Spis treści Elementy logiki Elementy teorii mnogości 5 Liczby zespolone 4 Macierze i wyznaczniki 6 5 Elementy teorii grup 6 Zbiór liczb rzeczywistych 7 7 Ciągi liczbowe 5 8 Szeregi liczbowe 8 9 Elementy teorii przestrzeni metrycznych 4 0 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 45 Funkcje wielu zmiennych 54 Całki nieoznaczone 6 Całki oznaczone 68 4 Szeregi funkcyjne 7 5 Szeregi Fouriera 75 6 Całki wielokrotne 77 7 Równania różniczkowe zwyczajne 80 Elementy logiki Zadanie.. Niech p, q, r będą zmiennymi zdaniowymi takimi, że: p: Pada deszcz. q: Świeci słońce. r: Na niebie są chmury. A. Zapisz schematy zdań: a) Pada deszcz i świeci słońce. b) Jeśli pada deszcz, to na niebie są chmury. c) Świeci słońce lub na niebie są chmury wtedy i tylko wtedy, gdy nie pada deszcz. B. Odczytaj schematy zdań: a) p q) r b) p r) q c) q p r)
Zadanie.. Sprawdź metodą zero-jedynkową, czy formuły są tautologiami rachunku zdań: a) [p p q)] q b) [p r) q r)] [p q) r] c) [p q) q r)] p r) d) { [p q) r] q} [ p r q)] Zadanie.. Uprość formuły korzystając z praw rachunku zdań: a) [ p q) p q)] p b) p [q p q)] c) p [q p r)] d) p [q q p)] Zadanie.4. Pokaż, że formuły A i B są równoważne tzn. A B, jeżeli: a) A = p q) r, B = p r) q b) A = p r) q r), B = p r) q c) A = p p q), B = p d) A = p q) p r), B = p q r) Zadanie.5. Sprawdź, czy prawdziwe są zdania: a) Jeżeli nie jest prawdą, że albo prosta l jest równoległa do prostej m albo prosta p nie jest równoległa do prostej m, to albo prosta l nie jest równoległa do prostej m, albo prosta p jest równoległa do prostej m. b) Jeżeli Iksiński nie zna rachunku zdań, to, jeżeli Iksiński zna rachunek zdań, to Iksiński żyje na Marsie. [ 5 0,5 c) [ + = 5) 7 4)] ) ] + 5 = 0, 00) d) 0 ) {[ x + x 4x 0 dla x ; 4 0; ] [ x + x 5x 4 ) x ) = x + ]} Zadanie.6. Zbuduj prawdziwą implikację ze zdań: t: Liczba naturalna n jest podzielna przez. r: Liczba naturalna n jest podzielna przez 4. Określ, które ze zdań jest warunkiem koniecznym, które wystarczającym. Zadanie.7. Odczytaj zdania: a) l,l,l π {[l l ) l l )] l l )} b) l,l,l π {[l l ) l l )] l l )} c) x R ɛ>0 δ>0 y R x y < δ f x) f y) < ɛ) d) n N+ a n < 0 Zadanie.8. Zapisz przy pomocy kwantyfikatorów zdania:
a) Twierdzenie Lagrange a: Każda liczba naturalna jest sumą kwadratów czterech liczb naturalnych. b) Między dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi znajduje się trzecia liczba rzeczywista. c) Suma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych jest nieujemna. d) Warunek Lipschitza: Istnieje liczba L > 0 taka, że dla każdych liczb x, x należących do przedziału I spełniona jest nierówność f x ) f x ) L x x. Zadanie.9. Sprawdź, czy prawdziwe są zdania: a) t R t + t = 0 ) b) n N n n 0 = 0 ) c) α tgα ctgα = ) d) α sin α + cos α = ) e) n N [n + 7 5) n < 4 n)] f) n N [ n 5 > ) n 4 + n < n 4 + 8 )] g) x R y R y = x ) h) y R x R x = y ) Zadanie.0. Znajdź zaprzeczenia formuł: a) x [f x) y g y)] b) x [f x) g x)] x [h x) k x)]
Wskazówki i odpowiedzi Odp.. A. a) p q b) p r c) q r p B. a) Jeśli pada deszcz i świeci słońce, to na niebie są chmury. B. b) Jeśli z tego, że pada deszcz wynika, że na niebie są chmury, to świeci słońce. B. c) Słońce nie świeci wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz lub na niebie są chmury. Odp.. a,d) Formuła nie jest tautologią rachunku zdań. b,c) Formuła jest tautologią rachunku zdań. Odp.. Podane formuły można uprościć do postaci: a) p b) p c) p q d) q p Odp.4. Sposoby postępowania: Należy przekształcić za pomocą praw rachunku zdań jedną formułę do postaci drugiej formuły albo pokazać, że dla każdego wartościowania p, q, r obydwie formuły przyjmują te same wartości logiczne. Odp.5. a, b, d) zdania prawdziwe, natomiast c) fałszywe. Odp.6. Implikacja: r t, gdzie zdanie r jest warunkiem wystarczającym dla zdania t, a zdanie t warunkiem koniecznym dla zdania r. Odp.7. a) Dla dowolnych trzech prostych na płaszczyźnie, jeśli pierwsza jest równoległa do trzeciej i druga jest równoległa do trzeciej, to pierwsza jest równoległa do drugiej. b) Dla dowolnych trzech prostych na płaszczyżnie, jeśli pierwsza jest prostopadła do drugiej i druga jest prostopadła do trzeciej, to pierwsza jest równoległa do trzeciej. c) Dla dowolnej liczby rzeczywistej xi dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej ɛ istnieje dodatnia liczba rzeczywista δ, że dla każdej liczby rzeczywistej y zachodzi warunek, że jeśli x y < δ, to f x) f y) < ɛ. d) Wszystkie wyrazy ciągu liczbowego są ujemne. Odp.8. a) n N a,b,c,d N n = a + b + c + d ) b) x R y R z R x < y x < z < y) c) a,b R a + b 0 ) d) L>0 x,x I f x ) f x ) L x x ) Odp.9. d, e) zdania prawdziwe, natomiast a, b, c, f, g, h) fałaszywe. Odp.0. a) x [f x) y g y)] b) x [f x) g x)] x [ h x) k x)] 4
Elementy teorii mnogości Zadanie.. Naszkicuj na osi liczbowej lub w układzie współrzędnych zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, A B, jeżeli: a) A = { x R : x > 4 }, B = {x R : x < } b) A = {x R : x < 4}, B = {x R : x 4} c) A = {x R : x > }, B = {x R : x } d) A = { x, y) R : y = x }, B = { x, y) R : x + y < 4 } e) A = { x, y) R : y x 0 }, B = { x, y) R : x + y < } f) A = { x, y) R : y = x + }, B = { x, y) R : y x + } Zadanie.. Korzystając z definicji działań na zbiorach wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) A B) \ C = A \ C) B \ C) b) A \ B \ C) = A \ B) A C) c) A \ B) \ C = A \ B C) d) [A B) \ C] A C) = A B \ C) Zadanie.. Udowodnij za pomocą praw rachunku zbiorów, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) A B = B A b) A B C) = A B) A C) c) A \ A B) = A B d) A B) A B) = A B Zadanie.4. Sprawdź, czy prawdą jest, że: a) A B = B A B b) A \ B) C \ D) A C) \ B D) c) A B A B \ A) = B d) A B C D A C) B D) Zadanie.5. Znajdź zbiór PA), gdzie: a) A = b) A = {4} c) A = {, } d) A = {a, b, c} Zadanie.6. Znajdź n= A n oraz n= A n, jeżeli: a) A n = {x R : x < n} b) A n = { } x R : 0 x n c) A n = { x R : + n < x + } n d) A n = { x R : n x 4 n} 5
Zadanie.7. Znajdź t R A t oraz t R A t, jeżeli: a) A t = { x R : x t } b) A t = { x R : x > t } c) A t = { x, y) R : x + y t } d) A t = { x, y) R : x + t = y } Zadanie.8. Podaj interpretację graficzną A B oraz B A, jeżeli: a) A = {, 4, 5}, B = {, } b) A = {a Z : a 5}, B = {b R : < b } c) A = {a R : < a 7}, B = {b R : 0 b < 5} d) A = {a R : 0 < a < < a }, B = {b R : < b < b 4} e) A = {a R : 4 a < < a 4}, B = {b Z : 4 < b } f) A = {a R : < a < 0 0 < a < }, B = {b Z : b } Zadanie.9. Korzystając z definicji iloczynu kartezjańskiego zbiorów wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: a) A B C) = A B) A C) b) A B \ C) = A B) \ A C) c) A B) C D) = A C) B D) d) A \ B) C = A C) \ B C) Zadanie.0. Znajdź D l R) oraz D p R): a) R = {, ),, 4),, ),, 4),, 5)} b) R = {, ), 0, ),, )} c) X = {, 0, }, Y = {,, 0,, }, xry x < y d) X = Y = N, xry x < y e) X = {4, 5}, Y = N, xry x y f) X = N, Y = {, 8}, xry x y g) X = Y = R, xry y = x + h) X = Y = R, xry y = x 5 Zadanie.. Niech X = {a, b, c, d}. Sprawdź, jakie z własności: zwrotności, symetryczności, antysymetryczności, przechodniości, spójności mają następujące relacje R i X X: a) R = {a, a), b, b), a, b)} b) R = {a, a), b, b), c, c), d, d), a, b), b, a)} c) R = {a, b), b, a), c, a), a, c), c, d), a, d)} 6
Zadanie.. Określ, które z następujących relacji są: zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, przechodnie, spójne. Jeśli któraś z relacji jest równoważnością, to wyznacz klasy abstrakcji. a) R R R, xry xy = 0 b) R R R, xry x + y = c) R R R, xry x = y d) R R R, xry x = y e) R R R, xry x y f) R Z Z, xry x y g) R Z Z, xry 5 x + y h) R N N, xry x = y = ) i) R X X, X = {,,, 4,..., 6}, xry 4 x y Zadanie.. Sprawdź, czy następujące relacje są funkcjami. Jeśli tak, określ dziedzinę, przeciwdziedzinę oraz zbiór wartości funkcji. a) R R R, xry x + y = 4 b) R Z N, xry x = y c) R R R, xry x = y d) R N N, xry x y e) R Z Z, xry x = f) R N N, xry 5 x + y g) R N N, xry x = y h) R R R, xry y = x + 4 Zadanie.4. Czy dla funkcji f istnieje funkcja odwrotna f? Uzasadnij odpowiedź. Jeśli tak, wyznacz ją. a) f : R R, f x) = 4x + 5 b) f : R 0, ), f x) = x c) f : R R, f x) = x + 4 d) f : R R, { x f x) = x, x, x = x, x < 0 e) f : R R, f x) = x, x 0, ) x, x f) f : R R, f x, y) = x + y, x + 6) g) f : R R 0, ), f x, y) = x, y ) h) f : R R, f x, y) = x, x + y) Zadanie.5. Dla danych funkcji f, g znajdź f g oraz g f: a) f x) = x + 5, dla x R g x) = x + x, dla x R b) f x, y) = xy + x, dla x, y R g x) = x, sin x), dla x R c) f x) = x + 4x 6, dla x R g x) = x x ), dla x R d) f x, y) = y, x + ), dla x, y R g x, y) = xy, x y ), dla x, y R 7
Zadanie.6. Dla danej funkcji f oraz zbiorów A, B znajdź f A) oraz f B) : a) f : R R, f x) = x 4x +, gdzie A =, 4, B =, 5) b) f : R \ {} R, f x) = x, gdzie A =, 0, B = {, } c) f : R R, f x) = x 4, gdzie A =,, B = 0, ) d) f : R + R, f x) = log x, gdzie A = 0, ), B = {, 8} e) f : R R, f x) = sin x +, gdzie A = π 6, ) 5π 4, B = {0} f) f : R R, f x) = x x +, gdzie A = R, B =, 0 Zadanie.7. Oblicz moc zbioru A, jeżeli: a) A = b) A = {n {,,..., 6} : n} c) A = { x R : x + x 4 = 0 } d) A = {x, y) Z N : x, y 4} e) A = B C, gdzie B = { x, y) R : y = x }, C = { x, y) R : y = x } f) A = P {,, }) Zadanie.8. Pokaż, że następujące zbiory A i B są równoliczne: a) A = { x R : x x + = 0 }, B = { } b) A = {x R : x + = 0}, B = {n {,,,..., 8} : 7 n} c) A = {0,, }, B = {, e, π } d) A = N, B = {n : n N} e) A = N, B = {n + : n N} f) A = N, B = N \ {0} g) A = N, B = N \ {8} h) A = N, B = N \ {, 5} i) A = N, B = N \ {4, 9, 5, } j) A = { x, y) R : x + y = }, B = { x, y) R : x + y = 4 } k) A = { x, y) R : y = x }, B = { x, y) R : y = x + } l) A = { x, y) R : x, y, }, B = { x, y) R : x, y, } Zadanie.9. Oblicz moc następujących zbiorów: a) P = {n : n N} b) Z c) Q d) dowolny odcinek a, b), gdzie a < b 8
Wskazówki i odpowiedzi Odp.. a) A B = ; ) ; + ) A B = ; ) A \ B = ; + ) B \ A = ; ) A B = ; ) ; + ) b) A B = 4; + ) A B = A\B = 4; 4) B\A = 4; + ) A B = 4; + ) c) A B = ; ) ; ; + ) A B = A \ B = ; ) ; + ) B \ A = ; A B = ; ) ; ; + ) d) A - półproste y = x oraz y = x o początku w P 0, 0) górne ramiona) B - koło K 0, 0) ; ) bez brzegu e) A - prawa półpłaszczyzna z krawędzią wyznaczona przez prostą y = x B - lewa półpłaszczyzna bez krawędzi wyznaczona przez prostą y = x + f) A - półproste y = x oraz y = x o początku w P, ) górne ramiona) B - dolna część płaszczyzny z brzegiem wyznaczona przez parabolę y = x + Odp.. Korzystając z definicji działań na zbiorach oraz praw rachunku zdań należy przekształcić jedną ze stron równości do postaci drugiej strony. Odp.. Należy doprowadzić jedną ze stron równości do postaci drugiej za pomocą praw rachunku zbiorów. Odp.4. a, c, d) są zdaniami prawdziwymi, natomiast b) jest fałszywe. Odp.5. a) PA) = { } b) PA) = {, {4}} c) PA) = {, {}, {}, {, }} d) PA) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} Odp.6. a) n= A n = R n= A n = ; ) n= A n = {0} b) n= A n = 0; c) n= A n = ; 4 n= A n = ; d) n= A n = R n= A n =, 4 Odp.7. a) t R A t = R t R A t = {} b) t R A t = R \ {} t R A t = c) t R A t = R t R A t = {0, 0)} d) t R A t = R t R A t = 9
Odp.8. Przed wykreśleniem iloczynu kartezjańskiego zbiorów w układzie współrzędnych zaleca się naszkicowanie na osiach liczbowych zbiorów A oraz B, co znacznie ułatwi zadanie. Odp.9. Korzystając z definicji iloczynu kartezjańskiego zbiorów, działań na zbiorach oraz praw rachunku zdań należy przekształcić jedną ze stron równości do postaci drugiej strony. Odp.0. a) D l R) = {,, } D p R) = {, 4, 5} b) D l R) = {, 0, } D p R) = {} c) D l R) = {, 0, } D p R) = {0,, } d) D l R) = N D p R) = N \ {0} e) D l R) = {4, 5} D p R) = {y : y = 4n y = 5n, n N} f) D l R) = {,,, 4, 6, 9,, 8} D p R) = {, 8} g) D l R) = R D p R) =, + h) D l R) = R D p R) =, 5 Odp.. a) R jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia; nie jest symetryczna, spójna. b) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. c) R nie jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Odp.. a) R jest symetryczna; nie jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Nie jest relacją równoważności. b) R jest symetryczna; nie jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Nie jest relacją równoważności. c) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji: [0] R = {0}, [a] R = { a, a} dla a R \ {0} d) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji: [0] R = {0}, [a] R = { a, a} dla a R \ {0} e) R jest zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, spójna, nie jest symetryczna. Nie jest relacją równoważności. f) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji: [0] R = {k : k Z}, [] R = {k + : k Z}, [] R = {k + : k Z} g) R nie jest zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Nie jest relacją równoważności. h) R jest symetryczna, przechodnia; nie jest zwrotna, antysymetryczna, spójna. Nie jest relacją równoważności. 0
i) R jest zwrotna, symetryczna, przechodnia; nie jest antysymetryczna, spójna. Jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji: [0] R = {, 4, 6, 8, 0,, 4, 6}, [] R = {,, 5, 7, 9,,, 5} Odp.. a) R jest funkcją. D l R) = X = R Y = R D p R) = R. g) R jest funkcją. D l R) = X = N Y = N D p R) = N. h) R jest funkcją. D l R) = X = R Y = R D p R) = 4; + ). Odp.4. R nie jest funkcją w b, c, d, e, f). a) f jest bijekcją, stąd istnieje f : R R określona wzorem f x) = 4 x + 5 4. b) Nie istnieje f bo f nie jest injekcją. c) Nie istnieje f bo f nie jest surjekcją. d) f jest bijekcją, stąd istnieje f : R R określona wzorem f x) = e) f jest bijekcją, stąd istnieje f : R R określona wzorem f x) = { x x, x, x =. x, x < 0 x, x 0, ) x +, x f) f jest bijekcją, stąd istnieje f : R R określona wzorem f x, y) = y +, x 6 y ). g) Nie istnieje f bo f nie jest injekcją. h) Nie istnieje f bo f nie jest surjekcją ani injekcją. Odp.5. a) f g) x) = x + x ) + 5 g f) x) = x + 5) + x + 5) b) f g) x) = x sin x + x g f) x, y) = xy + x, sin xy + x )) c) f g) x) = [x x ) ] [ +4 x x ) ] 6 g f) x) = x + 4x 6 ) x + 4x 7 ) d) f g) x, y) = x y, xy + ) g f) x, y) = y ) x + ), y ) x + ) ) Odp.6. a) f A) =, f B) = 6; 0 4; + 6 ) b) f A) = ; 0) f B) = {0, } c) f A) = ; f B) = ; + ) d) f A) = ; 0) f B) = {4, 56} e) f A) = + ; f B) = { π + kπ, k Z}.
f) f A) = ; + ) f B) = ) ; Odp.7. ; 5 + ) 5 ; ; + a) A = 0 b) A = 8 c) A = d) A = 0 e) A = f) A = 8 Odp.8. a) A = {} B { }, czyli A = B = b) A = { 5, } B {7, 4}, czyli A = B = c) A = B = d) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f n) = n e) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f n) = n + f) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f n) = n + { n, n 7 g) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f n) = n +, n 8 n, n h) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f n) = n +, n n +, n 4 i) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f n) = j A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f x, y) = x, y) k A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f x, y) = x, y + ) l) A = B bo istnieje bijekcja f : A B określona wzorem f x, y) = x, y) Odp.9. n, n n +, 4 n 7 n + 7, 8 n n +, n 9 n + 4, n 0 a) P = N = ℵ 0 - patrz Zadanie.8 d). { n b) Z = N = ℵ 0 bo istnieje bijekcja f : N Z określona wzorem f n) =, n parzyste n+, n nieparzyste c) Q = N = ℵ 0 bo elementy zbioru Q dają się ustawić w ciąg różnowartościowy. Najpierw należy wpisać w odpowiedni sposób elementy zbioru Q + w tablicę, co doprowadzi do powstania ciągu. Nastepnie wstawić na początek ciągu 0, a za każdą liczbą - liczbę do niej przeciwną. d) Przedział a, b) można potraktować jako odcinek i wówczas znajduje się bijekcję pomiędzy danym a dowolnym odcinkiem. Z kolei istnieje bijekcja f : π ; π ) R określona wzorem f x) = tg x, następnie korzystając z przechodniości równoliczności a, b) = R = c
Liczby zespolone Zadanie.. Dla danej liczby zespolonej z znajdź jej część rzeczywistą i urojoną, oraz z, z. Poszukaj z oraz z w układzie współrzędnych. a) z = 8 + 6i b) z = 4i c) z = i d) z = e) z = i f) z = 5i Zadanie.. Dla danych liczb zespolonych z i z oblicz z + z, z z, z z, z z : a) z = 4i, z = + i b) z = 5 + i, z = i c) z = i, z = i d) z = + i, z = i Zadanie.. Jaki zbiór na płaszczyźnie określa następujący warunek? a) z i b) Re z i) 0 c) z = Re iz) d) 4+i z i 5 e) Im z + f) z i + > g) 4 < Re z ) + Im z + i) 9 h) z > π 6 < Arg z π Zadanie.4. Znajdź takie liczby x, y R, aby zachodziła równość: a) + i) x + + 5i) y = 4 + 7i b) + i) x + 4 5i) y = 6 i c) x i + y = d) x i + y +i = Zadanie.5. Rozwiąż równanie: a) z + + i) z = i b) z = 4i c) iz + i) z i = 0 d) iz + 4i) z 4 + i = 0 Zadanie.6. Oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej nie używając wzoru na n-ty pierwiastek z liczby zespolonej: a) 4 i b) 8 + 6i c) i d) + 4i Zadanie.7. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną: a) + i b) i c) i d) + i e) i f) + i Zadanie.8. Korzystając ze wzoru de Moivre a oblicz: a) + i ) 7 ) 49 b) i c) + i ) 5 d) i Zadanie.9. Oblicz: a) 4 i b) c) 6 i d) + i e) 4
Wskazówki i odpowiedzi Odp.. a) Re z = 8 Im z = 6 z = 8 6i z = 0 b) Re z = Im z = 4 z = + 4i z = 5 c) Re z = 0 Im z = z = i z = d) Re z = Im z = 0 z = z = e) Re z = Im z = z = + i z = f) Re z = 0 Im z = 5 z = 5i z = 5 Odp.. a) z + z = 5 i z z = 5i z z = 0 5i b) z + z = + i z z = 7 + i z z = 8 9i c) z + z = z z = z z = + i z z = + i d) z + z = + 4i z z = i z z = + i Odp.. a) K 0, ) ; ) z z = 5 5 i z z = 5 + 5 i z z = i b) Lewa i prawa ćwiartka płaszczyzny wraz z brzegiem wyznaczone przez proste y = x + oraz y = x + c) Punkty 0, 0) i 0, ) d) K 0, ) ; ) \ {0, )} e) Górna półpłaszczyzna z brzegiem wyznaczona przez prostą y = f) R \ K, ) ; ) g) K, ) ; ) \ K, ) ; ) h) Część wspólna zbioru R \ K 0, 0) ; ) oraz wycinka płaszczyzny ograniczonego przez półproste nachylone do osi OX pod kątami π 6 bez brzegu) i π z brzegiem) Odp.4. a) x =, y = b) x = 9, y = 7 c) x = 0, y = d) x =, y = Odp.5. a) z = 5i b) z = ± i) c) z = i z = i d) z = i z = i Odp.6. a) 4 i = ± i) b) 8 + 6i = ± + i) c) i = ± + i ) d) + 4i = ± + i) 4
Odp.7. a) + i = cos 4 π + i sin 4 π) b) i = cos π + i sin π c) i = cos 5 4 π + i sin 5 4 π) d) + i = cos π + i sin π) e) i = cos 6 π + i sin 6 π f) + i = cos π + i sin π Odp.8. a) z 7 = 7 i ) b) z 49 = i c) z5 = d) z = Odp.9. a) 4 i = { 5 + 9 0 i, 9 0 + 5 i, 5 9 0 i, 9 0 5 i} b) { = + i,, i } c) 6 { 9 i = 0 + 0 i, 0 + 9 0 i, + i, 9 0 0 i, 0 9 0 i, i } d) { + i = 6 + i ), 6 9 0 + 0 i), 6 0 9 0 i)} e) 4 = {, i,, i} 5
4 Macierze i wyznaczniki Zadanie 4.. Oblicz, jeśli A = 0, B = 0 4, C = [ 0 ] [, D = 4 0 a) A + B b) A B) c) A B d) A B) e) A T B T f) A + B) T g) C + D T h) C T + D i) C D T j) C + D T ) T Zadanie 4.. Oblicz, jeśli A = [ i + i 5i ] [ + i 4i, B = i a) A + B b) A B c) A T + B d) A B T ) T Zadanie 4.. Dane są macierze 4 0 [ A = 0 4 7, B = 5 6 5 ] : ], przy czym przyjęto oznaczenia: a ik - ilość gram k-tej substancji, którą potrzebuje i-ty chemik, b kj - cena za gram dawki k-tej substancji pochodzącej od j-tego producenta. Oblicz iloczyn AB i odczytaj: a) kwotę, jaką zapłaciłby trzeci chemik u drugiego producenta b) kwotę, jaką zapłaciliby łącznie wszyscy chemicy u pierwszego producenta c) numer producenta, u którego pierwszy chemik zapłaciłby najmniej d) numer producenta, u którego czwarty chemik zapłaciłby najwięcej e) numer producenta, który zarobi najwięcej f) czy istnieją chemicy, którzy zapłacą taką samą końcową kwotę? Zadanie 4.4. Wyznacz możliwe iloczyny macierzy wśród A, B, C, D z Zadania 4.. Zadanie 4.5. Dla macierzy z Zadania 4. oblicz: a) A b) BA c) AB T d) BA T Zadanie 4.6. Rozwiąż równanie dla macierzy: [ 0 A = 0 ], B = [ 0 a) A + X) = A + B b) X + B T ) = B T A T ) c) A + B) T + X = X + A ) T d) AB T + X ) = 5X AA T ] ] : 6
Zadanie 4.7. Oblicz wyznaczniki: a) 7 4 8 b) 5 7 c) e) h) k) m) o) i 4 i 4 + i i d) + i 4 0 5 i 0 + i 4 i i i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 4 5 4 f) i) l) n) p) 0 5 5i i i i 0 4 + i i 0 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 4 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 4 0 0 0 5 6 0 0 0 g) j) ł) 0 0 0 i 4i 8 + 6i 0 + i i 0 0 i 0 0 7 0 0 0 0 0 4 5 Zadanie 4.8. Wyznacz, jeśli to możliwe, macierz odwrotną do danej macierzy: [ ] [ ] 5 4 a) A = b) A = c) A = f) A = 4 5 6 7 8 9 5 7 4 d) A = g) A = 0 0 0 0 0 0 0 e) A = h) A = 0 0 0 0 4 0 0 7
Zadanie 4.9. Wykorzystując operację odwracania macierzy rozwiąż równanie: [ ] [ ] 5 4 6 a) X = [ ] [ ] 0 b) X = c) X 0 = [ 4 ] [ ] [ ] [ ] 5 d) X = Zadanie 4.0. Znajdź rząd podanych macierzy: 5 [ ] [ a) 4 0 4 0 4 8 6 b) c) 5 0 0 0 d) g) 4 4 8 e) 0 0 0 0 0 4 0 0 0 f) h) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 Zadanie 4.. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiąż układy równań: { x y z = x + 5y = a) b) x + 4y z = x + 6y = 5 x y z = c) e) x z = y + z = x + 5z = 0 x y + z = 7 x + y 5z = 4 4x + 5y z = x y + z = 7 g) x + y 5z = 4 4x + 5y z = i) k) x + y z = 0 x y + z = 0 x + y + z = 0 x + y z = 0 x + y 4z = 0 x 4y + 7z = 0 d) f) h) j) l) x y + z = x y + 5z = x 4y + 8z = x + y + z = x + y z = 7 x + 8y z = 8 x y z + u = 5x y z + u = x + y z + u = x y + z u = 4 x + 4y + 7z = 0 x + 5y + 8z = 0 x + 6y + 9z = 0 x y + z = 0 4x + y 5z = 0 x 7y + z = 0 ] 8
Zadanie 4.. Rozwiąż układy równań metodą eliminacji Gaussa - Jordana: x + y + z = 4 x + y + z = a) x + y + z = b) x + y + z = 4 x + y + z = x + y + z = 4 c) e) x + y + z = x + 7y z = 7 x + 8y z = 8 x + y + z + u = 0 x + 4y z + u = 0 4x + 5y z + u = 0 d) f) x 5y + z + 4u = 7x 4y + z + u = 5 5x + 7y 4z 6u = x + y + 5z = 0 5x y 0z = 8 4x 7y + z = Zadanie 4.. W laboratorium czterech chemików A, B, C, D otrzymało mieszaniny o wagach 60 g, 60 g, 90 g, 70 g. Oblicz, ile gram ważyła pojedyncza dawka substancji a, b, c, jeśli: chemik A użył dawkę substancji a, dawki substancji b, dawki substancji c chemik B użył dawki substancji a, dawkę substancji b, dawkę substancji c chemik C użył dawkę substancji a, dawki substancji b, 4 dawki substancji c chemik D użył dawkę substancji a, dawki substancji b, dawki substancji c 9
Wskazówki i odpowiedzi Odp 4.. a) b) 5 e) i) [ 5 5 6 [ 5 ] ] f) [ j) 0 6 4 6 8 6 [ 9 6 9 8 8 6 0 4 ] c) ] g) 5 6 5 [ 5 ] d) [ h) 4 0 6 0 4 6 4 ] Odp 4.. [ ] 4 + i 7i a) 5 4i 4 5i [ c) 4i i 5i ] b) [ i + 6i 5 + i 7 0i [ ] 4 4i 6 + 8i d) 6i 0 0i ] Odp 4.. AB = Odp 4.4. AC = C = 6 8 5 8 4 50 8 4 7 0 6 [ 0 4, to a) 50 b) 96 c) -szy d) -gi e) -gi f) -szy i -gi AD = ] [ CD = 6 0 BC = 6 6 8 0 ] [ D = 5 0 8 4 BD = ] [ DC = 6 4 0 0 4 4 ] Odp 4.5. [ ] + i 8 4i a) 6 8i 8 7i [ c) 5 6i 5 4i 4 5i + 9i ] [ ] 4i 9 5i b) i + 4i [ d) 5 6i 4 5i 5 4i + 9i ] Odp 4.6. a) X = 4 b) X = 0 5 5 0
c) X = 4 [ 0 d) X = 8 ] Odp 4.7. a) 6 b) 9 c) 9 d) 5 + i e) 6 f) 5 g) 6 h) 4 + 9i i) + i j) i k) 0 l) 0 ł) m) 6 n) 8 o) 6 p) 0 Odp 4.8. [ a) det A = A = 5 ] b) A nie istnieje bo det A = 0 c) A nie istnieje bo det A = 0 d) det A = A = 6 e) det A = 6 A = 0 0 0 g) det A = 4 A = Odp 4.9. [ ] a) X = 0 8 0 0 4 4 0 0 0 b) X = [ ] f) det A = A = h) det A = A = 0 0 6 8 c) X = [ 0 ] d) X = 0 0 5 [ 0 ] Odp 4.0. a, b, c, d) e, f, g, h) Odp 4.. x [ ] [ ] x a) = b) y y = z 5 c) x y z = 5 d) x y z = 5
e) brak rozwiązania f) x y z = 0 g) x y z = 8 7 7 0 + 7 9 7 z; z R h) brak rozwiązania i) x y z = 0 0 0 x k) y = z 5 7 j) 7 z; z R l) x y z x y z = z; = 0 0 0 z R Odp 4.. x a) y z = c) e) x y z x y z u = = 0 0 6 5 0 + z + b) brak rozwiązania z; z R d) brak rozwiązania 0 u; z, u R f) x y z = Odp 4.. a b c = 0 5 5
5 Elementy teorii grup Zadanie 5.. Czy następujące działania są działaniami wewnętrznymi? Uzasadnij odpowiedź. a) dodawanie w zbiorze {0, } b) mnożenie w zbiorze {i, i,, } c) dodawanie wektorów na płaszczyźnie d) iloczyn skalarny wektorów Zadanie 5.. Czy działania są wewnętrznymi w podanych zbiorach? W przypadku odpowiedzi negatywnej podaj kontrprzykład. + N Z Q R \ Q R C N \ {0} Z \ {0} Q \ {0} R \ {0} C \ {0} Zadanie 5.. Które z podanych zbiorów z działaniami są grupami? Uzasadnij odpowiedź. Czy podane działanie jest przemienne? a) N, + b) N, c) Z, + d) R \ {0}, e) {, 0, }, + f) {,, i, i}, g) {, }, h) { 5 k : k Z }, {[ ] } a b i) : a R \ {0}, b R, 0 Zadanie 5.4. Czy podany zbiór z określonym w nim działaniem jest grupą? Uzasadnij odpowiedź. W każdym przykładzie sprawdź, czy działanie jest przemienne. a) R \ { },, gdzie a b = a + b + ab b) Q,, gdzie a b = a+b c) R,, gdzie a b = a + b + d), ),, gdzie a b = ab a b + e) {a, b) : a R \ {0}, b R},, gdzie a, b) c, d) = ac, ad + b)
Zadanie 5.5. Wykaż budując tabelkę działań, że podany zbiór z określonym w nim działaniem jest grupą. Czy jest to grupa abelowa? a) Z 4, + 4 b) Z 9, + 9 c) {f, f, f, f 4 } : x R \ {0},, gdzie f x) = x, f x) = x, f x) = x, f 4 x) = x d) zbiór obrotów kwadratu względem jego środka o kąty 0, π, π, π ze składaniem przekształceń e) zbiór wszystkich izometrii własnych trójkąta równobocznego tj. obroty względem jego środka o kąty 0, π, 4 π oraz symetrie osiowe) ze składaniem przekształceń Zadanie 5.6. Czy podane odwzorowania są homomorfizmami? Które spośród nich są monomorfizmami, epimorfizmami, izomorfizmami? a) f : Z, + Z, +, gdzie f x) = x b) g : R \ {0}, R, +, gdzie g x) = x c) h: Z, + Z, +, gdzie h x) = x d) φ: Z, + {i, i,, },, gdzie φ x) = i x e) ϕ: M, R), + R, +, gdzie ϕ A) = tr A f) ψ : M, R), + R, +, gdzie ψ A) = det A 4
Wskazówki i odpowiedzi Odp 5.. a) nie, bo / {0, } b) tak, bo mnożąc jakiegolwiek dwa elementy otrzymujemy element z podanego zbioru c) tak, bo suma wektorów jest wektorem d) nie, bo iloczyn skalarny jest liczbą Odp 5.. N Z Q R \ Q R C N \ {0} Z \ {0} Q \ {0} R \ {0} C \ {0} + t t t n t t t n n n n n t t n t t n n n n n t t t n t t t t t t t n n n n n n n n n t t t Odp 5.. a) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, nie istnieje element odwrotny dla każdego elementu - nie jest grupą b) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e =, nie istnieje element odwrotny dla każdego elementu - nie jest grupą c) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, a = a a Z - jest grupą d) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e =, a = a a R \ {0} - jest grupą e) działanie jest łączne i przemienne, ale nie jest wewnętrzne, e = 0, elementy odwrotne =, 0 = 0, = - nie jest grupą f) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e =, elementy odwrotne =, =, i = i, i = i - jest grupą g) działanie jest łączne i przemienne, ale nie jest wewnętrzne, e =, nie istnieje element odwrotny dla każdego elementu - nie jest grupą h) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 5 0 =, a = 5 k k Z - jest grupą i) działanie [ jest ] wewnętrzne, [ łączne, ale nie jest przemienne, 0 ] e = = I 0, A = a b a a R \ {0}, b R - jest grupą 0 Odp 5.4. a) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, a = a a+ a R\{ } - jest grupą b) działanie jest wewnętrzne i przemienne, ale nie jest łaczne, nie istnieje element neutralny ani odwrotny - nie jest grupą c) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e =, a = a a R - jest grupą d) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e =, a = a a a ; + ) - jest grupą 5
