Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Transkrypt

1 Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie w trybie oznajmującym, któremu można, w sposób jednoznaczny, przyporządkowad wartośd logiczną : prawda oznaczana ) lub fałsz oznaczana 0). Symbole zdao zapisujemy jako: p,q,r. Np. p liczba jest parzysta ; q liczba 7 jest mniejsza niż. Def. Formą zdaniową określoną w dziedzinie D nazywamy wyrażenie zawierające zmienną lub zmienne), które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej lub zmiennych) podstawimy nazwę lub nazwy) dowolnego elementu lub dowolnych elementów) zbioru D. Symbole form zdaniowych to: f), f, y). Np. f) >5 ; g,y) y=5. Def. Zbiór elementów spełniających formę zdaniową jest to zbiór tych elementów dziedziny D, które po podstawieniu w miejsce zmiennych czynią z formy zdaniowej zdanie prawdziwe. Funktory zdaniotwórcze: - koniunkcja - i - alternatywa - lub - implikacja wynika z -równoważnośd równoważne z ~ - negacja nieprawda, że

2 Tabele wartości logicznych: p p 0 0 p q pq pq pq pq Sprawdzanie wartości logicznej zdania metodą 0-: [pq)r][pr)qr)] p q r pq pq)r pr qr pr)qr) [pq)r][pr)qr)]

3 Podstawowe prawa rachunku zdao: p) p prawo podwójnego przeczenia p p prawo wyłączonego środka ~p~p) prawo sprzeczności pq r pqr) prawo łączności alternatywy pq r pqr) prawo łączności koniunkcji pq qp prawo przemienności alternatywy pq qp prawo przemienności koniunkcji p qr pq pr) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy p qr pq) pr) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji ~ pq ~p~q prawo de Morgan a ~ pq ~p~q prawo de Morgan a p q ~q ~p) prawo kontrapozycji transpozycji) ~ p q p~q prawo zaprzeczenia implikacji p q ~pq prawo eliminacji implikacji p q q r p r) prawo przechodniości implikacji p q) q r p r) prawo sylogizmu warunkowego q r) p q p r) prawo sylogizmu warunkowego

4 Kwantyfikatory operatory działające na formach zdaniowych, wiążące zmienne wolne dla każdego ) istnieje ) Np. : 0 ; : +=4. Podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów: ~ : φ : ~φ prawo de Morgan a ~ : φ : ~φ prawo de Morgan a : φψ : φ : ψ prawo półrozdzielności dużego kwantyfikatora z implikacją : φψ : φ : ψ prawo rozdzielności dużego kwantyfikatora z koniunkcją : φψ : φ : ψ prawo rozdzielności małego kwantyfikatora z alternatywą : φ : ψ : φψ prawo półrozdzielności dużego kwantyfikatora z alternatywą : φ : ψ : φψ prawo półrozdzielności małego kwantyfikatora z koniunkcją

5 Zbiór jest pojęciem pierwotnym nie ma definicji zbioru). Oznaczamy A,B,C, Zbiory są określane poprzez podanie własności elementów zbioru np. własności wyrażonych poprzez formę zdaniową) A={: f)} lub poprzez podanie wszystkich elementów A={a,b,c,..}. Relacje określane dla zbiorów: A należy do zbioru A y A y A y nie należy do zbioru A y A X A B : A B A zawiera się w B lub A jest podzbiorem B A=B : A B A jest równe B Działania na zbiorach: Suma zbiorów A i B : A B = {: A B} Iloczyn zbiorów A i B przecięcie, częśd wspólna): A B = {: A B}

6 Różnica zbiorów A i B: A \ B = {: A B} Dopełnienie zbioru A: A = {: A} Podstawowe prawa rachunku zbiorów: A B = B A prawo przemienności sumy A B = B A prawo przemienności iloczynu A B C = A B C prawo łączności sumy A B C = A B C prawo łączności iloczynu A B C = A B A C prawo rozdzielności iloczynu wzgledem sumy A B C = A B A C prawo rozdzielności sumy względem iloczynu A B = A B prawo de Morgana A B = A B prawo de Morgana A B C D => A C B D A B C D => A C B D

7 Zbiory liczbowe: - zbiór liczb naturalnych - zbiór liczb całkowitych - zbiór liczb wymiernych - zbiór liczb niewymiernych - zbiór liczb rzeczywistych Działania w zbiorze liczb rzeczywistych: dodawanie: +y +y=y+ przemiennośd +y+z)=+y)+z łącznośd +0= element neutralny 0 istnieje liczba przeciwna do oznaczana taka, że: definiujemy odejmowanie: +-y)=-y + -)=0 mnożenie: y y= y przemiennośd y z)= y) z łącznośd = element neutralny istnieje liczba odwrotna do 0 oznaczana taka że: = definiujemy dzielenie dla y 0: :y = y

8 Graficzna interpretacja zbioru liczb rzeczywistych <0 >0 0 a b a<b Podstawowe równania: y=0 =0 y=0 = 0 =0 y0 y Podstawowe nierówności: y>0 >0 y>0) <0 y<0) y<0 >0 y<0) <0 y>0) >0 y>0 y0 y Moduł wartośd bezwzględna): =, 0, < 0 a a-b b a 0 b

9 Przedziały: otwarty a,b): a,b) a< <b w skrócie a<<b a b domknięty <a,b> lub [a,b] ) : <a,b> a b w skrócie ab a b nieograniczony a,+) lub -,b): a,+) a< lub -,b) <b a b Potęgowanie: dla a i n definiujemy a n = a a a; a 0 =, a 0 własności: a n+m = a n a m a n m = an am, a 0 a n b n = a b n a n n, b 0 b n = a b a n ) m = a n m n razy

10 Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy a + b) = a + ab + b kwadrat różnicy a b) = a ab + b sześcian sumy a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 sześcian różnicy a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 różnica kwadratów a b = a + b)a b) suma sześcianów a 3 + b 3 = a + b)a ab + b ) różnica sześcianów a 3 b 3 = a b)a + ab + b ) Pierwiastkowanie: dla a0 i n definiujemy n a = b b n = a dla a<0 i n nieparzystego definiujemy n a n = a Uwaga: nie istnieją pierwiastki stopnia parzystego z liczb ujemnych własności: n n n a b = a b n n a = a n, b 0 b b n a m n m = a n m a n m = a n n n a = a oraz a n = a, n parzyste a, n nieparzyste

11 Def. Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie f:x Y, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Oznaczamy y=f), gdzie y to wartośd funkcji a to argument funkcji. X nazywamy dziedziną funkcji f: D f Y nazywamy zapasem funkcji f Np. y=f = 3+4 funkcja D f : nie funkcja, ) 0 Przeciwdziedziną, zbiorem wartości f nazywamy zbiór D f - ={yy: X: y=f)} Wykresem funkcji nazywamy zbiór W f = *, y : y = f + wykres funkcji krzywa nie jest wykresem funkcji

12 y y=f) D f - D f Wzór funkcji y=f) mówi jak policzyd wartośd y jeżeli znamy argument. Wykres funkcji jest graficzną reprezentacją funkcji w układzie współrzędnych Oy. Z wykresu funkcji można odczytad dziedzinę, zbiór wartości oraz własności funkcji.

13 Przekształcenia wykresów:. y=f) y=fa) P a OY powinowactwo prostokątne względem osi OY y=f) o skali a y=f). y=f) y=af) P OX a powinowactwo prostokątne względem osi OX o skali a 3. y=f) y=f-a)+b T,a,btranslacja o wektor [a,b] [-,] y=f) y=f) y=f+)+ y=f)

14 4. y=f) y= f) S OX *y<0} symetria osiowa względem osi OX części wykresu dla y<0 y= f) 5. y=f) y=f ) S OY *0} symetria osiowa względem osi OY części wykresu dla 0 y=f) y=f) y=f )

15 Własności funkcji f:xy Def. Mówimy, że funkcja f jest rosnąca w AX, A: < f < f ) Def. Mówimy, że funkcja f jest malejąca w AX, A: < f > f ) Def. Mówimy, że funkcja f jest stała w AX, A: f = f ) stała w B rosnąca w A malejąca w C A B C Def. Mówimy, że funkcja f jest parzysta w AX A: -A f-)=f) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY

16 Def. Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta w AX A: -A f-)=-f) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu 0,0) Def. Mówimy, że funkcja f jest okresowa w A X o okresie T>0) A: TA ft)=f) Def. Mówimy, że funkcja jest różnowartościowa iniektywna) w AX, A: f f ), A: f ) = f ) = f jest różnowartościowa w A A

17 I. Badanie monotoniczności:. f)= 3+, D f = weźmy < f ) -f )= = 3 - )>0 Odp. Funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie. ) ; ) ;, ) ) 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) \ ) f f dla f f R D f f Odp. Badana funkcja jest rosnąca dla, -,-) i dla, -,)

18 II. Badanie parzystości. f)= II D 3 f : ) D f = R\{-,0,} D f -D f f-)= + )4 ) 3 3 = +4 3 = funkcja nieparzysta. f)= f-)= 3 4) 3 4) = 3 4) D f : D f = [ 3, 3 ] \ {0} D f -D f funkcja parzysta 3. f = 4 3 D f : 4 3 0, t= 4t 3t 0 =5 t-, 4 -,, ) -,-][,)=D f D f -D f f = 4 ) 3 = 4 3 = f) funkcja parzysta

19 III. Badanie okresowości: f)=sin3+cos 3 π 4 ) sin3=sin3+) sin3=sin3+ π 3 ) okresem funkcji sin3 jest T = π 3 cos 3 π 4 )=cos 3 π 4 + π) cos 3 π 4 )=cos+6π 3 Odp. Okresem funkcji f jest NWW π 3, 6)=6 π 4 ) okresem funkcji cos 3 π 4 jest T =6 IV. Badanie różnowartościowości:. f = w A = 0,, D f =, AD f f )=f ) ) = ) ) = 0 )[ ) + + +]=0 = )[ ) + + +]= 0 ponieważ ) > 0 dla > 0 i > 0, więc = Odp. Badana funkcja jest różnowartościowa w *0,). f)= 3, D + f = \ {-} f ) = f ) 3 = ) +) = +)3- ) = = 5 / : 5 = Odp. Funkcja jest różnowartościowa w D f 3. f)= - + D f = f )=f ) ) - )+= ) - )+ ) - ) + = 0 - ) - - ) =0 - ) + ) - ) =0 - )[ + )-] = 0 - = 0 v + ) = = v + = Odp. Funkcja nie jest różnowartościowa w ale jest różnowartościowa w -, 4 ) oraz 4,)