Pytania i polecenia podstawowe

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pytania i polecenia podstawowe"

Antonina Cieślik
5 lat temu
Przeglądów:

1 Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość: z 1 z 2 z 1 z 2? Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi nierówność: z 1 + z 2 z 1 + z 2? Czy dla dowolnej liczby z C zachodzi równość: Macierze a) z + z 2Rez z z 2Imz? Wykonaj działania: Wykonaj działania: Znajdź macierz: a) Wyznacz rząd macierzy: a) , c)

2 Wyznaczniki Oblicz wyznacznik: Oblicz wyznacznik: Czy dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) zachodzi równość A B A B? Układy równań Rozwiąż układ równań { x + y + z 1 x + y 1 Czy ten układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach wymiernych? Rozwiąż układ równań x 1 4 x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 Rozważmy układ równań { x y 1 x + 2y + 3z 4 a) Czy ten układ posiada rozwiązanie w liczbach rzeczywistych? b) Czy ten układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach rzeczywistych? Elementy logiki Które z poniższych zdań są tautologiami: p q ( p q), (p q) (p q), (p q) (p q), (p q) (q p)? Narysuj tabelkę wartości logicznych zdania: a) (p q) p q, c) ( p) ( q) Które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe: a) x R x 2 0 x R x 1 < x, c) x R x + 1 x, d) x N1 2 n, e) x Z x 2 < x? 2

3 Niech a będzie liczbą całkowitą Zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie: a jest liczbą nieparzystą Zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdanie: a) Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są mniejsze od b) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej x jest nieujemny Zapisz z użyciem kwantyfikatorów zdania: a) Nie istnieje liczba wymierna x, której kwadrat jest równy 2 b) Kwadrat dowolnej liczby wymiernej x jest różny od 2 Zbiory Jak nazywamy elementy zbioru {n N 1 : k N1 n 7k}? Jaki zbiór określamy następująco: {n N 1 : (n 1) k N1 (k n k 1 k n)}? Uzupełnij definicję zbioru A \ B: Podaj definicję przedziału [0, 1]: (x A \ B) [0, 1] Zaznacz na diagramie Venne a następujący zbiór: a) C \ (A B) (A C) \ B, c) (B C) \ A, d) A \ (B C) Czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) C (A B) (A C)? Ile elementów ma zbiór podzbiorów zbioru pięcioelementowego? Funkcje Dla jakich a, b R zbiorem wartości funkcji f : R R, f(x) ax 2 + b, jest przedział (, 1]? Określ zbiór wartości funkcji f : R R, f(x) 3 cos 2x Znajdź funkcję f g, jeśli f, g : R R, f(x) x 3, g(x) 3x Rozważmy funkcje f : R R, f(x) sin x, g : R 2 R, g(x, y) x + y Znajdź złożenie funkcji f g Podaj definicję funkcji różnowartościowej Czy funkcja f : Q \ {0} Q \ {0}, f(x) 1 x, jest różnowartościowa? Czy funkcja f : N N, f(n) n + 1, jest różnowartościowa? Podaj definicję funkcji na Czy funkcja f : R R, f(x) x 3, jest na? 3

4 Czy funkcja f : N 0 N 0, f(n) n 2, jest na? Czy funkcja f : (0, + ) (0, + ), f(x) x, jest bijekcją? Czy funkcja f : R \ {0} R \ {0}, f(x) 1 x, jest bijekcją? Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji f : Z Z, f(x) 1 x Dana jest liczba rzeczywista a 0 Znajdź funkcję odwrotną do funkcji f : R R, f(x) ax 3 Znajdź przeciwobraz zbioru ( 1, 1) poprzez funkcję f : R R, f(x) [x] Niech f : R R, f(x) 2x Wówczas f([0, 1]) Niech f : Z Z, f(n) n 2 Wówczas f({ 1, 0, 1}), f 1 ({2, 3, 4}) Relacje Czy relacja binarna x y w zbiorze R jest słabo antysymetryczna? Czy relacja binarna x y określona w zbiorze Z jest: a) zwrotna spójna? Czy relacja binarna x y określona w zbiorze Z jest: a) symetryczna słabo antysymetryczna? Czy relacja binarna ϱ w zbiorze R, xϱy x y > 0, jest: a) zwrotna przechodnia? Narysuj graf relacji xϱy x y < 2 w zbiorze { 1, 0, 1, 2} Narysuj graf relacji binarnej ϱ określonej w zbiorze X {A, B, C, D}, jeśli dana jest jej macierz x\y A B C D A 1 0 B 0 1 C D Narysuj macierz relacji xϱy x y 1 w zbiorze { 1, 0, 1} Wskaż, jeśli istnieją, elementy minimalne i maksymalne w zbiorze: a) X 1 {2, 3, 4, 5, 6} X 2 {2, 4, 6, 8, 10}, z relacją częściowego porządku x y (x dzieli y) Czy istnieje element najmniejszy w zbiorze liczb całkowitych większych od 1 z relacją częściowego porządku xϱy x y Czy relacja xϱy sin x sin y, określona w zbiorze R, jest relacją typu równoważności? Wypisz klasy abstrakcji relacji typu równoważności xϱy 2 (x y) określonej w zbiorze {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Pytania i polecenia trudniejsze Podaj przykład liczb zespolonych z 1, z 2 C, dla których nie zachodzi równość z 1 + z 2 z 1 + z 2 Korzystając ze wzoru de Moivre a uzasadnij równość (cos ϕ i sin ϕ) n cos nϕ i sin nϕ 4

5 Znajdź wszystkie macierze A takie, że 1 1 A A 1 1 Znajdź wszystkie macierze A takie, że A A 1 0 Czy dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) zachodzi równość A + B A + B? Podaj przykład macierzy A, B M 2 2 (R), dla których zachodzi powyższa równość Czy dla dowolnej liczby c R i dowolnej macierzy A M n n (R) zachodzi równość c A c A? Dane są zbiory A, B, C Udowodnij metodą rachunku zdań równość: a) A (B C) (A B) (A C), b) A \ (B C) (A \ B) (A \ C), sformułuj tautologie, z których korzystasz Wiadomo, że A B Które z poniższych zbiorów muszą być równe: a) (C A) \ B C \ (A B), c) C \ B, d) C \ (B \ A)? Podaj przykład funkcji f i zbiorów A, B zawartych w dziedzinie tej funkcji, dla których: a) f(a B) f(a) f(b), b) f(a \ B) f(a) \ f(b) Rozważmy dowolne funkcje f : X Y i g : Y Z Wykaż, że: a) jeżeli funkcja g f jest różnowartościowa, to funkcja f jest różnowartościowa, b) jeżeli funkcja g f jest na, to funkcja g jest na Czy relacja ϱ Q Q, xϱy x y 1, jest funkcją? Czy istnieje relacja binarna, która jest spójna i symetryczna, ale nie jest przechodnia? Podaj przykład relacji binarnej w zbiorze {1, 2, 3, 4}, która jest przeciwzwrotna, słabo antysymetryczna i spójna, ale nie jest przechodnia Podaj przykład relacji (może być macierz lub graf), która jest spójna i przechodnia, ale nie jest symetryczna 5

Podobne dokumenty

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki