Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Transkrypt

1 ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x+ y = lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: x, x, x. Zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb: ( ) ( ) S = x + x + ( x) S x x y = + + lub Zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej: Sx ( ) = x x+ gdy x 0,. Obliczenie argumentu, dla którego funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą: x w =. i x w 0, więc funkcja S osiąga najmniejszą wartość dla x =.. Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to :,,. Zdający nie musi wyznaczyć dziedziny funkcji, o ile przeprowadzi rozwiązanie do końca i otrzyma trzy dodatnie liczby.

2 Sporządzenie wykresu funkcji g. g f y Zapisanie podstawy a lub wzoru funkcji f:. Zapisanie wzoru funkcji g: g( x) x a = lub f ( x) x x =. =. x,.. Podanie wszystkich argumentów, dla których g( x ) > 0 : ( )

3 Wykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą m: + m m = 0. Obliczenie wszystkich wartości m, dla których liczba jest rozwiązaniem równania (pierwiastkiem wielomianu): m = 0 lub m =. Uzasadnienie, że dla m = 0 równanie ma tylko jedno rozwiązanie x = (wielomian ma tylko jeden pierwiastek), np. dla m = 0 równanie ma postać x = x x + x+ = 0, a trójmian x + x + nie ma pierwiastków. ( )( ) Uzasadnienie, że dla m = równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla m = równanie ma postać ( x+ ) ( x ) = 0, co oznacza, że liczba ( ) II sposób rozwiązania: czynność.,. też jest jego rozwiązaniem. Zapisanie równania w postaci iloczynu, np. ( x )( x bx c) mnożenia ( ) ( ) x + b x + c b x c= = 0 i wykonanie Zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków: c =, b= m + i b= m + oraz rozwiązanie równania m + = m + : m = 0 lub m =. III sposób rozwiązania: czynność.,. Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia x : wielomianu W przez dwumian ( ) ( x) ( x ) ( x + ( m + ) x + m m + ) + ( m m ) W =, Skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m: m m = 0 stąd m = 0 lub m =.

4 ..... Wykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej o równaniu y = x+ 9 : y = x. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej o równaniu y = x : y = x+. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych y = x+ i y = x, S =,. który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych: ( ) Obliczenie promienia szukanego okręgu: r = SA = SB =. Jeśli zdający nie zapisał w punkcie. własności: promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, ale z niej skorzystał w rozwiązaniu, to przyznajemy punkt w czynności..

5 II sposób rozwiązania: y W 0... B S P A Wykorzystanie własności środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB. Obliczenie współrzędnych punktów W przecięcia się danych prostych oraz P środka odcinka AB:, P =,. W = ( ), ( ) Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty W oraz P (symetralnej odcinka AB): y = x +. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej, na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej, na której leży ten punkt): y = x lub y = x+. S =.. Obliczenie współrzędnych środka okręgu: (,). Obliczenie promienia okręgu: r = SA = SB =. x

6 III sposób rozwiązania y W 0.. B S P A Obliczenie współrzędnych punktu W i obliczenie długości odcinków AW i BW: W =,, AW = BW = (trójkąt AWB jest równoramienny). ( ) Obliczenie współrzędnych punktu P (środka odcinka AB) oraz długości odcinków BP P =,, BP =, PW = 9. i PW: ( ). Stwierdzenie podobieństwa trójkątów BWP i BSP. BS BW. Zapisanie proporcji =. BP PW. Obliczenie promienia okręgu: r = AS = BS =. x

7 . Zapisanie wzoru funkcji f w postaci : f ( x) Sporządzenie wykresu funkcji f : y x + = x + dla x dla x < x. Podanie liczby rozwiązań równania f ( x) = m: zero rozwiązań dla m <, jedno rozwiązanie dla m =, dwa rozwiązania dla m >.. Wprowadzenie oznaczeń, np.: x liczba kupionych koszulek, y cena koszulki oraz zapisanie równania: x y = 0.. Zapisanie równania: ( x+ )( y ) = 0.. Zapisanie równania kwadratowego w zależności od jednej niewiadomej, np. x + x 00 = 0 lub y y = 0.. Rozwiązanie równania kwadratowego x = 0 lub x = ( y = lub y = ) i wybór właściwego rozwiązania, spełniającego warunki zadania.. Podanie odpowiedzi: x = 0, y =. Jeśli zdający od razu poprawnie naszkicuje wykres funkcji f, to przyznajemy punkty w czynności. oraz..

8 . Obliczenie długości przekątnej BD (leżącej naprzeciw kąta DAB): BD =.... Obliczenie miary kąta C leżącego naprzeciw kąta A (wykorzystanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa lub twierdzenia kosinusów): BCD = 90. Zapisanie pola P czworokąta ABCD jako sumy pól dwóch trójkątów, np.: P = P + P. ABCD ABD BCD. Obliczenie pola czworokąta ABCD: C h D w 0 E B P =. A a Zaznaczenie na rysunku kataα = 0 kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Przyjęcie oznaczeń, np.: a długość krawędzi podstawy graniastosłupa, w wysokość trójkąta ABC, będącego rozważanym przekrojem graniastosłupa, h wysokość graniastosłupa.

9 9. Wyznaczenie wysokości w z trójkąta prostokątnego CDE: trójkąta CDE w= DE stąd w= a. a DE = i z własności. Obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa: AB = a, a =. 9. Obliczenie wysokości h graniastosłupa: h =.. Obliczenie objętości V graniastosłupa: V =. 9. Przyjęcie metody prowadzącej do wyznaczenia zależności między bokami AB i BC trójkąta ABC (np. zapisanie pola trójkąta ABC na dwa sposoby lub zapisanie, że ΔADB ΔCEB ). 9. Wyznaczenie zależności między bokami AB i BC trójkąt ABC: AB = a, AC = BC = a lub BC = AB. 9. Obliczenie kosinusa kąta ABC, np. z trójkąta CEB: 9. Wyznaczenie BD z trójkąta ADB: CD = AB. 9. Obliczenie kosinusa kąta BCA z trójkąta ADC: cos ABC = cos CAB =. BD cos ABD AB = stąd BD = AB oraz, CD cos BCA = =. AC II sposób rozwiązania: (czynności 0., 0.) Zapisanie długości boków trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej, np.: AB = a, AC = BC = a. Zdający nie musi zapisywać podwójnej równości. Wystarczy, że oznaczy tą samą literą kąty przy podstawie trójkąta. 9. Obliczenie z tw. Pitagorasa w trójkącie ACE wysokości CE: a AD = CE =. a CE =, oraz

10 0 0 AD 9. Obliczenie sinusa kąta DCA z trójkąta ADC: sin DCA = =. AC 9. III sposób rozwiązania: (czynności 0., 0.) Przedstawienie metody pozwalającej obliczyć kosinus kąta przy wierzchołku C : np. z trójkąta prostokątnego ADC : DC DC + DB DB DB cos DCA = = = oraz wyznaczenie BD z AC DB + DC DB + DC trójkąta ADB: BD = AB. 9. Obliczenie kosinusa kąta DCA : 9. IV sposób rozwiązania: (czynności 0., 0.) Zastosowanie twierdzenia kosinusów i zapisanie, że AB = AC + BC AC BC cos BCA ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a cos BCA = +. cos DCA =. 9. Obliczenie kosinusa kąta BCA: cos BCA =. 0. Wyznaczenie wyrazu a n + : n + 0. Obliczenie ilorazu ciągu ( a n ) : a n S q = lub q =. 00 log log log... log = Zapisanie sumy logarytmów: ( ) Zapisanie sumy logarytmów w postaci: S = log = log. ( ) 0 ( 99) Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu: S 00 = 90. Jeśli zdający od razu poda prawidłowo iloraz ciągu to otrzymuje również punkt w czynności 0.

11 . Obliczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych: Ω =.. Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A =.. Obliczenie prawdopodobieństw zdarzenia A: ( ).. P A = =, Stwierdzenie, że suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez trzy wtedy, gdy każda z wyrzuconych liczb będzie podzielna przez trzy albo gdy żadna z nich nie jest podzielnych przez trzy. Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B : i prawdopodobieństwa tego zdarzenia B: P( B) + = = =. B = + Akceptujemy wynik w postaci ułamka skracalnego albo przybliżony, o ile tylko rozwiązanie zdającego wskazuje na poprawne obliczenie liczby B i poprawne zastosowanie definicji prawdopodobieństwa.