Temat wykładu: Asymptoty unkcji. Pochodna. Zastosowania pochodnej Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1
1. Asymptoty unkcji Zagadnienia 2. Pochodna 3. Monotoniczność unkcji 2
Asymptoty unkcji 3
Asymptota pionowa - idea równanie prostej x = 2 1 2 3 4
Asymptota pionowa x = 2 1 2 3 5
Asymptota pionowa x = 2 x 2 ( x) = + 1 2 3 6
Asymptota pionowa Rys. 1 Rys. 2 x 2 ( x) = + x = 2 x 2 ( x) = x = 2 2 2 7
Prosta o równaniu x = 2 jest asymptotą pionową lewostronną unkcji y = (x) Rys. 1 Rys. 2 x 2 ( x) = + x = 2 x 2 ( x) = x = 2 2 2 8
Prosta o równaniu x = 2 jest asymptotą pionową prawostronną unkcji y = (x) Rys. 3 Rys. 4 x 2 + ( x) = + x = 2 x 2 + ( x) = x = 2 2 2 9
Prosta o równaniu x = 2 jest asymptotą pionową obustronną unkcji y = (x) ( x) ± oraz ( x) = ± = + x 2 x 2 x = 2 x = 2 2 2 10
Deinicje asymptot pionowych De. 1. Prosta o równaniu x=a jest asymptotą pionową lewostronną unkcji y = (x), gdy x a ( x ) = ± De. 2. Prosta o równaniu x=a jest asymptotą pionową prawostronną unkcji y = (x), gdy x a + ( x) = ± De. 3. Prosta o równaniu x=a jest asymptotą pionową obustronną unkcji y = (x), gdy x a ( x ) ± i ( x ) = ± = + x a 11
Asymptota pozioma równanie prostej y = 1 1 12
Asymptota pozioma y = 1 1 13
Asymptota pozioma ( x) 1 = x y = 1 1 14
Asymptota pozioma Rys. 5 Rys. 6 x ( x) = 1 x ( x) = 1 y = 1 1 y = 1 1 15
Prosta o równaniu y = 1 jest asymptotą poziomą lewostronną unkcji y = (x) Rys. 5 Rys. 6 x ( x) = 1 x ( x) = 1 y = 1 1 y = 1 1 16
Prosta o równaniu y = 1 jest asymptotą poziomą prawostronną unkcji y = (x) Rys. 7 Rys. 8 x + ( x) = 1 x + ( x) = 1 1 y = 1 1 17
Prosta o równaniu y = 1 jest asymptotą poziomą obustronną unkcji y = (x) ( x ) 1 = x ± y = 1 1 y = 1 1 18
Deinicje asymptot poziomych De. 1. Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą prawostronną unkcji y = (x), gdy x + ( x ) = b De. 2. Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą lewostronną unkcji y = (x), gdy x ( x ) = b De. 3. Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą obustronną unkcji y = (x), gdy x ( x ) = b i ( x ) = b x + 19
* Pochodna unkcji - idea 20
* Pochodna unkcji - idea Niech : D R, x, y = (x), Rozpatrujemy: 0 D ciąg argumentów x x n 0 ciąg wartości ( x ) n ciąg ilorazów róŝnicowych granicę tego ciągu... ( x ) ( x ) x n n x 0 0 21
* Pochodna unkcji deinicja Niech : D R, x0 D, (x n ) taki ciąg, Ŝe + x n D dla kaŝdego n N oraz x n = x0. n JeŜeli istnieje skończona granica ciągu ilorazów róŝnicowych x n ( x ) ( x ) niezaleŝna od wyboru ciągu (x n ), to nazywamy ją pochodną unkcji w punkcie x 0 i piszemy ( x 0 ) = x n x 22 x ( x 0 n ) n x 0 x x n n 0 ( x 0 x ) 0 0
Uwaga 1 Z tej deinicji oraz twierdzeń opisujących własności pochodnej wyprowadza się wzory na pochodne unkcji elementarnych podane dalej. 23
Uwaga 2 Pochodna unkcji jest równieŝ pewną unkcją. NiŜej podano przykłady zapisu pochodnej. wzór unkcji wzór pochodnej ( x ) =x 2 + 1 ( x ) = 2x g ( x ) = e x g ( x ) = e x h ( x ) = 5 h x ( ) = 0 24
Pochodna unkcji - terminologia bliczanie pochodnej unkcji nazywa się róŝniczkowaniem unkcji. 25
Wzory na pochodne unkcji Funkcja stała: ( x ) = c Pochodna unkcji stałej: x ( ) = 0 Konwencja zapisu: Pochodna unkcji stałej ( ) 0 = c (1) 26
Wzory na pochodne unkcji cd. Pochodna unkcji potęgowej α - stała, α ( α ) = α x α 1 x (2) R Pochodna unkcji wykładniczej a stała, a > 0 ( ) a x = a x lna Pochodna unkcji logarytmicznej ( log x ) a - stała, a > 0, a 1 a = 1 lna (3) 27 x (4)
Reguły róŝniczkowania a [ ( x )] = a ( x ), a stała, a R (5) = ± [ ( x ) g( x )] ( x ) g ( x ) ± (6) [ ( ) ( )] x gx = ( x) g( x) + ( x) g ( x) (7) g ( x ) ( x ) = ( x ) g( x ) ( x ) g ( x ) g { [ ( x )]} g ( ) 2 ( x ) g = [ x ] ( x ) (8) (9) 28
Terminologia uwaga : ( a ; b ) R Dziedzina D = (a ; b ), zbiór wartości W R Mówimy: unkcja określona na przedziale (a ; b ) o wartościach rzeczywistych JeŜeli :( a; b) R i w kaŝdym punkcie x ( a; b ) istnieje pochodna unkcji ' (x), to mówimy: unkcja jest róŝniczkowalna (gładka) na przedziale (a ; b). 29
Badanie monotoniczności 30
Diagram 1 a b 31
Diagram 1 cd. + znak pochodnej ' a b monotoniczność unkcji 32
Diagram 2 - znak pochodnej ' a b monotoniczność unkcji 33
Diagram 3 0 znak pochodnej ' a b unkcja stała monotoniczność unkcji 34
Dana jest unkcja Twierdzenie 1 : ( a; b) R róŝniczkowalna na przedziale (a ; b). Jeśli x Jeśli x ( a; b) ( x) > 0, to na( a; b) ( a; b) ( x) < 0, to na( a; b) Jeśli x ( a; b) ( x) = 0, to stalana( a; b) 35
Przykład Zadanie. Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności unkcji x ( x ) = e x dpowiedzi D=R ( ) ( x dla x ; 1 ( x) dla x 1; + ) 36