1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

Transkrypt

1 Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:. ((p q) p) q. p ( p q) ( p q) są tautologiami. 3. Sprawdź, czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i a dzieli się przez 7, to z faktu, że a nie dzieli się przez 7 wynika, że a dzieli się przez 3 jest prawdziwe dla dowolnego a. 4. Sprawdź, czy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierszą, to o ile n jest liczbą złożoną to n dzieli się przez 7 jest prawdziwe dla dowolnego n.. Funkcje logiczne 5. Narysuj wykresy funkcji logicznych:. f : R {, }, f(x) = x < 5. f :,, {, }, f(x, y) = x < y 3. f :,, {, }, f(x, y) = x + y < 4. f : {,..., } {, }, f(n) = n 3 n. Kwantyfikatory 6. Jakie zachodzą implikacje pomiędzy zdaniami:. x φ(x) oraz xφ(x). x y φ(x, y) oraz y x φ(x, y) 3. x y φ(x, y) oraz y x φ(x, y)

2 4. x y φ(x, y) oraz y x φ(x, y) 5. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 6. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 7. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 8. x φ(x) x ψ(x) oraz x (φ(x) ψ(x)) 7. Zapisz poniższe zdania bez używania kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie:. x: x x. x: x< x = 3. 4 a b a = b 8. Zapisz poniższe zdania używając kwantyfikatorów o ograniczonym zakresie:. x x < y (y < xy < ). x x y (y, π sin(x + y) = sin(y)) 9. Zaneguj wyrażenia:. x A x. x A y x f(y) < f(x) 3. x A ((x < 3) ( y B y = /x)) 4. x y z (z = y ) (xyz = ) 5. x, y z ((x < y) (x < z) (z < y)). Zapisz za pomocą kwantyfikatorów zdania i zaneguj je:. k n (liczba n jest podzielna przez k). liczba a jest liczbą pierwszą 3. każda liczba całkowita dzieli się przez z resztą równą lub 4. x da się przedstawić jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych 5. nie istnieje największa liczba naturalna 6. ciąg {a n } jest dodatni

3 7. ciąg {a n } jest od pewnego miejsca dodatni. 8. ciąg {a n } jest od pewnego miejsca niemalejący 9. ciąg {a n } jest ograniczony. funkcja f : R R jest parzysta. dla dowolnych wartości parametru m funkcja f m jest parzysta albo nieparzysta.. funkcja f : X R posiada dokładnie jedno miejsce zerowe. 3. funkcja f : X R jest stała. Zbiory (3h). Zbiory A, B, C R definiowane są następująco: A = {x : (x ) < } B = {x : x 3 } C = {x : x = 4 } Zaznacz na osi liczbowej: A C, B C, A \ C, C \ B, (A C) \ B, B \ C, A \ (B \ C).. Podzbiory,, (kwadratu jednostkowego) definiowane są następująco: A = {(x, y) : x + y < } B = {(x, y) : x y} Zaznacz w kwadracie zbiory: A, B, A B, A B, A \ B, B \ A, A c, B c. 3. Korzystając z praw rachunku zdań udowodnij prawa rachunku zbiorów:. (A B) c = A c B c. (A B) c = A c B c 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A (B C) = (A B) (A C) 5. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C) 6. (A C) \ (A B) = (A \ B) (C \ A) Zaznacz prawe i lewe strony równości na diagramach Venna. 4. Udowodnij zachodzenie implikacji: 3

4 . (A B) (A C) A (B C). (A B) (A C) A (B C) 3. (A C) (B C) (A B) C 4. (A C) (B C) (A B) C. Iloczyn kartezjański 5. Wyznacz wszystkie elementy iloczynów kartezjańskich A B C i C B A zbiorów: A = {, }, B = {}, C = {, 3}. 6. Jak wygląda iloczyn kartezjański zbiorów (I - odcinek jednostkowy, S - okrąg):. I I. I S 3. S S 4. S R 5. I R 6. S N 7. I N 8. N R 9. S S N. Indeksowane rodziny zbiorów 7. Znajdź wszystkie elementy indeksowanej rodziny zbiorów (A i ) i I, gdzie I = {,, 3, 4}, A i = {n N : n i } 8. Znajdź trzy pierwsze elementy indeksowanej rodziny zbiorów: (A n ) n N, gdzie A n = {x R : n > x > n + }. 9. Znajdź trzy dowolne elementy indeksowanej rodziny zbiorów: (A r ) r R+, gdzie A r = {(x, y) R : x + y < r }.. Znajdź n N oraz n N dla zbiorów:. {x R : x n+ }. {x R : ( ) n > x > 5 + ( ) n } 3. {x R : n < x < (n + ) } 4. {x R : sin(x) = n}. Znajdź i I oraz i I gdy:. I =, ), A i = {x R : i x} 4

5 . I =,, A i = {x R : i < x < i+ } 3. I = R, A i = {(x, y) R : x + y > i }. Jakie zachodzą inkluzje pomiędzy zbiorami:. i N(A i B i ) oraz ( i N A i ) ( i N B i ). i N(A i B i ) oraz ( i N A i ) ( i N B i ) 3. i I 3 Relacje j J A i,j oraz j J i I A i,j 3. Ogólne własności relacji (h) 3. Narysuj diagramy i grafy relacji R {,..., 5} :. xry x = y. xry x < y 3. xry x y 5. xry x y y x 6. xry x + y 4. xry x y 4. Zbadać czy relacje z powyższego zadania są zwrotne, symetryczne, przechodnie, symetryczne, antysymetryczne, słabo antysymetryczne, są funkcjami. 5. Jakie własności geometryczne posiada diagram relacji zwrotnej, symetrycznej, przechodniej, symetrycznej, antysymetrycznej, słabo antysymetrycznej, funkcji? 6. Zbadaj jakie własności spełnia relacja:. R Z x, y Z xry 3 x y. R N x, y N xry x + y 3. R N x, y N xry x x y 4. R N + x, y N + xry x y x y 5. R R x, y R xry x = y 6. R R x, y R xry x < y 7. R X p, q X prq p q (X - zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie) 5

6 8. R X p, q X prq p q (X - zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie) 7. Zbadaj czy relacja jest funkcją:. R = {(a, a), (a, b)} {a} {a, b}. R = {(a, a), (b, a)} {a} {a, b} 3. R = {(x, y) : x = y } R R 4. R = {(x, y) : x = y } R R + 5. {(x, y) : x = y 3 } N Z 6. {(x, y) : xy = } R 3. Relacje równoważności i konstrukcje zbiorów liczbowych (h) 8. Udowodnij że relacja R X jest relacją równoważności i opisz jej klasy abstrakcji. X-zbiór liczb parzystych, xry 3 x y. X = N, xry x + y 3. X = R, xry x y Z 4. X = {,... 6}, xry 4 x y 5. X - zbiór prostych na płaszczyźnie, xry x y 6. X - klasa zbiorów o skończonej liczbie elementów, ARB Φ:A B Φ jest bijekcją 9. Dane są relacje równoważności R, R X. Zbadaj czy relacje:. R R. R R 3. R c = X R 6

7 są relacjami równoważności. Jeżeli tak, to jak się mają ich klasy abstrakcji do klas abstrakcji R i R? 3. Dany jest podział prostej R na odcinki R = n= n, n + ). Wskaż relację równoważności, której klasami abstrakcji są te odcinki. 3. Dany jest podział płaszczyzny R na sumę koncentrycznych promieni o środku (,) i grubości od wewnątrz domkniętych, od zewnątrz otwartych oraz otwartego koła o środku (,) i promieniu. Znajdź relację równoważności, której klasami abstrakcji są te zbiory. 3. Udowodnij że relacja R (N ), (n, m )R(n, m ) n + m = m + n jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 33. Połącz liniami w zbiorze par liczb naturalnych punkty odpowiadające parom będącym ze sobą w relacji 34. Udowodnij że poniższe działania określone na parach są dobrze określone na klasach abstrakcji par, tzn. że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym ((n, m )R(n, m ) n + m = m + n ):. (n, m ) + (n, m ) = (n + n, m + m ). (n, m ) (n, m ) = (n + m, m + n ) 3. (n, m ) (n, m ) = (n n + m m, n m + m n ). 35. Udowodnij że relacja R (Z Z \ {}), (p, q )R(p, q ) p q = p q jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 36. Połącz liniami w zbiorze par liczb całkowitych punkty odpowiadające parom będącym ze sobą w relacji 37. Udodownij że poniższe działania określone na parach są dobrze określone na klasach abstrakcji par, tzn. że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym ((p, q )R(p, q ) p q = p q ):. (p, q ) (p, q ) = (p p, q q ). (p, q )/(p, q ) = (p q, p + q ) 3. (p, q ) + (p, q ) = (p q + p q, q q ). 4. (p, q ) (p, q ) = (p q p q, q q ). 7

8 38. Udowodnij, że relacja R Z, prq 5 (n m) jest relacją równoważności. Czemu odpowiadają jej klasy abstrakcji? 39. Udowodnij, że poniższe działania określone w zbiorze liczb całkowitych, są dobrze określone na klasch abstrakcji powyższej relacji, czyli że zmiana dowolnego argumentu działania na element będący z nim w relacji spowoduje zmianę wyniku na nowy będący w relacji ze starym (prq 5 (n m)):. dodawanie. odejmowanie 3. mnożenie 3.3 Relacje porządku(h) 4. Udowodnij, że poniższe relacje są relacjami częściowego porządku:. R N +, xry x y. R (R ), (x, y )R(x, y ) x x y y 3. R ( N ), A R B A B 4. R - relacja w zbiorze trójkątów na płaszczyźnie. A R B S(A) = S(B) (mają równe pola) 5. R - relacja w zbiorze trójkątów na płaszczyźnie. A R B A B Dla każdej relacji znajdź przykład łańcucha i antyłańcucha (długości min. 4), oraz przukłąd podzioru nie będącego ani łańcuchem ani antyłańcychem. 4. Dla relacji porządku. R {,..., 5}, xry x y. R ( {,,3} ), A R B A B 3. R ( {,,3} \ {, {,, 3}}), A R B A B 4. R ({,, 3} {,, 3}), (x, y )R(x, y ) x < x y < y narysuj diagramy Hassego. Na diagramach zaznacz łańcuch, antyłańcuch oraz elementy wyróżnione. 4. Narysuj przykład diagramu Hassego relacji, która posiada:. dokładnie jeden element maksymalny i żadnego największego. dokładnie dwa elementy minimalne i jeden największy 3. dokładnie jeden element minimalny i żadnego najmniejszego 8

9 4. dokładnie dwa elementy maksymalne i jeden najmniejszy 5. dokładnie jeden element maksymalny, ale żadnego największego 6. element minimalny będący jednocześnie elementem maksymalnym oraz nie posiada elementu największego i najmniejszego 4 Funkcje(3h) 43. Dla podanych funkcji sprawdzić, czy jest injekcją i surjekcją: f : R R + {} f(x) = x f : R + {} R f(x) = x f : (, ) R f(x) = x x 44. Dla funkcji, które nie były injekcjami tak ograniczyć przeciwdziedzinę, by były. 45. Dla funkcji, które nie były surjekcjami tak ograniczyć dziedzinę, by były. 46. Dla funkcji, który były bijekcjami znaleźć funkcję odwrotną. 47. Znaleźć złożenia f g i g f jeżeli to możliwe: f : N N N, f(n, m) = n + m g : N N N, g(n) = (n, n + 4) f : R (, ), f(x) = e x +e x g : (, ) R, g(x) = x x f : N N N, f(n, m) = n + m g : N N Z, g(n) = (n, n 4) 48. Udowodnić, że złożenie dwóch injekcji jest injekcją. 49. Udowodnić, że złożenie dwóch surjekcji jest surjekcją. 5. Udowodnić, że złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją. 5. Udowodnić własności obrazów: A, B f(a B) = f(a) f(b) 9

10 A, B f(a B) f(a) f(b) A, B f(a) \ f(b) f(a \ B) ogólniej: f( i I A i ) = i I f(a i ) f( i I A i ) i I f(a i ) 5. Udowodnić, że dla funkcji różnowartościowych: A, B f(a B) = f(a) f(b) A, B f(a) \ f(b) = f(a \ B) ogólniej: f( i I A i ) = i I f(a i ) 53. Udowodnić własności przeciwobrazów: A, B f (A B) = f (A) f (B) A, B f (A B) = f (A) f (B) A, B f (A \ B) = f (A) \ f (B) ogólniej: f ( i I A i ) = i I f (A i ) f ( i I A i ) = i I f (A i ) 54. Udowodnić, że: A f (f(a)) f(f (B)) B 55. Udowodnić, że jeżeli: A, B f(a B) = f(a) f(b), to funkcja jest różnowartościowa. 56. Udowodnić, że jeżeli: A f (f(a)) = A, to funkcja jest różnowartościowa. 57. Udowodnić, że jeżeli: B f(f (B)) = B, to funkcja jest na. 5 Liczby zespolone 58. Znajdź sumę, różnicę oraz iloczyn podanych liczb:

11 . + 4i, 6i. i, 5 i i, 9 i i, i i,.8 +.i i,.4 + i i, 3 3i 8. i, 59. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x i y spełniające równanie:. ( + i)x + ( + i)y = 4i. (3 + i)x + ( 3i)y = 4 9i 6. Znajdź odwrotność podanej liczby:. + i 3. i 5. 4i i. 3i i i 6. Rozwiąż równania:. (+i) z+4 i 4+3i = i 5. (4+3i) z 3 i 5 i = 3i. (3 i) z +3i i = 4i 6. ( 4i) z +4i +3i = + i 3. (+i) z 4+3i 3 i = + i 7. ( 4i) z +i 4 i = i 4. (i+3) z+4 3i 4+i = i 8. (+i) z+5+7i i = + 3i 6. Rozwiąż układ równań liniowych:. { ( + i) z + ( i) z = + i ( i) z + ( + i) z = + 3i. { i z + ( + i) z = + i i z + (3 + i) z = 5 + 3i 3. { ( i) z 3 z = i z + (3 + 3i) z = 3 i 4. { z ( + i) z = i (4 i) z 5 z = i

