ZASTOSOWANIE ESTYMACJI JĄDROWEJ DO MONITOROWANIA PROCESU O NIEZNANYM ROZKŁADZIE

Transkrypt

1 Magdalea Chmielińska Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach ZASTOSOWANIE ESTYMACJI JĄDROWEJ DO MONITOROWANIA PROCESU O NIEZNANYM ROZKŁADZIE Wprowadzeie Karta kotrola jest prostym i efektywym arzędziem statystyczej kotroli jakości. Pozwala oa dokoać ocey poprawości procesu, ale pod warukiem spełieia podstawowych jej założeń. W przypadku aruszeia założeń klasycze karty kotrole mogą dawać fałszywe sygały, dla procesu uregulowaego, bądź ie zasygalizować lub zasygalizować z pewym opóźieiem fakt rozregulowaia procesu. W opracowaiu przedstawioo metodę wyzaczaia liii kotrolych a podstawie oszacowaej w drodze estymacji jądrowej gęstości zmieej losowej. Metoda ta jako metoda ieparametrycza ie wymaga spełieia założeń odośie do rozkładu badaej charakterystyki, więc może być stosowaa dla daych o dowolym, iezaym rozkładzie. 1. Karta kotrola Karta kotrola jest istrumetem umożliwiającym statystycze moitorowaie procesu wytwórczego. Dostarcza oa iformacji o jego przebiegu, jak rówież przyczyia się do podoszeia jakości produkcji. Jej cechami charakterystyczymi są prostota kostrukcji i skuteczość. Klasycze karty kotrole opierają się a założeiu, iż zmiea diagostycza obserwowaa podczas moitorowaia procesu ma rozkład ormaly z wartością oczekiwaą μ i odchyleiem stadardowym σ (Kończak, 2007). Zakładają oe rówież, iż pomiary w kolejych okresach czasowych są iezależe. Karta kotrola jest wykresem służącym do rejestracji wyików bieżącej

2 40 Magdalea Chmielińska kotroli jakości produktów. Wykreśla się a iej liię cetralą wyzaczającą wartość oczekiwaą moitorowaej charakterystyki, liie kotrole (górą i dolą) oraz liie ostrzegawcze (górą i dolą). Liie kotrole są ustawioe a takim poziomie, aby prawdopodobieństwo pojawieia się wartości poiżej dolej lub powyżej górej liii kotrolej, przy procesie uregulowaym statystyczie, było odpowiedio małe. Klasyczie, przy założeiu ormalości rozkładu badaej cechy, liie te są oddaloe od liii cetralej o trzy odchyleia stadardowe moitorowaego procesu wytwórczego. Liie ostrzegawcze są umieszczae z reguły a poziomie liii cetralej plus lub mius 2σ (Grat, 1972). Ze względu a aruszeie założeia o ormalości rozkładu badaej charakterystyki coraz częściej wyzacza się położeie liii kotrolych a podstawie wartości odpowiedich kwatyli zaych rozkładów teoretyczych, które mogą być wykorzystywae do modelowaia daych rzeczywistych. Układ puktów a karcie kotrolej w relacji do poziomu liii kotrolych i ostrzegawczych staowi podstawę do wioskowaia o poprawości przebiegu badaego procesu produkcyjego. W literaturze jest rozważaych wiele sygałów świadczących o rozregulowaiu procesu, atomiast w opracowaiu jako sygał rozregulowaia procesu uzaje się tylko pukt poad górą bądź pod dolą liią kotrolą. Karty kotrole są charakteryzowae przez ARL (przecięta długość serii do wystąpieia sygału). Dla procesu uregulowaego statystyczie ozacza się ją jako ARL 0, a dla procesu rozregulowaego jako ARL 1. ARL 0 powia przyjmować wysokie wartości. Staowi oa odwrotość prawdopodobieństwa wystąpieia błędu I. rodzaju, tz. odwrotość prawdopodobieństwa wystąpieia sygału (p s ) dla pojedyczej obserwacji (próby): ARL 1 1 = (1) α 0 = Przecięta długość serii do wystąpieia sygału dla procesu rozregulowaego statystyczie wyraża się wzorem: 1 ARL 1 = (2) 1 β gdzie: β prawdopodobieństwo iewykrycia rozregulowaia w pierwszej próbce po wystąpieiu rozregulowaia. p s

