Sekantooptyki owali i ich własności

Transkrypt

1 Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r.

2 Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy krzywą zamkniętą, daną równaniem z(t) = p(t)e it + ṗ(t)ie it dla t [0, 2π), gdzie p(t), nazywana funkcją podparcia owalu, jest klasy C 3 oraz promień krzywizny R(t) = p(t) + p(t) jest dodatni dla każdego t [0, 2π).

3 Informacje wstępne Definicja [Philippe de La Hire] Izooptyką C α danej krzywej C nazywamy zbiór punktów, z których krzywa C jest widziana pod ustalonym kątem α. Niech C będzie zamkniętą, ściśle wypukłą krzywą sparametryzowaną za pomocą funkcji p(t), zaś α (0, π) ustalonym kątem. Wówczas równanie izooptyki C α krzywej C zapiszemy wzorem z α(t) = p(t)e it + { p(t) ctg α + 1 sin α p(t + α)}ieit, t [0, 2π).

4 Konstrukcja sekantooptyki owalu Niech C będzie owalem, zaś β [0, π), γ [0, π β) i α (β + γ, π) ustalonymi kątami. Definicja Zbiór punktów z α,β,γ (t) przecięcia się siecznych s 1(t) i s 2(t) do owalu C dla t [0, 2π) tworzy krzywą, którą nazywamy sekantooptyką C α,β,γ owalu C.

5 Konstrukcja sekantooptyki owalu Przyjmijmy następujące oznaczenia q(t) = z(t) z(t + α β γ), b(t) = [q(t), e it ], B(t) = [q(t), ie it ], q(t) = (B(t) ib(t))e it, b(t) sin(α β) B(t) cos(α β) λ(t) =, sin α b(t) sin β + B(t) cos β µ(t) =, sin α gdzie [v, w] = ad bc dla v = a + bi i w = c + di.

6 Parametryzacja sekantooptyki owalu Niech C będzie owalem, zaś β [0, π), γ [0, π β) i α (β + γ, π) ustalonymi kątami. Wówczas parametryzacja sekantooptyki C α,β,γ owalu C dana jest wzorem z α,β,γ (t) = (p(t) + λ(t) sin β + i(ṗ(t) + λ(t) cos β))e it dla t [0, 2π). Równanie sekantooptyki w zależności od funkcji podparcia owalu C ( z α,β,γ (t) = sin(α β)(p(t) cos β ṗ(t) sin β) + + sin β(p(t + α β γ) cos γ + ṗ(t + α β γ) sin γ) + + i ( cos(α β)(p(t) cos β ṗ(t) sin β) + + cos β(p(t + α β γ) cos γ + ṗ(t + α β γ) sin γ) )) e it sin α.

7 Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami Niech C będzie ustalonym owalem. Przez e(c) oznaczmy zewnętrze owalu C, zaś przez ζ półprostą o kierunku ie iβ i początku w punkcie z(0). Zdefiniujmy odwzorowanie wzorem F β,γ : (β + γ, π) (0, 2π) e(c) \ ζ F β,γ (α, t) = z α,β,γ (t). Jakobian J(F β,γ ) odwzorowania F β,γ w punkcie (α, t) wyraża się wzorem J(F β,γ ) = 1 (R(t + α β γ) sin γ µ(t))(r(t) sin β + λ(t)) > 0. sin α

8 Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami J(F β,γ ) = 1 (R(t + α β γ) sin γ µ(t))(r(t) sin β + λ(t)) > 0 sin α Q(t) = (B(t) + R(t + α β γ) sin γ sin(α β) R(t) sin 2 β + + i( b(t) R(t + α β γ) sin γ cos(α β) R(t) sin β cos β))e it

9 Dyfeomorfizm związany z sekantooptykami J(F β,γ ) = 1 (R(t + α β γ) sin γ µ(t))(r(t) sin β + λ(t)) > 0 sin α Q(t) = (B(t) + R(t + α β γ) sin γ sin(α β) R(t) sin 2 β + + i( b(t) R(t + α β γ) sin γ cos(α β) R(t) sin β cos β))e it

10 Informacje dodatkowe Definicja[*] Niech S β oznacza rodzinę prostych danych równaniem x cos θ + y sin θ = ψ β (θ), gdzie kąt θ = t + β, zaś (x, y) = z(t) C. S β nazywamy rodziną prostych siecznych do owalu C, przecinających go pod kątem β. Definicja[*] Obwiednią rodziny krzywych F (x, y, λ) = 0, zależną od paramertu λ, nazywamy taką krzywą, której każdy punkt jest styczny do pewnej krzywej z tej rodziny.

11 Informacje dodatkowe Definicja[*] Ewolutoidą krzywej f(s) dla kąta δ nazywamy obwiednię rodziny prostych tworzących ustalony kąt δ z wektorem normalnym do krzywej f w punkcie f(s). Obwiednię Γ β rodziny prostych S β możemy sparametryzować wzorem z β (t) = ψ β (t)e it + ψ β (t)ie it, gdzie ψ β (θ) = p(θ β) cos β + ṗ(θ β) sin β, θ [0, 2π).

12 Informacje dodatkowe Elipsa i jej ewoluta.

13 Informacje dodatkowe Definicja[R. Langevin, G. Levitt, H. Rosenberg, Y. Martinez-Maure ] Jeżem nazywamy krzywą Γ, którą można sparametryzować za pomocą równania z(t) = ψ(t)e it + ψ(t)ie it, gdzie h(cos t, sin t) = ψ(t) oraz h C 2 (S 1, R). Funkcja h(cos t, sin t) = ψ(t) jest nazywana funkcją podparcia jeża Γ. Skoro funkcja ψ β (t) C 2, to krzywa Γ β jest jeżem. Wniosek Każda ewolutoida owalu jest jeżem.

14 Izooptyki dla pary jeży Definicja Niech Γ 1 : z 1 (t) = ψ 1 (t)e it + ψ 1 (t)ie it, Γ 2 : z 2(t) = ψ 2(t)e it + ψ 2(t)ie it. będą dwoma jeżami. Ustalmy α (0, π). Zbiór punktów z Γ 1Γ 2 α (t) przecięcia się prostych l(t) i m(t + α) dla t [0, 2π) tworzy krzywą, którą nazywamy α-izooptyką C Γ 1Γ 2 α dla pary jeży Γ 1 i Γ 2.

15 Izooptyki dla pary jeży Niech q 1 (t) = M(t)ie i(t+α) L(t)ie it, gdzie L(t) = ψ 1 1 (t) ψ 1 (t) ctg α + ψ 2 (t + α) sin α, 1 M(t) = ψ 1(t) sin α ψ 2(t + α) + ψ 2(t + α) ctg α.

16 Izooptyki dla pary jeży Niech Γ 1 : z 1(t) = ψ 1(t)e it + ψ 1(t)ie it, Γ 2 : z 2 (t) = ψ 2 (t)e it + ψ 2 (t)ie it. będą dwoma jeżami, zaś α (0, π) ustalonym kątem. Wtedy parametryzacja izooptyki C Γ 1Γ 2 α dana jest wzorem α (t) = ψ 1 (t)e it 1 + (ψ 2 (t + α) sin α ψ 1(t) ctg α)ie it, z Γ 1Γ 2 gdzie t [0, 2π). Niech Wówczas ρ 1 (t) = ψ 1 (t) + ψ 1 2 (t + α) sin α ψ 1 (t) ctg α, ż Γ 1Γ 2 α (t) = L(t)e it + ρ 1(t)ie it.

17 Izooptyki dla pary jeży Uwaga Zauważmy, że żγ 1 Γ 2 α (t) 2 = 1 sin 2 α q1(t) 2, i C Γ 1Γ 2 α może nie być krzywą regularną, jeśli z 1(t) = z 2(t + α) dla pewnego t [0, 2π). Niech Γ 1 : x y2 3 2 = 1, Γ 2 : x y2 = 1, α =

18 Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid Rozważmy dwie ewolutoidy owalu C Γ β : ψ β (t) = p(t + β) cos β ṗ(t + β) sin β, Γ γ : ψ γ (t) = p(t γ) cos γ + ṗ(t γ) sin γ. Równanie izooptyki C Γ β Γ γ α, gdzie β [0, π), γ [0, π β) i α (β + γ, π) ( ) z Γ β Γ γ α (t) = ψ β (t)e it 1 + ψ γ (t + α) sin α ψ β(t) ctg α ie it

19 Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid Twierdzenie Niech C będzie ustalonym owalem, zaś β [0, π), γ [0, π β) i α (β + γ, π) ustalonymi kątami. Jeśli C α,β,γ jest sekantooptyką owalu C, zaś C Γ β Γ γ α izooptyką pary jego ewolutoid Γ β i Γ γ, to z Γ β Γ γ α (t β) = z α,β,γ (t), czyli sekantooptyka owalu jest izooptyką pary jego odpowiednich ewolutoid.

20 Sekantooptyki jako izooptyki pary ewolutoid Twierdzenie Jeśli C α,β,γ jest sekantooptyką owalu C, to L(t) = R(t) sin β + λ(t), M(t) = µ(t) R(t + α β γ) sin γ, Q(t) = M(t)ie i(t+α β) L(t)ie i(t β) = q 1 (t).

21 Krzywizna sekantooptyki owalu Twierdzenie Niech C będzie owalem o funkcji podparcia p(t) C 3 a C α,β,γ jej sekantooptyką dla α (0, π β γ), gdzie β [0, π), γ [0, π β). Krzywizna sekantooptyki C α,β,γ dana jest wzorem gdzie t [0, 2π). κ(t) = sin α Q(t) 3 (2 Q(t) 2 [Q(t), Q(t)]). Twierdzenie Sekantooptyka C α,β,γ owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy [Q(t), Q(t)] < 2 Q(t) 2 dla t [0, 2π).

22 Wzory całkowe typu Croftona Wzór całkowy Croftona (1868) Niech Ω oznacza zewnętrze zamkniętej, wypukłej krzywej C, wówczas sin ω dxdy = 2π 2. t 1 t 2 Ω

23 Wzory całkowe typu Croftona Twierdzenie Ustalmy β [0, π), γ [0, π β) i rozważmy sekantooptyki C α,β,γ owalu C, dla kąta α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π). Niech Ω oznacza zewnętrze owalu C i niech ω = π α, τ 1 = L(t), τ 2 = M(t). Wówczas Ω sin ω τ 1τ 2 dxdy = 2π 2 2π(β + γ). Niech Ω 1 oznacza pierścień ograniczony owalem C i jego izooptyką C π β γ owalu C. Niech t 1 = z a(t) z(t), t 2 = z a(t) z(t + a) oraz ω = π a, gdzie a (0, π β γ). Wówczas sin ω dxdy = 2π 2 2π(β + γ). t 1t 2 Ω 1

24 Wzory całkowe typu Croftona Jeżeli C jest krzywą wypukłą, sparametryzowaną za pomocą funkcji 2π podparcia, to jej długość L C = p(t)dt, gdzie t [0, 2π). Definicja [Y. Martinez-Maure] Algebraiczną długością jeża Γ nazywamy liczbę 0 2π L Γ = ψ(t)dt, gdzie ψ(t) jest funkcją podparcia krzywej Γ. Zatem dla ewolutoid owalu C otrzymujemy L Γ β = L C cos β i L Γγ = L C cos γ. 0

25 Wzory całkowe typu Croftona Twierdzenie Ustalmy β [0, π), γ [0, π β) i rozważmy sekantooptyki C α,β,γ owalu C, dla kąta α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π). Niech ω = π α, τ 1 = L(t), τ 2 = M(t). Wówczas i Ω Ω sin 2 ω τ 1 dxdy = L Γ β (π (β + γ)) + L Γγ sin(β + γ) sin 2 ω τ 2 dxdy = L Γγ (π (β + γ)) + L Γ β sin(β + γ).

26 Wzory całkowe typu Croftona Twierdzenie Niech CC a,β,γ oznacza pierścień ograniczony owalem C i jego sekantooptyką C a,β,γ, gdzie a (β + γ, π). Niech τ 1 = L(t). Wówczas ) CC a,β,γ dxdy τ 1 = L C ( cos γ cos β cos a sin a sin β Jeśli β = γ, to wzór ten uprości się do postaci ( dxdy = L C tg a ) ( τ 1 2 cos β sin β = L Γ β tg a ) 2 tg β. CC a,β,β Natomiast dla β = γ = 0 otrzymujemy wzór dxdy = L C tg a τ 1 2 CC a znany dla izooptyk krzywych ściśle wypukłych..

27 Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką Twierdzenie Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką C α,β,γ owalu C, dla ustalonych β [0, π), γ [0, π β) i α zmieniającego się w przedziale (β + γ, π), możemy opisać wzorem A β,γ (α) = 1 2 sin 2 α 2π 0 ( Ψ 2 β (t β) + Ψ 2 γ(t + α β) 2Ψ β (t β)ψ γ (t + α β) cos α Ψ β (t β)ψ γ (t + α β) sin α + + Ψ γ(t + α β)ψ β (t β) sin α ) dt.

