Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi zmiennej niezależnej, gdzie 0 < < δ, nazywamy liczbę f = f (x 0 + ) f (x 0 ). Uwaga 1. Iloraz różnicowy jest więc tangensem kąta nacylenia siecznej przecodzącej przez punkty (x 0, f (x 0 )) oraz (x 0 +, f (x 0 + )) wykresu funkcji f do dodatniej części osi OX, tj. tg α = f. Definicja 2. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 i istnieje granica ilorazu różnicowego 0 f (x 0 + ) f (x 0 ), to granicę tę nazywamy pocodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy f (x 0 ), tzn. f f (x 0 + ) f (x 0 ) (x 0 ) =. 0 Jeżeli f (x 0 ) istnieje i jest skończona, to funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x 0. Przykład 1. Niec f (x) = 3x 2 2x + 1, x 0 = 2. Wtedy mamy f (2) = 0 f (2 + ) f (2) = 0 12 + 12 + 3 2 4 2 + 1 9 = 0 3 (2 + ) 2 2 (2 + ) + 1 (3 2 2 2 2 + 1) = 0 3 2 + 10 = = 0 (3 + 10) = 10. Geometryczna interpretacja pocodnej. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, to prostą o współczynniku kierunkowym równym f (x 0 ) przecodzącą przez punkt (x 0, f (x 0 )) nazywamy styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f (x 0 )). Zatem styczna do krzywej y = f (x) w punkcie o odciętej x 0 ma równanie y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). 1

Fizyczna interpretacja pocodnej. Załóżmy, że punkt porusza się po prostej (osi liczbowej) i jego położenie w cwili t to s (t). Wtedy liczba s t = s (t 0 + t) s (t 0 ) t będąca stosunkiem drogi przebytej przez ten punkt od cwili t 0 do cwili t 0 + t do czasu jej przebycia t nazywamy średnią prędkością tego punktu w cwili t 0. Podobnie zakładając, że prędkość punktu poruszającego się po prostej w cwili t jest równa v (t), liczbę v t = v (t 0 + t) v (t 0 ) t wyrażającą stosunek zmiany prędkości tego punktu od cwili t 0 do cwili t 0 + t do czasu t, w którym ta zmiana nastąpiła, nazywamy średnim przyspieszeniem tego punktu w cwili t 0. Jest więc jasne, że jeżeli zmiany t są coraz mniejsze, to zarówno średnia prędkość jak również średnie przyspieszenie coraz lepiej oddają rzeczywistą prędkość i przyspieszenie danego punktu w cwili t 0. Jeżeli więc istnieją granice s s (t 0 ) = t 0 t = s (t 0 + t) s (t 0 ) t 0 t oraz v v (t 0 ) = t 0 t = t 0 v (t 0 + t) v (t 0 ), t to nazywamy je odpowiednio prędkością cwilową i przyspieszeniem cwilowym w cwili t 0. Niec t oznacza czas (liczony w sekundac od pewnej cwili początkowej), a Q - ładunek elektryczny (mierzony w kulombac), jaki przepłynął przez dany przekrój przewodu w czasie od cwili początkowej do cwili t. Czyli mamy tu funkcję Q = Q (t). Iloraz różnicowy Q t = Q (t 0 + t) Q (t 0 ) t jest średnim natężeniem prądu w przedziale czasu między cwilami t 0 i t 0 + t, a granica tego ilorazu przy t 0, czyli pocodna jest natężeniem prądu w cwili t 0. Q Q (t 0 ) = t 0 t = Q (t 0 + t) Q (t 0 ) t 0 t 2

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x 0, to jest ciągła w punkcie x 0. Dowód: Niec funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 i różniczkowalna w punkcie x 0. Wtedy Oznaczając = x x 0 dostajemy f (x) = x x 0 x x0 f (x) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ) + f (x 0 ), dla x x 0. ( f (x) f (x0 ) x x 0 (x x 0 ) + f (x 0 ) ) ( ) f (x0 + ) f (x 0 ) = + f (x 0 ) = 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) = + f (x 0 ) = f (x 0 ) 0 + f (x 0 ) = f (x 0 ), 0 0 co właśnie oznacza, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. Uwaga 2. Łatwo pokazać, że jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie x 0, to nie musi być różniczkowalna w tym punkcie. Aby się o tym przekonać rozważmy funkcję f : R [0, + ) określoną wzorem f (x) = x. Wiemy, że jest ona ciągła w punkcie x 0 = 0. Z drugiej strony mamy oraz a więc 0 + 0 0 0 + 0 0 + = 0 = 0 = ( 1) = 1 0 = 0 + = 0 + = 1 = 1, 0 0 + 0 0 nie istnieje, co oznacza, że funkcja f (x) = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0. Pocodne niektóryc funkcji elementarnyc f (x) = c dla każdego x R, gdzie c jest pewną liczbą rzeczywistą, f (x) = 0 f (x + ) f (x) = 0 c c = 0 0 = 0 3

f (x) = x n dla każdego x R, n N, f (x + ) n x n (x) = 0 ( = nx n 1 + 0 = 0 ( n2 ) x n 2 +... + ( n0 ) x n + ( n1 ) ( n2 ) ( nn ) x n 1 + x n 2 () 2 +... + () n x n ( nn ) () n 1) = nx n 1 f (x) = a x dla każdego x R, gdzie a (0, 1) (1, ), f (x) = 0 a x+ a x W szczególności f (x) = e x dla każdego x R, f (x) = e x ln e = e x = 0 a x a 1 = a x 0 a 1 = a x ln a = f (x) = log a x dla każdego x (0, ), gdzie a (0, 1) (1, ), ( ) ( ) f log (x) = a (x + ) log a x log a 1 + log x a 1 + x = = 0 0 0 x = 1 ( ) x log a 1 + x = 1 0 x 1 ln a W szczególności x f (x) = ln x dla każdego x (0, ), f (x) = 1 x 1 ln e = 1 x Podobnie wykorzystując definicję pocodnej można pokazać, że (sin x) = cos x, dla każdego x R (cos x) = sin x, dla każdego x R 1 x = Twierdzenie 2. (O pocodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie x 0, to (i) funkcja postaci f + g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), 4

(ii) funkcja postaci f g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ), (iii) dla każdego c R funkcja postaci c f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ), (iv) funkcja postaci f g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ), (v) jeśli g (x 0 ) 0, to funkcja postaci f g jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ) g [g (x 0 )] 2. Twierdzenie 3. (O pocodnej funkcji odwrotnej) Niec f będzie funkcją ciągłą i monotoniczną określoną w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz f (x 0 ) 0, to funkcja f 1 odwrotna do funkcji f jest różniczkowalna w punkcie y 0 = f (x 0 ), przy czym ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ). Pocodne niektóryc funkcji elementarnyc - ciąg dalszy Korzystając, między innymi, z twierdzenia o pocodnej funkcji odwrotnej można pokazać, że (arcsin x) = 1 1 x 2 dla x ( 1, 1) (arccos x) = 1 1 x 2 dla x ( 1, 1) (arctgx) = 1 1+x 2 dla x R (arcctgx) = 1 dla x R 1+x 2 Twierdzenie 4. (O pocodnej funkcji złożonej - reguła łańcucowa) Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, zaś funkcja g jest różniczkowalna w punkcie f (x 0 ), to funkcja g f jest różniczkowalna w punkcie x 0 oraz zacodzi wzór (g f) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). 5

Definicja 3. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającą przyrostowi zmiennej niezależnej nazywamy iloczyn f (x 0 ) i oznaczamy symbolem df (x 0 ), tj. df (x 0 ) = f (x 0 ). Uwaga 3. Różniczkę można wykorzystać do obliczania przybliżonyc wartości funkcji. Mamy bowiem f (x 0 + ) f (x 0 ) = f f (x 0 ) = df (x 0 ), czyli f (x 0 + ) f (x 0 ) + df (x 0 ). Przykład 3. Obliczyć przybliżoną wartość 4 15, 96. Niec f (x) = 4 x, x 0 = 16, = 0, 04. Wtedy f (x) = 1 4 x 3 4 = 4( 1 dla każdego x > 0. Stąd 4 x) 3 f (16) = 4 16 = 2, f 1 (16) = 4( 4 = 16) 1 1, a więc df (16) = ( 0, 04) = 0, 00125. 3 32 32 Zatem 4 15, 96 = f (16 0, 04) f (16) + df (16) = 2 0, 00125 = 1, 99875. Twierdzenie 5. (Rolle a 1 o wartości średniej) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], różniczkowalna wewnątrz tego przedziału i f(a) = f(b), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) = 0. Twierdzenie 6. (Lagrange a 2 o wartości średniej) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b] i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to istnieje co najmniej jeden taki punkt c (a, b), że f (c) = f (b) f (a). b a Twierdzenie 7. (Caucy ego 3 o wartości średniej) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale [a, b], różniczkowalne wewnątrz tego przedziału oraz g (x) 0 dla każdego x (a, b), to istnieje taki punkt c (a, b), że f (c) g (c) = f (b) f (a) g (b) g (a). 1 Micel Rolle (1652-1719), matematyk francuski 2 Josep Louis de Lagrange (1736-1813), matematyk i astronom francuski 3 Augustin Louis Caucy (1789-1857), matematyk francuski 6

(i) Twierdzenie 8. (Reguła de l Hospitala 4 ) Załóżmy, że funkcje f i f są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x g 0 oraz, że f (x) = g (x) = 0 x x0 x x0 g [ ] f (x) = + ( ) x x 0 i g (x) = + ( ) x x0 (ii) istnieje granica x x0 f (x) g (x) właściwa lub niewłaściwa. Wtedy f (x) x x 0 g (x) = f (x) x x 0 g (x). Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jesnostronnyc w punkcie x 0 oraz dla granic w lub w +. Twierdzenie 9. Załóżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale I. Jeżeli (i) f (x) = 0 dla każdego x I, to funkcja f jest stała w przedziale I; (ii) f (x) > 0 dla każdego x I, to funkcja f jest rosnąca w przedziale I; (iii) f (x) < 0 dla każdego x I, to funkcja f jest malejąca w przedziale I; (iv) f (x) 0 dla każdego x I, to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I; (v) f (x) 0 dla każdego x I, to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I. Pocodne wyższyc rzędów Definicja 4. Pocodną właściwą n - tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 definiujemy indukcyjnie f (n) (x 0 ) := ( f (n 1)) (x0 ) dla n = 2, 3,..., gdzie f (1) (x 0 ) = f (x 0 ). Ponadto przyjmujemy, że f (0) (x 0 ) = f (x 0 ). 4 Guillaume François Antoine de l Hôspital (1661-1704), matematyk francuski 7

Twierdzenie 10. (Taylora 5 ) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pocodne do rzędu n 1 włącznie w przedziale domkniętym o końcac x 0 i x oraz ma pocodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x 0 i x, że f (x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + + f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0 ) n 1 + f (n) (c) n! (x x 0 ) n. Uwaga 4. Równość (T ) występującą w tezie Twierdzenia 16 nazywamy wzorem Taylora. Wzór ten możemy również zapisać w postaci gdzie T n 1 (x) := n 1 k=0 f (k) (x 0 ) k! f(x) = T n 1 (x) + R n (x), (x x 0 ) k, a R n (x) := f (n) (c) n! (x x 0 ) n. Wówczas T n 1 (x) nazywamy wielomianem Taylora, zaś R n (x) n-tą resztą Lagrange a. (T) Uwaga 5. Zauważmy, że dla n = 1, x 0 = a i x = b wzór Taylora przyjmuje postać f (b) = f (a) + f (c) 1! (b a) skąd po prostyc przekształceniac dostajemy tezę twierdzenia Lagrange a o wartości średniej. Zatem łatwo zauważyć, że twierdzenie Taylora jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange a. Uwaga 6. Dla x 0 = 0 wzór Taylora przyjmuje postać f (x) = f (0) + f (0) 1! x) + f (0) x 2 + + f (n 1) (0) 2! i jest nazywany wzorem Maclaurina 6 funkcji f. (n 1)! xn 1 + f (n) (c) x n, gdzie 0 < c < 1, n! Przykład 4. Rozważmy funkcję f : R (0, + ) o wzorze f(x) = e x. Zauważmy, że f (n) (x) = e x, dla każdego x R, n N {0}, a więc 5 Brook Taylor (1685-1731), matematyk angielski 6 Colin Maclaurin (1698-1746), matematyk szkocki f (n) (0) = 1, dla każdego n N {0}. 8

Wobec tego wzór Maclaurina (przy ustalonym dowolnie n) dla funkcji f przyjmuje postać e x = 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + 1 4! x4 + + dla pewnego c (0, 1). W szczególności, dla x = 1 i n = 7, mamy dla pewnego c (0, 1), a więc 1 (n 1)! xn 1 + ec n! xn, e = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 6! + ec 7!, e 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + 1 720 przy czym błąd jaki popełniamy nie przekracza = 720 + 720 + 360 + 120 + 30 + 6 + 1 720 R 7 (1) = ec 7! = ec 0<c<1 < 5040 3 < 0, 001. 5040 = 1957 720 = 2, 7180(5), Ekstrema lokalne Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Definicja 5. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne [maksimum lokalne], jeżeli istnieje taka δ > 0, że f (x) f (x 0 ) [f (x) f (x 0 )] dla każdego x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ). (1) Jeżeli ponadto w (1) mamy nierówność ostrą, to mówimy o minimum [maksimum] właściwym. Minima i maksima lokalne obejmujemy wspólną nazwą - ekstrema lokalne. Twierdzenie 11. (Fermata 7 - warunek konieczny istnienia ekstremum) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x 0 i ma ekstremum lokalne w punkcie x 0, to f (x 0 ) = 0. Uwaga 7. Implikacja odwrotna jest fałszywa!!! Rozważmy bowiem funkcję o wzorze f (x) = x 3 dla x R. Wtedy f (x) = 3x 2, skąd f (x) = 0 x = 0, ale w punkcie x = 0 funkcja f nie ma ekstemum. 7 Pierre de Fermat (1601-1665), matematyk francuski 9

Również założenie istnienia pocodnej jest istotne. Funkcja f (x) = x ma bowiem w punkcie x = 0 minimum lokalne, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna. Wniosek 1. Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w tyc punktac, w któryc jej pocodna jest równa zero, albo w któryc jej pocodna nie istnieje. Twierdzenie 12. ( I warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x 0, f (x 0 ) = 0 oraz istnieje taka δ > 0, że f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), [f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ)], to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum [minimum] lokalne właściwe. Uwaga 8. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz f (x 0 ) 0 lub f jest ciągła w punkcie x 0, zaś f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ) lub f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ), to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x 0. Twierdzenie 13.( II warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Załóżmy, że funkcja f określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 ma w punkcie x 0 skończoną pocodną f (n) (x 0 ) przy pewnym n > 1 oraz f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 i f (n) (x 0 ) 0. (i) Jeżeli n jest liczbą parzystą, to funkcja f ma w punkcie x 0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym, gdy f (n) (x 0 ) < 0, to jest to maksimum, a gdy f (n) (x 0 ) > 0 minimum. (ii) Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja f nie ma w punkcie x 0 ekstremum lokalnego. Funkcje wypukłe, funkcje wklęsłe, punkty przegięcia wykresu funkcji Niec funkcja f będzie określona na przedziale (a, b), gdzie a < b +. Definicja 6. Funkcję f nazywamy wypukłą [wklęsłą] na przedziale (a, b), jeżeli f ((1 λ) x 1 + λx 2 ) (1 λ) f (x 1 ) + λf (x 2 ). (2) [ a<x 1 <x 2 <b 0<λ<1 a<x 1 <x 2 <b 0<λ<1 ] f ((1 λ) x 1 + λx 2 ) (1 λ) f (x 1 ) + λf (x 2 ) 10

Jeżeli w warunku (2) nierówność jest ostra, to funkcję f nazywamy ściśle wypukłą [ściśle wklęsłą]. Twierdzenie 14. Niec f będzie funkcją określoną na przedziale (a, b). (i) Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wypukła na (a, b). (ii) Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a, b). (ii) Jeżeli f (x) 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wypukła na (a, b). (iv) Jeżeli f (x) 0 dla każdego x (a, b), to funkcja f jest wklęsła na (a, b). Definicja 7. Załóżmy, że funkcja f, określona w otoczeniu punktu x 0, jest ciągła w punkcie x 0. Punkt (x 0, f (x 0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f, jeżeli istnieje taka δ > 0, że funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (x 0 δ, x 0 ) oraz ściśle wklęsła na przedziale (x 0, x 0 + δ) lub odwrotnie. Twierdzenie 15. (Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji) Niec funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Jeżeli (x 0, f (x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f oraz f (x 0 ) istnieje, to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie 16. (Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji) Załóżmy, że f jest dwukrotnie różniczkowaną funkcją określoną przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x 0 oraz f (x 0 ) = 0. Jeżeli istnieje taka δ > 0, że lub f (x) > 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) < 0 dla x (x 0, x 0 + δ), f (x) < 0 dla x (x 0 δ, x 0 ) oraz f (x) > 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to punkt (x 0, f (x 0 )) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f. Asymptoty pionowe Asymptoty wykresu funkcji Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f, jeżeli x a +f(x) = + lub +f(x) =. 11 x a

Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f, jeżeli x a f(x) = + lub f(x) =. Prosta x = a jest asymptotą pionową obustronną lub krótko asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeżeli jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną. x a Asymptoty ukośne Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną prawostonną wykresu funkcji f, jeżeli (f(x) Ax B) = 0. x + Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną lewostonną wykresu funkcji f, jeżeli (f(x) Ax B) = 0. x Twierdzenie 17. Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną prawostonną wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy A = f(x) x + x oraz B = (f(x) Ax). x Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie o asymptotac ukośnyc lewostronnyc. Uwaga 9. Jeżeli f(x) = B, to A = x + f(x) x + x = 0, a więc prosta y = B jest prawostonną asymptotą ukośną wykresu funkcji f równoległą do osi OX i nazywamy ją wtedy asymptotą poziomą prawostronną wykresu funkcji f. W przypadku asymptop ukośnyc lewostronnyc jest analogicznie. 1. Dziedzina funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji 2. Zacowanie się funkcji na końcac przedziałów określoności. 3. Własności szczególne funkcji (parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji). 4. Szczególne punkty wykresu funkcji (punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnyc). 5. Przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji. 12

6. Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji oraz punkty przegięcia wykresu funkcji. 7. Asymptoty wykresu funkcji. 8. Zbiór wartości funkcji. 9. Tabelka i wykres funkcji. Przykład 5. Zbadać przebieg zmienności funkcji f określonej wzorem f(x) = x 3 (x 1) 2. 13