Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Transkrypt

1 Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie w trybie oznajmującym, któremu można, w sposób jednoznaczny, przyporządkowad wartośd logiczną : prawda (oznaczana ) lub fałsz (oznaczana 0). Symbole zdao zapisujemy jako: p,q,r. Np. p liczba jest parzysta ; q liczba 7 jest mniejsza niż. Def. Formą zdaniową określoną w dziedzinie D nazywamy wyrażenie zawierające zmienną (lub zmienne), które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej (lub zmiennych) podstawimy nazwę (lub nazwy) dowolnego elementu (lub dowolnych elementów) zbioru D. Symbole form zdaniowych to: f(), f(, y). Np. f() >5 ; g(,y) y=5. Def. Zbiór elementów spełniających formę zdaniową (zbiór rozwiązao formy) jest to zbiór tych elementów dziedziny D, które po podstawieniu w miejsce zmiennych czynią z formy zdaniowej zdanie prawdziwe. Funktory zdaniotwórcze: - koniunkcja - i - alternatywa - lub - implikacja wynika z -równoważnośd równoważne z ~ - negacja nieprawda, że

2 Tabele wartości logicznych: p p 0 0 p q pq pq pq pq Sprawdzanie wartości logicznej zdania metodą 0-: [(pq)r][(pr)(qr)] p q r pq (pq)r pr qr (pr)(qr) [(pq)r][(pr)(qr)]

3 Podstawowe prawa rachunku zdao: ( p) p prawo podwójnego przeczenia p p prawo wyłączonego środka ~(p~p) prawo sprzeczności pq r p(qr) prawo łączności alternatywy pq r p(qr) prawo łączności koniunkcji pq qp prawo przemienności alternatywy pq qp prawo przemienności koniunkcji p qr pq (pr) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy p qr (pq) (pr) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji ~ pq ~p~q prawo de Morgan a ~ pq ~p~q prawo de Morgan a p q (~q ~p) prawo kontrapozycji (transpozycji) ~ p q p~q prawo zaprzeczenia implikacji p q ~pq prawo eliminacji implikacji p q q r (p r) prawo przechodniości implikacji (p q) q r (p r) prawo sylogizmu warunkowego (q r) p q (p r) prawo sylogizmu warunkowego p q,(p q) (q p- prawo eliminacji równoważności Zadanie:. Udowodnij prawa rachunku zdao: a) rozdzielności koniunkcji wzgl. alternatywy, b) transpozycji, c) przechodniości implikacji. Czy prawdziwe jest zdanie: a) Jeżeli liczba naturalna a jest liczbą pierwszą, to o ile a jest liczbą złożoną, to a równa się 4.

4 b) Jeżeli liczba a dzieli się przez 3 i dzieli się przez 5, to z faktu, iż a nie dzieli się przez 3, wynika, iż a nie dzieli się przez 5. c) Jeżeli liczba a dzieli się przez lub a dzieli się przez 7, to z faktu, iż a nie dzieli się przez 7, wynika, iż a dzieli się przez Skonstruuj tabelki 0- dla zdao: a) p, p q q p -, b) p,q p r -, c) p,p ( q q)-, d), p q q p - (p q) 4. Napisz negacje zadao: a) p q q r r p, b) p,q p q -, c), p q q p - (p q), d) p q r * p,(q r) p- Kwantyfikatory operatory działające na formach zdaniowych, wiążące zmienne wolne dla każdego ( ) istnieje ( ) Np. : 0 ; : +=4. Podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów: ~ : φ : ~φ prawo de Morgan a ~ : φ : ~φ prawo de Morgan a : φψ : φ : ψ prawo półrozdzielności dużego kwantyfikatora z implikacją : φψ : φ : ψ prawo rozdzielności dużego kwantyfikatora z koniunkcją : φψ : φ : ψ prawo rozdzielności małego kwantyfikatora z alternatywą : φ : ψ : φψ prawo półrozdzielności dużego kwantyfikatora z alternatywą : φ : ψ : φψ prawo półrozdzielności małego kwantyfikatora z koniunkcją

