1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią."

Mieczysław Maj
5 lat temu
Przeglądów:

1 Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i a dzieli się przez 7 to z faktu że a nie dzieli się przez 7 wynika że a dzieli się przez 3 jest prawdziwe dla dowolnego a. 4. Zad 4. Narysuj wykresy funkcji logicznych:. f : R { } f(x) = x < 5. f : { } f(x y) = x < y 3. f : { } f(x y) = x + y < 4. f : {... } { } f(n) = n 3 n 5. Zad 5. Zapisz za pomocą kwantyfikatorów zdania:. k n (liczba n jest podzielna przez k). liczba a jest liczbą pierwszą 3. ciąg {a n } jest dodatni 4. ciąg {a n } jest od pewnego miejsca dodatni. 5. ciąg {a n } jest od pewnego miejsca niemalejący 6. ciąg {a n } jest ograniczony 7. funkcja f : R R jest parzysta 8. dla dowolnych wartości parametru m funkcja f m jest parzysta albo nieparzysta. 6. Zad 6. Zaprzecz zdaniom z poprzedniego zadania. 7. Zad 7. Zaneguj wyrażenia:

2 . x A x. x A y x f(y) < f(x) 3. x A ((x < 3) ( y B y = /x)) 4. x y z (z = y ) (xyz = ) 5. x y ((x < y) (x < z) (z < y)) Zbiory 8. Jak wygląda iloczyn kartezjański zbiorów (I - odcinek jednostkowy S - okrąg):. I I. I S 3. S S 4. S R 5. I R 6. S N 7. I N 8. N R 9. S S N 3 Relacje 3. Ogólne własności relacji 9. Narysuj diagramy relacji R {... 5} :. xry x = y. xry x < y 3. xry x y 4. xry x y 5. xry x y y x 6. xry x + y

3 . Zbadać czy relacje z powyższego zadania są zwrotne symetryczne przechodnie symetryczne antysymetryczne słabo antysymetryczne są funkcjami.. Jakie własności geometryczne posiada diagram relacji zwrotnej symetrycznej przechodniej symetrycznej antysymetrycznej słabo antysymetrycznej funkcji?. Zbadaj jakie własności spełnia relacja:. R Z x y Z xry 3 x y. R N x y N xry x + y 3. R N x y N xry x x y 4. R N + x y N + xry x y x y 5. R R x y R xry x = y 6. R R x y R xry x < y 7. R X p q X prq p q (X - zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie) 8. R X p q X prq p q (X - zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie) 3. Zbadaj czy relacja jest funkcją:. R = {(a a) (a b)} {a} {a b}. R = {(a a) (b a)} {a} {a b} 3. R = {(x y) : x = y } R R 4. R = {(x y) : x = y } R R + 5. {(x y) : x = y 3 } N Z 6. {(x y) : xy = } R 3. Relacje równoważności 4. Udowodnij że relacja R X jest relacją równoważności i opisz jej klasy abstrakcji. X-zbiór liczb parzystych xry 3 x y 3

4 . X = N xry x + y 5. Dane są relacje równoważności R R X. Zbadaj czy relacje:. R R. R R 3. R c = X R są relacjami równoważności. Jeżeli tak to jak się mają ich klasy abstrakcji do klas abstrakcji R i R? 6. Dany jest podział prostej R na odcinki R = n= n n + ). Wskaż relację równoważności której klasami abstrakcji są te odcinki. 7. Dany jest podział płaszczyzny R na sumę koncentrycznych promieni o środku () i grubości od wewnątrz domkniętych od zewnątrz otwartych oraz otwartego koła o środku () i promieniu. Znajdź relację równoważności której klasami abstrakcji są te zbiory. 3.3 Konstrukcje zbiorów liczbowych 8. Udowodnij że relacja R (N ) (n m )R(n m ) n + m = m + n jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 9. Udodownij że poniższe działania określone na parach są dobrze określone na klasach abstrakcji par tzn. że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym ((n m )R(n m ) n + m = m + n ):. (n m ) + (n m ) = (n + m m + m ). (n m ) + (n m ) = (n + m m + n ) 3. (n m ) (n m ) = (n n + m m n m + m n ).. Udowodnij że relacja R (Z ) (p q )R(p q ) p q = p + q jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji?. Udodownij że poniższe działania określone na parach są dobrze określone na klasach abstrakcji par tzn. że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym ((p q )R(p q ) p q = p q ): 4

