Zeszyty Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie Naukowe 5 (965) ISSN 1898-6447 Zesz. Nauk. UEK, 2017; 5 (965): 87 105 DOI: 10.15678/ZNUEK.2017.0965.0506 Karty kotrole sum skumulowaych z możliwością akceptacji procesu. Przegląd podstawowych arzędzi Streszczeie Celem artykułu jest przegląd oraz aaliza podstawowych kart kotrolych sum skumulowaych, umożliwiających akceptację lub dyskwalifikację badaego procesu produkcyjego. W literaturze przedmiotu moża spotkać dwa rodzaje kart kotrolych umożliwiających akceptację procesu karty kotrole Shewharta oraz karty kotrole sum skumulowaych. Obydwie mogą być wykorzystywae przez meedżerów jakości lub meedżerów fiasowych w trakcie moitorowaia lub audytu procesu. W artykule omówioo wybrae procedury kotrole oraz przedstawioo przykłady zastosowaia opisaych rozwiązań. Słowa kluczowe: statystycza kotrola jakości, statystycze sterowaie procesami, karty kotrole akceptacji, karty kotrole sum skumulowaych. Klasyfikacja JEL: C12, C19, C44, L15. 1. Wprowadzeie W gospodarce wolorykowej bardzo waża jest możliwość moitorowaia procesów ekoomiczych z puktu widzeia poziomu ich stabilości. W XX w. w dobie, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie, Wydział Zarządzaia, Katedra Statystyki, ul. Rakowicka 27, 31-510 Kraków, e-mail: majorm@uek.krakow.pl
88 dyamiczie rozwijającego się przemysłu i produkcji seryjej podstawowym zadaiem była możliwość iezwłoczej idetyfikacji mometu rozregulowaia procesu produkcyjego. Niezwykle pomoce w tym zakresie były stworzoe w 1924 r. przez Waltera Shewharta (1891 1967) karty kotrole. Umożliwiły oe łatwą i szybką idetyfikację mometu rozregulowaia procesu i podjęcie koieczej regulacji agregatu produkcyjego. Procedury kotrole zapropoowae przez W. Shewharta opierały się a klasyczej teorii weryfikacji hipotez statystyczych 1. Podobą rolę odegrały rówież karty kotrole sum skumulowaych, oparte a sekwecyjej weryfikacji hipotez statystyczych, której podstawy sformułowae zostały w pracach Abrahama Walda (1902 1950). Rozwój techik sum skumulowaych zawdzięczamy E.S. Page owi z Uiwersytetu Cambridge, autorowi artykułu opublikowaego w czasopiśmie Biomertika w 1954 r. (zob. [Page 1954, s. 100 115]). Publikacja ta ukazała się 9 lat po publikacji A. Walda [1945, s. 117 186]. Podejście prezetowae przez A. Walda, a astępie E.S. Page a stało w opozycji do klasyczego podejścia do weryfikacji hipotez J. Neymaa i E. Pearsoa [Neyma i Pearso 1933, s. 289 337]. Wspólą cechą kart kotrolych Shewharta i kart kotrolych sum skumulowaych w ich pierwotej postaci jest to, że umożliwiają jedyie rejestrację sygałów świadczących o destabilizacji (rozregulowaiu) procesu. Nie pozwalają atomiast a akceptację badaego procesu, czy iaczej, stwierdzeie, że jest o ureguloway. Wiąże się to z tym, że procedury te w pierwotej formie zakładały tylko ryzyko zbędej regulacji procesu (α) określae w statystyce prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju. Pomijae lub też zerowae jest ryzyko błędu drugiego rodzaju (β). Efektem tego jest możliwość stwierdzeia rozregulowaia procesu lub ogłoszeia braku podstaw do odrzuceia hipotezy o jego uregulowaiu. Obecie waża staje się ie tylko toleracja przebiegu procesu, ale rówież możliwość jego akceptacji. Stąd też powstały opracowaia przedstawiające modyfikacje klasyczych arzędzi i metod weryfikacji procesów. Dotyczyły oe zarówo kart kotrolych Shewharta (zob. [Iwasiewicz 1985, s. 57 86, 159 163; 1999, s. 239 242; 2001, s. 35 38; Major 2015b, s. 223 238], a także [PN-ISO 7966: 2001]), jak i kart kotrolych sum skumulowaych (zob. [Major 1997, s. 47 54; Iwasiewicz 2008 2009, s. 71 90; 2011, s. 213 245; Major 2015a, s. 25 43; 2015b, s. 223 238]). O ile zmodyfikowae karty kotrole Shewharta zostały już obszerie opracowae, o tyle ciągle za mało jest opracowań poświęcoych zmodyfikowaym procedurom sum skumulowaym. Może to wyikać z tego, że wielu badaczy i użytkowików błędie postrzega procedury sum skumulowaych jako arzędzia trudiejsze do zrozumieia, a tym samym do stosowaia. Nie zmieia to jedak faktu, że pomimo pozorej komplikacji, dają oe w wielu sytuacjach lepsze rezultaty iż 1 Pod pojęciem klasyczych procedur weryfikacji hipotez statystyczych ależy rozumieć procedury zapropoowae przez Jerzego Spławę Neymaa oraz Egoa Pearsoa.
Karty kotrole sum skumulowaych 89 karty kotrole Shewharta. Poadto, procedury sekwecyje w wielu przypadkach geerują zaczie miejsze koszty kotroli iż ich odpowiediki oparte a kartach kotrolych Shewharta, a kwestia obiżki kosztów jest jedą z determiat kokurecyjości owoczesego przedsiębiorstwa. Wymieioe powyżej, a także ie merytorycze kwestie stały się przesłaką do sformułowaia celu iiejszego opracowaia, jakim jest potrzeba rzetelej i szczegółowej ilustracji tego typu procedur. Praca ta jest kotyuacją opracowań autora poświęcoych procedurom kotrolym z możliwością akceptacji procesu (zob. [Major 1997, s. 47 54; 2015a, s. 25 43; 2015b, s. 223 238]) oraz awiązuje do wcześiejszych opracowań środowiska aukowego Katedry Statystyki Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie. W artykule przedstawioo kilka ajważiejszych kart kotrolych sum skumulowaych. Opisae arzędzia reprezetują dwa wariaty ocey przebiegu procesu produkcyjego. Pierwszy z ich dotyczy sytuacji, gdy jakość produktu (wyrobu, usługi) lub procesu jest oceiaa ze względu a zero-jedykową zmieą diagostyczą (tzw. alteratywa ocea właściwości). Proces oceiay w te sposób azywa się procesem biarym (zob. [Iwasiewicz 2008 2009, s. 71 90; 2005 2006, s. 103 116; 2011, s. 213 245]). Z drugim wariatem ocey mamy do czyieia wówczas, gdy jakość produktu (wyrobu, usługi) lub procesu oceiaa jest ze względu a ciągłą (quasi-ciągłą) zmieą diagostyczą (tzw. liczbowa ocea właściwości). Te typ procesu i jego ocey azwao roboczo procesem ciągłym lub quasi-ciągłym. 2. Klasycze procedury sekwecyje Teoria aalizy sekwecyjej sprowadza się do losowego pobieraia pojedyczych lub małych zespołów zbiorowości geeralej oraz każdorazowego rozstrzygaia, czy zebray zasób iformacji pozwala a podjęcie określoej decyzji. Przy sformułowaej hipotezie zerowej H 0 i alteratywej H 1 decyzje takie mogą dotyczyć: przyjęcia hipotezy H 0, odrzuceia hipotezy H 0 i przyjęcia hipotezy H 1, odłożeia decyzji do czasu pobraia astępej jedostki (próbki ) do próby m. Postać hipotezy zerowej i alteratywej zależy od charakteru badaej zmieej losowej (stymulata, destymulata, omiata) i ograiczeia przedziału toleracji. Przyjmując, że weryfikoway parametr ozaczoo symbolem Q, w tabeli 1 ujęto trzy ogóle zapisy weryfikowaych hipotez (wzory (1a) i (1b), (2a) i (2b), (3a), (3b) i (3c)).
90 Tabela 1. Weryfikowae hipotezy Ograiczeie przedziału toleracji / rodzaj zmieej Weryfikowae hipotezy Prawostroe / destymulata H 0 : Q = Q 0 (1a) H 1 : Q = Q 1 (1b) (Q 0 < Q 1 ) Lewostroe / stymulata H 0 : Q = Q 0 (2a) H 1 : Q = Q 1 (2b) (Q 1 < Q 0 ) Dwustroe / omiata H 0 : Q = Q 0 (3a) H 1 : Q = Q 1 (3b) H 1 : Q = Q 1 (3c) (Q 1 < Q 0 < Q 1 ) Źródło: opracowaie włase a podstawie [Wald 1945, Iwasiewicz 2008 2009]. Próba jest w tym ujęciu sumą wszystkich próbek pobieraych w kolejych k krokach, czyli: = 1 + 2 + + k. (4) Jeżeli w każdym k-tym przedziale próbkowaia liczebość próbki wyosi jede, to wówczas liczość całej skumulowaej próby wyiesie k ( = k). Podczas każdego etapu badań obliczaa jest wartość sekwecyjego testu ilorazowego ogólej postaci: Π p x H t 1 1a t 1k = Qk =, (5) p ax H k Π t = 1 0 t 0 gdzie: p1axt H1k prawdopodobieństwo zdarzeia losowego X = x t, gdy założoa jest prawdziwość hipotezy H 1, p0axt H0k prawdopodobieństwo zdarzeia losowego X = x t, gdy założoa jest prawdziwość hipotezy H 0, i sprawdzaa jest prawdziwość ierówości: A < Q k < B, (6) gdzie: β A = 1 α, atomiast B 1 β = α. Jeżeli Q k A, to przyjmuje się hipotezę H 0 z prawdopodobieństwem błędu ie większym iż β.
Karty kotrole sum skumulowaych 91 Gdy Q k B, wówczas ależy przyjąć hipotezę H 1 z prawdopodobieństwem błędu ie większym iż α. Natomiast gdy A < Q k < B, to brak jest podstaw do podjęcia jedej z dwóch wymieioych powyżej decyzji i ależy kotyuować badaie. Postać sekwecyjego testu ilorazowego (5) zależy od rodzaju zmieej diagostyczej X i charakteryzującego ją rozkładu prawdopodobieństwa. Zapisu wzoru (5) dokoao przy założeiu, ze zmiea losowa X jest zmieą dyskretą. Wówczas wyrażeia stojące w tym wzorze ależy iterpretować jako fukcje rozkładu prawdopodobieństwa. W przypadku ciągłych zmieych losowych wyrażeia we wzorze (5) są odpowiedimi fukcjami gęstości prawdopodobieństwa. Jest to więc stosuek dwóch fukcji wiarygodości otrzymaych a podstawie próby, które zostały wyzaczoe przy założeiu prawdziwości hipotezy H 1 (liczik) i prawdziwości hipotezy H 0 (miaowik). W tabeli 2 zostały zestawioe wzory ilorazu (5) dla ajczęściej wykorzystywaych rozkładów zmieej diagostyczej. Tabela 2. Sekwecyjy test ilorazowy Q k Typ rozkładu zmieej diagostyczej Dwumiaowy X ~ B(p; 1) Poissoa X ~ P(λ) Normaly X ~ N(μ; σ) Q k = Π t = 1 Π t = 1 Sekwecyjy test ilorazowy Q k x 1 xt 1 1 t p q x 1 xt 0 0 t p q Q k Q = k = Π t = 1 Π t = 1 Π t = 1 Π t = 1 (q 1 = 1 p 1 ; q 0 = 1 p 0 ) (7) t λ1 x! e t xt λ0 x! e t x 1 e σ 2π 1 e σ 2π λ1 λ0 1 xt μ1 a k 2 2 σ 1 xt μ0 a k 2 2 σ (8) (9) Źródło: opracowaie włase a podstawie [Iwasiewicz, Paszek i Steczkowski 1988]. W dalszej części artykułu przyjęto założeie, że zmiea diagostycza X jest zmieą dyskretą lub ciągłą o rozkładzie ormalym z przedziałem toleracji ograiczoym prawostroie 2. Jeżeli obserwowaą charakterystyką z próby jest suma realizacji zmieej X, to w kolejych krokach postępowaia oblicza się wartość statystyki: 2 W aalogiczy sposób moża zbudować procedury kotrole dla zmieych diagostyczych ciągłych z przedziałem toleracji ograiczoym lewostroie lub dwustroie. Szerzej zob. p. [Iwasiewicz, Paszek i Steczkowski 1988].
92 z t = / x ( = 1, 2, 3, ; t = 1, 2, 3,, ). (10) t = 1 t Jeżeli w procesie weryfikacji hipotez stosowaa jest graficza wersja procedury kotrolej, to wówczas obliczoe wartości statystyki (10) według schematu: t = 1: z 1 = x 1 ; t = 2: z 2 = z 1 + x 2 ; ; t = : z = z 1 + x, (11) aosi się a diagram przeglądowy (wykres), przedstawioy schematyczie a rys. 1. z z g, = b + c przyjąć H 1 badać dalej przyjąć H 0 z d, = a + c Rys. 1. Diagram przeglądowy klasyczej procedury sekwecyjej przy prawostroie ograiczoym przedziale toleracji Źródło: opracowaie włase. Przedstawioe a rys. 1 rówaia liii kotrolych wyikają z ierówości (6) i powstają w wyiku jej przekształceia 3 do postaci: z d, = a + c < z < z g, = b + c. (12) Wartości parametrów a, b i c zależą z kolei od przedstawioego w tabeli 2 rodzaju sekwecyjego testu ilorazowego Q k. Wzory opisujące te parametry zestawioo w tabeli 3. Jeżeli w dowolym kroku badaia spełioa jest ierówość: z z d,, wówczas przyjmuje się hipotezę H 0 (baday proces jest ureguloway), a prawdopodobieństwo tego, że prawdziwa jest hipoteza H 1, ie przekracza β. 3 Dokłady proces przekształceia ierówości (6) do postaci (12) czytelik może zaleźć p. w pracy [Iwasiewicz, Paszek i Steczkowski 1988, s. 36 i dalsze].
Karty kotrole sum skumulowaych 93 Jeżeli zachodzi ierówość: z z g,, wówczas przyjmuje się hipotezę H 1 (baday proces jest rozreguloway), a prawdopodobieństwo tego, że prawdziwa jest hipoteza H 0, ie przekracza α. Tabela 3. Parametry liii kotrolych dla klasyczej procedury sekwecyjej Typ rozkładu zmieej diagostyczej Dwumiaowy Poissoa Normaly (prawostroe ograiczeie przedziału toleracji) Parametry liii kotrolych β l a = 1 α p1q0 l p q 0 1 1 β l b = α p1q0 l p q 0 1 q0 l q1 c = p q l p q 1 0 0 1 β l a = 1 α λ1 l λ 0 l 1 β b = α λ1 l λ 0 λ λ c = λ1 l λ 1 0 2 σ β a = μ l 1 μ0 1 α 2 σ b = l 1 β μ μ α 1 0 μ + μ c = 2 1 0 0 (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) Źródło: opracowaie włase a podstawie [Iwasiewicz, Paszek i Steczkowski 1988]. Jeżeli atomiast: z d, < z < z g,, to ie ma podstaw do przyjęcia żadej z hipotez i ależy badać dalej proces, zwiększając liczebość próby o jede, a astępie powtórie obliczyć parametry z d,, z g, i z.
94 3. Procedura sum skumulowaych z możliwością akceptacji procesu Z uwagi a fakt, że zasady fukcjoowaia klasyczej procedury sum skumulowaych moża zaleźć w wielu pozycjach literatury z zakresu zarządzaia jakością (zob. p. [Iwasiewicz, Paszek i Steczkowski 1988, Motgomery 2009, s. 399 418]), w opracowaiu skupioo się tylko a zmodyfikowaej procedurze sum skumulowaych, umożliwiającej akceptację lub dyskwalifikację aalizowaego procesu. Z formalego puktu widzeia ozacza to, że zostaie uchyloe założeie klasyczych kart kotrolych sum skumulowaych głoszące, że ryzyko popełieia błędu drugiego rodzaju β = 0, a rzecz założeia: β > 0. Niezmiee pozostaje założeie, że procedura sum skumulowaych jest klasyczą procedurą sekwecyją realizowaą wsteczie. Ozacza to, że w każdym pukcie kończącym badaą sekwecję obserwacji wykreśla się pomociczy układ współrzędych obrócoy w stosuku do pierwotego o 180. W każdym -tym kroku postępowaia bada się, czy zaobserwoway dotychczas ciąg obserwacji z= / t =1xt wystarcza do przyjęcia jedej z dwóch weryfikowaych hipotez H 0 lub H 1. W celu ułatwieia korzystaia z tej metody kostruuje się tzw. maskowicę, którą przesuwa się a wykresie wraz ze wzrostem długości badaej sekwecji. Przykład takiej maskowicy przedstawioo a rys. 2. z H I d 0 E F D h 0 E G C h 1 d 1 0 B z A J Rys. 2. Zmodyfikowaa maskowica Źródło: opracowaie włase.
Karty kotrole sum skumulowaych 95 Zmodyfikowaa maskowica ma dwie czye krawędzie (liie kotrole), odciki BC i GF. Podczas posługiwaia się maskowicą waża pozostaje zasada, żeby pukt D pokrywał się z ostatim z puktów obserwowaej sekwecji oraz odciek DE był rówoległy do osi odciętych. Przekroczeie przez choć jede z puktów skumulowaej sekwecji i mius dolej liii maskowicy sugeruje koieczość przyjęcia hipotezy H 1 (proces jest rozreguloway) z ryzykiem błędu ie większym iż α. Gdy przekroczoa zostaje i plus góra liia maskowicy, wówczas przyjmuje się hipotezę H 0 (proces jest ureguloway) z ryzykiem błędu ieprzekraczającym β. Natomiast jeżeli pukty skumulowaej sekwecji układają się w korytarzu pomiędzy czyymi krawędziami maskowicy, to wówczas kotyuuje się badaia, powiększając próbkę o koleją wartość x i. Aby zbudować maskowicę, iezbęda jest zajomość (zob. rys. 2) parametrów d 0, d 1, h 0, h 1 oraz c = tgϕ. Parametr d 0 uzyskuje się w wyiku przekształceia rówaia dolej liii kotrolej z d, klasyczej procedury sekwecyjej (zob. rys. 1). Przekształceie polega a wyzaczeiu miejsca zerowego 0 fukcji z d,. Pamiętając, że maskowica fukcjouje w układzie współrzędym obrócoym o 180, moża zapisać, że: d =. (22) 0 0 W aalogiczy sposób wyzacza się rówaie parametru d 1, przekształcając tym razem rówaie górej liii kotrolej z g,. Rówaia parametrów d 0 i d 1 dla rozważaych przykładowych trzech typów rozkładów zmieej losowej zestawioo w tabeli 4. Tabela 4. Rówaia parametrów maskowicy d 0 i d 1 Dwumiaowy Poissoa Typ rozkładu Parametry maskowicy β l d 0 = 1 α q0 l q 1 1 β l d 1 = α q0 l q 1 d 0 = l β 1 α λ λ 1 0 d 1 = l 1 β α λ λ 1 0 (23) (24) (25) (26)
96 cd. tabeli 4 Typ rozkładu Normaly (prawostroe ograiczeie przedziału toleracji) Parametry maskowicy 2 β 2σ l d 0 = 1 α 2 2 μ μ 2 1 β 2σ l d 1 = α 2 2 μ μ 1 1 0 0 (27) (28) Źródło: opracowaie włase a podstawie [Iwasiewicz, Paszek i Steczkowski 1988]. Wartość parametru ϕ jest wyzaczaa ze wzoru: μ0+ μ1 ϕ = arctg c = arctg 2, atomiast parametry h 0 i h 1 wyikają ze wzorów: (29) h 0 = d 0 tg ϕ = d 0 c, (30) h 1 = d 1 tg ϕ = d 1 c. (31) Wartości parametrów h 0, h 1 oraz c są iezbęde podczas kostrukcji umeryczego algorytmu weryfikacji stau procesu. W trakcie jego przebiegu moża wyróżić dwie sekwecje przebiegu procesu jeda prowadzi do akceptacji procesu (przyjęcia hipotezy H 0 ), atomiast druga do jego dyskwalifikacji (przyjęcia hipotezy H 1 ). Założoo dalej, że sekwecja puktów prowadząca do akceptacji procesu będzie azywaa sekwecją A, atomiast sekwecja prowadząca do dyskwalifikacji procesu sekwecją B. W obydwu przypadkach weryfikowaa jest wartość skumulowaa statystyki z * postaci: * z = / ^x ch, (32) s i = 1 gdzie: c = tg ϕ, t ideks bieżący, i ideks operacyjy, s ajwiększa w daym momecie wartość ideksu operacyjego (s = 1, 2, 3, ). Ideks t we wzorze (32) fukcjouje przez cały okres badań, atomiast momet uruchomieia liczika ideksu i zależy od rodzaju sekwecji puktów. Aalizę przebiegu procesu rozpoczya się od śledzeia zaku różicy x t c. W chwili gdy x t c < 0, zostaje uruchomioy liczik ideksu operacyjego i (i = 1) oraz rozpoczya się sekwecja A skutkująca wyzaczaiem wartości statystyki (32). Obliczaie tej statystyki jest kotyuowae tak długo, aż zostaie spełioy jede z poiższych waruków: it
Karty kotrole sum skumulowaych 97 * * * d 0 0 1 A z zd, gdzie z = d c= h, (33) * 2 A z 0. (34) W przypadku gdy spełioy jest waruek 1 A (33), badaie kończy się przyjęciem hipotezy zerowej H 0 z ryzykiem błędu ie większym iż β, atomiast gdy spełioy jest waruek 2 A (34), przerywa się obliczaie wartości charakterystyki z * i powraca do śledzeia zaku różicy x t c. Spełieie waruku (33) lub (34) pociąga za sobą rówież koieczość wyzerowaia ideksu i (i = 0). Uruchomieie liczika ideksu operacyjego i może rówież astąpić, gdy x t c > 0. Jest to wówczas początek sekwecji B, a zarazem momet rozpoczęcia kumulacji zgodie ze wzorem (32). Proces takiej kumulacji trwa do mometu, gdy spełioy jest jede z poiższych waruków: * * * g 1 1 1 B z zg, gdzie z = d c= h, (35) * 2 B z 0. (36) Spełieie waruku 1 B (35) skutkuje przyjęciem hipotezy alteratywej H 1 z ryzykiem błędu ie większym iż α. Spełieie drugiego waruku 2 B (36) ozacza atomiast koieczość przerwaia kumulacji i powrót do śledzeia zaku różicy x t c. Podobie jak w poprzedim przypadku spełieie waruku 1 B lub 2 B skutkuje wyzerowaiem ideksu i (i = 0). 4. Przykłady zastosowaia kart kotrolych Przykład 1 W trakcie produkcji materiałów bawełiaych moitorowao ich kurczliwość podczas praia. W tym celu wyprodukowae próbki materiału poddawao okresowo badaiom a kurczliwość. Podczas badaia założoo, że kurczliwość baweły ie powia przekraczać 7% 4. Co moża powiedzieć o przebiegu procesu wytwarzaia materiałów, jeżeli dla 10 losowo wybraych próbek odotowao wartości procetowej kurczliwości podae w tabeli 5? Tabela 5. Procetowa kurczliwość materiałów bawełiaych t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x t (%) 5 6 6 4,5 8 6,25 5 4 6 4,5 Źródło: dae umowe. 4 Według polskiej ormy [PN-P-84004:2003] aturala kurczliwość baweły wyosi 6%.
98 Podczas aalizy powyższego procesu założoo, że: α = β = 0,05 oraz że kurczliwość baweły w praiu ma rozkład ormaly ze stałą wariacją wyoszącą 1,5%. Poieważ zmiea diagostycza będąca procetową kurczliwością baweły w praiu jest traktowaa jako destymulata jakości 5 aalizowaego procesu, hipoteza zerowa oraz hipoteza alteratywa będą miały postać: H : μ= μ = 5%, H : μ= μ = 7%. 0 0 1 1 Korzystając ze wzorów (19), (20) i (21), wyzaczoo wartości parametrów a, b i c iezbęde do zastosowaia klasyczej procedury sekwecyjej. 2 2 15, 005, 15, 095, 7 5 a= 7 5 l 095, = 331, ; b= 7 5 l 005, = 331, ; c = + 2 = 6. Rówaia liii kotrolych przedstawiały się astępująco: z d, = 3,31 + 6; z g, = 3,31 + 6. W tabeli 6 zestawioo obliczeia robocze dla daych wejściowych podaych w tabeli 5. Obserwując wyiki zawarte w tabeli 6 moża zauważyć, że w dziesiątym kroku postępowaia sekwecyjego, przy liczości skumulowaej próbki = 10, ależy przyjąć hipotezę zerową H 0 i proces produkcji materiału bawełiaego uzać za ureguloway. Prawdopodobieństwo tego, że ocea ta jest fałszywa, ie przekracza β = 0,05. Tabela 6. Aaliza procesu kurczeia materiałów bawełiaych za pomocą klasyczej procedury sekwecyjej t x t (%) z z d, z g, Decyzja 1 1 5 5 2,69 9,31 badać dalej 2 2 6 11 8,69 15,31 badać dalej 3 3 6 17 14,69 21,31 badać dalej 4 4 4,5 21,5 20,69 27,31 badać dalej 5 5 8 29,5 26,69 33,31 badać dalej 6 6 6,25 35,75 32,69 39,31 badać dalej 7 7 5 40,75 38,69 45,31 badać dalej 8 8 4 44,75 44,69 51,31 badać dalej 9 9 6 50,75 50,69 57,31 badać dalej 10 10 4,5 55,25 56,69 63,31 przyjąć H 0 Źródło: obliczeia włase. 5 Im kurczliwość 100-procetowej baweły jest miejsza, tym jakość baweły jest wyższa. Jedak w pewych sytuacjach iska lub wręcz zerowa kurczliwość materiału może świadczyć o tym, że dziaiy mają domieszkę iego materiału, p. elaobaweły.
Karty kotrole sum skumulowaych 99 Podobą aalizę moża przeprowadzić stosując zmodyfikowaą procedurę sum skumulowaych. Należy wtedy obliczyć dodatkowo wartości parametrów d 0, d 1 oraz h 0, h 1 (zob. wzory (27), (28), (30) i (31)). Mamy wówczas: 2 005, 2 095, 215 $, l 095, 215 $, l 005, d0 = 2 2 = 055, ; d1 = 2 2 = 055, ; 7 5 7 5 * * 0 0 d 1 1 g h = d c= z = 3, 31; h = d c= z = 3, 31. Mając te parametry, moża przystąpić do powtórej aalizy daych przy użyciu karty kotrolej sum skumulowaych z możliwością akceptacji procesu. Jej przebieg przedstawioo w tabeli 7. Tabela 7. Aaliza procesu kurczeia materiałów bawełiaych za pomocą zmodyfikowaej procedury sum skumulowaych * t i x it z = x c z * Uwagi i ti 1 1 5 1 1 1 x t < c (zacząć kumulację, i = 1) 2 2 6 2 0 1 kumulować (i = i +1) 3 3 6 3 0 1 kumulować (i = i +1) 4 4 4,5 4 1,5 2,5 kumulować (i = i +1) 5 5 8 5 2 0,5 kumulować (i = i +1) 6 6 6,25 6 0,25 0,25 kumulować (i = i +1) 7 7 5 7 1 1,25 kumulować (i = i +1) 8 8 4 8 2 3,25 kumulować (i = i +1) 9 9 6 9 0 3,25 kumulować (i = i +1) * * 10 10 4,5 10 1,5 4,75 z< zd (przyjąć H 0 ) Źródło: obliczeia włase. Jak widać, zmodyfikowaa procedura sum skumulowaych doprowadziła rówież do przyjęcia hipotez zerowej. Proces kumulacji rozpoczął się w okresie t = 1 i trwał ieprzerwaie do okresu t = 10. Przykład 2 W trakcie badaia jakości liek holowiczych sprawdzaych jest wiele parametrów pod względem ich zgodości z wytyczymi zawartymi w Prawie o ruchu drogowym (długość holu, umiejscowieie chorągiewki ostrzegawczej i kolor liki) oraz zgodości z warukami techiczymi określoymi przez Przemysłowy Istytut Motoryzacji (PIMOT) WT/008/PIMOT/93 Liki holowicze. Wymagaia i badaia w zakresie bezpieczeństwa użytkowaia. Pod uwagę bierze się wówczas istrukcję użytkowaia oraz wytrzymałość holu. W trakcie weryfikacji
100 wytrzymałości liki zakłada się, że (http://federacja-kosumetow.org.pl/dowload/linki%202.doc, data dostępu: 22.09.2016): liki holowicze przezaczoe do holowaia pojazdów o masie do 1500 kg powiy bez uszkodzeń przeieść obciążeie ie miejsze iż 1200 dan w czasie 20 s, liki holowicze przezaczoe do holowaia pojazdów o masie większej iż 1500 kg powiy przeieść bez uszkodzeń obciążeie ie miejsze iż masa holowaego pojazdu. Na przykład jeżeli masa pojazdu wyosi 2000 kg, to obciążeie badawcze liki holowiczej powio wyieść ie miej iż 2000 dan w czasie 20 s. Bardzo ważą kwestią jest także pomiar wytrzymałości graiczej do zerwaia, podczas którego określa się poziom przyłożoej siły, przy której lika ulega zerwaiu. Lika holowicza z zaczepem powia wytrzymać obciążeie większe iż deklarowae w przepisach WT/008/PIMOT/93 oraz jej wytrzymałość powia przekraczać wartość deklarowaą w ulotce przez produceta lub dystrybutora. W dalszym ciągu rozważań przyjęto założeie, że przedmiotem badań jest partia liek, która przeszła pozytywie weryfikację ze względu a wszystkie właściwości, z wyjątkiem wytrzymałości a rozciągaie mierzoej w jedostce czasu (20 s). Przyjęto, że badaiu poddao próbki liek przezaczoych do holowaia pojazdów o masie do 1500 kg. Założoo, że obserwowaa zmiea losowa X przybierała wartość 0, gdy lika przeszła pozytywie próbę obciążeia ie miejszą iż 1200 dan, i wartość 1, gdy lika w czasie próby wytrzymałości została zerwaa lub też jej mocowaia zostały a tyle zdeformowae, że ie kwalifikowała się oa do dalszego użytku. Założoo dalej, że badaie przeprowadzoo w ciągu 10 kolejych mometów czasowych, powiększając za każdym razem liczebość próbki o 1 sztukę. Wyiki badaia podao w tabeli 8. Tabela 8. Wytrzymałość liek holowiczych t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x t 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 Źródło: dae umowe. Należy sprawdzić, czy a podstawie tych daych moża przyjąć jedą z astępujących hipotez: H 0 : p = p 0 = 0,01, H 1 : p = p 1 = 0,03.
Karty kotrole sum skumulowaych 101 Symbole p 0 i p 1 ozaczają odpowiedio poziomy wadliwości: maksymalej dopuszczalej i miimalej dyskwalifikującej badaego procesu. W trakcie weryfikacji hipotez przyjęto dodatkowe założeie α = β = 0,01. Sprawdzeie zdefiiowaych hipotez odbyło się w pierwszej kolejości z wykorzystaiem klasyczej procedury sekwecyjej, a astępie zmodyfikowaej procedury sum skumulowaych. W trakcie wykorzystaia klasyczej procedury sekwecyjej wyzaczoo wartości statystyki z postaci (10) i (11) i porówao je z liiami kotrolymi z d, i z g, obliczoymi a podstawie wzorów (13) (15). Wyikało to z założeia, że otrzymaa w trakcie aalizy charakterystyka będąca sumą zmieych zero-jedykowych ma rozkład dwumiaowy. Wartości parametrów a, b i c oraz powstałe a ich podstawie rówaia liii kotrolych przedstawiały się astępująco: 001, 0, 99 0, 99 l, l, l, a = 099 0 01 097 003099, $, = 411, ; b = 003099, $, = 411, ; c = 003099, $, = 002, ; l 001097, $, l 001097, $, l 001097, $, z d, = 4,11 + 0,02; z g, = 4,11 + 0,02. Wyiki aalizy daych empiryczych zestawioo w tabeli 9. Tabela 9. Aaliza wytrzymałości liek za pomocą klasyczej procedury sekwecyjej t x t z z d, z g, Decyzja 1 1 0 0 4,09 4,12 badać dalej 2 2 0 0 4,07 4,14 badać dalej 3 3 0 0 4,05 4,16 badać dalej 4 4 1 1 4,03 4,18 badać dalej 5 5 0 1 4,02 4,20 badać dalej 6 6 0 1 4,00 4,22 badać dalej 7 7 1 2 3,98 4,23 badać dalej 8 8 1 3 3,96 4,25 badać dalej 9 9 1 4 3,94 4,27 badać dalej 10 10 1 5 3,92 4,29 przyjąć H 1 Źródło: obliczeia włase. Jak wyika z tabeli 9, przy liczebości próbki = 10 została podjęta decyzja o przyjęciu hipotezy H 1 przy ryzyku błędu α = 0,01. W kolejym kroku badaia dae wejściowe zestawioe w tabeli 8 poddao weryfikacji przy użyciu zmodyfikowaej procedury sum skumulowaych. W tym
102 celu, korzystając ze wzorów (23) i (24) oraz (30) i (31), wyzaczoo kolejo parametry d 0, d 1 oraz h 0, h 1. 00, 1 0, 99 l 09, 9 l 0, 01 d0= 099, = 225, 15; d0= 099, = 225, 15; l 097, l 097, * * 0 0 d 1 1 g h = d c= z = 4, 11; h = d c= z = 41, 1. Obliczeia robocze oraz wyikające z ich wioski ujęto w tabeli 10. Tabela 10. Aaliza wytrzymałości liek za pomocą zmodyfikowaej procedury sum skumulowaych * t i x it z = x c z * Uwagi i ti 1 1 0 1 0,02 0,02 x t < c (start sekw. A, i = 1) 2 2 0 2 0,02 0,04 kumulować (i = i + 1) 3 3 0 3 0,02 0,05 kumulować (i = i + 1) 4 1 1 4 0,98 0,98 z * > 0 (start sekw. B, kumulować (i = 1) 5 2 0 5 0,02 0,96 kumulować (i = i + 1) 6 3 0 6 0,02 0,95 kumulować (i = i + 1) 7 4 1 7 0,98 1,93 kumulować (i = i + 1) 8 5 1 8 0,98 2,91 kumulować (i = i + 1) 9 6 1 9 0,98 3,89 kumulować (i = i + 1) * * 10 7 1 10 0,98 4,87 z> zg (przyjąć H 1 ) Źródło: obliczeia włase. W trakcie przebiegu badaego procesu dostrzec moża dwie sekwecje. Pierwsza z ich (sekwecja A) prowadziła do przyjęcia hipotezy H 0, ale została przerwaa po czterech krokach, poieważ wartość sumy skumulowaej z * była większa od zera. Momet t = 4 był rówocześie puktem startu drugiej sekwecji typu B, która doprowadziła po siedmiu kolejych krokach kumulacji do przyjęcia hipotezy H 1. A zatem wioski, jakie wyikają z zastosowaia zmodyfikowaej procedury sum skumulowaych, są idetycze jak w przypadku użycia klasyczej procedury sekwecyjej. Na koiec warto zauważyć, że przyjęcie hipotezy H 1 może astąpić zaczie szybciej iż przyjęcie hipotezy H 0. W aalizowaym przykładzie potrzebych było 5 przypadków zerwaia liki holowiczej w dziesięcioelemetowej próbie. Jedocześie, aby potwierdzić prawdziwość hipotezy H 0, ależałoby przebadać przyajmiej 226 liek (miejsce zerowe liii z d, lub parametr d 1 ) i otrzymać we wszystkich przypadkach potwierdzeie zgodości wytrzymałości liek z wymagaiami w tym zakresie.
Karty kotrole sum skumulowaych 103 5. Podsumowaie Przedstawioe w opracowaiu procedury i przykłady ie wyczerpują zagadieia zastosowaia kart kotrolych sum skumulowaych z możliwością akceptacji procesu. W omawiaych przypadkach ograiczoo się do sytuacji, gdy aalizowaa zmiea jest destymulatą jakości. Skupioo się a ajczęściej występujących podczas kotroli jakości rozkładach zmieych diagostyczych, takich jak: rozkład dwumiaowy, rozkład ormaly i rozkład Poissoa. Rozkład dwumiaowy jest łączoy często z przypadkami, gdy miarą jakości wykoaia jest wadliwość, a baday proces ma charakter biary. Rozkład Poissoa ma atomiast zastosowaie, gdy miarą jakości produktu jest liczba wad lub iezgodości w jedostce produktu 6. Z kolei rozkład ormaly wykorzystyway jest ajczęściej w sytuacji, gdy obserwowaa zmiea diagostycza ma charakter ciągły (tzw. procesy quasi-ciągłe). Na uwagę zasługują rówież (ieujęte w tym opracowaiu) procedury kotrole stosowae dla zmieych diagostyczych o rozkładzie wykładiczym. Rozkład wykładiczy jest ajczęściej stosoway do opisu iezawodości ieaprawialych elemetów systemów techiczych, a używaa zmiea diagostycza jest defiiowaa jako czas poprawej pracy tychże elemetów. Tego typu zmiea losowa będzie traktowaa jako stymulata jakości, co przełoży się a koieczość modyfikacji omawiaych procedur. Jak zazaczoo a wstępie artykułu, opisae w im karty kotrole sum skumulowaych ie są jedyymi procedurami pozwalającymi a dyskwalifikację lub akceptację moitorowaych procesów. Należy wymieić rówież ie karty kotrole, w tym procedury kotrole oparte a kartach kotrolych Shewharta. Opis ich fukcjoowaia moża zaleźć p. w cytowaych wcześiej pracach A. Iwasiewicza [1985, 1999, 2001], a także w ormie PN-ISO 7966 z 2001 r. Wymagają oe jedak wstępego ustalaia iezbędej liczebości próby potrzebej do przyjęcia jedej z weryfikowaych hipotez. W procedurach sekwecyjych oraz powstałych a ich podstawie procedurach sum skumulowaych liczebość próby jest parametrem określaym dopiero w momecie zaakceptowaia lub dyskwalifikacji procesu. Jest to istota zaleta tych arzędzi, pozwalająca a miimalizację ryzyka przeszacowaia liczebości próby, a co się z tym wiąże, geerowaia zbyteczych kosztów badaia i ocey. Jest to szczególie waże, gdy badaia kotrole mają charakter iszczący. Z tego względu zaprezetowae w iiejszym artykule metody sekwecyje ocey procesu produkcyjego wydają się zaczie skutecziejsze i kosztowo efektywiejsze iż aalogicze procedury oparte a kartach kotrolych Shewharta. 6 Procedury kotrole sum skumulowaych dla zmieych o rozkładzie Poissoa zostały omówioe p. w pracy [Major 2015b, s. 223 238].
104 Literatura Iwasiewicz A. [1985], Statystycza kotrola jakości w toku produkcji, systemy i procedury, PWN, Warszawa. Iwasiewicz A. [1999], Zarządzaie jakością podstawowe problemy i metody, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa Kraków. Iwasiewicz A. [2001], Karty kotrole Shewharta z możliwością akceptacji procesu, Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Szczecińskiego, r 320. Iwasiewicz A. [2005 2006], Moitorowaie procesów biarych, Folia Oecoomica Cracoviesia, vol. XLVI XLVII. Iwasiewicz A. [2008 2009], Moitorowaie procesów biarych za pomocą kart kotrolych sum skumulowaych, Folia Oecoomica Cracoviesia, vol. XLIX L. Iwasiewicz A. [2011], Aaliza wielowymiarowych procesów biarych jako metoda wspomagaia decyzji meedżerskich w zarządzaiu jakością [w:] Przedsiębiorcze aspekty rozwoju orgaizacji i bizesu, red. A. Chodyński, Oficya Wydawicza AFM, Kraków. Iwasiewicz A., Paszek Z., Steczkowski J. [1988], Sekwecyje metody kotroli jakości, Akademia Ekoomicza w Krakowie, Kraków. Major M. [1997], Sterowaie procesem za pomocą kart kotrolych sum skumulowaych, Materiały koferecyje z I Krajowej Koferecji Naukowej Materiałozawstwo Odlewictwo Jakość, vol. 3: Jakość, Kraków. Major M. [2015a], Acceptace Cotrol Charts, Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie, r 7(943), https://doi.org/10.5678/znuek.2015.0943.0702. Major M. [2015b], Karty kotrole sum skumulowaych z możliwością akceptacji procesu dla zmieych diagostyczych o rozkładzie Poissoa [w:] Wielowymiarowość systemów zarządzaia, red. M. Giemza, T. Sikora, Wydawictwo Naukowe PTTŻ, Kraków. Motgomery D.C. [2009], Itroductio to Statistical Quality Cotrol, Sixth ed., Joh Wiley & Sos, Ic., Jefferso City, USA. Neyma J., Pearso E.S. [1933], O the Problem of the Most Efficiet Tests of Statistical Hypotheses. Philosophical Trasactios of the Royal Society of Lodo. Series A: Mathematical, Physical ad Egieerig Scieces, vol. 231, The Royal Society Publishig, http://www.stats.org.uk/statistical-iferece/neymapearso1933.pdf (data dostępu: 23.12.2016). Page E.S. [1954], Cotiuous Ispectio Scheme, Biometrika, vol. 41(1/2). PN-ISO 7966: 2001. Karty akceptacji procesu, Polski Komitet Normalizacyjy, Warszawa. PN-P-84004:2003. Tekstylia Dziaiy i wyroby dziae Wartości wskaźika zmiay wymiarów po praiu, Polski Komitet Normalizacyjy, Warszawa. Wald A. [1945], Sequetial Tests of Statistical Hypotheses, Aals of Mathematical Statistics, vol. 16(2). Acceptace Cumulative Sum Cotrol Charts: Overview of Basic Tools (Abstract) The mai goal of this article was to review ad aalyse basic cumulative sum cotrol charts, which ca be used to accept or disqualify a aalysed productio process. I the
Karty kotrole sum skumulowaych 105 literature, there are two kids of acceptace cotrol charts: Shewhart Cotrol Charts ad Cumulative Sum Cotrol Charts (CUSUM Charts). Both ca be used by quality maagers or fiacial maagers i moitorig or auditig processes. The article presets oly selected process cotrol procedures. The coclusio of the article provides examples of the applicatios of the solutios described. Keywords: statistical quality cotrol, statistical process cotrol, acceptace cotrol charts, cumulative sum cotrol charts.