Temat: Ciągi i szeregi funkcyjne

Transkrypt

1 Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną na zbiorze N o wartościach w zbiorze unkcji R nazywamy ciągiem unkcyjnym i oznaczamy (n). Ciąg unkcyjny jest to taki ciąg, którego wyrazami są unkcje. Ciągi unkcyjne są oznaczane w następujący sposób: (n) (n) n:x R,n=1,2, (n) c R (n) c R (x)= (x)= x + Deinicja szeregu unkcyjnego Niech (n) c R będzie ciągiem unkcyjnym. Ciąg unkcyjny S = + +, n = 1, 2,... nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu(n). Szeregiem unkcyjnym nazywamy parę uporządkowana((n),(sn) ) i oznaczamy n. Wtedy ciąg (Sn) nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu n. x ( ) 2. Co to jest zbieżność punktowa? Co to jest zbieżność jednostajna? Jak jest zależność między tymi zbieżnościami (podać własność i przykład). Zbieżność punktowa Mówimy, że ciąg ( ) jest zbieżny punktowo do unkcji : X -> R na zbiorze X, gdy!"# $%& ( * +,(. + (!).(!) <$ Piszemy:. + (!).(!). Zbieżność jednostajna Mówimy, że ciąg (n) jest zbieżny jednostajnie do unkcji na zbiorze X, gdy: $%& ( * +%(! #. + (!).(!) <$

2 Piszemy:. + (!).(!). Zależność między tymi zbieżnościami: Zauważmy, że deinicje różnią się jedynie kolejnością kwantyikatorów. W pierwszej deinicji dobieramy m do x i, a d w drugiej zaś dobieramy m do dla wszystkich x. Stąd oczywiście implikacja: (x) (x) (x) (x). Własności: Analogiczne jak dla ciągu liczbowego. sup 6 (x) (x) 0 Deinicja Mówimy, że szereg unkcyjny (x), gdzie : X -> R dla n ϵ N jest zbieżny jednostajnie, gdy ciąg sum częściowych tego szeregu jest zbieżny jednostajnie. Deinicja Mówimy, że szereg unkcyjny (x), gdzie : X -> R, n ϵ N jest zbieżny punktowo do unkcji : X -> R na zbiorze x, gdy jego ciąg sum częściowych jest zbieżny punktowo do. (x)= x dla x ϵ [0,1] lim (x)= limx =; 1, dla x=1 0, dla x [0,1)? Zatem ciąg { } jest zbieżny punktowo do unkcji (x)= ; 1, dla x=1 0, dla x [0,1)? Zbadajmy zbieżność jednostajną. Oczywiście (@ A ) może być zbieżny jednostajnie jedynie do Zauważmy, że BCD E A =1, więc ciąg { } nie jest zbieżny jednostajnie. 3. Sormułować kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej. Tw. (kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu unkcyjnego). Niech (n) c R będzie ciągiem unkcyjnym. Jeśli istnieje ciąg liczbowy (Mn) taki, że dla każdego n ϵ N zachodzi n (x) Mn dla x ϵ X oraz szereg liczbowy Mn jest zbieżny, to szereg n jest jednostajnie zbieżny. ( ), xϵ R Zauważmy, że dla każdego x ϵ R mamy 1 J n (1+n x ) J= 1 n (1+n x ) 1 n

3 A Ponieważ jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α =2, to na mocy kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szereg ten jest zbieżny jednostajnie. 4. Czy granica ciągu unkcji ciągłych musi być ciągłą. Podać kontrprzykład i sormułować odpowiednie twierdzenie. Odp. Nie Kontrprzykład: n(x) = G A 0,LMN G [0,1) dla x ϵ [0,1] zbieżny punktowo do unkcji (x) = ; 1, LMN G=1? Aby granica ciągu unkcji ciągłych była ciągła trzeba założyć zbieżność jednostajną. Mamy: Twierdzenie Jeśli ciąg (@O) A P Q E, gdzie X c R, unkcji ciągłych jest zbieżny jednostajnie do unkcji : X -> R to jest unkcją ciągła. 5. Sormułować deinicję szeregu potęgowego oraz przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Deinicja szeregu potęgowego. Niech (N A ) A& będzie ciagiem liczbowym oraz G & ϵ R. Szereg postaci A& N A ( G G & ) A, gdzie x ϵ R, nazywamy szeregiem potęgowym o środku G & lub szeregiem Taylora o środku G &. Przyjmujemy tutaj 0 & = 1. Liczby N A, n = 0, 1,... nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Deinicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Przedziałem zbieżności szeregu potęgowego N A (G G & ) A nazywamy zbiór R { GU Q BWXYXZ N A (G G & ) A [XB\ W]^XżO_ }. Można pokazać, że zbiór R jest rzeczywiście przedziałem. Jest on bowiem postaci:(g & Y,G & +Y) albo :(G & Y,G & +Y] albo :[G & Y,G & +Y) albo [G & Y,G & +Y] albo :(,), gdzie Y>0 jest pewną liczbą. 6.Sormułować twierdzenie Cauchy ego-hadamarda. Zilustrować je na przykładzie. Twierdzenie (Cauchy ego-hadamarda) Szereg potęgowy A& N A (G G & ) A jest zbieżny w przedziale otwartym (G & Y,G & + Y), gdzie Jeśli M^d A e N A =M^d c A e N A. =0, przyjmujemy Y=. Jeśli zaś M^d A e N A =, przyjmujemy Y=0. Liczbę Y nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Mamy więc

4 ? k, M^d e N A =0 A i 1 Y= jm^d e N, 0< M^d e N A <+ A A A i h 0, M^d e N A = A A& A (G 5)A ma promień zbieżności Y=1, bolim A m e N A =lim A m =1. Z twierdzenia Cauchy ego Hadamarda wynika więc, że szereg jest zbieżny w przedziale (4,6). Oczywiście dla G=4 szereg jest zbieżny, ma bowiem postać A& A ( 1)A oraz dla G=6 jest rozbieżny, stąd przedziałem zbieżności jest przedział [4,6). 7. Co to jest szereg Taylora? Co to jest szereg Maclaurina? Podać przykłady. Szereg Taylora Niech P będzie przedziałem oraz niech : P -> R będzie unkcją klasy p. Niech G & U R. q r (E s ) Szereg potęgowy t& (G G & ) t nazywamy szeregiem potęgowym lub szeregiem Taylora unkcji o środku w punkcie G &. t! Deinicja rozwinięcia unkcji w szereg potęgowy Jeśli unkcja w pewnym otoczeniu punktu G & U Q jest sumą szeregu potęgowego o środku G &, postaci A& N A ( G G & ) A, to znaczy szereg postaci ten jest zbieżny punktowo do w pewnym otoczeniu punktu G &, to mówimy, że rozwija się w otoczeniu punktu G & w szereg potęgowy lub szereg Taylora. Wtedy szereg ten nazywamy rozwinięciem w szereg potęgowy w otoczeniu G & lub rozwinięciem Taylora. Twierdzenie Jeżeli rozwija się w pewnym otoczeniu pkt. G & w szereg A& N A ( G G & ) A, to rozwinięcie to jest określone jednoznacznie, ponadto N A = q (E s ), dla O=0,1,. A! W szczególności rozwinięcie unkcji w szereg Taylora jest szeregiem Taylora tej unkcji. Twierdzenie (wzór Taylora II) [N,]] Q będzie unkcją klasy p Av posiadającą O tą pochodną w przedziale (a,b) oraz niech G & ϵ [a, b]. Wówczas dla każdego x ϵ [a, b] takiego, że x G & istnieje punkt c leżący miedzy G & i x taki, że

5 (r) (E s ) t& (G G & ) t + q() (w) (G G & ) A. t! Szereg Maclaurina Szereg Taylora w punkcie G & = 0 nazywamy szeregiem Maclaurina. A! Przykłady rozwinięć X E = m E A, A! m (v) A (A)! GA m (v) A (A)! GA = ve A& GA dla G ( 1,1) (wzór na sumę szeregu geometrycznego) E =G =G =G ve ve yev yev v(vye) v(v z E)= v z E= A& {y G A = ve A& {y A G A = A&. Oczywiście powyższe zachodzi dla y G<1 czyli dla x ϵ ( ; ). y y y }~GA