5 . (p q ) (p q ) = (p p q q ). (p q )/(p q ) = (p q p + q ) 3. (p q ) + (p q ) = (p q + p q q q ). 4. (p q ) (p q ) = (p q p q q q ).. Udowodnij że relacja R Z prq 5 (n m) jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 3. Udowodnij że poniższe działania określone w zbiorze liczb całkowitych są dobrze określone na klasch abstrakcji powyższej relacji czyli że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym (prq 5 (n m)):. dodawanie. odejmowanie 3. mnożenie 4 Funkcje 5 Liczby zespolone 4. Znajdź sumę różnicę oraz iloczyn podanych liczb:. + 4i 6i. i 5 i i 9 i i i i.8 +.i i.4 + i i 3 3i 8. i 5. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste które x i y spełniające równanie:. ( + i)x + ( + i)y = 4i. (3 + i)x + ( 3i)y = 4 9i 5

6 6. Znajdź odwrotność podanej liczby:. + i. 3i 3. i i i i i 7. Rozwiąż równania:. (+i) z+4 i 4+3i = i. 3. (3 i) z +3i i (+i) z 4+3i 3 i = 4i = + i 4. (i+3) z+4 3i 4+i = i 5. (4+3i) z 3 i 5 i = 3i ( 4i) z +4i +3i = + i ( 4i) z +i 4 i = i 8. (+i) z+5+7i i = + 3i 8. Rozwiąż układ równań liniowych:. { ( + i) z + ( i) z = + i ( i) z + ( + i) z = + 3i. { i z + ( + i) z = + i i z + (3 + i) z = 5 + 3i 3. { ( i) z 3 z = i z + (3 + 3i) z = 3 i 4. { z ( + i) z = i (4 i) z 5 z = i 6

7 5. równania kwadratowe 9. Rozwiąż równanie: z + 8 6i = z i = z ( + i)z + i 3z + ( + i)z + i = z + ( + 3i)z 4 + 3i = ( + i)z + ( 3i)z z + ( + i)z + ( + i) z (3 + 3i)z + 5i = 5. postać trygonometryczna 3. Przekształć liczbę zespoloną do postaci kartezjańskiej:. e i π. e iπ 3. 4e i π 3 4. e i π 4 5. ei 5π 3 6. e i 5π e i 4π 3 3. Przekształć liczbę zespoloną do postaci wykładniczej:. + 3i. i i i i 3. Wyznacz liczby zespolone: 7

8 . sprzężone do swojego kwadratu. sprzężone do swojego sześcianu 33. Obliczyć:. (+i) 5 ( i) 3. (3 + i) 3 + (3 i) 3 3. i i i ( + i) 7. ( + i 3) 5 8. ( ) 3 3+i i 9. ( + i) n. ( ) n 3i 34. Wyprowadź wzory na:. sin(x) cos(x). sin(3x) cos(3x) 3. sin(4x) cos(4x) 4. sin(5x) cos(5x) 5. sin(nx) cos(nx) 35. Wyznacz wszystkie pierwiastki z stopnia Wskaż wśród nich pierwiastki pierwotne. 36. Wyznacz pierwiastki: i 5( 3i) 8 8 ( i) 4 4 8

9 ( i 3 Wynik podaj w postaci wykładniczej i algebraicznej 37. Znajdź wszystkie zespolone pierwiastki równania z +3z 3. Połącz liniami na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki o najbliżsych sobie argumentach. 38. Udowodnij że i i = i i 39. Oblicz:. i i. i i 3. ( + 3i) +i 4. i + i Wynik podaj w postaci wykładniczej 4. Oblicz wartość główną logarytmu oraz podaj wszystkie wartości które może przyjmować logarytm:. log (4). ln( ) 3. ln e 4. log ( + i) 6 Macierze 4. Podaj wynik działań na macierzach:

10 3. i + i + i i + i Wykonaj działania:. 3 ( ) ( 3 4 ) Oblicz macierz transponowaną oraz ślad macierzy: i

11 44. Oblicz wyznaczniki macierzy (wiersze lub kolumny równoległe wyznacznik równy zero): i i 45. Oblicz wyznaczniki korzystając z rozwinięcia Laplace a (każda transpozycja wierszy lub kolumn zmienia znak wyznacznika cykl nie zmienia): Uprość wyznaczniki(od wiersza można odjąć wielokrotność innego wiersza podobnie dla kolumn) a następnie oblicz z rozwinięcia Laplace a: Wyznacz macierz odwrotną do:

Podobne dokumenty

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.