14. Grupy, pierścienie i ciała.
|
|
- Władysława Zając
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn. Czli : (A,o ) jest grupą, jeśli :. o :A A A (działanie wewnętrzne). dla dowolnch a, b, c A (ao o c = ao (bo c) (łączność działania) 3. istnieje taki element e A, Ŝe dla kaŝdego a A zachodzi równość ao e = eo a = a (e nazwam elementem neutralnm) 4. dla kaŝdego a A, istnieje element b A, taki Ŝe ao b = bo a = e (b nazwam elementem odwrotnm do a) Jeśli ponadto spełnion jest warunek : 5. dla dowolnch a, b A zachodzi ao b = bo a (działanie przemienne) to (A,o ) nazwam grupą abelową. Przkład : Zbiór R \ {0} wraz z mnoŝeniem jest grupą abelową. Zbiór Z (zbiór liczb całkowitch) wraz z dodawaniem jest grupą abelową. Definicja : Trójkę (A, o, ) nazwam ciałem, jeśli (A, o ) jest grupą abelową, jeśli (A \ {0}, ) jest grupą (smbolem 0 oznaczliśm element neutraln działania o ), oraz jeśli działanie jest rozdzielne względem działania o, to znacz : jeśli dla dowolnch a, b, c A a (bo c) = a bo a c jeśli ponadto działanie * jest przemienne, to ciało (A, o, ) nazwam ciałem przemiennm. Przkład : Zbiór R wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi ciało. Zbiór Q (zbiór liczb wmiernch) wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi ciało. Definicja : Pierścieniem nazwam strukturę algebraiczną (D, *, o ) o następującch własnościach:. (D, *) jest grupą abelową,. działanie o jest łączne, czli dla dowolnch a, b, c D a o (b o c) = (a o o c 3. działanie o jest rozdzielne względem działania *, czli dla dowolnch a, b, c D a o (b * c) = a o b * a o c (a * o c = a o c * b o c Jeśli ponadto: 4. działanie o jest przemienne to pierścień (D, *, o ) nazwam pierścieniem przemiennm, 5. w zbiorze D istnieje element neutraln działania o to pierścień (D, *, o ) nazwam pierścieniem z jednością. Przkład : Zbiór Z (zbiór liczb całkowitch) wraz z dodawaniem i mnoŝeniem stanowi pierścień. 5. Homomorfizm i izomorfizm struktur algebraicznch.
2 Homomorfizmem ze struktur A w strukturę B (tego samego tpu) jest kaŝde przekształcenie h : A B, które zachowuje funkcje i relacje struktur A, tzn. spełnia odpowiednie warunki: struktura Grup ( G, o ) (, ) odwzoro wanie G h : G G h( ao = h( a) h( ) a, b G b h()= Warunki Pierścienie i ciała ( P,+,o),( S,, ) Przestrzenie liniowe ( V, K, +, o), ( W, K, +, o) h : P S ϕ :V W h a, b P ( a+ = h( a) h( h( ao = h( a) h( h()=, h(0)=0 v, v V, a a K ϕ a v + a v ) = aϕ( v ) + a ϕ( ), ( v Homomorfizm f : A B nazwam izomorfizmem wted i tlko wted, gd jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznm(róŝnowartościowe i na ) zbioru A na zbiór B. Odwzorowanie odwrotne h jest równieŝ izomorfizmem. Przkład Dana jest funkcja h : Z Z, określona wzorem h ( a) = na, gdzie n N. Dla dowolnego a Z mam na Z.Ponadto h ( 0) = 0 oraz dla kaŝdch a, b Z jest h ( a+ = n( a+ = na+ nb= h( a) + h(. Przkład Dane są pierścienie( R,+, ),( R,, ). W zbiorze R określone są działania i : h ( a = a+ b+, a, b R h ( a = a+ b+ ab h(x)=x+, x ( R,, ) h ( a = a+ b+ + = a+ b+ =a++b+=h(a)+h( 6. Rachunek zdań. Tautologie. Zdanie w sensie logicznm jest stwierdzeniem, o którm moŝna powiedzieć, Ŝe jest prawdziwe lub fałszwe, tzn. moŝem mu przpisać wartość logiczną ( - prawda, 0 fałsz). WróŜniam następujące spójniki (funktor zdaniotwórcze): negacja (inaczej zaprzeczenie) to zdanie mające postać nieprawda, Ŝe p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapiswana jest jako: ~ p. Negację moŝna zdefiniować jako jednoargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które kaŝdemu zdaniu p przporządkowuje zdanie nieprawda, Ŝe p. Negację zdania p uwaŝa się za prawdziwą, gd zdanie p jest fałszwe, zaś za fałszwą, gd zdanie p jest prawdziwe
