SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

Transkrypt

1 Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany jest na ogół symbolem:. Liczby, to wyrazy szeregu. Wyrazy ciągu to sumy cząstkowe szeregu. Jeżeli ciąg sum cząstkowych jest zbieżny (czyli ma skończoną granicę s) to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę s nazywamy sumą nieskończonego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Warunek konieczny zbieżności: Jeżeli szereg jest zbieżny to lim. Uwaga! odwrotne nie jest prawdziwe, to znaczy jeśli dąży do zera to nie oznacza to, że szereg jest zbieżny. Szczególne rodzaje szeregów: szereg geometryczny Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy 1. Wówczas suma szeregu geometrycznego wyraża się wzorem: Jeśli 1 to szereg geometryczny jest rozbieżny. szereg harmoniczny Szereg ten jest rozbieżny (mimo, że dąży do 0!) 1

2 szereg harmoniczny rzędu a gdzie a Powyższy szereg jest zbieżny dla a 1, w pozostałych przypadkach jest rozbieżny. Ze względu na problem badania zbieżności szeregów dzieli się je na ogół na szeregi: o wyrazach nieujemnych, np.: przemienne, np.: Istnieją również szeregi, które nie należą do wymienionych grup, np.: Szeregi o wyrazach nieujemnych. Zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych można badać za pomocą: kryterium porównawczego: a. Kryterium porównawcze zbieżności szeregów Jeżeli dla szeregu gdzie 0, można wskazać szereg zbieżny, taki że począwszy od pewnego miejsca to szereg jest również zbieżny. b. Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów Jeżeli dla szeregu gdzie 0, można wskazać szereg rozbieżny, taki że począwszy od pewnego miejsca to szereg jest również rozbieżny. kryterium d Alemberta Jeżeli lim 1 to szereg jest zbieżny. Jeżeli lim 1 to szereg jest rozbieżny. Jeżeli lim 1 to kryterium nie rozstrzyga. 2

3 kryterium Raabego (warto z niego korzystać gdy kryterium d Alemberta nie rozstrzyga): Jeżeli lim 1 1 to szereg jest zbieżny. żeli lim Je Jeżeli lim kryterium Cauchy ego: 1 1 to szereg jest rozbieżny. 1 1 tto kryterium nie rozstrzyga. Jeżeli lim 1 to szereg jest zbieżny. Jeżeli lim 1 to szereg jest rozbieżny. Jeżeli lim kryterium całkowe: 1 to kryterium nie rozstrzyga. Szereg o wyrazie ogólnym jest zbieżny lub rozbieżny w zależności od tego czy funkcja ma dla granicę skończoną, czy nie. Uwaga można całkę zastąpić całką oznaczoną od pewnego do. Szeregi o wyrazach przemiennych. kryterium Leibniza: Jeżeli w szeregu przemiennym począwszy od pewnego miejsca bezwzględne wartości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do 0, to znaczy jeśli spełnione są warunki:, lim 0 to szereg jest zbieżny. kryterium bezwzględnej zbieżności: Jeżeli szereg jest zbieżny to szereg też jest zbieżny. Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli szereg jest zbieżny. Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. 3

4 Ciąg funkcyjny to ciąg, którego wyrazami są funkcje:,,,,, Jeśli to powyższy ciąg jest oczywiście ciągiem nieskończonym. Dla ciągów funkcyjnych można zdefiniować dwa rodzaje zbieżności punktową i jednostajną. Załóżmy, że, są funkcjami określonymi na niepustym zbiorze. Szeregi funkcyjne Szereg, w którym wyrazy są funkcjami zmiennej, to znaczy szereg postaci nazywamy szeregiem funkcyjnym. Analogicznie do szeregu liczbowego szereg funkcyjny jest ciągiem sum częściowych ciągu funkcyjnego. Ponieważ szereg funkcyjny jest również ciągiem to można badać jego zbieżność (punktową i jednostajną). Szczególnym przypadkiem szeregu funkcyjnego jest szereg potęgowy. Szereg funkcyjny postaci: nosi nazwę szeregu potęgowego. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy taką liczbę 0, że dany szereg jest zbieżny dla wartości, dla wartości jest rozbieżny, natomiast dla wartości szereg może być zarówno zbieżny, jak i rozbieżny. Jeśli dany szereg jest zbieżny dla każdej wartości, to mówimy, że promień zbieżności. Jeśli natomiast szereg dla każdego 0 rozbieżny, to mówimy, że 0. Jeżeli dla danego szeregu potęgowego istnieje lim 0, to promień zbieżności tego szeregu wynosi. Jeśli zaś 0, to. W przypadku, gdy to 0. 4

5 Jeżeli dla danego szeregu potęgowego istnieje lim 0, to promień zbieżności tego szeregu wynosi. Jeśli zaś 0, to. W przypadku, gdy to 0. Można też rozpatrywać ogólniejszą postać szeregu potęgowego:, który jest zbieżn y dla, to jest dla spełniających nierówność. Jeśli szereg potęgowy ma promień zbieżności, a jego suma wynosi, to szereg potęgowy z pochodnych wyrazu szeregu pierwotnego 2 ma ten sam promień zbieżności, a jego suma jest pochodną sumy szeregu pierwotnego: Natomiast dla wartości brzegowych mogą zachodzić trzy możliwości: 1. oba szeregi są rozbieżne, 2. oba szeregi są zbieżne, dla. 3. szereg jest zbieżny, a rozbieżny. Jeżeli dwa szeregi, odpowiednio o promieniach zbieżności 0 i 0 mają tę samą sumę dla, gdzie 0min,, to ich wszystkie współczynniki są odpowiednio równe:,,,,,, czyli jest to ten sam szereg. 5