e) działanie jest wewnętrzne, łączne, ale nie jest przemienne, e, e ) =, 0), a, b ) = a, a) b a R \ {0}, b R - jest grupą Odp 5.5. a) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, elementy odwrotne 0 = 0, =, =, = - grupa abelowa b) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = 0, elementy odwrotne 0 = 0, = 8, = 7, = 6, 4 = 5, 5 = 4, 6 =, 7 =, 8 = - grupa abelowa c) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = f, elementy odwrotne f = f, f = f, f = f, f4 = f 4 - grupa abelowa d) działanie jest wewnętrzne, łączne i przemienne, e = O 0, elementy odwrotne O0 = O 0, O π = O π, Oπ = O π, O = O π π - grupa abelowa e) działanie jest wewnętrzne, łączne, ale nie jest przemienne, e = O 0, elementy odwrotne O0 = O 0, O = O π 4 π, O = O 4 π π, S A = S A, S B = S B, S C = S C - nie jest grupą abelową Odp 5.6. a) homomorfizm, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm b) nie jest homomorfizmem c) nie jest homomorfizmem d) homomorfizm, epimorfizm e) homomorfizm, epimorfizm f) nie jest homomorfizmem 6
6 Zbiór liczb rzeczywistych Zadanie 6.. Wykreśl wykresy funkcji: a) wartość bezwzględna f : R 0, ) f x) = x = b) signum f : R {, 0, } f x) = sgn x) = { x x 0 x x < 0 x < 0 0 x = 0 x > 0 c) część całkowita f : R Z f x) = [x] = max {k Z: k x} d) część ułamkowa f : R 0, ) f x) = x [x] Zadanie 6.. Dla danej funkcji f : D R:. określ dziedzinę D i wykreśl wykres. podaj punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX oraz OY jeśli istnieją). podaj przedziały monotoniczności funkcji 4. czy funkcja jest parzysta, czy nieparzysta? 5. czy funkcja jest surjekcją, injekcją, bijekcją? 6. wyznacz funkcję odwrotną jeśli istnieje) i wykreśl jej wykres a) f x) = b) f x) = x 4 c) f x) = x x + d) f x) = x e) f x) = x f) f x) = x g) f x) = x h) f x) = x 4 i) f x) = x j) f x) = x k) f x) = x l) f x) = ) x ł) f x) = log x m) f x) = log x n) f x) = sin x o) f x) = cos x p) f x) = tg x r) f x) = ctg x Zadanie 6.. Wykonaj złożenia funkcji f g oraz g f oraz wykreśl wykresy otrzymanych funkcji: a) f x) = x 4 g x) = x b) f x) = x g x) = x c) f x) = x + g x) = x d) f x) = x g x) = x + e) f x) = x g x) = [x] f) f x) = sgn x) g x) = [x] g) f x) = sgn x) g x) = sin x h) f x) = log x g x) = x 7
Zadanie 6.4. Czy podane zbiory są ograniczone z dołu, z góry, czy są ograniczone? Znajdź kresy dolne i górne podanych zbiorów. Czy istnieje minimum oraz maksimum zbioru? a) A = N b) A = R \ R + c) A = { x R : x x + = 0 } d) A = {x R : x 5 = 0} e) A = 0, ) {5} f) A = { } 0, g) A =, ) h) A = 5, ) i) A = { n : n N } + { } n k) A = + n+ : n N ł) A = { n + k : k {0,, } n N } + n) A = { ) n ) n } : n N + p) A = { ) n } : n N j) A = { 4 n : n N + } l) A = { n + n: n N } + m) A = { z : z Z} o) A = { ) n n: n N} r) A = { + )n n : n N + } Zadanie 6.5. Wykreśl wykresy podanych funkcji i zbadaj czy są ograniczone z dołu, z góry, czy są ograniczone. Znajdź kres dolny i górny funkcji. a) f x) = x + 4 dla x, ) b) f x) = x c) f x) = x + ) d) f x) = x + e) f x) = x dla x, f) f x) = x 4 dla x, ) g) f x) = x ) h) f x) = x + ) i) f x) = x+ j) f x) = ) x 4 k) f x) = log x dla x 0, 9 l) f x) = log x dla x 0, 9) ł) f x) = sin x + m) f x) = cos x n) f x) = tg x dla x π 4, π 4 o) f x) = ctg x dla x 0, π) 8
Wskazówki i odpowiedzi Odp 6.. Patrz Ćwiczenia. Odp 6.. a) D = R a) OX - brak przecięcia; OY - P 0, ) a) stała dla x R 4a) parzysta 5a) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją 6a) nie istnieje funkcja odwrotna b) D = R b) OX - P, 0) ; OY - P 0, 4) b) rosnąca dla x R 4b) ani parzysta ani nieparzysta 5b) surjekcja, injekcja, bijekcja 6b) f : R R, gdzie f x) = x + c) D = R c) OX - P, 0) ; OY - P 0, ) c) malejąca dla x ) ; ; rosnąca dla x ; + ) 4c) ani parzysta ani nieparzysta 5a) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją 6a) nie istnieje funkcja odwrotna d,e) D = R \ {0} d,e) OX, OY - brak przecięcia d,e) malejąca dla x R \ {0} 4d,e) nieparzysta 5d,e) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją 6d,e) nie istnieje funkcja odwrotna f) D = R \ {0} f) OX, OY - brak przecięcia 9
f) malejąca dla x R + ; rosnąca dla x R 4f) parzysta 5f) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją 6f) nie istnieje funkcja odwrotna g) D = R g) OX, OY - P 0, 0) g) rosnąca dla x R 4g) nieparzysta 5g) surjekcja, injekcja, bijekcja 6g) f : R R, gdzie f x) = x h) D = R h) OX, OY - P 0, 0) h) malejąca dla x R ; rosnąca dla x R + 4h) parzysta 5h) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją 6h) nie istnieje funkcja odwrotna i) D = 0; + ) i) OX, OY - P 0, 0) i) rosnąca dla x R + 4i) ani parzysta ani nieparzysta 5i) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją 6i) nie istnieje funkcja odwrotna j) D = R + j) OX, OY - brak przecięcia j) malejąca dla x R + 4j) ani parzysta ani nieparzysta 5j) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją 6j) nie istnieje funkcja odwrotna 0
k) D = R k) OX - brak przecięcia; OY - P 0, ) k) rosnąca dla x R 4k) ani parzysta ani nieparzysta 5k) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją 6k) nie istnieje funkcja odwrotna l) D = R l) OX - brak przecięcia; OY - P 0, ) l) malejąca dla x R 4l) ani parzysta ani nieparzysta 5l) nie jest surjekcją, jest injekcją, nie jest bijekcją 6l) nie istnieje funkcja odwrotna ł) D = R + ł) OX - P, 0); OY - brak przecięcia ł) rosnąca dla x R + 4ł) ani parzysta ani nieparzysta 5ł) surjekcja, injekcja, bijekcja 6ł) f : R R +, gdzie f x) = x m) D = R + m) OX - P, 0); OY - brak przecięcia m) malejąca dla x R + 4m) ani parzysta ani nieparzysta 5m) surjekcja, injekcja, bijekcja 6m) f : R R +, gdzie f x) = x n) D = R n) OX - P kπ, 0) k Z; OY - P 0, 0) n) malejąca dla x π + kπ; π + kπ) ; rosnąca dla x π + kπ; π + kπ) 4n) nieparzysta 5n) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją
6n) nie istnieje funkcja odwrotna o) D = R o) OX - P π + kπ, 0) k Z; OY - P 0, ) o) malejąca dla x kπ; π + kπ) ; rosnąca dla x π + kπ; π + kπ) 4o) parzysta 5o) nie jest surjekcją, injekcją, bijekcją 6o) nie istnieje funkcja odwrotna p) D = R \ { π + kπ} k Z p) OX - P kπ, 0); OY - P 0, 0) p) rosnąca dla x π + kπ; π + kπ) 4p) nieparzysta 5p) surjekcja, nie jest injekcją, nie jest bijekcją 6p) nie istnieje funkcja odwrotna r) D = R \ {kπ} k Z r) OX - P π + kπ, 0) ; OY - brak przecięcia r) malejąca dla x kπ; π + kπ) 4r) nieparzysta 5r) surjekcja, nie jest injekcją, nie jest bijekcją 6r) nie istnieje funkcja odwrotna Odp 6.. a) f g) x) = x 4 x R g f) x) = x + 4 x R b) f g) x) = x x R \ {0} g f) x) = x x R \ {0} c) f g) x) = 4x + x R g f) x) = x + x R d) f g) x) = x x R g f) x) = x + x R e) f g) x) = [x] x R g f) x) = [ x] x R f) f g) x) = sgn [x] x R g f) x) = [sgn x)] x R g) f g) x) = sgn sin x) x R g f) x) = sin sgn x)) x R h) f g) x) = log x x R \ {0} g f) x) = log x x R +
Odp 6.4. a) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony inf A = 0, sup A = +, min A = 0, max A nie istnieje b) nieograniczony z dołu, ograniczony z góry, nieograniczony inf A =, sup A = 0, min A nie istnieje, max A = 0 c) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A =, sup A =, min A =, max A = d) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A =, sup A =, min A =, max A = e) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A = 0, sup A = 5, min A nie istnieje, max A = 5 f) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A =, sup A =, min A =, max A = g) nieograniczony z dołu, ograniczony z góry, nieograniczony inf A =, sup A =, min A i max A nie istnieje h) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony inf A = 5, sup A = +, min A = 5, max A nie istnieje i) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A = 0, sup A =, min A nie istnieje, max A = j) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A = 0, sup A = 4, min A nie istnieje, max A = 4 k) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony inf A =, sup A = +, min A =, max A nie istnieje l) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony inf A =, sup A = +, min A =, max A nie istnieje ł) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A = 0, sup A =, min A nie istnieje, max A = m) ograniczony z dołu, nieograniczony z góry, nieograniczony inf A = 0, sup A = +, min A i max A nie istnieje n) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A =, sup A =, min A i max A nie istnieje o) nieograniczony z dołu i z góry, nieograniczony inf A =, sup A = +, min A i max A nie istnieje p) ograniczony z dołu i z góry, ograniczony inf A =, sup A =, min A nie istnieje, max A = r) ograniczony z dołu i góry, ograniczony inf A = 0, sup A =, min A = 0, max A =
Odp 6.5. a) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f x) =, sup f x) = b) nieograniczona z dołu i z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = + c) nieograniczona z dołu i z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = + d) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = + e) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f x) = 8, sup f x) = 8 f) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) = 0, sup f x) = + g) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = + h) nieograniczona z dołu, ograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = 0 i) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) = 0, sup f x) = + j) nieograniczona z dołu, ograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = 0 k) nieograniczona z dołu, ograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = l) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) =, sup f x) = + ł) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f x) =, sup f x) = m) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f x) = 0, sup f x) = n) ograniczona z dołu i z góry, ograniczona, inf f x) =, sup f x) = o) ograniczona z dołu, nieograniczona z góry, nieograniczona, inf f x) = 0, sup f x) = + 4
7 Ciągi liczbowe Zadanie 7.. Korzystając z definicji wykaż, że: 5n a) lim n 7n+ = 5 8 9n 7 b) lim n n = c) lim n n n+ = d) lim n n n + = 0 e) lim n n + 4 ) = + f) lim n n 4 + n + = g) lim n 7 ni 6n = i h) lim n n +i n 4 +ni = 0 +0n i) lim i n+4ni+6i n n +i = 5i j) lim n n i = + 4i Zadanie 7.. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a) a n = 5 n n + 4n b) a n = n 4 + n + n 8 c) a n = 5n 0n n+5 n d) a n = ) n + + ) n e) a n = n + 4n n f) a n = n + n g) a n = n + n + n + 4 h) a n = n+ 4 n+ 4 n+ i) a n = 49n +5 7 n+ j) a n = 7log n 6 log n k) a n = 9log n l) a 4 log n n = +++...+n n ł) a n = + +4+5 6+7+8 9+... n n +n+ m) a n = n n 8 5n 5 + n 4 + n + n) a n = 6 n n n 5 n 4 o) a n = n n + sin n p) a n = 7n n sin 5n n r) a n = 5n+ 9 n! s) a n = 4n)n n! t) a n = u) a n = x) a n = n n + 4n 4n+ ) 4n z) a n = n ln n + ) ln n) w) a n = ) n 4 n 4 + n 4 n+ n ) n ) n+ y) a n = n ln ) + 5 7n 5
α) a n = 4n+n5 i 5n 5 i β) a n = n+i 5n 4n i γ) a n = 6n 7ni+8i n+4 ni δ) a n = 4+n +5ni 4n+n n i ɛ) a n = en ie n e n +4ie n ζ) a n = n cos n +n i sin π n n i Zadanie 7.. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a) a n = n 9 n + 8 n + 5 n + 6 n b) a n = n ) n + 4) n + 5 ) n c) a n = n + + n + +... + n +n d) a n = n + + n + +... + n +n e) a n = n cos n f) a n = n4 n 5 + arc tg n Zadanie 7.4. Po zamknięciu obwodu elektrycznego, zawierającego oporność czynną oraz indukcyjność, natężenie prądu zmienia się według równania i = 5 e t). Oblicz natężenie prądu w chwili t = 0 oraz graniczną wartość natężenia przy t. Zadanie 7.5. Liczba jednostek populacji Nt) w chwili t dana jest wzorem Nt) = N 0 gdzie N 0 jest stanem równowagi. Wyznacz lim t Nt) i spróbuj zinterpretować wynik. e t +et, Zadanie 7.6. Pewna reakcja chemiczna przebiega w ten sposób, że przyrost ilościowy substancji Q w każdym przedziale czasu τ jest proporcjonalny do długości przedziału i do początkowej ilości materii znajdującej się w początku tego przedziału. Zakładając, że w chwili rozpoczęcia reakcji ilość substancji wynosiła Q 0, określ jej ilość Q n) t po upływie czasu t, jeżeli τ = t n. Znajdź Q t = lim n Q n) t. 6
