WSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

Transkrypt

1 st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) ( p ) q ), ( s q ) s p ) d) [ (p ) q) ^ (q ) r) ] ) ( p ) r ) e) [ p ^ (( p ) q ))] ) q f) p _ (q ^ r), (p _ q) ^ (p _ r) : Zad. Sprawdzić, czy nastepujace schematy zdań sa tautologiami: a) [(p _ q) ^ (p ) q)] ) (q ) p) b) p ) [( q ^ q) ) r ] c) [( p ) q ) ^ p] ) q d) [ (p ) q) ^ (q ) p) ] ) ( p _ q ) e) [ (p ^ q) ) r] ) (p ) r) ^ (q ) r) f) (p ) q), [(p ^ q), p] g) (p _ q _ r) ) f p ) [(q _ r) ^ p]g h) [p ^ (q _ r)], [(p ^ q) _ (p ^ r)] i) [ (p ) q)], (p ^ q) j) [(p ^ q) ) p] _ q k) [ (p ^ q)], [ p _ q] l) (p ^ q) ) (p _ q) m) [p, (q _ r)] ) r n) f[(p _ r), q] ^ rg ) ( p _ q) o) [(p ) q) ) p] ) q: Zad. yznaczyć wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienności jest zbiór X, określonej w nastepujacy sposób: a) ' () (log 0) X = R + b) ' () (j j < ^ > 0) X = R c) ' () (sin 6= 0) X = R d) ' () ( < ) > ) X = R e) ' () ( = 5) X = N f) ' () (e > ) X = R g) ' () (jj = 4) X = C h) ' ((a n )) (ciag (a n ) jest monotoniczny i ograniczony) X =zbiór ciagów liczbowych rzeczywistych i) ' ((a n )) ( lim a n = i P a n jest zbie zny) X =zbiór ciagów liczbowych rzeczywistych n! j) ' ((f)) (f 0 () > 0 dla [0 ]) X =zbiór funkcji określonych na przedziale [0 ]: Zad. 4 Które spośród podanych formu sa zdaniami (określić ich wartość logiczna), a które funkcjami zdaniowymi:! p p a) = + _ = c) log > 0 ) cos p 4 = + b) > log (0 5) )! y = 0 yr d) ln 0 e) sin

2 st ep do analizy matematycznej f) g) sin + cos = sin + cos = h) + y = 4 i) j) k) l) N yn + y = 4 + y = 4 yn yr + y = 4 + y = 4 m) N yn y = n) : 4 < 0 = (0 ) o) P n= f n () jest zbie zny p) lim n n! n = e q) (sin ) 0 > 0 r) s) t) abr ar br (sin ) 0 < 0 a < b, a < b a = b, a = b : Zad. 5 Napisać zaprzeczenie podanego zdania i określić jego wartość logiczna: a) ( > 0 ) > ) g) ( + y ) y = ) b) c) d) e) f) nn yr < 0 _ < 0 log (jj + ) > 0 _ < p ^ 4 0 n > 4 ) n > 4 (y > 0 _ jj + y 0) h) i) j) k) l) yr nn yr >0 y<0 (n > _ n < ) (y = sin _ = sin y) p = ) 4 > 0 y > log < y ^ jj = y + y = : Zad. 6 yznaczyć zbiór f R : ' ()g, jeśli funkcja zdaniowa ' określona jest w nastepujacy sposób: a) ' () ( y = 0 ) d) ' () ( y = 0 ) yr b) ' () ( yr c) ' () ( yr y = sin ) y + y + < 0 ) yr e) ' () ( yr y sin = 0 ) f) ' () (arcsin ( + ) = 0): Zad. 7 yznaczyć zbiór ( y) R : ( y), jeśli funkca zdaniowa określona jest w nastepujacy sposób: a) ( y) ( y + = 0 ) e) ( y) (j yj = 4 ) b) ( y) (y 0 ) c) ( y) (y = ) d) ( y) ( + y 9 ) f) ( y) (jj + jyj ) g) ( y) (y > + ^ y < ) h) ( y) (y > + ) y < ): Zad. 8 Zapisać, u zywajac symboli kwanty katorów, nast epujace sformu owania i określić ich wartość logiczna (o ile sa zdaniami): a) Ka zda liczba naturalna jest liczba ca kowita.

3 st ep do analizy matematycznej b) Iloraz liczb naturalnych nie musi być liczba naturalna. c) Iloraz liczb naturalnych mo ze być liczba naturalna. d) Dla ka zdej liczby wymiernej mo zna dobrać liczb e ca kowita taka, ze ich iloczyn jest liczba ca kowita. e) Dla ka zdego " > 0 istnieje liczba naturalna K taka, ze dla ka zdego n > K wyrazy ciagu a n sa wieksze od ". f) Suma dwóch ciagów zbie znych jest ciagiem zbie znym. g) Zadna liczba rzeczywista nie jest rozwiazaniem równania + = 0: h) Formu a: ( + > 0) jest prawdziwa dla pewnej liczby rzeczywistej dodatniej. i) Istnieje ciag rosnacy. j) Dla ka zdej liczby ca kowitej iloczyn f()f(y) jest dodatni, o ile y jest liczba ujemna. Rachunek zbiorów Zad. 9 yznaczyć A B A [ B A \ B A n B B n A A 0 B 0 jeśli a) A = N B = [ ] b) A = Z B = f R : = 5g c) A = [0 ] B = f R : j j g d) A = (0 +) B = f R : log g: Zad. 0 yznaczyć zbiór potegowy X a) X = b) X = fa b cg c) X = ffg f gg w przypadku, gdy d) X = f ag e) X = (0 ) f) X = N: skazać zbiory, dla których zbiór X ma skończona ilość elementów. Zad. yznaczyć moc nastepujacych zbiorów: a) A = b) B = fg c) C = f R : = g d) D = f R : 4 > 0g e) E = fn + : n Ng f) F = f0 g f 4g g) G = (0 ) ( 4) h) H =zbiór liczb podzielnych przez 5 i) I =zbiór liczb ca kowitych czterocyfrowych, które mo zna utworzyć z cyfr 0 4 j) G =zbiór przedzia ów postaci (a b), gdzie a b Q: Zad. yznaczyć i narysować zbiór: a) f 4g f 5g b) f 4g ( ) c) N R d) ( 5] ( ) e) [ 4] ( 5] f) [ ] [ 4) g) ( y) R : y > ^ y <

4 st ep do analizy matematycznej 4 h) ( y) R : y jj _ + y < i) ( y) R : y j j ^ y < j + j j) ( y) R : y > _ > y k) ( y) R : y > ) y = jj l) ( y) R : y + < 0 ) jj + jyj 0 m) ( y) R : + y y 0 ) > n) ( y) R : y = log (jj + ) ^ y 0 : Zad. yznaczyć i narysować zbiory A B A [ B A \ B A n B B n A A 0 B 0 gdzie: a) A = [ ] [0 ] B = R 4 b) A = ( y) R : y > B = (0 ) ( ] : Zad. 4 Udowodnić, ze dla dowolnych zbiorów A B C X zachodza równości: a) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) b) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) c) (A \ B) 0 = A 0 [ B 0 d) A n (B [ C) = (A n B) n C e) (A [ A 0 ) 0 = f) (A n B) [ B = A g) A (B [ C) = (A B) [ (A C) h) (B \ C) A = (B A) \ (C A) : Zad. 5 Czy dla dowolnych zbiorów A B C X zachodza poni zsze równości? Uzasadnić odpowiedź. a) A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) b) (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 c) A [ (B n C) = (A [ B) n (A \ C) e) (A [ B) n B = A f) (A n C) B = (A B) \ (C B) g) (A n B) n C = A n (B n C) d) A n B = (A 0 [ B) 0 h) A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C) : Zad. 6 yznaczyć (narysować) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nastepnie wyznaczyć S jeśli a) A n = n + n n N b) A n = ( ) n n n! n N i c) A n = n+ n n N d) A n = [n n + ] n N A n nn f) A n = 0 n (0 n) n N g) A n = f ::: ng [0 n] n N h) A n = n n R n N i) A n = f R : cos n = g n N i T A n, nn e) A n = [( ) n + n ] n N j) A n = ( y) R : [0 ] ^ 0 y n : Zad. 7 yznaczyć (narysować) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nastepnie wyznaczyć S A t i T A t, jeśli a) A t = (0 t ) t R + b) A t = (0 t t+ ) t R + c) A t = f R : jj < tg t R + d) A t = f R : t g t R e) A t = f R : sin = tg t R f) A t = [ sin t] t R g) A t = ( y) R : y t jj t R + h) A t = ( y) R : y j tj t R i) A t = ( y) R : + y t t R + j) A t = ( y) R : + y t ^ y t t R + :

5 st ep do analizy matematycznej 5 Funkcja wymierna, wartość bezwzgl edna Zad. 8 Rozwiazać równania i nierówności: a) > 0 b) > 0 c) d) e) f) g) = < 0 4 h) + i) + > j) + 4 < 5 + k) 4 l) 4 < < : < + + Zad. 9 Rozwiazać nierówność f ( ) < f (), gdzie f () = + : (Odp. ( ) [ (0 ) [ ( +)) Zad. 0 Rozwiazać równania i nierówności: a) + j + 5j 0 = 0 b) j j + jj = c) 4 = 5 d) j 4j e) j j < f) j + j + g) + + < Zad. Naszkicować wykres funkcji: a) f() = b) f() = j 4j c) f() = j j dla < d) f () = dla h) > i) j) j 4j < j + j < j j k) j + j jj l) p p > 4: e) f() = 4 jj + 4 f) f () = p g) f () = p ( h) f () = dla jj < dla jj : Zad. yznaczyć zbiory A \ B A [ B A n B B n A, jeśli: a) A = f R : j j g B = R n f4g : 4 < b) A = R : + B = R n fg : + < : Zad. yznaczyć zbiór C = R n (A [ B), jeśli a) A = R n f0g : + B = f R j + j g

6 st ep do analizy matematycznej 6 b) A = R n f0g : + < B = f R : j j g : Zad. 4 yznaczyć dziedzin e funkcji: a) f () = p + b) f () = p c) f () = + d) f () = p + + e) f () = p r + f) f () = ( ) : Zad. 5 Funkcja f : R n f0g! R określona jest wzorem f () = 4 Funkcja wyk adnicza f () > f ( ) : +. Rozwiazać nierówność Zad. 6 Rozwiazać równania i nierówności: + a) = b) c) > 7 d) 7 4 = p 7 e) = 5 f) < 8 g) > q h) = 0 i) > 0 j) 4 p p + 0 k) l) 4 5 < 0 : Zad. 7 yznaczyć miejsca zerowe funkcji f jeśli f () = Zad. 8 yznaczyć dziedzine, zbiór wartości funkcji danej wzorem f () = p + p wykres. Zad. 9 yznaczyć zbiory: A = f R : f () 0g A \ Z A \ N jeśli a) f () = b) f () = + + 0: oraz rozwiazać równanie f () = 6: : Naszkicować jej Zad. 0 Naszkicować wykres funkcji: 8 < dla < a) f () = 0 dla = : dla > 8 < ( ) dla < 0 b) f () = dla [0 ) : p dla : 5 Funkcja logarytmiczna Zad. Rozwiazać równania i nierówności: a) log 4 ( + ) log 4 ( ) = log 4 8 b) log 4 ( ) log 4 ( ) = c) log ( 8) = d) log ( 4 ) log 8 = log 4 e) log log + = f) log > g) log ( 8) h) log (8 ) log ( ) <

7 st ep do analizy matematycznej 7 i) log ( + ) + log < log 7 j) log < k) log jj + l) ln ln < 0 m) log 0 n) log + log o) log 5 + log 5 = log 5 p) 8 log = 4 p q) log + log + log > log 64 r) log + log < : Zad. yznaczyć dziedzin e funkcji f jeśli a) f () = log 4 b) f () = log ( + ) log ( ) c) f () = ln p d) f () = p ln ( ) e) f () = log + f) f() = log( 4 ) log : Zad. Dana jest funkcja f określona wzorem f () = log log 05 (5 5) : a) yznaczyć dziedzin e i miejsca zerowe funkcji f. b) Rozwiazać nierówność f () : Zad. 4 yznaczyć dziedzin e funkcji f oraz przedzia y, w których f przyjmuje wartości dodatnie: a) f () = log b) f () = log : Zad. 5 yznaczyć zbiór B = Z : log 9 0 ^ < 5 : 4 6 Funkcje trygonometryczne Zad. 6 Obliczyć: a) sin( 7 4 ) cos( + 5 ) + tg( 5 ) = b) ctg( 4 ) + sin(50 ) + cos( 0 ) = Zad. 7 Rozwiazać równania i nierówności: a) sin() = p b) sin cos = 0 c) cos() < d) sin p e) jcos j > 0 f) jtg j > g) jsin + j h) sin sin 0 i) cos > 4 j) 6 cos 5 sin > 0 k) 4 sin 4 jcos j > 0 l) cos 4 + cos 0: Zad. 8 Naszkicować wykres funkcji: a) f() = sin jj b) f() = jcos j + c) f() = sin cos d) f() = cos :

8 st ep do analizy matematycznej 8 7 Funkcje cyklometryczne Zad. 9 Obliczyć: a) arcsin(sin 6 ) + arcsin(sin 7 6 ) = b) arctg( p ) + arcsin + arccos 0 = c) arccos(cos 4 ) arcctg(sin( )) d) sin(arcsin ) cos(arcsin 0) = Zad. 40 Rozwiazać równania i nierówności a) arcsin = b) arccos( ) = Zad. 4 yznaczyć dziedzin e funkcji: a) f() = arcsin( ) b) f() = arccos(j log j) Zad. 4 Naszkicować wykres funkcji: sgn dla jj < a) f () = arcsin dla jj b) f() = jarcsin j c) f() = arctg jj c) arcsin ( + 9) 6 d) jarctg j < 4 : c) f() = arccos( + ) d) f() = p arcsin 4 : d) f () = jarctg j dla 6= 0 arccos dla = 0 e) f() = arcctg( + ) f) f() = arcsin + arccos Zad. 4 ykazać, ze a) arcsin( ) = arcsin b) c) d) e) [ ] [0] >0 arctg( ) = arctg arcsin + arccos = arctg + arcctg = arctg = arcctg : 8 Obraz, przeciwobraz Zad. 44 Naszkicować wykres funkcji, wyznaczyć D f f[d f ] f[a] f [B] jeśli a) f () = dla < 4 dla A = [ ] B = ( 0) b) f () = + p A = [ 0] B = (0 ) c) f () = A = [ ) [ f0g B = ( ) d) f () = jj A = ( ) B = [4 +) e) f () = jarctg j dla ln( ) dla 4 A = [ ] B = [0 6 ) f) f () = A = [ +) B = ( ]

9 st ep do analizy matematycznej 9 g) f () = A = ( ) B = [ ] j + j h) f () = sin + A = (0 ) B = [4 +): Zad. 45 Funkcja f : R! R określona jest wzorem f () = : yznaczyć taki zbiór A R, ze obraz f [A] = (0 4] : 9 asności funkcji: monotoniczność, ró znowartościowość, parzystość, okresowość Zad. 46 Korzystajac z de nicji zbadać monotoniczność podanych funkcji: a) f () = + 4 dla 0 e) f () = dla < 0 b) f () = f) f () = ln( ) > c) f () = p + d) f () = + p Które spośród badanych funkcji sa ró znowartościowe? Zad. 47 Zbadać ró znowartościowość podanych funkcji: a) f () = + + dla < b) f () = dla g) f () = arctg( ) + h) f () = arcsin : c) f () = arcsin( ) d) f () = log(j j + ): Zad. 48 Zbadać parzystość-nieparzystość podanych funkcji: a) f () = + 4 f) f () = sin + cos b) f () = sin( ) c) f () = jj g) f () = + h) f () = + d) f () = cos e) f () = 4 + sin i) f () = log + j) f () = jarcsin(tg )j : Zad. 49 yznaczyć okres funkcji f i naszkicować jej wykres a) f() = sin b) f() = cos( ) c) f() = tg d) f() = ctg( + ) e) f () = cos() f) f () = sin + jsin j g) f () = sin h) f () = bc def = mafk Z : k g: Zad. 50 Naszkicować wykres funkcji f : R! R jeśli wiadomo, ze jest okresowa o okresie podstawowym T = oraz f () = j j dla [0 ] : yznaczyć zbiór A = R : f ().

10 st ep do analizy matematycznej 0 Zad. 5 Które z podanych stwierdzeń sa prawdziwe? Uzasadnić odpowiedzi negatywne, podajac odpowiednie przyk ady. a) Istnieje nieparzysta funkcja okresowa o okresie T = : b) Istnieje parzysta funkcja ró zowartościowa. c) Istnieje funkcja jednocześnie parzysta i nieparzysta. d) Jeśli funkcja jest ściśle monotoniczna, to jest ró znowartościowa. e) Jeśli funkcja jest ró znowartościowa, to jest ściśle monotoniczna. f) Jeśli funkcja jest parzysta, to jest ró znowartościowa. 0 Funkcja z o zona, funkcja odwrotna Zad. 5 yznaczyć funkcje z o zone: f f g g f g g f oraz ich dziedziny, jeśli a) f () =, g () = b) f () = p, g () = c) f () = jj, g () = d) f () = g () = p : Zad. 5 yznaczyć funkcje z o zone: f g g f, ich dziedziny oraz przeciwdziedziny, jeśli a) f () = sin +, g () = p b) f () = ln, g () = + c) f () =, g () = arcsin + d) f() = e g() = e) f () = arctg g () = f) f() = jj g() = arccos : Zad. 54 yznaczyć funkcje z o zone: f g h g f h h f g oraz ich dziedziny, jeśli f () = ln g () = h() = e : Zad. 55 Rozwiazać nierówność g () + (f g) () 4 jeśli f () =, g () = : Odp. + Zad. 56 yznaczyć D f f[d f ] oraz (o ile to mo zliwe) funkcje odwrotna do f jeśli a) f () = b) f () = c) f () = + d) f () = p < e) f () = p > dla < 0 f) f () = p dla 0 g) f () = p h) f () = ln( + ) i) f () = log j) f () = arctg log ( ) k) f () = cos( ) [ ] l) f () = dla < 0 p + dla 0: Powtórzenie wiadomości o funkcjach Zad. 57 yznaczyć dziedzine funkcji f, jeśli

11 st ep do analizy matematycznej a) f () = p 4 + j + 4j b) f () = log (cos (log )) c) + f () = arcsin d) f () = p log ( ) + p + + e) f () = log ( 4) + r f) f () = log 4 + g) f () = ln ( + ) + arccos p h) f () = log ( +) + i) f () = j) f () = pp tg log(arcsin( cos )) p + p k) f () = arcsin 5 log + l) f () = arccos ( 4) + arcsin (jj ) : Zad. 58 yznaczyć dziedzine i zbiór wartości funkcji f, jeśli a) f () = p + b) f () = sin c) f () = + p log (arctg ) Zad. 59 Rozwiazać nierówności: a) log cos + b) cos > arctg 0 log 05 ( + 5) d) f () = e e) f () = log ( cos ) f) f () = arcsin p : c) 4 jj d) log(4 + + ) arcsin 0 e) log 4 ctg > : Zad. 60 Rozwiazać nierówność jeśli f () = oraz g () = : f () (f f) () < (f g) () (f f g) () Zad. 6 Naszkicować wykres funkcji f i podać jej podstawowe w aśności, jesli a) f() = j + j b) f() = jsin j c) arcsin( ) gdy jj f () = 0 dla jj > d) f () = arcsin(sin ) e) f () = + + log( ) gdy < 0 f) f () = arctg( ) dla 0: Relacje Zad. 6 Sprawdzić, które spośród poni zej zde niowanych relacji sa funkcjami: a) = ( y) (0 +) ( 0) : = y b) = ( y) R ( 0) : = y c) = ( y) ( 0) R : = y d) 4 = e) 5 = [fg ( 0)] [ [fg (0 +)] f) 6 = f( y) R ( 0) : jyj = g

12 st ep do analizy matematycznej g) 7 = ( y) R ( 0] : y + y 0 h) 8 = ( y) R : y + y 0 : Zad. 6 Sprawdzić, czy podzbiór f A B jest funkcja odwzorowujac a zbiór A w zbiór B, jeśli: a) A = R B = R n f0g oraz yrnf0g ( y) f, y = b) A = R B = R oraz yr ( y) f, y = c) A B sa dowolnymi zbiorami, y o jest dowolnym elementem zbioru B oraz A yb ( y) f, y = y o : Zad. 64 Zbadać, czy funkcja f jest injekcja, surjekcja, bijekcja wyznaczyć przeciwdziedzin e funkcji f i (o ile istnieje) funkcj e odwrotna f. a) f : [ +)! R f () = + 4 b) f () = c) f () = 0 log ( + ) > 0 d) f () = j + j e) f : Z! Z f (k) = k + f) f : R! R f ( y) = + y g) f : R! R f ( y) = ( y) h) f : R! R f ( y) = ( y + y) i) f : C! C f (z) = z + i j) f : C! C f (z) = iz: Zad. 65 Zbadać, czy X X jest relacja równowa zności. Jeśli tak, to wyznaczyć (opisać, narysować, policzyć ) klasy abstrakcji tej relacji. a) X = R f0g y, y > 0 b) X = R y, y 0 c) X = R y, y > d) X = Z nm, n m = k kz e) X = R y, y Z f) X = R y, = y g) X = R AB, A B h) X = N AB, A \ B = i) X = R ( y ) ( y ), + y = + y j) X = R ( y ) ( y ), = k) X = R ( y ) ( y ), = y l) X = R + R + ( y ) ( y ), y = y m) X = C z z, Im z = Im z n) X = C z z, arg z = arg z o) X = zbiór ludzi, y, jest ojcem y

13 st ep do analizy matematycznej p) X =zbiór prostych w R lk, l? k q) X =zbiór prostych w R lk, l k k r) X =zbiór wektorów w R y, k y i kk = kyk s) X = zbiór studentów P, y, i y ucza sie na tym samym wydziale P t) X = zbiór punktów pewnej mapy, P Q, h (P ) = h (Q) gdzie h (P ) = wysokość n.p.m. punktu P: Jak nazywamy klasy abstrakcji relacji zde niowanych w czterech ostatnich podpunktach? Zad. 66 Zbadać, czy X X jest relacja porzadku (liniowego porzadku), jeśli a) X = N nm, n j m (n jest dzielnikiem m) b) X = R AB, A \ B = c) X = R y, y Q d) X = R y, y: Zad. 67 yznaczyć elementy maksymalne, minimalne, najwieksze i najmniejsze (o ile istnieja) w zbiorze uporzadkowanym (X ), jeśli a) X = f g nm, n j m b) X =rodzina przedzia ów postaci ( a a), gdzie a jest dowolna liczba dodatnia, AB, A B c) X = R AB, A B d) X =zbiór s ów w danym jezyku s s, s wystepuje w s owniku przed s e) X = f 4 5 6g y,! y wg schematu: f) X = f 4g y,! y wg schematu:!! # 4! 5! 6! " # 4 g) X = fa b c d e f gg y,! y wg schematu: a! b f # # " c! d! e! g