3 Zastosowaie estymacji jądrowej do moitorowaia Estymacja jądrowa Estymacja jądrowa jest metodą szacowaia fukcji gęstości, która wymaga zdefiiowaia. Niech f(x) będzie gęstością rozkładu zmieej X w populacji, taką, że: f ( x) 2 dx < oraz iech X 1, K, X będzie próbą prostą wylosowaą z tej populacji. Estymatorem jądrowym gęstości f(x) azywamy fukcję w postaci: ) D f ( x a ) = K[ a ( x X )] i= 1 (3) a ; i, (4) gdzie ( a to ciąg liczb dodatich rozbieżych do ieskończoości i taki, że ( ) a a = 0, tz. lim = 0, oraz K(x) fukcja spełiająca waruki: K ( x) 2 dx <, (5) ( x) = K( x) dla x ( ; ) K, (6) ( x) dx = 1 K, (7) < x< ( x) A < sup K, (8) ( x) dx = 0 dla i = 1,, s 1 x i K K, (9) ( x) dx 0 x s K, (10) ( x) dx < x s K, (11) gdzie s jest ustaloą liczbą aturalą (Domański, Pruska, 2000). Estymator jądrowy gęstości zależy od wyboru postaci jądra i od wyboru ciągu a.

4 42 Magdalea Chmielińska 3. Opis daych Prezetowae w artykule rozważaia prowadzoo z wykorzystaiem udostępioych daych gromadzoych przez pewie zakład produkcyjy reprezetujący brażę motoryzacyją prowadzący swą działalość a tereie województwa śląskiego. Aalizowae dae pochodzą z kotroli międzyoperacyjej pewej charakterystyki produkowaego tam elemetu. Udostępioe dae charakteryzują się tygodiowym horyzotem czasowym. Obejmują oe iformacje o prowadzoych kotrolach w okresie od do Łączie staowi to rekordów. W omawiaym okresie ie stwierdzoo rozregulowaia procesu produkcyjego, gdyż wszystkie uzyskae podczas przeprowadzoej kotroli wartości mieściły się w wyzaczoych dla tej badaej charakterystyki ormach. Aalizowae dae moża więc traktować jako dae pochodzące z procesu o prawidłowym przebiegu. Z tego względu dae te mogą posłużyć do wyzaczeia graic kotrolych badaej charakterystyki. 4. Aaliza poprawości procesu produkcyjego Aalizę procesu produkcyjego ależy rozpocząć od sprawdzeia (ajczęściej a podstawie daych historyczych) założeń karty kotrolej. W omawiaym przypadku zgodość rozkładu empiryczego daych z rozkładem ormalym została zweryfikowaa za pomocą testu Kołmogorowa-Smirowa z poprawką Lillieforsa oraz testu Shapiro-Wilka. Na ich podstawie ależy odrzucić weryfikowaą hipotezę o ormalości rozkładu badaej cechy. Rys. 1. Klasycza karta kotrola wykreśloa dla aalizowaych daych

5 Zastosowaie estymacji jądrowej do moitorowaia 43 Ze względu a brak ormalości rozkładu badaej cechy klasycze karty kotrole, wymagające zgodości empiryczego rozkładu daych z rozkładem ormalym, mogą prowadzić do błędej ocey poprawości przebiegu procesu produkcyjego. Rysuek 1 przedstawia klasyczą kartę kotrolą wykreśloą dla aalizowaych daych (położeie liii cetralej i kotrolych ustaloo a podstawie wartości średiej i odchyleia stadardowego wyliczoych dla dostępych daych). Układ puktów a tej karcie wskazuje, iż proces ie przebiega w sposób prawidłowy, gdyż 138 spośród zarejestrowaych pomiarów osiąga wartości przekraczające wartość górej liii kotrolej. Prawdopodobieństwo sygału wyosi więc p s = 0,0128, a ARL 0 = 79. Dla porówaia ależy tutaj podać, iż dla klasyczej karty kotrolej, przy spełieiu jej założeń, wyosi ARL 0 = 370. Ozacza to, iż ze względu a brak ormalości rozkładu badaej cechy klasycze karty kotrole, wymagające zgodości rozkładu daych z rozkładem ormalym, mogą prowadzić do błędej ocey poprawości przebiegu procesu produkcyjego Nieklasycze metody wyzaczaia graic kotrolych Ze względu a iebezpieczeństwo błędej ocey prawidłowości przebiegu procesu produkcyjego dla daych o rozkładzie empiryczym istotie różym od rozkładu ormalego graice kotrole a karcie powiy zostać wyzaczoe w iy sposób. W opracowaiu rozważao dwa możliwe ieklasyczie sposoby wyzaczaia liii kotrolych. Pierwszy bazuje a kwatylach teoretyczego rozkładu zbliżoego kształtem do rozkładu empiryczego. Drugi opiera się atomiast a kwatylach oszacowaej w drodze estymacji jądrowej fukcji gęstości daych empiryczych. W przypadku aalizowaej cechy jest możliwe zastosowaie wielu zaych, teoretyczych rozkładów aproksymujących empiryczy rozkład daych. Jako przykład został wybray rozkład gamma. Rozkład o parametrach α = 15,201, β = 0,861 ajlepiej spośród rozkładów z rodziy gamma przybliża rozkład moitorowaej charakterystyki. Przeprowadzoy test zgodości Kołogomorowa- Lillieforsa odrzuca jedak hipotezę o zgodości obu rozkładów. Karta kotrola oparta a kwatylach rozkładu gamma o zadaych parametrach, prezetowaa a rysuku 2, została wykreśloa w celu zobrazowaia kosekwecji braku zgodości obu rozkładów. Jej aaliza skłaia do wiosku, iż przybliżeie rozkładu empiryczego badaej charakterystyki rozkładem gamma i wioskowaie o prawidłowości przebiegu tego procesu a podstawie tego teoretyczego rozkładu, prowadzi rówież do błędej ocey procesu wytwórczego.

6 44 Magdalea Chmielińska Karta ta wskazuje, iż aalizoway proces jest rozreguloway statystyczie, o czym wskazują licze (173) przekroczeia liii kotrolych. Rys. 2. Karta kotrola wykreśloa dla aalizowaych daych, gdzie liie kotrole wyzaczao a podstawie kwatyli fukcji gęstości rozkładu gamma Ze względu a ieuzasadioe wioskowaie o prawidłowości przebiegu procesu produkcyjego a podstawie zaych rozkładów teoretyczych (rozkład ormaly, gamma) uzasadioe jest stosowaie kart ieparametryczych czy kart ieograiczoych postacią rozkładu (distributio free charts) (Chakraborti, va der Laa, va de Wiel, 2004, s ). Propoowaa metoda ie musi zakładać żadego szczególego rozkładu. Opiera się oa a oszacowaiu iezaej fukcji gęstości empiryczego rozkładu daych metodą estymacji jądrowej (Wegma, 1972, s ). Rysuek 3 przedstawia kartę kotrolą, gdzie graice kotrole wyzaczoo a podstawie wartości odpowiedich kwatyli oszacowaej metodą estymacji jądrowej zmieej losowej. Na jej podstawie moża wysuć wiosek, iż propoowaa metoda dobrze sprawdza się przy wyzaczaiu graic kotrolych dla daych o iym iż ormaly rozkładzie prawdopodobieństwa, gdyż ustala je a takim poziomie, iż prawdopodobieństwo uzyskaia sygału o rozregulowaiu w przypadku procesu uregulowaego statystyczie jest rzędu p s = 0,001 (dokłada wartość to p s = 0,00087). ARL 0 wyosi więc ARL 0 = 577.

7 Zastosowaie estymacji jądrowej do moitorowaia 45 Rys. 3. Karta kotrola wykreśloa dla aalizowaych daych, gdzie liie kotrole wyzaczao a podstawie kwatyli fukcji gęstości rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej Tabela 1 przedstawia podstawowe iformacje o aalizowaych metodach wykorzystaych do moitorowaia procesu produkcyjego a podstawie dostępych daych. Propoowaa metoda oparta a kwatylach fukcji gęstości rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej cechuje się ajdłuższą spośród aalizowaych metod przeciętą długością serii do wystąpieia sygału. Największa wartość ARL 0 i ajmiejsza liczba przekroczeń graic kotrolych wyika bezpośredio z położeia liii kotrolych. Należy zauważyć, iż w tym przypadku rozstęp pomiędzy graicami kotrolymi jest ajwiększy. Wartości graic kotrolych i liczba ich przekroczeń dla aalizowaych daych w zależości od zastosowaej metody wyzaczaia poziomu liii kotrolych Metoda wyzaczaia graic kotrolych Klasycza karta x Karta oparta a kwatylach rozkładu gamma Tabela 1 Karta oparta a kwatylach fukcji gęstości rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej Liczba przekroczeń graic kotrolych ARL 0 79,49 63,40 577,32 LCL 2,64 5,81 4,9 UCL 23,53 23,4 30,77 Należy poadto podkreślić, iż poziom, a jakim są ustaloe liie kotrole, wyika z przyjętego rozkładu staowiącego podstawę karty kotrolej. I tutaj ogrome zaczeie ma dobre dopasowaie oszacowaej fukcji gęstości zmieej losowej do empiryczego rozkładu daych, otrzymae metodą estymacji jądrowej.

8 46 Magdalea Chmielińska 4.2. Weryfikacja poprawości propoowaej metody wyzaczaia graic kotrolych a podstawie kwatyli rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej zmieej losowej W celu weryfikacji poprawości propoowaej metody wyzaczaia liii kotrolych a podstawie kwatyli fukcji gęstości rozkładu empiryczego oszacowaej w drodze estymacji jądrowej przeprowadzoo symulacje komputerowe. Procedura symulacyja obejmująca dwa wariaty przebiegała etapowo. Wariat pierwszy zakładał proces przebiegający prawidłowo. W pierwszym kroku z udostępioych daych losowao -elemetową próbkę, a podstawie której wyzaczao poziomy liii kotrolych. Rozważao omówioe trzy metody wyzaczaia graic kotrolych, tz. metodę klasyczą i metody oparte a wartościach kwatyli rozkładu gamma o zadaych parametrach i rozkładu uzyskaego w wyiku estymacji jądrowej. Następie wykreślao karty kotrole z zadaymi graicami kotrolymi i dla dostępych daych rzeczywistych zliczao liczbę przekroczeń liii kotrolych, prawdopodobieństwo sygału oraz ARL 0. Procedurę powtarzao krotie, uśrediając wyiki. Liie kotrole wyzaczao dla próbek liczących 100, 500, 1000, 2000, 4000 i 5000 elemetów. W wariacie drugim, zakładającym rozregulowaie procesu, podobie jak w wariacie pierwszym, posłużoo się -elemetowymi próbkami do wyzaczaia poziomu liii kotrolych zgodie z algorytmami aalizowaych metod. Następie geerowao N = wartości z rozkładu ormalego o parametrach μ = 11 i σ = 2,9. Wartości te aoszoo a przygotowae karty kotrole, astępie zliczao liczbę przekroczeń liii kotrolych, obliczao prawdopodobieństwo wystąpieia sygału i ARL 1. Procedurę powtarzao krotie, uśrediając wyiki. ARL 0 dla aalizowaych daych w zależości od zastosowaej metody wyzaczaia poziomu liii kotrolych i liczebości próbki wstępej (proces ureguloway) Liczebość próbki Klasycza karta x Karta oparta a kwatylach rozkładu gamma ,49 63,40 577, ,54 24,52 45, ,86 53,01 181, ,68 62,41 260, ,31 70,66 350, ,45 78,48 422, ,47 81,58 438,41 Tabela 2 Karta oparta a kwatylach fukcji gęstości rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej Tabela 2 przedstawia przeciętą długość serii do wystąpieia sygału dla aalizowaych daych w zależości od sposobu wyzaczaia liii kotrolych i liczebości próbki wstępej. Na jej podstawie moża wysuć wiosek, iż ie-