3 koniunkcja to zdanie złoŝone mające postać p q (p i, gdzie p, q są zdaniami. Koniunkcję moŝna zdefiniować jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przporządkowuje zdanie p q. Zdanie utworzone z innch zdań za pomocą koniunkcji jest teŝ nazwane ilocznem logicznm. Koniunkcję zdań uznaje się za prawdziwą wted i tlko wted, gd oba zdania p, q są prawdziwe. alternatwa to zdanie złoŝone mające postać p q (p lub, gdzie p, q są zdaniami. Alternatwę moŝna zdefiniować jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przporządkowuje zdanie p q. Zdanie utworzone z innch zdań prz uŝciu alternatw jest teŝ nazwane sumą logiczną. Alternatwa jest prawdziwa, jeŝeli którekolwiek z jej zdań składowch jest prawdziwe. W przeciwnm razie alternatwa zdań jest fałszwa. implikacja (inaczej wnikanie) to zdanie złoŝone mające postać p q (jeśli p, to, gdzie p, q są zdaniami. Zdanie p nazwam poprzednikiem implikacji, a q - jej następnikiem. Implikację zdań uznaje się za fałszwą w przpadku, kied zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q - fałszwe. W pozostałch przpadkach implikację uznaje się za prawdziwą. równowaŝność to zdanie mające postać p q (p wted i tlko wted, gd, gdzie p, q są zdaniami. RównowaŜność zdań uznaje się za prawdziwą wted i tlko wted, gd wartości logiczne zdań p, q są takie same. p q ~ p ~ q p q p q p q p q Tautologia zdanie złoŝone, które jest zawsze prawdziwe, niezaleŝnie od wartości logicznch zdań prostch. Podstawowe prawa rachunku zdań (waŝniejsze tautologie): prawo de Morgana (prawo zaprzeczenia alternatw) ~ ( p ~ p ~ q Dowód: p q p q ~ ( p ~ p ~ q ~ p ~ q prawo de Morgana (prawo zaprzeczenia koniunkcji) ~ ( p ~ p ~ q prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatw [ p ( q r) [( p ( p prawo rozdzielności alternatw względem koniunkcji
4 [ p ( q r) [( p ( p prawo zaprzeczenia implikacji [~ ( p ] [ p ~ q] /*******************DODATKOWE**************************** prawo kontrapozcji (transpozcji) ( p (~ q ~ p) prawo przemienności koniunkcji p q q p prawo przemienności alternatw p q q p prawo włączonego środka (z dwóch zdań: p lub ~ p jedno zawsze jest prawdziwe) p ~ p prawo sprzeczności (nie moŝe bć jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie) ~ ( p ~ p) prawo łączności koniunkcji [( p r] [ p ( q prawo łączności alternatw [( p r] [ p ( q prawo toŝsamości p p prawo idempotentności koniunkcji p ( p p) prawo idempotentności alternatw p ( p p) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatw [ p ( q r) [( p ( p prawo rozdzielności alternatw względem koniunkcji [ p ( q r) [( p ( p prawa pochłaniania [ p ( p ] p [ p ( p ] p *******************KONIEC DODATKOWEGO*******************/ Kwantfikator: kwantfikator ogóln ( dla kaŝdego x ) p(x) - zdanie to jest prawdziwe, gd zdanie złoŝone p (x) jest prawdziwe dla x U kaŝdego x U kwantfikator szczegółow ( istnieje takie x... ) p(x) - zdanie to jest prawdziwe, gd dla co najmniej jednego x U zdanie p (x) x U jest prawdziwe
5 7. Rachunek predkatów. Zmienne wolne i związane. Jest to sstem logiczn, w którm kwantfikator mogą mówić tlko o obiektach, nie zaś o ich zbiorach. Inaczej mówiąc jest to logiczna reprezentacja stwierdzeń o obiektach. Tak więc nie mogą wstępować kwantfikator tpu "dla kaŝdej funkcji X na Y...", "istnieje własność p, taka Ŝe..." cz "dla kaŝdego podzbioru X zbioru Z...". Predkat mają argument (obiekt np. człowiek, kartka) i wartość logiczną. Rachunek ten nazwa się teŝ krótko rachunkiem kwantfikatorów. ZaleŜnie od liczb predkatów rozróŝniam predkat -noargumentowe, -arg., wieloargumentowe. Krótko mówiąc: predkat to funkcja której wartością jest prawda lub fałsz. Sstem rachunku predkatów pierwszego rzędu składa się z: - stałch, - zmiennch, - funkcji n-argumentowch dla pewnego n naturalnego, - relacji n-argumentowch dla pewnego n naturalnego, - relacji logicznch (takich jak alternatwa, koniunkcja i negacja), - kwantfikatora ogólnego ( lub ) zwanego teŝ uniwersalnm i egzstencjalnego ( lub ) zwanego równieŝ szczegółowm. JeŜeli dana zmienna wstępuje pod kwantfikatorem mówi się o niej, Ŝe jest to zmienna związana. W przeciwnm wpadku jest zmienną wolną. RozwaŜm trz następujące form zdaniowe: R( ), R( ), R( ) x x W pierwszej z nich związane są obie zmienne, w drugim tlko pierwsza zmienna, w trzecim tlko druga. Pierwsze jest zdaniem, drugie i trzecie to funkcje zdaniowe odpowiednio zmiennch, x. Funkcja zdaniowa to wraŝenie zawierające zmienne wolne, które w wniku związania tch zmiennch kwantfikatorami lub podstawienia za nie odpowiednich nazw staje się zdaniem. Przkład: - Dla kaŝdego x istnieje taki, Ŝe x>
6 x> - Jeśli samochód naleŝ do Karola to jest on zielon. posiada(karol, auto) kolor(auto, zielon) auto - Niektórz ludzie lubią lod. x x ( x) posiada( Karol, X) kolor( zielon) 8. Indukcja matematczna Jeśli T(n) oznacza pewne twierdzenie mówiące o liczbach naturalnch n, to ab udowodnić, Ŝe twierdzenie to jest prawdziwe dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0 (samo n 0 moŝe bć równe albo bć inną ustaloną liczbą naturalną), wstarcz: * dowieść, Ŝe jest ono prawdziwe dla liczb n 0, to znacz sprawdzić, Ŝe zachodzi T(n 0 ). * dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0, wchodząc z załoŝenia, Ŝe twierdzenie to jest prawdziwe dla liczb n, wprowadzić, Ŝe jest ono prawdziwe dla n +, chodzi bowiem o to, ab wkazać, Ŝe dla kaŝdej liczb naturalnej n nie mniejszej od n 0 prawdziwa jest implikacja: T(n) => T(n+) Przkład: n(+ n) Dowód n= Teza: Dla kaŝdego n N n(+ n) (*) n= (+ ) T() =, P =, L = P ZałoŜenie ind. n(+ n) T(n): n= Teza ind. ( n+ )( n+ ) T(n+): n + ( n+ ) = Dowód: n ( + n) ++ +n+(n+)=(++ +n)+(n+)= +(n+)= n ( n+ )( n+ ) =(n+)( +)= Na moc indukcji wzór (*) jest prawdziw dla kaŝdej liczb naturalnej. 9. Relacje i funkcje. Relacje porządku. Relacje równowaŝności i ich własności. Relacje Dane są zbior Def. Relacja S, T. RozwaŜm zbiór S T (iloczn kartezjański)
7 Dowoln podzbiór R zbioru S T ( R S T) S T. W przpadku, gd RóŜne sposob zapisu relacji: ) XxX ) ( ) R 3) xr S = przkład R= nazwam relacja dwuargumentowa na S = T mówim o relacji w zbiorze S. { 0,,,3}, R= {( ) : x= 3 } {( 0,3 )(,,)(,, )(, 3,0) } Zawsze istnieje relacja odwrotna f = {( x) : = f( x) } funkcja f jest odwracalna. I oczwiście wówczas f = f. Relacja równości (w zbiorze S ): E = {( ) : x S} S S Inaczej def ( ) E x= Relacja nierówności(słaba) w zbiorze liczb rzeczwistch R = {( ) : x } R R R = { xr : x } R R Relacja nierówności(słaba) < w zbiorze liczb rzeczwistch R = : x< R {( ) } R, relacja ta jest funkcja, gd dana Relacje równowaŝności Relacje R w zbiorze S, która jest zwrotna, smetrczna i przechodnia nazwam relacja równowaŝności Rs Zwczajowo dla takiej relacji uŝwam smbolu ~. O elementach miedz, którmi da się napisać s ~ t mówim, ze są równowaŝne (podobne, przstające, izomorficzne). Własności relacji Mówim, ze relacja R w zbiorze S jest: Z x R ( ) x S( ) ( PZ) x S( x) R ( S) S( ) R (, x R) ( AS) S( ( ) R (, x) R) x= ( P), z S( ( ) R (, z) R) ( z) R ( Z) x S xrx ( S) S xr Rx ( AS) S( xr Rx) x= ( P) ( xr Rz) xrz, z S
8 Z-zwrotna, PZ-przeciwzwrotna, S-smetrczna, AS-antsmetrczna, P-przechodnia. Przkład X-zbior prostch równoległch kaŝde dwie są równolegle R XxX Relacja l l określona w zbiorze prostch na płaszczźnie oznaczająca, Ŝe proste l i l Pokrwają się lub są równoległe: Z l l ( ) ( S) l l l l ( P)( l l ) ( l l ) ( l l ) 3 relacja ta jest relacja równowaŝności f R R jeŝeli x f i x f x = x (lub za f podstawiam G) 3 0. Zliczanie. Zasada szufladkowa. Zasada szufladkowa Dirichleta twierdzenie mówiące, Ŝe jeŝeli m przedmiotów włoŝm do n róŝnch szufladek, prz czm m > n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmiot. Sformułowanie twierdzenia przpisuje się Dirichletowi, a w bardziej formalnm jęzku moŝna wsłowić je na przkład tak: JeŜeli zbiór X licz n elementów i i n > k, to którś ze zbiorów X i musi liczć prznajmniej dwa element. Inna wersja formalna brzmi następująco: JeŜeli zbiór X licz n elementów, zbiór Y m elementów i n > m, to nie istnieje funkcja róŝnowartościowa ze zbioru X do zbioru. Przkład: Dsponujem 5 szufladkami, oraz n kulkami, n>5. Na podstawie powŝszej zasad łatwo wkazać, Ŝe w co najmniej jednej szufladce znajdą się więcej niŝ dwie kulki.
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoZ funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:
Z funkcji zdaniowej + 3 = 7 można otrzmać zdania w dwojaki sposób: podstawiając w tej funkcji zdaniowej za stałe będące nazwami liczb np. 4 2 itp. poprzedzając tę funkcję zdaniową zwrotami: dla każdego
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoWarsztat pracy matematyka
Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 1. Informatyka Stosowana. 3 października Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne:
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoWykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33
Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:
1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów
Bardziej szczegółowoLogika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoLogika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Bardziej szczegółowoWykład 1. Informatyka Stosowana. 1 października Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października / 26
Wykład 1 Informatyka Stosowana 1 października 2018 Informatyka Stosowana Wykład 1 1 października 2018 1 / 26 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne
Bardziej szczegółowoRachunek zdao i logika matematyczna
Rachunek zdao i logika matematyczna Pojęcia Logika - Zajmuje się badaniem ogólnych praw, według których przebiegają wszelkie poprawne rozumowania, w szczególności wnioskowania. Rachunek zdao - dział logiki
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoLekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań
Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań S. Hoa Nguyen 1 Materiał a) Zdanie proste, złożone b) Spójniki logiczne (funktory zdaniotwórcze):,,,,, (alternatywa wykluczająca - XOR). c) Tautologia, zdanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoPrzykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowo3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci
.. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowo1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
Bardziej szczegółowoLista 1 (elementy logiki)
Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły
Bardziej szczegółowoDalszy ciąg rachunku zdań
Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a
Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŝenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŝ tak a tak jest alboŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSchematy Piramid Logicznych
Schematy Piramid Logicznych geometryczna interpretacja niektórych formuł Paweł Jasionowski Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Matematyczno-Fizyczny Streszczenie Referat zajmuje się następującym zagadnieniem:
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoMatematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1 Zasady współpracy https://mat.ug.edu.pl/~matpz/ wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać,
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowo1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowoElementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowo5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowo5. Relacja prawostronnie jednoznaczna (jednoznaczna, inaczej: jest funkcją), jeżeli
ELJE EF. elacją w produkcie podzbiór n. n (relacją n-argumentową) zwam dowoln EF. elację zbioru. EF. elację zwam relacją międz elementami zbioru a elementami 2 zwam relacją w () zbiorze. EF. la dowolnej
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowo1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I
Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 5 RELACJE
RELACJE Niech X i Y są dowolnymi zbiorami. Układ ich elementów, oznaczony symbolem x,y (lub też (x,y) ), gdzie x X i y Y, nazywamy parą uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. a,b b,a b,a b,a,a (o
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoWykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Bardziej szczegółowoRelacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)
Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowo