Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Transkrypt

1 Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1

2 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy obiekt w przestrzeni. Prosta - ślad punktu, który porusza się po najkrótszej drodze łączącej dwa punkty. Płaszczyzna - obiekt geometryczny, który przechodzi przez trzy niewspółliniowe punkty w przestrzeni. Proste równoległe biegną w tym samym kierunku i nie mają żadnego punktu wspólnego. Dr inż. Janusz Dębiński 2

3 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Półprosta jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą po ustalonej stronie pewnego wyróżnionego punktu tej prostej, wraz z tym punktem. Punkt ten jest początkiem półprostej. Odcinek jest zbiorem dokładnie tych wszystkich punktów prostej, które leżą pomiędzy dwoma punktami prostej wraz z tymi punktami. Jest on więc najkrótszą drogą łączącą dwa punkty. Dr inż. Janusz Dębiński 3

4 2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych w przestrzeni Z Z Z A(x, y, z) O O z x y x, y, z - współrzędne punktu A Dr inż. Janusz Dębiński 4

5 2.2. Prawoskrętny kartezjański układ współrzędnych Układ współrzędnych na płaszczyźnie x A(x, y) y II O I O III IV Oś - oś odciętych, oś - oś rzędnych. Dr inż. Janusz Dębiński 5

6 2.3. Kąt płaski Definicja kąta płaskiego b a S α a S α b α >0 α <0 S - wierzchołek kąta, a oraz b - ramiona kąta Dr inż. Janusz Dębiński 6

7 2.3. Kąt płaski Podstawowe kąty b S a=b b S a S a kąt pełny kąt półpełny kąt prosty b b S a S a S a kąt ostry b kąt wklęsły kąt rozwarty Dr inż. Janusz Dębiński 7

8 2.3. Kąt płaski Miara stopniowa kąta płaskiego Miara stopniowa kąta płaskiego opiera się na podziale kąta pełnego na 360 stopni. Stopień następnie dzieli się na 60 ' (minut), natomiast minutę na 60'' (sekund). 1 O ma więc 3600''. Sekundy dzieli się w sposób dziesiętny. Możliwy jest podział stopnia w sposób dziesiętny. Dr inż. Janusz Dębiński 8

9 2.3. Kąt płaski Miara łukowa kąta płaskiego A L B R α R O A R R O α =1 rad R B Obwód okręgu U =2 R Długość łuku L=R = 180 = rad = 57 O 17'44,8'' = 57,2957 O Dr inż. Janusz Dębiński 9

10 2.3. Kąt płaski Nazwa kąta Miara stopniowa Miara łukowa ostry o 90 o 2 prosty rozwarty półpełny o =90 o 90 o o 180 o o =180 o = 2 2 = wklęsły 180 o o 360 o 2 pełny o =360 o =2 Dr inż. Janusz Dębiński 10

11 2.3. Kąt płaski Kąty przyległe i wierzchołkowe b β γ δ α a Kąty przyległe (α, β) (β, γ) (γ, δ) (δ, α) Kąty wierzchołkowe (α, γ) (β, δ) Dr inż. Janusz Dębiński 11

12 2.3. Kąt płaski Kąty naprzemianległe i odpowiadające c β 1 α 1 γ 1 δ 1 a Kąty naprzemianległe (α 1, γ 2 ) (β 1, δ 2 ) (α 2, γ 1 ) (β 2, δ 1 ) Kąty odpowiadające (α 1, α 2 ) (β 1, β 2 ) (γ 1, γ 2 ) (δ 1, δ 2 ) β 2 α 2 b γ 2 δ 2 Dr inż. Janusz Dębiński 12

13 2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Trójkąt prostokątny α c β a b γ α c a γ β b a+b > c b+c > a c+a > b a, b - przyprostokątne c - przeciwprostokątna P= 1 2 a b Twierdzenie Pitagorasa a 2 b 2 =c 2 Dr inż. Janusz Dębiński 13

14 2.4. Podstawowe twierdzenia geometrii Twierdzenie Talesa P 1 Q 1 P 2 S S Q 1 P 2 Q 2 P 1 Q 2 a b a b SP 1 SQ 1 = SP 2 SQ 2 SP 1 SQ 1 = P 1 P 2 Q 1 Q 2 Dr inż. Janusz Dębiński 14

15 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje na okręgu O α A B sin = AB OB cos = OA OB tg = AB OA ctg = OA AB Dr inż. Janusz Dębiński 15

16 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym c β b sin = b c sin = a c α a γ cos = a c cos = b c tg = b a tg = a b ctg = a b ctg = b a Dr inż. Janusz Dębiński 16

17 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka I II III IV sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 17

18 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ujemnego sin = sin cos =cos tg = tg ctg = ctg Dr inż. Janusz Dębiński 18

19 2.5. Definicje funkcji trygonometrycznych Wartości funkcji trygonometrycznych Miara stopniowa Miara łukowa sin(α) cos(α) tg(α) ctg(α) Dr inż. Janusz Dębiński 19

20 2.6. Funkcje Definicja funkcji Załóżmy, że x i y są dwiema zmieniającymi się wielkościami, przy czym każdej wartości x przyporządkowujemy co najwyżej jedną wartość y. Mówimy wówczas, że y jest funkcją x y= f x x - zmienna niezależna albo argument funkcji y - zmienna zależna. Wszystkie wartości x, którym przyporządkowujemy wartości y nazywamy dziedziną funkcji. Daną funkcję przedstawiamy w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą zbioru punktów o współrzędnych (x, y), który nazywamy wykresem funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 20

21 2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 2 )>f(x 1 ). f(x 2 ) f(x 1 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 21

22 2.6. Funkcje Funkcja malejąca Jeżeli dla x 2 >x 1 funkcja spełnia warunek f(x 1 )>f(x 2 ). f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 Dr inż. Janusz Dębiński 22

23 2.6. Funkcje Ciągłość funkcji Funkcja ciągła - przy niewielkich zmianach argumentu x wartości funkcji y zmieniają się także bardzo mało. Wykresem takiej funkcji jest linia ciągła. Przy pewnych wartościach x funkcja może nie być ciągła i wtedy wykres funkcji ma przerwę. Wartości argumentu x, przy których to zachodzi nazywamy punktami nieciągłości funkcji. Dr inż. Janusz Dębiński 23

24 2.6. Funkcje Funkcja prawo- i lewostronnie ciągła Skończony skok f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 24

25 2.6. Funkcje Pochodna funkcji Pochodną funkcji f(x) jest nowa funkcja zmiennej x, która przyporządkowuje jej wartość ilorazu różnicowego, to znaczy stosunek przyrostu y do odpowiadającego mu przyrostu x przy x dążącym do zera. y f(x) x y '= dy dx = f ' x = d f x dx Dr inż. Janusz Dębiński 25

26 2.6. Funkcje Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji Styczna jest to prosta, która posiada jeden punkt wspólny z wykresem funkcji. Interpretacją geometryczną pochodnej funkcji f(x) w punkcie o odciętej równej a jest tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji f(x) w tym punkcie. f(a) f(x) α f ' a =tg α a Dr inż. Janusz Dębiński 26

27 2.6. Funkcje Właściwości pochodnej funkcji [ f x g x h x ] ' = f ' x g ' x h' x [a f x ] ' =a f ' x Dr inż. Janusz Dębiński 27

28 2.6. Funkcje Pochodna prawo- i lewostronna Jeżeli w jakimś punkcie nie możemy policzyć pochodnej funkcji, ale możemy ją policzyć nieskończenie blisko z lewej i prawej strony tego punktu, to takie pochodne nazywamy pochodną lewostronną i prawostronną. Funkcja posiada wtedy punkt kątowy. f(x) α 1 a α 2 f ' a 0 =tg 1 f ' a 0 =tg 2 Dr inż. Janusz Dębiński 28

29 2.6. Funkcje Funkcja rosnąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była rosnąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 29

30 2.6. Funkcje Funkcja malejąca Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w pewnym przedziale i posiadającą ciągłą przynajmniej pierwszą pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Aby funkcja ta była malejąca w tym przedziale, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest f ' x 0 f(x) α Dr inż. Janusz Dębiński 30

31 2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a maksimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a maksimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 31

32 2.6. Funkcje Ekstremum funkcji Funkcja f(x) z dziedziną D ma w punkcie a minimum absolutne lub globalne, jeżeli dla wszystkich zmiennych x należących do dziedziny f a f x Funkcja f(x) ma w punkcie a minimum względne lub lokalne, jeżeli nierówność powyższa jest prawdziwa w pewnym otoczeniu punktu a. Dr inż. Janusz Dębiński 32

33 2.6. Funkcje Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji Dla funkcji ciągłych maksimum lub minimum lokalne może być tylko w tych punktach, w których pochodna funkcji równa się zero, lub w ogóle nie istnieje. W miejscu maksimum lub minimum lokalnego styczna jest równoległa do osi lub do osi, lub w tym miejscu jest punkt kątowy. f(x) f(x) f(x) Dr inż. Janusz Dębiński 33

34 2.6. Funkcje Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji Mówi on, że pochodna funkcji musi zmieniać znak przy przejściu przez punkt, w którym funkcja może mieć ekstremum. f'(x)=0 E f'(x)>0 f(x) f'(x)<0 f(x) f'(x)<0 E f'(x)=0 f'(x)>0 Dr inż. Janusz Dębiński 34

35 2.6. Funkcje Funkcja liniowa Postać funkcji liniowej f x =a x b a - współczynnik kierunkowy prostej Miejsce zerowe x 0 = b a Dr inż. Janusz Dębiński 35

36 2.6. Funkcje Funkcja liniowa Pochodna funkcji liniowej f ' x =a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji liniowej należy wyznaczyć jej wartości w dwóch dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 36

37 2.6. Funkcje Funkcja liniowa a>0, b>0 a>0, b<0 a<0, b>0 a<0, b<0 a>0, b=0 a<0, b=0 a=0, b>0 a=0, b<0 Dr inż. Janusz Dębiński 37

38 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Postać funkcji kwadratowej f x =a x 2 b x c Współczynnik a musi być różny od zera. Wykresem tej funkcji jest krzywa, którą nazywamy parabolą. Jeżeli współczynnik a>0, to brzuszek paraboli skierowany jest w dół, jeżeli a<0, to brzuszek paraboli skierowany jest do góry. Dr inż. Janusz Dębiński 38

39 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa O ilości miejsc zerowych funkcji kwadratowej decyduje wyróżnik, który ma następującą postać =b 2 4 a c Jeżeli jest on ujemny, to funkcja kwadratowa nie posiada miejsc zerowych. Jeżeli równy jest on zero, to funkcja kwadratowa posiada jedno miejsce zerowe o odciętej równej x 0 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 39

40 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Jeżeli jest on dodatni, to funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe o odciętych równych x 01 = b 2 a x 02 = b 2 a Dr inż. Janusz Dębiński 40

41 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa Pochodna funkcji kwadratowej f ' x =2 a x b Funkcja kwadratowa posiada jedno ekstremum. Znajduje się ono w punkcie o odciętej równej x ext = b 2 a Aby jednoznacznie narysować wykres funkcji kwadratowej należy wyznaczyć jej wartości w trzech dowolnych punktach. Dr inż. Janusz Dębiński 41

42 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa f(x)=a x 2 +b x+c x ext E f'(x)=2 a x+b E f'(x)=2 a x+b x ext f(x)=a x 2 +b x+c Dr inż. Janusz Dębiński 42

43 2.6. Funkcje Funkcja kwadratowa a>0, <0 a>0, =0 a>0, >0 a<0, <0 a<0, =0 a<0, >0 Dr inż. Janusz Dębiński 43

44 2.7. Macierze Definicja macierzy Macierzą A wymiaru m n nazywamy m n elementów, będących liczbami rzeczywistymi, tworzących tablicę, która składa się z m wierszy i n kolumn. a 11 a 12 a 1n a A=[ 21 a 22 a 2 n a m1 a m2 a mn] Dr inż. Janusz Dębiński 44

45 2.7. Macierze Macierz kwadratowa Jeżeli liczba kolumn równa się liczbie wierszy, to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową. A=[a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn] Dr inż. Janusz Dębiński 45

46 2.7. Macierze Wektor kolumnowy Macierzą wymiaru n 1 nazywamy wektorem kolumnowym. a=[a 1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 46

47 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Każdej macierzy kwadratowej możemy jednoznacznie przyporządkować pewną liczbę, którą nazywamy wyznacznikiem n-tego stopnia macierzy. det A= a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn Dr inż. Janusz Dębiński 47

48 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik drugiego stopnia obliczymy ze wzoru a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11 a 22 a 12 a 21 Dr inż. Janusz Dębiński 48

49 2.7. Macierze Wyznacznik macierzy Wyznacznik trzeciego stopnia obliczymy z zastosowaniem reguły Sarrusa, która ma postać a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 31 a 32 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Dr inż. Janusz Dębiński 49