9 Zastosowaie estymacji jądrowej do moitorowaia 47 zależie od zastosowaej metody, wraz ze wzrostem liczebości próbki wstępej ARL 0 rośie. Przy założeiu prawidłowego przebiegu procesu produkcyjego ozacza to, iż wraz ze wzrostem liczebości próbki wzrasta dokładość aalizowaych metod wyzaczaia liii kotrolych. ARL 1 dla aalizowaych daych w zależości od zastosowaej metody wyzaczaia poziomu liii kotrolych i liczebości próbki wstępej (proces rozreguloway) Liczebość próbki Klasycza karta x Karta oparta a kwatylach rozkładu gamma ,77 12,53 18, ,58 22,74 36, ,56 25,57 41, ,34 28,27 46, ,23 30,14 50, ,00 30,40 50,70 Tabela 3 Karta oparta a kwatylach fukcji gęstości rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej Na podstawie tabeli 2 moża rówież wysuć wiosek, iż próbka wstępa licząca 2000 elemetów zapewia ARL 0 dla propoowaej metody a poziomie 350, co jest wyikiem porówywalym z ARL 0 dla klasyczej karty kotrolej przy spełieiu jej założeń. Poadto z tabeli tej wypływa wiosek, iż dalszy wzrost wielkości próbki wstępej powoduje coraz to miejszy przyrost ARL 0. Z tego względu moża uzać, iż w przypadku propoowaej metody próbka wstępa powia liczyć miimum 2000 elemetów. Tabela 3 przedstawia wartość ARL 1 dla daych pochodzących z rozkładu ormalego o parametrach μ = 11 i σ = 2,9 w zależości od sposobu wyzaczaia liii kotrolych i liczebości próbki wstępej. Jej aaliza skłaia do wiosku, iż klasycza karta kotrola, w której położeie liii cetralej, kotrolych i ostrzegawczych determiuje wartość średia i odchyleie stadardowe uzyskae z próbki wstępej (w przypadku aalizowaych daych kształtują się oe a poziomie x =13, 09 is = 3, 48 ), iezależie od wielkości próbki wstępej, jest ieczuła a wprowadzoe zaburzeie procesu (duże wartości ARL 1 ). Pozostałe dwie metody zareagowały prawidłowo a to rozregulowaie, przy czym przecięta długość serii do wystąpieia sygału dla karty opartej a kwatylach rozkładu gamma jest iższa, iezależie od wielkości próbki wstępej, iż dla karty opartej a kwatylach fukcji gęstości rozkładu oszacowaej metodą estymacji jądrowej. Niskie wartości ARL 1 w przypadku procesu rozregulowaego statystycze świadczą o wrażliwości karty kotrolej a rozregulowaie procesu i tym samym o jej skuteczości.

10 48 Magdalea Chmielińska Podsumowaie Prezetowae w artykule rozważaia a temat moitorowaia procesów produkcyjych cechujących się iym iż ormaly rozkładem badaej charakterystyki skłaiają do wiosku, iż stosowaie klasyczego podejścia opartego a często aruszaym założeiu o ormalości rozkładu badaej charakterystyki prowadzi do błędej ocey poprawości moitorowaego procesu. Dla daych o rozkładzie empiryczym istotie różym od zaych teoretyczych rozkładów istieje jedak metoda wyzaczaia graic kotrolych, która zapewia, iż sygały świadczące o rozregulowaiu procesu w przypadku procesu uregulowaego statystyczie pojawiają się a karcie kotrolej z założoym iskim prawdopodobieństwem. Metoda ta opiera się a wartościach odpowiedich kwatyli wyzaczoej w drodze estymacji jądrowej fukcji gęstości rozkładu empiryczego. Propooway sposób moitorowaia poprawości przebiegu procesu produkcyjego o iezaym rozkładzie badaej charakterystyki posiada pożądae cechy dobrych kart kotrolych. Propoowaa karta szybko reaguje a wzrost wadliwości procesu produkcyjego, jak rówież ie sygalizuje zbyt często jego rozregulowaia dla procesu przebiegającego prawidłowo. Literatura Chakraborti S., Laa P. va der, Wiel M.A. va de (2004): A Class of Distributio-free Cotrol Charts. Joural of the Royal Statistical Society, No. 3, Vol. 53, s Domański Cz., Pruska K. (2000): Nieklasycze metody statystycze. PWE, Warszawa. Grat E.L. (1972): Statystycza kotrola jakości. PWE, Warszawa. Kończak G. (2007): Metody statystycze w sterowaiu jakością produkcji. Wydawictwo Akademii Ekoomiczej, Katowice. Wegma E.J. (1972): Noparametric Probability Desity Estimatio: I. A Summary of Available Methods. Techometrics, No. 3, Vol. 14, s THE USE OF THE KERNEL ESTIMATION FOR MONITORING PROCESSES WITH UNKNOWN DISTRIBUTIONS Summary The cotrol chart is a tool of statistical quality cotrol, which is widely used i factories. The fulfillmet of its basic assumptios esures faultless assessig the moitored process. Ifrigemets the assumptios of classical cotrol charts ca cause false sigals

11 Zastosowaie estymacji jądrowej do moitorowaia 49 i the case of a regulated process, either lack of sigal or the sigal delayed i time, whe process is out-of-cotrol. Icorrect assessmet of the accuracy of the maufacturig process is of course the ecoomic impact. I this paper, based o actual data a attempt to determie cotrol limits for the maufacturig process of the distributio of the cotrolled characteristics, which is sigificatly differet from a ormal distributio, was take. The result of this work is the method of determiig the cotrol limits based o the quatile of a radom variable estimated by the kerel estimatio. The article pays attetio to the ecoomic cosequeces of ifrigemets the assumptios of classical cotrol charts.