Jest tak, gdyż gdzie f(z 0 ) 0. g(z) h(z) = f ma w z 0 biegun n k-go rzędu. (z z 0 ) k a i+k (z z 0 ) i i=0 = (z z 0 ) k n, (z z 0 ) n b i+n (z z 0 ) i i=0 Na przykład, ma w z 0 = 0 biegun 4 = 3-go rzędu. z cos z sin 4 z Osobliwości funkcji zespolonych podsumowanie Przypuśćmy, że f ma w punkcie z 0 osobliwość izolowaną funkcja a n (z z 0 ) n. osobliwość pozorna biegun k-tego rzędu osobliwość istotna lim istnieje szereg a n = 0 dla n < 0 lim = a k 0, a n = 0 dla n < k 4 lim nie istnieje a kn 0 dla nieskończonego ciągu k n

5 3. Residua Residuum funkcji Przypuśćmy, że funkcja f będzie miała osobliwość w punkcie z 0. Przedstawmy f w postaci szeregu Laurenta a n (z z 0 ) n z z 0 < r. Niech będzie krzywą regularną dodatnio zorientowaną. Ze względu na to, że szereg Laurenta zbieżny jest bezwzględnie oraz niemal jednostajnie możemy napisać dz = a n (z z 0 ) n = = 2πi Ind (z 0 )a. a n (z z 0 ) n dz W szczególności, jeśli z 0 leży w obszarze ograniczonym krzywą mającą indeks, czyli np. będącą okręgiem o środku w z 0 i promieniu mniejszym niż r, to dz = 2πia Residuum funkcji Jeśli a n (z z 0 ) n, to współczynnik a nazywamy residuum funkcji f w punkcie z 0. Twierdzenie o residuach Twierdzenie 5. Niech f będzie funkcją holomorficzną w zbiorze D poza skończoną liczbą punktów osobliwych {z, z 2,..., z n } leżących wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą regularną. Wówczas dz = 2πi n Ind (z k ) res(f, z k ). k= Obliczanie residuów: biegun pierwszego rzędu Twierdzenie 6. Jeśli funkcja f ma w punkcie z 0 biegun pierwszego rzędu, to res(f, z 0 ) = lim (z z 0 ). Przypuśćmy, że a z z 0 + a o + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) Mnożąc stronami powyższą równość przez z z 0 otrzymujemy (z z 0 ) a + a 0 (z z 0 ) + a (z z 0 ) }{{} suma szeregu potęgowego Z tego, że szereg potęgowy jest funkcja ciągłą wynika, że lim (z z 0 ) a = res(f, z 0 ). 5

6 Obliczanie residuów: biegun wyższego rzędu Twierdzenie 7. Jeśłi funkcja f ma w punkcie z 0 biegun m-tego rzędu, to res(f, z 0 ) = Obliczanie residuów: biegun pierwszego rzędu ( ) (m ) lim (z z 0 ) m (m )! Twierdzenie 8. Jeśli funkcja f = g h ma w punkcie z 0 biegun pierwszego rzędu oraz h (z 0 ) 0, to res(f, z 0 ) = g(z 0) g (z 0 ) Zauważmy, że jeśli f ma biegun pierwszego rzędu w z 0, to h(z 0 ) = 0. Ponadto res(f, z 0 ) = lim (z z 0 ) g(z) h(z) = lim g(z) = g(z 0) h (z 0 ). z z 0 h(z) h(z 0) Twierdzenie o residuach: wzór całkowy auchy ego Niech f H(A) oraz jest krzywą regularną zawartą w A oraz niech Ind (z) = dla każdego punktu z leżącego wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą. Wówczas funkcja (z z 0 ) n ma w punkcie z 0 biegun rzędu co najwyżej n. Z twierdzenia o residuach wynika teraz, że (z z 0 ) n dz = 2πi ( lim (z z 0 ) n ) (n ) (n )! (z z 0 ) n Stąd otrzymujemy wzór całkowy auchy ego = 2πi f (n ) (z 0 ). (n )! (n) (z z 0 ) n+ dz = 2πif (z 0 ). n! 4. Zadania na ćwiczenia. Niech, z \ {i, 2}. (z i)(z + 2) Proszę rozwinąć funkcję f w szereg Laurenta w pierścienie { z : < z < 2 }, { z : 2 < z } 2. Proszę rozwinąć funkcję w szereg Laurenta w pierścieniu z 2 (z + i), z \ { i} { z : 0 < z + i < }. 3. Znaleźć szereg Laurenta funkcji exp(/z) dla z > 0. 6

7 4. Wyznaczyć obszar, w którym zbieżny jest dany szereg Laurenta oraz znaleźć sumę tego szeregu (funkcję do jakiej zbieżny jest niemal jednostajnie). z n 2 n z n. 5. Proszę określić krotność zera z 0 funkcji f z exp(z), z 0 = 0, z 2 sin z, z 0 = 0, ( π 2 z)2, z 0 = π cos z Proszę określić punkty osobliwości oraz określić ich rodzaj dla funkcji f: ez z, cos z z 2, z 2 exp ( ), z (z ) 2 e2z z 4, e iz z 2 + 6iz Proszę obliczyć, residua funkcji f w punktach osobliwych e2z z 4, e iz z 2 + 6iz 9, sin z z 2 + z Proszę obliczyć całki z=2 z=2 e 2z z 4 dz, e z z 2 dz, z 2 exp ( ) z dz. z =2 e z+4 sin z dz. z= 7