c n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume

Transkrypt

1 Szeregi Laurenta, punkty osobliwe izolowane, klasyfikacja funkcji ze wzgl edu na osobliwości Dane s dwa szeregi postaci c n (z z 0 ) n i c n (z z 0 ) n. (1) n=1 1 Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny w kole K(z 0, R), gdzie R =, drugi zaś n lim sup n c n jest zbieżny na zewnatrz ko la K(z 0, r) = {z C : z z 0 > r}, gdzie r = lim sup n n c n. Definicja 1. Sum e szeregów zdefiniowanych w (1) zapisujemy n= i nazywamy szeregiem Laurenta o środku w z 0. c n (z z 0 ) n (2) Definicja 2. Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest zbieżny. Uwaga 1. Jeżeli r < R, to szereg Laurenta (2) jest zbieżny wewnatrz pierścienia P (z 0, r, R) = {z C : r < z < R} (3) i przedstawia w nim funkcje f(z). Sume szeregu c n(z z 0 ) n nazywamy cześci regularn funkcji f(z), zaś sume szeregu n=1 c n(z z 0 ) n nazywamy cześci g lówna ( cz. osobliwa) funkcji f(z). Twierdzenie 1.(Laurenta) Jeżeli f jest funkcj w pierścieniu (3) to daje sie w nim przedstawić szeregiem Laurenta postaci (2), przy czym wspó lczynniki wyrażaj sie wzorami c n = 1 f(ζ) dζ, n = 0, ±1, ±2,... (4) 2πi (ζ z 0 ) n+1 K gdzie K jest dowolnym konturem obiegajacym z 0 zawartym w pierścieniu P (z 0, r, R). 1

2 Uwaga 2. Jeżeli funkcja f jest rozwijalna w pierścieniu P (z 0, r, R) w szereg postaci n= a n (z z 0 ) n, to n Z zachodzi równość a n = c n, gdzie c n s wspó lczynnikami zdefiniowanymi w twiedzeniu Laurenta. Definicja 3. Punkt w którym f jest holomorficzna nazywamy punktem regularnym. Jeżeli funkcja f nie jest holomorficzna w z 0 C ale jest holomorficzna w pewnym jego sasiedztwie U(z 0, ɛ)\{z 0 } = {z C : 0 < z z 0 < ɛ}, gdy z 0 lub {z : z > R} dla z 0 =, to z 0 nazywamy punktem osobliwym izolowanym (odosobnionym) funkcji f. Definicja 4. Punkt osobliwy izolowany z = z 0 nazywamy: 1. punktem pozornie osobliwym, jeżeli lim z z0 f(z) istnieje i jest skończona, 2. biegunem, jeżeli: lim z z0, 3. punktem istotnie osobliwym, jeżeli nie istnieje lim z z0 f(z). Twiedzenie 2. (Riemanna) Niech f H(P (z 0, 0, R)). Punkt osobliwy izolowany z 0 C jest punktem pozornie osobliwym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiniecie f w szereg Laurenta w P (z 0, 0, R) nie zawiera cześci g lównej tzn. c n (z z 0 ) n. Uwaga 3. Jeżeli z 0 jest punktem pozornie osobliwym f, to funkcja f(z) := f(z) dla z z 0 oraz f(z 0 ) := lim z z0 f(z) jest holomorficzna w otoczeniu z 0. Twiedzenie 3. Niech f H(P (z 0, 0, R)). Punkt osobliwy izolowany z 0 jest biegunem funkcji f wtedy i tylko 2

3 wtedy gdy rozwiniecie f w szereg Laurenta w H(P (z 0, 0, R)) ma czesć g lówn o skończonej liczbie wyrazów tzn. gdzie c k 0. k N c k (z z 0 ) k + c k+1 (z z 0 ) k c 1 z z 0 + Uwaga 4. Punkt z 0 jest biegunem funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy φ = 1 f(z) pewnym otoczeniu z 0 i φ(z 0 ) = 0. c n (z z 0 ) n, jest holomorficzna w Definicja 5. Rz edem bieguna z 0 funkcji f nazywamy krotność tego punktu jako zera funkcji φ = 1 f(z). Uwaga 5. Punkt z 0 jest biegunem k-krotnym funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy lim z z0 (z z 0 ) k 1 oraz lim z z0 (z z 0 ) k f(z). Twierdzenie 4. Niech f H(P (z 0, 0, R)). Punkt osobliwy izolowany z 0 jest punktem istotnie osobliwym wtedy i tylko wtedy, gdy cz eść g lówna rozwini ecia f szereg Laurenta w H(P (z 0, r, R)) sk lada si e z nieskończenie wielu wyrazów. Twierdzenie 5.(Casoratiego-Weierstrassa) Jeżeli z 0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji, to zbiór wartości funkcji f w dowolnie ma lym nak lutym otoczeniu tego punktu jest rozmieszczony gesto w ca lej p laszczyźnie. Twierdzenie 6. (wielkie twierdzenie Picarda) Funkcja analityczna przyjmuje w dowolnie ma lym nak lutym otoczeniu punktu istotnie osobliwego każd wartość z wyjatkiem co najwyżej jednej w nieskończenie wielu punktach. Twierdzenie 7.(ma le twierdzenie Picarda) Funkcja ca lkowita różna od sta lej przyjmuje każd wartość z wyjatkiem co najwyżej jednej. Niech f(z) bedzie funkcj w pierścieniu P (0, r, ) = {z : r < z < } (bed acym nak lutym otoczeniem nieskończoności zwanym także pierścieniem o środku w 3

4 czyli P (, 0, r)), gdzie r > 0. Wówczas funkcja f( 1 ) jest holomorficzna w otoczeniu nak lutym z zera tzn. P (0, 0, 1) = {z : 0 < z < 1}. r r Definicja 6. Powiemy, że f(z) ma w nieskończoności: 1. punkt regularny, 2. biegun rz edu m, 3. punkt istotnie osobliwy, zależnie od tego czy funkcja f( 1) ma w punkcie 0 osobliwośc usuwaln a, z biegun rzedu m lub lub punkt istotnie osobliwy. W P (0, r, ) = {z : r < z < } funkcja f(z) jest sum dwóch szeregów a n z n + n=1 a n z n, z których pierwszy jest zbieżny dla z < a drugi dla z > r. Szereg a n przedstawia z n cześć regularn funkcji zaś szereg n=1 a nz n przedstawia cześć g lówn funkcji f. Funkcja f(z) jest ma osobliwość pozorn w, jeśli w P (0, r, ) = {z : r < z < } daje sie przedstawić szeregiem postaci a n z n = a 0 + a 1 z + a 2 z zbieżnym w tym pierścieniu. Wówczas f ma granice w lim z a 0. Granice te nazywamy wartości funkcji w. Zapisujemy f( ) = a 0. Punkt nazywamy zerem k-krotnym danej funkcji, gdy a 0 = a 1 =... = a k+1 = 0, lecz a k 0. Klasyfikacja funkcji 1. Funkcje holomorficzne w C (czyli majace tylko osobliwość w nieskończoności) nazywamy funkcjami ca lkowitymi. Klasyfikacja funkcji ca lkowitych: a) jeśli z = jest biegunem, to f jest wielomianem. 4

5 b) jeśli z = jest punktem istotnie osobliwym, to f nazywamy funkcj ca lkowita przestepn np. e z, sin z, cos z. 2. Funkcje w C poza punktami w których nie ma innych osobliwości niż bieguny nazywamy funkcj meromorficzn np. tgz, ctgz. Funkcje meromorficzn nazywamy przestepn a, jeśli f nie przed luża sie na nieskończoność (tzn. f nie ma w nieskończoności ani osobliwości pozornej, ani nie jest biegunem.) Jeśli funkcja meromorficzna przestepn ma skończenie wiele biegunów, to jest punktem istotnie osobliwym, zaś gdy f ma nieskończenie wiele biegunów, to nazywamy punktem skupienia biegunów ( nie może być istotn osobliwości bo w P (, 0, r) funkcja f nie jest holomorficzna w biegunach należacych do tego pierścienia.) Twierdzenie 8. Jeżeli funkcja meromorficzna f ma w punkt pozornie osobliwy lub biegun (czyli f nie ma w C innych osobliwości niż bieguny) to f jest funkcj wymierna. 5