12 5. równania kwadratowe 63. Rozwiąż równanie:. z + 8 6i =. z i = 3. z ( + i)z + i = 4. 3z + ( + i)z + i = 5. z + ( + 3i)z 4 + 3i = 6. ( + i)z + ( 3i)z = 7. z + ( + i)z + ( + i) = 8. z (3 + 3i)z + 5i = 9. ( i)z (3 + i)z + + i =. (+i)z +( 3+4i)z 3 i =. ( i)z +( 5+5i)z+3 4i =. (+i)z +3(+i)z+(+i) = 5. postać trygonometryczna 64. Przekształć liczbę zespoloną do postaci kartezjańskiej:. e i π. e iπ 3. 4e i π 3 4. e i π 4 5. ei 5π 3 6. e i 5π e i 4π Przekształć liczbę zespoloną do postaci wykładniczej:. + 3i. i i i i 66. Wyznacz liczby zespolone:. sprzężone do swojego kwadratu. sprzężone do swojego sześcianu 67. Obliczyć:. (+i) 5 ( i) 3. (3 + i) 3 + (3 i) 3 3. i i i ( + i) 7. ( + i 3) 5 8. ( ) 3 3+i i 9. ( + i) n. ( ) n 3i 68. Wyprowadź wzory na:

13 . sin(x), cos(x). sin(3x), cos(3x) 3. sin(4x), cos(4x) 4. sin(5x), cos(5x) 5. sin(nx), cos(nx) 69. Wyznacz wszystkie pierwiastki z stopnia 3, 4, 5, 6, 9,. Wskaż wśród nich pierwiastki pierwotne. 7. Wyznacz pierwiastki:. 3 i i i 5( 3i) 8 8 ( i) i 4 7( i 3) i i Wynik podaj w postaci wykładniczej i algebraicznej Zadanie świąteczne: Znajdź wszystkie zespolone pierwiastki równania z 3z 5 3. Połącz liniami na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki o najbliższych sobie argumentach (Pomoc: = = ). 7. Oblicz wartość główną logarytmu oraz podaj wszystkie wartości, które może przyjmować logarytm:. log (4). log ( 4) 3. log (4i) 4. log ( + i) 5. log ( + 3i) 6. log ( 3 i) 7. ln( ) 8. ln( ie) 9. ln e. log 3 ( 9). log 3 ( 9i). log 3 (9i) 7. Udowodnij, że i i = i i 73. Oblicz:. i i 3. ( + 3i) i. i i 4. ( + 3i) +i 5. ( + 3i) 6 + i 6 6. i + i Wynik podaj w postaci wykładniczej 3

14 5.3 *Geometria płaszczyzny zespolonej Odwzorowanie homograficzne f : C C definiujemy wzorem: f(z) = (az + b/(cz + d)), gdzie a, b, c, d C 74. Pokaż, że odwzorowanie homograficzne przekształca dowolny okrąg z +Re iφ (w szczególności prostą) w inny okrąg (w szczególności prostą). 75. Znajdź wszystkie odwzorowania homograficzne przekształcające koło jednostkowe w lewą półpłaszczyznę. 76. Znajdź wszystkie odwzorowania homograficzne przekształcające lewą półpłaszczyznę w koło jednostkowe. 6 Macierze 77. Podaj wynik działań na macierzach: i + i + i i + i Wykonaj działania:. 3 ( ), ( 3 4 ) 3 4 4

15 . 3, , Oblicz macierz transponowaną oraz ślad macierzy:,,, i 8. Oblicz wyznaczniki macierzy (wiersze lub kolumny równoległe wyznacznik równy zero): 3 3 i,,, 5 6 i 8. Oblicz wyznaczniki korzystając z rozwinięcia Laplace a (każda transpozycja wierszy lub kolumn zmienia znak wyznacznika, cykl nie zmienia): , 3, 3 3, ,

16 8. Uprość wyznaczniki(od wiersza można odjąć wielokrotność innego wiersza, podobnie dla kolumn), a następnie oblicz z rozwinięcia Laplace a: 4 3 4, 4, , Oblicz wyznaczniki: , , , Wyznacz rząd macierzy: 3 4 3, , 85. Wyznacz macierz odwrotną do: 4 4, , ,, , Oblicz: + + wykorzystując wzór na szereg geometryczny