5 Zadanie:. Zaprzecz zdaniu logicznemu: a) y:(+y>0 y), b) :(3y: +y =3), c) :, y: y 3 = y > -. Znajdź zbiór rozwiązao formuły: a) f : +, b) f : + 4 = , c) f, y : 3 y+, d) f, y : y < + y 0 +3y 3. Określ wartośd logiczną zdania: a) R y R: ( = y = y), b) R y R: ( = y = y), c) a R R: ( a = a), d) R a R: ( a = a), e) a R R: ( a = a) 4. Zapisz w języku symbolicznym zdanie: a) Każda liczba rzeczywista jest równa samej sobie. b) Kwadrat liczby wymiernej jest liczbą wymierną. c) Dla każdej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna od niej większa. d) Jeżeli dwie liczby całkowite dzielą się wzajemnie jedna przez drugą, to różnią się co najwyżej znakiem.

6 Zbiór jest pojęciem pierwotnym (nie ma definicji zbioru). Oznaczamy A,B,C, Zbiory są określane poprzez podanie własności elementów zbioru (np. własności wyrażonych poprzez formę zdaniową) A={: f()} lub poprzez podanie wszystkich elementów A={a,b,c,..}. Relacje określane dla zbiorów: A należy do zbioru A y A y A y nie należy do zbioru A y A X A B : A B A zawiera się w B lub A jest podzbiorem B A=B : A B A jest równe B Działania na zbiorach: Suma zbiorów A i B : A B = {: A B} Iloczyn zbiorów A i B (przecięcie, częśd wspólna): A B = {: A B}

7 Różnica zbiorów A i B: A \ B = {: A B} Dopełnienie zbioru A: A = {: A} Podstawowe prawa rachunku zbiorów: A B = B A prawo przemienności sumy A B = B A prawo przemienności iloczynu A B C = A B C prawo łączności sumy A B C = A B C prawo łączności iloczynu A B C = A B A C prawo rozdzielności iloczynu wzgledem sumy A B C = A B A C prawo rozdzielności sumy względem iloczynu A B = A B prawo de Morgana A B = A B prawo de Morgana A B C D => A C B D A B C D => A C B D

8 Zadanie:. Wyznacz i narysuj zbiory AB, AB, A\B, B\A: a) A = R: > 4, B = R: b) A =, y R : y 0, B = *(, y) R : + y < 3+ c) A =, y R : + y 3, B = *(, y) R : + y < 3 +. Oblicz A B, A\B C, A B C, (C\A) (C\B): a) A =,5, B = 3,4, C = (, ) b) A =,, B = 5,4 Z, C = R\,, ) c) A = N: 3 4 0, B = Z: < 3, C = * R: Sprawdź, czy: a) A\(B C) = (A\B)\C b) A\(B C) = (A\B) (A\C) c) (A B C)\(A B) = C 4. Wykaż, że a) A B \C = A\C B\C b) A\(B C) = (A\B) (A\C) c) A\(B\C) = (A\B) (A C) d) A\B C =, A C \B- (B C)

9 Iloczyn kartezjaoski zbiorów A i B: A B =, y : A y B y Podstawowe prawa dla iloczynu kartezjaoskiego: A B C = (A B) (A C) A B C = (A C) (B C) A B C = A B A C A B C = A C B C A B\C = A B \ A C A\B C = A C \ B C A B C D A C B D Np. Narysuj zbiory AB i BA. A=[-,){}, B=(0,] B AB A AB BA. A={,}, B={-,} AB BA

10 Zadanie:. Narysuj zbiory AB i BA: a) A=(-,)[3,4), B=(-,3]{5}, b) A=[-,), B=(-3,5]\[-,4), c) A={n : n 3n 4 0 }, B={ R: Zbadaj, czy: a) A B C = A B A C, b) A B\C = A B \(A C), c) A\(B C) = (A\B) (A\C) Zbiory liczbowe: - zbiór liczb naturalnych - zbiór liczb całkowitych - zbiór liczb wymiernych - zbiór liczb niewymiernych - zbiór liczb rzeczywistych Działania w zbiorze liczb rzeczywistych: dodawanie: +y +y=y+ przemiennośd +(y+z)=(+y)+z łącznośd +0= element neutralny 0 istnieje liczba przeciwna do oznaczana taka, że: definiujemy odejmowanie: +(-y)=-y + (-)=0

11 mnożenie: y y= y przemiennośd (y z)=( y) z łącznośd =, 0 element neutralny istnieje liczba odwrotna do 0 oznaczana taka, że: = definiujemy dzielenie dla y 0: :y = y Potęgowanie: dla a i n definiujemy a n = a a a; a 0 =, a 0 własności: a n+m = a n a m a n m = an am, a 0 a n b n = a b n a n n, b 0 b n = a b (a n ) m = a n m n razy

12 Wzory skróconego mnożenia: kwadrat sumy (a + b) = a + ab + b kwadrat różnicy (a b) = a ab + b sześcian sumy (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 sześcian różnicy (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 różnica kwadratów a b = (a + b)(a b) suma sześcianów a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) różnica sześcianów a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) Pierwiastkowanie: dla a0 i n definiujemy n a = b b n = a n dla a<0 i n nieparzystego definiujemy a = a Uwaga: nie istnieją pierwiastki stopnia parzystego z liczb ujemnych n własności: n n n a b = a b n n a = a n, b 0 b b n a m n m = a n m a n m = a n n n a = a oraz a n = a, n parzyste a, n nieparzyste

13 Zadanie:. Uprośd wyrażenia: a) b) 4 a 3 4 b 3 4 a a b 4 4 a. Oblicz wartośd wyrażenia: a) b) b, dla = b b a b + a+b a+b a b +, c) a +b ab + ab a +b, b 3 (a ab + b )(a b a )(a + b) 3 b 3 3 a b (a+b), dla = 3 a + b, a,b>0, c) b a 3. Usuo niewymiernośd z mianownika: a) + + dla = k, k>0 +k, b), c) a+ a

14 Graficzna interpretacja zbioru liczb rzeczywistych <0 >0 0 a b a<b Podstawowe równania: y=0 =0 y=0 = 0 =0 y0 y Podstawowe nierówności: y>0 (>0 y>0) (<0 y<0) y<0 (>0 y<0) (<0 y>0) >0 y>0 y0 y Moduł (wartośd bezwzględna): =, 0, < 0 a a-b b a 0 b

15 Przedziały: otwarty (a,b): (a,b) a< <b w skrócie a<<b a domknięty <a,b> ( lub [a,b] ) : <a,b> a b w skrócie ab b a nieograniczony (a,+) lub (-,b): (a,+) a< lub (-,b) <b b a Zadanie:. Rozwiąż: a) = 8 b) + - = c) + = b d) + 3 e) 6 > 5 9 f) + 5. Rozwiąż: a) = 4 b) = 3 + c) 6 0 d) >

16 Def. Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie f:x Y, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y. Oznaczamy y=f(), gdzie y to wartośd funkcji a to argument funkcji. X nazywamy dziedziną funkcji f: D f Y nazywamy zapasem funkcji f Np. y=f = 3+4 funkcja D f : nie funkcja (, ) 0 Przeciwdziedziną, zbiorem wartości f nazywamy zbiór D f - ={yy: X: y=f()} Wykresem funkcji nazywamy zbiór W f = *, y : y = f + wykres funkcji krzywa nie jest wykresem funkcji

17 y y=f() D f - D f Wzór funkcji y=f() mówi jak policzyd wartośd y jeżeli znamy argument. Wykres funkcji jest graficzną reprezentacją funkcji w układzie współrzędnych Oy. Z wykresu funkcji można odczytad dziedzinę, zbiór wartości oraz własności funkcji.

18 Przekształcenia wykresów:. y=f() y=f(a) P a OY powinowactwo prostokątne względem osi OY y=f() o skali a y=f(). y=f() y=af() P OX a powinowactwo prostokątne względem osi OX o skali a 3. y=f() y=f(-a)+b T,a,btranslacja o wektor [a,b] [-,] y=f() y=f() y=f(+)+ y=f()

19 4. y=f() y= f() S OX *y<0} symetria osiowa względem osi OX części wykresu dla y<0 y= f() 5. y=f() y=f( ) S OY *0} symetria osiowa względem osi OY części wykresu dla 0 y=f() y=f() y=f( ) Zadanie: Opisz przekształcenia prowadzące od wykresu: a) f = do f = 3 + b) f = do f = , c) f = do f =

20 Własności funkcji f:xy Def. Mówimy, że funkcja f jest rosnąca w AX, A: < f < f( ) Def. Mówimy, że funkcja f jest malejąca w AX, A: < f > f( ) Def. Mówimy, że funkcja f jest stała w AX, A: f = f( ) stała w B rosnąca w A malejąca w C A B C. f()= 3+, D f = weźmy < f( ) -f( )= = 3( - )>0 Odp. Funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie Badanie monotoniczności

21 . ) ; ( ) ; (, ) )( ( 0 ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( \ ) ( f f dla f f R D f f Odp. Badana funkcja jest rosnąca dla, (-,-) i dla, (-,) Zadanie: Zbadaj monotonicznośd funkcji: a) f = +, dla, b) f = 3 +4, dla (-, ), c) f = + dla

22 Def. Mówimy, że funkcja f jest parzysta w AX A: -A f(-)=f() Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY Def. Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta w AX A: -A f(-)=-f() Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0,0) Badanie parzystości. f()= II D 3 f : ( ) D f = R\{-,0,} D f -D f f(-)= +( )4 ( ) 3 3 = +4 3 = funkcja nieparzysta

23 . f()= f(-)= 3 ( 4) 3 ( 4) = 3 ( 4) D f : D f = [ 3, 3 ] \ {0} D f -D f funkcja parzysta 3. f = 4 3 D f : 4 3 0, t= 4t 3t 0 =5 t(-, 4 -,, ) (-,-][,)=D f D f -D f f = 4( ) 3 = 4 3 = f() funkcja parzysta Zadanie: Zbadaj parzystośd funkcji: a) f = +, b) f = + +

24 Def. Mówimy, że funkcja f jest okresowa w A X (o okresie T>0) A: TA f(t)=f() f()=sin3+cos( 3 π 4 ) Badanie okresowości sin3=sin(3+) sin3=sin3(+ π 3 ) okresem funkcji sin3 jest T = π 3 cos( 3 π 4 )=cos( 3 π 4 + π) cos( 3 π 4 )=cos(+6π 3 muszą istnied liczby naturalne k,l takie, że T = k T oraz T = l T Odp. Okresem funkcji f jest T=6 Zadanie: Zbadaj okresowośd funkcji: a) f = sin5 7 π 4 ) okresem funkcji cos 3 π 4 jest T =6 tg 4 3, b) f = cos4 ctg(3 π ), c) f = sin 5 6 cos 7

25 Def. Mówimy, że funkcja jest różnowartościowa (iniektywna) w AX, A: f f( ), A: f( ) = f( ) = f jest różnowartościowa w A A Badanie różnowartościowości:. f = w A = 0,, D f =, AD f f( )=f( ) ( ) = ( ) ( ) = 0 ( )[( ) + + +]= 0 ( = )[( ) + + +]= 0 ponieważ ( ) > 0 dla > 0 i > 0, więc = Odp. Badana funkcja jest różnowartościowa w *0,)

26 . f()= 3 +, D f = \ {-} f( ) = f( ) 3 + = 3 + (3- )( +) = ( +)(3- ) = = 5 / : 5 = Odp. Funkcja jest różnowartościowa w D f 3. f()= - + D f = f( )=f( ) ( ) - ( )+= ( ) -( )+ ( ) - ( ) + = 0 ( - ) - ( - ) =0 ( - )( + ) ( - ) =0 ( - )[( + )-] = 0 - = 0 v ( + ) = = v + = Odp. Funkcja nie jest różnowartościowa w ale jest różnowartościowa w ( -, 4 ) oraz ( 4,) Zadanie: Zbadaj różnowartościowośd funkcji: a) f = 3 + 3, b) f = c) f = 3 6