50 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn dwóch macierzy A i B jest dobrze określony jedynie w przypadku, kiedy liczba kolumn pierwszej macierzy równa się liczbie wierszy drugiej macierzy. Wymiar macierzy wynikowej - [n m] [m k] = [n k] C=A B A=[ a 11 a 12 a 11 b 12 b 13 b a 21 a 22 a 23] B=[b b 21 b 22 b 23 b [2 4] 24 b 31 b 32 b 33 b 34] [2 3] C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 [3 4] c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 50

51 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Iloczyn macierzy wyznaczamy z pomocą schematu Falcka. Element c 11 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów pierwszego wiersza macierzy A i pierwszej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 11 =a 11 b 11 a 12 b 21 a 13 b 31 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 51

52 2.7. Macierze Iloczyn macierzy Element c 23 macierzy C wyznaczymy sumując iloczyny elementów drugiego wiersza macierzy A i trzeciej kolumny macierzy B. A=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23] B=[b 11 b 12 b 13 b 14 b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34] c 23 =a 21 b 13 a 22 b 23 a 23 b 33 C=[ c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24] Dr inż. Janusz Dębiński 52

53 2.7. Macierze Wyrażenie algebraiczne i tożsamość algebraiczna Wyrażeniem algebraicznym nazywamy jedną lub całą grupę wielkości algebraicznych: liczb, symboli literowych, połączonych znakami +, itd. oraz różnego rodzaju nawiasami. Nawiasy pozwalają ustalić kolejność wykonywania działań arytmetycznych. 2 a 3 x y 3 [1 2 z t 1 1 u ] 2 s Tożsamością algebraiczną nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu dowolnych wartości liczbowych w miejsce symboli literowych równość jest prawdziwa. a b=b a Dr inż. Janusz Dębiński 53

54 2.7. Macierze Równanie Równaniem nazywamy taką równość dwóch wyrażeń algebraicznych, że po wstawieniu w miejsce symboli literowych wartości liczbowych z pewnego określonego zakresu jest ono spełnione. Dla jednej zmiennej możemy równanie zapisać w postaci g x = f x Zmienną x występującą w tym równaniu nazywamy niewiadomą, a jej szczególne wartości x 1, x 2,..., x n nazywamy pierwiastkami równania. Dr inż. Janusz Dębiński 54

55 2.7. Macierze Równanie liniowe i układ równań liniowych Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie w postaci a x b=0 Układ n równań liniowych z n niewiadomymi {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n Dr inż. Janusz Dębiński 55

56 2.7. Macierze Układ równań liniowych Wykorzystując iloczyn macierzy układ równań możemy zapisać tym samym w postaci A x=a {a11 x1 a12 x 2 a1 n xn=a1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n =a 2 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n =a n w której macierz A nazywamy macierzą główną układu równań. 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Dr inż. Janusz Dębiński 56

57 2.7. Macierze Układ równań liniowych 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] Rozpatrujemy tylko układy równań, w których przynajmniej jeden element wektora a jest różny od zera. Układy takie nazywamy układami równań niejednorodnych. Aby miał on rozwiązanie wyznacznik z macierzy głównej A musi być różny od zera. Dr inż. Janusz Dębiński 57

58 2.7. Macierze Układ równań liniowych - metoda Cramera 11 a 12 a 1n a A=[a 21 a 22 a 2 n x x=[x1 2 a n1 a n 2 a nn] n] x a=[a1 a 2 a n] 11 a 12 a 1 n a D= a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn 1 a 12 a 1n a12 a1 a D 1 = a 2 a 22 a 2 n a a n a n 2 a nn D 21 a 22 a 2 n= a11 a n 1 a n 2 a n x 1 = D 1 D x n = D n D, Dr inż. Janusz Dębiński 58

59 2.8. Wektory Definicja wektora Wielkości charakteryzowane jedynie liczbami rzeczywistymi nazywamy skalarami. Przykładem wielkości skalarnej są: masa, temperatura, energia, moc. Wektorem nazywamy wielkość, do której pełnego opisu oprócz wartości liczbowej konieczne jest określenie kierunku oraz zwrotu w przestrzeni. Przykładem wielkości wektorowej jest prędkość. Wektor prędkości jest styczny do toru ruchu ciała. Dr inż. Janusz Dębiński 59

60 2.8. Wektory Definicja wektora Do ilościowego opisu wektora służą: 1. zwrot wektora określany poprzez podanie punktu początkowego A oraz końcowego B 2. długość wektora czyli długość odcinka AB 3. kierunek wektora określany przez prostą, na której znajdują się punkty A i B. Dr inż. Janusz Dębiński 60

61 2.8. Wektory Wektor biegunowy Wektory biegunowe służą do opisu wielkości określonych przez liczbę rzeczywistą, kierunek i zwrot. a B A Dr inż. Janusz Dębiński 61

62 2.8. Wektory Wektor osiowy Wektory osiowe służą do opisu wielkości, które dodatkowo wymagają określenia kierunku obrotu. Zwrot wektora osiowego jest zgodny z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej kręcącej się zgodnie z obrotem danej wielkości, a jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, na której działa dana wielkość. B A a a A B Dr inż. Janusz Dębiński 62

63 2.8. Wektory Równość wektorów Mówimy, że dwa wektory biegunowe lub osiowe a i b są równe, jeżeli mają te same długości, kierunki i zwroty. Wektory przeciwne mają z kolei tą samą długość oraz kierunek, ale przeciwne zwroty. W przypadku wektorów osiowych przeciwny zwrot oznacza, że wektory te kręcą się w przeciwnych kierunkach. Dr inż. Janusz Dębiński 63

64 2.8. Wektory Typy wektorów Wektor swobodny jest to taki wektor, który nie zmienia swoich właściwości, to znaczy długości, kierunku i zwrotu, przy dowolnym równoległym przesunięciu w przestrzeni niezależnie do tego, gdzie umieścimy jego punkt początkowy. Jeżeli właściwości wektora związane są z pewnym punktem, to wektor taki nazywamy wektorem związanym. Wektor ślizgający jest to wektor, który można przesuwać wzdłuż prostej pokrywającej się z jego kierunkiem działania. Wektorem zerowym nazywamy wektor o długości zero. Jego punkty początkowy i końcowy pokrywają się. Nie potrafimy ponadto określić jednoznacznie jego kierunku. Dr inż. Janusz Dębiński 64

65 2.8. Wektory Iloczyn skalara i wektora Jeżeli mnożymy dany wektor a przez skalar s, to taki nowy wektor ma ten sam kierunek, natomiast jego długość jest równa iloczynowi wartości s przez długość wektora a. Zwrot nowego wektora zależy od wartości skalara. Jeżeli s>0, to zwrot nowego wektora jest taki sam jak zwrot wektora a. Jeżeli s<0, to zwrot ten jest przeciwny do zwrotu wektora a. Dr inż. Janusz Dębiński 65

66 2.8. Wektory Suma wektorów Sumą dwóch wektorów jest wektor c, którego kierunek przechodzi przez punkt przecięcia się kierunków wektorów a i b. Długość wektora c jest przekątną równoległoboku, którego bokami są wektory a oraz b. Zwrot wektora c zależy od zwrotów wektorów a i b. Dodawanie dwóch wektorów jest działaniem przemiennym, czyli zachodzi związek a b=b a=c Dr inż. Janusz Dębiński 66

67 2.8. Wektory Suma wektorów b b c b c a a a Dr inż. Janusz Dębiński 67

68 2.8. Wektory Suma wektorów b c b a a c b a Dr inż. Janusz Dębiński 68

69 2.8. Wektory Iloczyn skalarny wektorów Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a oraz b nazywamy skalar, który ma wartość a b= a b cos a α b Dr inż. Janusz Dębiński 69

70 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów Mnożenie wektorowe jest działaniem, które dwóm wektorom a i b przyporządkowuje ich iloczyn wektorowy a b=c którym jest wektor c prostopadły do wektorów a i b. Zwrot wektora c pokrywa się z kierunkiem przesuwu śruby prawoskrętnej, która kręci się od wektora a do wektora b. Długość wektora c wyznaczamy z zależności c = a b sin Dr inż. Janusz Dębiński 70

71 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów a b=c c b α a Dr inż. Janusz Dębiński 71

72 2.8. Wektory Iloczyn wektorowy wektorów b a= c b α a c Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym, zachodzi zależność a b= b a Dr inż. Janusz Dębiński 72

73 2.8. Wektory Warunek prostopadłości i równoległości dwóch wektorów Na podstawie definicji iloczynu skalarnego możemy stwierdzić, że dwa wektory są do siebie prostopadłe, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Jest to więc warunek prostopadłości dwóch wektorów. Jeżeli iloczyn wektorowy dwóch wektorów wynosi zero, to wektory te są do siebie równoległe. Jest to zatem warunek równoległości dwóch wektorów. Dr inż. Janusz Dębiński 73