Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji

Transkrypt

1 Sprawdzian nr 2: , godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: , godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji Ćwiczenia 25, , 2, (wtorki, czwartki) Po sprawdzianie nr 2 na ćwiczeniach omawiamy zadania z tego sprawdzianu. Oznaczenia: Przypominam, że [x] oraz {x} oznaczają odpowiednio część całkowitą i część ułamkową liczby rzeczywistej x. 49. Podać przykład takiej liczby rzeczywistej x, że a) [x] = 4, {x} < / b) [x] = 4, {x} > 9/ c) 2 {x} {2x}, x < 0 d) 2 {x} = {5x}, x >, x N 50. Wyznaczyć wszystkie takie liczby rzeczywiste a, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość [x+a] = [x]+a. 5. Podać przykład takich liczb rzeczywistych x, y, że a) [x+y] [x]+[y] b) [2x+y] = 2[x]+[y]+2 c) [x+y] = {x}+{y}, x,y > 0 d) [xy] = [x] [y]+ 52. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin70, cos200, sin250, cos Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) = sin(x/2) d) f(x) = sin 2 x e) f(x) = cos 2 x f) f(x) = (+cos2x)/2 g) f(x) = ( cos2x)/2 h) f(x) = 3+5cosx i) f(x) = sinπx 54. Uprościć wyrażenie, w którym n przebiega liczby naturalne. a) sinnπ b) sinn 2 π c) cosnπ d) cosn 3 π e) cos(n 2 +n)π f) sin((2n+)π/2) g) sin((2n )π/2) Dopuszczalne odpowiedzi:, 0, ( ) n, ( ) n+. Lista Strony 25-32

2 55. Która liczba jest większa? a) sin czy sin b) sin2 czy sin2 c) sin3 czy sin3 d) sin4 czy sin4 e) sin5 czy sin5 f) sin6 czy sin6 56. Rozwiązać równania i nierówności. a) sinx /2 b) cosx /2 c) sinx cosx d) [ 4sin 2 x ] = 2 e) {cos 2 x} = 3/4 f) +cosx = 2 cos(x/2) g) sin 2 x+cos 4 x = cos 2 x+sin 4 x 57. Jaką najmniejszą i największą wartość przyjmuje wyrażenie sinx cosx cos2x cos4x cos8x cos6x? 58. Dla funkcji f zdefiniowanej podanym wzorem oraz dla podanego zbioru Z rozstrzygnąć, czy funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze Z oraz podać zbiór wartości funkcji f na zbiorze Z. a) f(x) = x 2, Z = [ 3, ) b) f(x) = x 2, Z = ( 3, 4] c) f(x) = x 2, Z = [ 3, 2] [3, 5] d) f(x) = x 2, Z = ( 3, 2] [3, 4) e) f(x) = x 2, Z = (0, 3) f) f(x) = x 2 2x+, Z = (0, 3) g) f(x) = x 2 +2x+, Z = (0, 3) h) f(x) = 2 x, Z = ( 3, 3) i) f(x) = 2 x 3, Z = ( 3, 3) j) f(x) = 2 x 5, Z = ( 3, 3) 59. Niech [ f(x) = x+ ] x 2. Naszkicować wykres funkcji f oraz wykresy następujących funkcji a) f (x) = f(2x) b) f 2 (x) = f(x/2) c) f 3 (x) = 2f(x) ( d) f 4 (x) = f x+ ) ( 4 e) f 5 (x) = f x+ ) ( 2 f) f 6 (x) = f x ) 2 Lista Strony 25-32

3 g) f 7 (x) = f (x) 2 ( h) f 8 (x) = f x ) ( 4 i) f 9 (x) = f x 4) j) f (x) = f(2x) 2 k) f (x) = f(x)+x l) f 2 (x) = 5f(x)+3x 60. Czy funkcja f zdefiniowana podanym wzorem jest parzysta? Nieparzysta? a) f(x) = 0 b) f(x) = 37 c) f(x) = 2x d) f(x) = 2x 2 + e) f(x) = 4x 5 +6x 3 f) f(x) = x 6 +x 5 g) f(x) = sin 37 x cos 24 x h) f(x) = sin 24 x cos 37 x i) f(x) = x sin 24 x cos 37 x j) f(x) = x sin 37 x cos 24 x k) f(x) = x 666 sin 24 x cos 37 x l) f(x) = x 666 sin 37 x cos 24 x m) f(x) = sinx 37 n) f(x) = sinx 24 o) f(x) = cosx 37 p) f(x) = cosx 24 q) f(x) = (x 2 +)sinx r) f(x) = (x 2 +)cosx s) f(x) = (x 3 +)sinx t) f(x) = (x 3 +)cosx 6. Dla każdej z liczb i {,2,...,3} wskazać taką liczbę j {,2,...,3}, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość f j (f i (x)) = x. f (x) = 37+x f 2 (x) = 37 x f 3 (x) = x 37 f 4 (x) = 3x 2 f 5 (x) = 3x 4 f 6 (x) = 3x 6 f 7 (x) = x 3 +2 f 8 (x) = x f 9 (x) = x Lista Strony 25-32

4 f (x) = 5 4 x+ 3 4 x f (x) = 5 4 x 3 4 x f 2 (x) = 5 4 x+ 3 4 x f 3 (x) = 5 4 x 3 4 x 62. Funkcja f spełnia warunki f(3 x) = f(x), f(6 x) = f(x) dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Dowieść, że funkcja f jest okresowa i parzysta. Ćwiczenia ,,3, (poniedziałki, środy) 63. Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) [ log 2 6] =... ; b) [ log 2 ] =... ; c) [ log 2 2] =... ; d) [ log 2 88] = Dla podanej liczby n podać najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią m n taką, że {log 2 m} = {log 2 n}, gdzie {x} oznacza część ułamkową liczby x. a) n = 48, m =... ; b) n = 50, m =... ; c) n = 5, m =... ; d) n = 52, m = Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) [ log )] =... ; b) [ log 2 )] =... ; c) [ log )] =... ; d) [ log )] = Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) [ log 2 3] =... ; b) [ log 3 5] =... ; c) [ log 2 5] =... ; d) [ log 2 ] =.... Lista Strony 25-32

5 67. Dla podanej liczby n podać najmniejszą liczbę rzeczywistą x > taką, że {log 2 x} = {log 2 n}, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y. a) n = 48, x =... ; b) n = 5, x =... ; c) n = 20, x =... ; d) n = 8, x = Dla podanej liczby naturalnej n podać największą liczbę rzeczywistą x < 0 taką, że {log 2 x} = {log 2 n}, gdzie {y} oznacza część ułamkową liczby y. a) n =, x =... ; b) n = 2, x =... ; c) n = 4, x =... ; d) n = 24, x = Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) 4 =... ; 5 b) =... ; 7 4 c) d) 5 2 =... ; = Dla podanej liczby naturalnej k podać największą liczbę naturalną n taką, że [log k n] = [log k 27], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) k = 2, n =... ; b) k = 3, n =... ; c) k = 4, n =... ; d) k = 5, n = Podać przykład liczby niecałkowitej x spełniającej podane równanie, gdzie [y] oraz {y} oznaczają odpowiednio część całkowitą i ułamkową liczby y. Wynik podać w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub okresowego (taka postać odpowiedzi jest częścią zadania, więc wyniki poprawne, ale w innej postaci, nie będą uznawane). a) [x] = 3{x}, x =... ; b) [x] = 4{x}, x =... ; c) [x] = 5{x}, x =... ; d) [x] = 6{x}, x =.... Lista Strony 25-32

6 72. Podać zbiór rozwiązań równania w postaci przedziału lub sumy przedziałów. Symbol [y] oznacza część całkowitą liczby y. a) [ log 3 log 2 x ] = 0,... ; b) [ log 2 log 3 x ] = 0,... ; c) [ log 3 log 3 x ] =,... ; d) [ log 2 log 2 x ] = 3, Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β różną od α i spełniającą równość sinα = sinβ. a) α = 0, β =... ; b) α = 50, β =... ; c) α = 200, β =... ; d) α = 90, β = Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β różną od α i spełniającą równość cosα = cosβ. a) α = 0, β =... ; b) α = 80, β =... ; c) α = 300, β =... ; d) α = 400, β = Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β spełniającą równość sinα+sinβ = 0. a) α =, β =... ; b) α = 0, β =... ; c) α = 200, β =... ; d) α = 300, β = Niech f : R R będzie funkcją określoną wzorem f (x) = x 3. Funkcje f n dla n 2 określamy rekurencyjnie wzorem Podać wartość a) f 00 (0) =... ; b) f 00 (2002) =... ; c) f 00 (3003) =... ; f n (x) = f (f n (x)). d) f 00 (4004) = Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) [ log log (( 3 )! )] =... ; b) [ log log (( 5 )! )] =... ; c) [ log log (( )! )] =... ; d) [ log log (( 20 )! )] =.... Lista Strony 25-32

7 78. Funkcja f : R R jest określona wzorem f(x) = x Zapisać w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f na podanym przedziale Z. a) Z = ( 7, 4),... ; b) Z = ( 6, ),... ; c) Z = ( 4, 6),... ; d) Z = (, ), Funkcja f : R R jest określona wzorem f(x) = log 2 x. Zapisać w postaci przedziału zbiór wartości funkcji f na podanym przedziale Z. a) Z = (0, /32),... ; b) Z = (/64, /2),... ; c) Z = (/8, 4),... ; d) Z = (2, 6), Dla podanej miary kąta α podać najmniejszą dodatnią miarę kąta β spełniającą równość cosα = sinβ. a) α =, β =... ; b) α = 50, β =... ; c) α = 0, β =... ; d) α = 200, β = Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) [ log 2 log 2 3 7] =... ; b) [ log 2 log 2 3 ] =... ; c) [ log 2 log 2 3 5] =... ; d) [ log 2 log ] = Podać największą liczbę naturalną n, dla której podana równość jest prawdziwa. Symbol [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) [log 2 n] = 5, n =... ; b) [log 3 n] = 3, n =... ; c) [log 5 n] = 2, n =... ; d) [log 7 n] =, n = Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej sumy przedziałów (nie używać różnicy zbiorów). a) log x 2 ) >,... ; b) log x ( 2 3 ) >,... ; c) log x 5 2 ) <,... ; d) log x ( 3 8 ) <,.... Lista Strony 25-32

8 84. Dla podanej liczby a podać zbiór rozwiązań nierówności log a x 2 zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów. a) a = 3,... ; b) a = /4,... ; c) a = /5,... ; d) a = 6, Dla podanej liczby a podać zbiór rozwiązań nierówności log x a 2 zapisując go w postaci przedziału lub sumy przedziałów. a) a = 3,... ; b) a = /4,... ; c) a = /5,... ; d) a = 6, Podać wartość wyrażenia, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. a) 6 =... ; 34 b) 6 =... ; 35 c) 6 =... ; 37 d) 6 = Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej sumy przedziałów (nie używać różnicy zbiorów). a) (3 log 2 x) 2 <,... ; b) (3 log 2 x) 3 >,... ; c) (3 log 2 x) 4 >,... ; d) (3 log 2 x) 5 <, Zapisać zbiór rozwiązań podanej nierówności w postaci przedziału lub uporządkowanej sumy przedziałów (nie używać różnicy zbiorów). a) log x 8 2,... ; b) log x 8 /2,... ; c) log x 8 2,... ; d) log x 8 /2,.... Lista Strony 25-32