Wskazówki i odpowiedzi Odp 7.. Przykładowe odpowiedzi: a) N ɛ) = [ 7 49ɛ 7] + b) N ɛ) = [ 8 ɛ] + c) N ɛ) = [ ɛ ] + d) N ɛ) = [ ɛ ] + e) N K) = [ K 4 ] + K 4 f) N K) = [ K + ] + g) N ɛ) = [ 7 6ɛ] + [ h) N ɛ) = ] ɛ + i) N ɛ) = [ ɛ ] + [ j) N ɛ) = ] ɛ + Odp 7.. a) + b) c) d) e) 4 f) 0 g) 4 h) i) 7 j) 0 k) l) ł) m) n) 0 o) p) r) 0 s) + t) e u) e 8 w) e 6 x) e y) 5 7 z) α) i 5 β) 0 γ) 6 7i i δ) i ɛ) ζ) + πi Odp 7.. a) 9 b) c) d) 0 e) 0 f) 0 Odp 7.4. i 0) = 0 lim t 5 e t) = 5 Odp 7.5. lim t Nt) = N 0, czyli pomimo upływu bardzo długiego okresu czasu liczba jednostek w populacji dąży do stanu równowagi. Odp 7.6. Q n) ) t = Q 0 + k t n n Q t = Q 0 e kt 7
8 Szeregi liczbowe Zadanie 8.. Zbadaj zbieżność szeregu obliczając jego sumę: a) n= )n b) n= c) n= e) n= 5 nn+) d) n n n= nn+) ) n f) n= 9 n+ g) n + n n= h) + + + + + + +... 6 n 6 9 8 7 Zadanie 8.. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregu: a) n= n sin n b) n= n n + n ) c) n+ ) n n= d) n n= cos ) sin π n e) n )n+) n= f) ) n n + n= Zadanie 8.. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium porównawczego zbieżności szeregów: a) n= sin π n b) n= c) n= e) n= g) n= lnn+) n +n ) cos π n n! d) n= f) n= h) n= n+ n + n 4n+5 8 n+ 4 n 5 + n + n ) n sin + n n Zadanie 8.4. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium ilorazowego d Alemberta: a) n ) n n= b) 4 n= n n! n+4)! c) n= n sin π d) n n+ n= n e) n!5 n n= f) n!e n n n n= n n g) n= n h) n= n! n + Zadanie 8.5. Zbadaj zbieżność szeregu korzystając z kryterium pierwiastkowego Cauchy ego: a) n+ ) n +n n= n e n b) n ) n n n= n+ c) n= [ + n )n ] n d) n ) n+ n= n e) n= ln n n+) f) n= g) n 5 n= [ + ) n ] n h) 4 n n= n+ n n n n n ) n ) n 8
Zadanie 8.6. Zbadaj zbieżność szeregu naprzemiennego: a) ) n n= n!+ c) n= )n n e) n= )n+ n ) g) n= )n+ n+ n b) n= )n tg n d) nn ) n= ) f) nn ) n= ) ln n ) n n ) n h) n= )n n +n+4 Zadanie 8.7. Zbadaj zbieżność szeregu o wyrazach zespolonych: a) +i ) n n= b) n n= 4 + i) n n c) n= e) n= n+i i ) n d) n= n i)+ n i) i f) cos n+i sin n n= n ) n n + n ) 9
Wskazówki i odpowiedzi Odp 8.. a) rozbieżny, bo S nie istnieje b) rozbieżny, bo S = + c) zbieżny, bo S = d) zbieżny, bo S = e) zbieżny, bo S = f) zbieżny, bo S = 648 g) zbieżny, bo S = h) zbieżny, bo S = 9 4 Odp 8.. a) rozbieżny, bo lim n a n = + b) rozbieżny, bo lim n a n = c) rozbieżny, bo lim n a n = e d) rozbieżny, bo lim n a n = e) przypadek wątpliwy, bo lim n a n = 0 f) przypadek wątpliwy, bo lim n a n = 0 Odp 8.. a) zbieżny, wsk: sin x x c) rozbieżny, wsk: ln x x dla x > 0 b, e) rozbieżny d, f) zbieżny g) zbieżny, wsk: cos x = sin x h) zbieżny, wsk: sin x x Odp 8.4. a) zbieżny, bo lim n a n+ a n = e 4 b) przypadek wątpliwy, bo lim n a n+ a n = a c) zbieżny, bo lim n+ n a n = a d) zbieżny, bo lim n+ n a n = e) rozbieżny, bo lim n a n+ a n = 5 e f) przypadek wątpliwy, bo lim n a n+ a n = g) przypadek wątpliwy, bo lim n a n+ a n = h) rozbieżny, bo limn a n+ a n = + Odp 8.5. a) przypadek wątpliwy, bo lim n n a n = b) zbieżny, bo lim n n a n = e 6 c) rozbieżny, bo lim n n a n = d) zbieżny, bo lim n n a n = 9 e) zbieżny, bo lim n n a n = 0 f) zbieżny, bo lim n n a n = e g) zbieżny, bo lim n n a n = 4 h) rozbieżny, bo lim n n a n = e 40
Odp 8.6. a) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium porównawcze i d Alemberta b) warunkowo zbieżny, wsk: sin x > π x, kryterium porównawcze i Leibniza c) warunkowo zbieżny, wsk: kryterium porównawcze i Leibniza d) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium Cauchy ego e) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium porównawcze f) rozbieżny, wsk: warunek konieczny g) bezwzględnie zbieżny, wsk: kryterium Cauchy ego h) warunkowo zbieżny, wsk: kryterium porównawcze i Leibniza Odp 8.7. a) bezwzględnie zbieżny z kryterium Cauchy ego lim n n a n = b) rozbieżny z kryterium Cauchy ego lim n n a n = 5 c) rozbieżny z kryterium porównawczego d) bezwzględnie zbieżny z kryterium Cauchy ego lim n n a n = e) bezwzględnie zbieżny z kryterium Cauchy ego lim n n a n = 0 f) bezwzględnie zbieżny z kryterium porównawczego 5 4
9 Elementy teorii przestrzeni metrycznych Zadanie 9.. Oblicz granice: a) lim x x x + b) lim x π 4 cos x x c) lim x x 5x 5x 0 d) lim x 4 x x 8 x 9x+0 e) lim x 0 x+ x+6 4 f) lim x 7 x x 49 g) lim x x x 4x h) lim x x 5x + 6 x ) i) lim x 0 4x sin x j) lim x 0 0x tg x k) lim x 0 x+sin x x+sin x l) lim x π +cos x sin x ł) lim x π 4 cos x sin x cos x m) lim x π 4 sin x cos x tg x n) lim x x 0x + 5x 8 ) o) lim x x 4 + 5x x + 5 ) p) lim x x x+ x +x r) lim x x +4x x 4 7x + s) lim x x+ x u) lim x x ) x t) lim x ) x 5 x x+ x ) x+ w) lim x x ln x + ) ln x) y) lim x 0 x ln +x 4 x z) lim x 4 x x +x Zadanie 9.. Sprawdź, czy istnieją granice: a) lim x x+ x+ b) lim x x+ x+ c) lim x 0 x 4x +5x x +)x e) lim x 4+x x d) lim x [x] x x f) lim x 0 cos x sin x g) lim x e x h) lim x 0 x + x + Zadanie 9.. Oblicz granicę: { x 5 x < 0 a) lim x 0 f x), gdy f x) = x + 5 x 0 x ) x < b) lim x f x), gdy f x) = 0 x = x + x > 4
Zadanie 9.4. Zbadaj ciągłość funkcji: x x < a) f x) = x = x + < x 4 x 4) x > { x x b) f x) = x + x > c) f x) = x x x [x] < x x 4) x > Zadanie 9.5. Znajdź a, b R tak, aby dana funkcja była ciągła na R: { x x a) f x) = x + ax + b x > x + x 0 x b) f x) = 9 x x 6 + ax + b 0 < x < x ) x + e x x < 0 c) f x) = b 5 x = 0 sin ax x x > 0 4
Wskazówki i odpowiedzi Odp 9.. a) b) π c) 7 0 d) 6 e) 4 f) 56 g) 6 h) 5 i) j) 0 k) 5 l) ł) m) n) o) p) r) 0 s) e 5 t) e 4 u) 4 w) y) z) 4 ln 4 Odp 9.. a, b, d, g, h) nie istnieje natomiast c) 5 e) 4 f) Odp 9.. a, b) nie istnieje Odp 9.4. a) ciągła dla x ; ) ; ) ; + ); nieciągła dla x = ; nieciągła dla x = ale ciągła prawostronnie b) ciągła dla x ; ) ; + ); nieciągła dla x = ale ciągła prawostronnie c) ciągła dla x ; ) ; + ); nieciągła dla x = ale ciągła lewostronnie Odp 9.5. a) a =, b = b) a = 5, b = c) a =, b = 8 44
0 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Zadanie 0.. Wyznacz z definicji pochodną funkcji: a) f x) = x 4x w x 0 = b) f x) = x + x + w x 0 = c) f x) = x w x 0 = 4 d) f x) = 4x + w x 0 = e) f x) = sin x w x 0 = π f) f x) = cos 5x w x 0 = π Zadanie 0.. Oblicz pochodne jednostronne funkcji w danym punkcie x 0. Czy istnieje f x 0 )? W przypadku negatywnym określ, czy x 0 jest punktem kątowym, punktem przegięcia, czy ostrzem. a) f x) = x w x 0 = 0 b) f x) = x w x 0 = c) f x) = x w x 0 = 0 d) f x) = x w x 0 = 0 e) f x) = 5 x + 6 w x 0 = 6 f) f x) = x ) w x 0 = g) f x) = x x w x 0 = h) f x) = { x + 4 x 0 x + 4 x > 0 w x 0 = 0 Zadanie 0.. Oblicz pochodną funkcji: a) f x) = 5x 6x + x + b) f x) = x 7 4x 5 + x 4 x + 9 c) f x) = 4x x d) f x) = x + 5 x x + x e) f x) = 7 x + 5x4 x f) f x) = x 4x x x g) f x) = x x x 4 + h) f x) = 4x6 +x 5 x 4 +7x x 4 + i) f x) = 7 ln x tg x j) f x) = x sin x + 5x k) f x) = 4x cos x + 7e x + 5 l) f x) = ctg x+5 sin x ł) f x) = x log x + 5 x m) f x) = e x x x + ) n) f x) = 4 log x + ex x o) f x) = + x 4x ) 5 p) f x) = x 7x + r) f x) = + x 4 + 5x 5 s) f x) = cos x + 5 sin x t) f x) = cos x ) + tg x u) f x) = 5 sin x + sin x + ) w) f x) = ln x + ) + 5x x) f x) = x + e x y) f x) = e cos x + x 45
z) f x) = ln x x α) f x) = ln sin 4x + )) cos x β) f x) = sin x + ln tg x γ) f x) = e cos 7x+4) Zadanie 0.4. Zależność drogi s od czasu t w pewnym ruchu prostoliniowym dana jest wzorem s = t t. Wyznacz wartości prędkości i przyspieszenia w momencie t =. Zadanie 0.5. Prąd przepływa przez pewne urządzenie. ) Ilość przepływającej elektryczności, liczonej od chwili t = 0, określa wzór Q = e t + t+. Oblicz natężenie prądu dq dt w chwili początkowej t = 0. Zadanie 0.6. Gaz znajdujący się w objętości V pod ciśnieniem p rozpręża się adiabatycznie według prawa pv,4 = const zwanego równaniem przemian adiabatycznych). Oblicz prędkość zmiany ciśnienia gazu wiedząc, że przy ciśnieniu p = 0 atm i V = m prędkość zmian objętości wynosi 0, m /s. Zadanie 0.7. Dla danej funkcji: A. Zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema B. Zbadaj wypukłość i znajdź punkty przegięcia a) f x) = x x + b) f x) = x + x 9x c) f x) = x 4 e x d) f x) = 4x x +4 e) f x) = x + 8 x Zadanie 0.8. Szybkość reakcji chemicznej w czasie od t = 0 do t = 0 sekund jest dana zależnością s = t t +. Kiedy szybkość reakcji maleje, a kiedy rośnie? Kiedy jest najmniejsza, a kiedy największa? Zadanie 0.9. Załóżmy, że dana jest mieszanina N p cząstek prawoskrętnego kwasu winowego i N l cząstek lewoskrętnego kwasu winowego kwasy te mają te same właściwości chemiczne, natomiast różnica polega na asymetrycznej zdolności do skręcania płaszczyzny ) polaryzacji światła). Entropia takiej mieszaniny wyraża się wzorem S = k N p ln NNp + N l ln NNl, gdzie k oznacza stałą Boltzmanna, natomiast N = N p + N l. Przy założeniu, że liczba N jest ustalona, oblicz, w jakiej proporcji należy utworzyć mieszaninę tych kwasów, aby miała ona maksymalną entropię. Zadanie 0.0. Lekarstwo jest wstrzykiwane do krwi człowieka, co powoduje wzrost temperatury T jego ciała po jednej godzinie. Jeżeli wstrzyknięto x mg lekarstwa, to T = x 8 x 6), gdzie 0 x 6. a) Szybkość zmian temperatury T względem dawkowania x jest nazywana wrażliwością ciała na dawkowanie. Wyznacz tę wrażliwość. b) Znajdź wielkość dawkowania, przy której wrażliwość jest największa. 46
Zadanie 0.. Oblicz granicę funkcji korzystając z reguły de L Hospitala: a) lim x 0 e x x b) lim x 0 + c) lim x π 4 lncos x) lncos x) tg x sin x d) lim x + lnx ) ctgx ) e) lim x 0 +x x x f) lim x x ) cos π 4 x g) lim x x 5 e 7x h) lim x 0 + x ln x i) lim x 0 + xe x x j) lim sin x x x k) lim x 0 + ł) lim x 0 + n) lim x + p) lim x 0 + ) x e x ) ctg x x x x ln x x ) sin x ) l) lim x + x x ln x m) lim x ln x + e) ln x) o) lim x [ ln e x + x) x] r) lim x 0 + cos x) x s) lim x π 4 tg x)tg x t) lim x 0 + ) ln x x ) u) lim x π arc tg x) x w) lim x + ) x lnx ) y) lim x x) ln x z) lim x 0 + x sin x Zadanie 0.. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a) f x) = +x b) f x) = x x c) f x) = x 4 x d) f x) = x x e) f x) = x ln x f) f x) = xe x g) f x) = x x h) f x) = x x + Zadanie 0.. Oblicz wartość przybliżoną z wykorzystaniem różniczki odpowiedniej funkcji: a) 9, 0 b) 4 7 c) ln 0, 9) d) ln, ) e) sin 9 o f) tg 47 o 47
Wskazówki i odpowiedzi Odp 0.. a) f ) = 0 b) f ) = c) f 4) = d) f ) = e) f π ) = f) f π) = 0 Odp 0.. a) f 0) =, f + 0) =, f 0) nie istnieje, x 0 = 0 punkt kątowy b) f ) =, f + ) =, f ) = c) f 0) =, f + 0) = +, f 0) nie istnieje, x 0 = 0 ostrze d) f 0) = +, f + 0) = +, f 0) nie istnieje, x 0 = 0 punkt przegięcia e) f 6) = +, f + 6) = +, f 6) nie istnieje, x 0 = 6 punkt przegięcia f) f ) =, f + ) = +, f ) nie istnieje, x 0 = 0 ostrze g) f ) =, f + ) = +, f ) nie istnieje, x 0 = punkt kątowy h) f 0) = 0, f + 0) =, f 0) nie istnieje, x 0 = 0 punkt kątowy Odp 0.. a) f x) = 5x x + b) f x) = 7x 6 0x 4 + 5x c) f x) = 4x 5 d) f x) = x 5 x 4 + x 9x 4 e) f x) = 7x + 5 + x 4 f) f x) = 9 4 x 7 x 6 g) f x) = x5 +8x 4 +x x 4 +) h) f x) = 4x5 +5x 4 8x +7)x 4 +) 4x 6 +x 5 x 4 +7x ) x x 4 +) i) f x) = 7 x cos x j) f x) = x sin x + x cos x + 5x k) f x) = 8x + sin x + 7e x l) f x) = sin sin x+ ctg x+5) cos x x 4 sin x ł) f x) = x ln log x + x x ln 5 x m) f x) = e x x + x x ) 48
n) f x) = 4 x ln + ex x x 4) o) f x) = 5 + x 4x ) 4 8x) p) f x) = x 7x + ) 6x 7) r) f x) = + x 4 + 5x 5) 4x + 5x 4) s) f x) = cos x sin x) + 5 cos x x t) f x) = sin x ) + cos x x u) f x) = 0 sin x cos x + cos x + ) x + ) w) f x) = x + x + 5x ln 5 x) f x) = x + ln x e x x) y) f x) = e cos x sin x) + x ln x ) z) f x) = x x x x ) x x) x ) α) f x) = sin4x+) cos 4x + ) 4 β) f x) = sin @x sin x cos x sin x cos x sin 4 x + tg x cos x γ) f x) = e cos 7x+4) cos 7x + 4) sin 7x + 4)) 7 Odp 0.4. v ) = 6 a ) = 08 Odp 0.5. dq dt 0) = 5 Odp 0.6. Ciśnienie gazu zmniejsza się z prędkością, 4 atm/s ponieważ p =, 4 atm/s. Odp 0.7. a) f.malejąca dla x 0; ), f.rosnąca dla x ; 0) ; + ), P min, ), P max 0, ) f.wklęsła dla x ; ), f.wypukła dla x ; + ), P pp, ) b) f.malejąca dla x ; ), f.rosnąca dla x ; ) ; + ), P min, 7), P max, 5) f.wklęsła dla x ; ), f.wypukła dla x ; + ), P pp, 9) c) f.malejąca dla x ; 0) 4; + ), f.rosnąca dla x 0; 4), P min 0, 0), P max 4, 56e 4 ) f.wklęsła dla x ; 6), f.wypukła dla x ; 0) 0; ) 6; + ), P pp, 6e ), P pp 6, 96e 6 ) d) f.malejąca dla x ; ) ; + ), f.rosnąca dla x ; ), P min, ), P max, ) f.wklęsła dla x ; ) 0; ), f.wypukła dla x ; 0 ) ; + ), P pp, ), P pp, ) e) f.malejąca dla x ; 0) 0; ), f.rosnąca dla x ; ) ; + ), P min, 4), P min, 4) f.wklęsła dla x, f.wypukła dla x R \ {0}, brak punktów przegięcia 49