28 Pole obszaru ograniczonego sekantooptyką Twierdzenie Funkcja A β,γ (α) dana wzorem (1) dla β [0, π), γ [0, π β) i α (β + γ, π), spełnia następujące równanie różniczkowe gdzie G(τ) = 2π 0 A β,γ(α) sin α + 2A β,γ (α) cos α = G(α), (Ψ β (t β)ψ γ (t + τ β) Ψ β (t β) Ψ γ (t + τ β))dt dla τ [β + γ, π]. Ponadto, jeśli β 0 lub γ 0, to 0 A β,γ((β + γ) + sin β sin γ ) L C max R(t) t [0,2π] sin(β + γ).

29 Twierdzenie sinusów dla sekantooptyk Twierdzenie Sekantooptyka C α,β,γ owalu C w punkcie z α,β,γ (t) ma następującą własność Q(t) sin α = L(t) = M(t). sin α 1 sin α 2

30 Twierdzenie sinusów dla sekantooptyk Wniosek Jeśli α 1 i α 2 są kątami jakie styczna do sekantooptyki C α,β,γ owalu C w punkcie z α,β,γ (t) tworzy, odpowiednio, z prostymi s 1 i s 2, zaś σ 1 i σ 2 są kątami jakie wektor Q(t) tworzy z prostymi s 1(t) i s 2(t), to α 1 = σ 1 i α 2 = σ 2.

31 Sekantooptyki krzywych o stałej szerokości Twierdzenie Jeśli owal C jest krzywą o stałej szerokości, tzn. = p(t) + p(t + π) = const, to odległość między punktami z α,β,γ (t) i z α,β,γ (t + π) na jego sekantooptyce C α,β,γ jest stała i równa sin α cos2 β + cos 2 γ 2 cos α cos β cos γ. Wniosek Jeśli założymy, że β = γ, to otrzymamy z α,β,β (t) z α,β,β (t + π) = cos β cos α. 2 Twierdzenie Niech C będzie owalem i niech α 2β będzie liczbą liniowo niezależną od π nad ciałem Q. Jeśli odległość między punktami z α,β,β (t) i z α,β,β (t + π) na jego sekantooptyce C α,β,β jest stała, to dla krzywej C prawdą jest, że z(t) z(t + π) = const.

32 Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu Zdefiniujmy funkcję R Γβ (t) = R(t β) cos β + Ṙ(t β) sin β, gdzie R(t) jest promieniem krzywizny owalu C. Tak określona funkcja przyjmuje wartości w zbiorze liczb rzeczywistych. Twierdzenie Sekantooptyka C α,β,γ owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t [0, 2π) spełniona jest nierówność 2 Q(t) 2 > sin α ( R Γγ (t + α β)l(t) R Γ β (t β)m(t) ). Twierdzenie Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ β i Γ γ są owalami o funkcjach podparcia klasy C 2. Sekantooptyka C α,β,γ takiego owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t [0, 2π) spełniona jest nierówność 2 Q(t) 2 > sin α ( L(t) κ Γγ (t + α β) ) M(t). κ Γ β (t β)

33 Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu Twierdzenie Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ β i Γ γ są owalami o funkcjach podparcia klasy C 2. Sekantooptyka C α,β,γ takiego owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym punkcie t [0, 2π) spełniona jest nierówność 2 Q(t) > sin α ( sin α 1 k Γγ (t + α β) + sin α 2 k Γ β (t β) gdzie kąty α 1 i α 2 są określone tak jak w twierdzeniu sinusów dla sekantooptyk owali. Twierdzenie Załóżmy, że owal C jest taki, że jego ewolutoidy Γ β i Γ γ są owalami o funkcjach podparcia klasy C 2. Sekantooptyka C α,β,γ takiego owalu C jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości rzutów wektorów krzywizny krzywej Γ β w punkcie z β (t β) i krzywej Γ γ w punkcie z γ (t + α β) na kierunek wektora Q(t) jest mniejsza niż 2 Q(t). ),

34 Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu Dla każdego punktu z β (t), gdzie t [0, 2π] możemy wybrać punkt z γ (t + α), gdzie α (β + γ, π). Wektor z β (t)z γ (t + α) łączący rozważane punkty na ewolutoidach oznaczmy przez q(t, t + α). Twierdzenie Załóżmy, że ewolutoidy Γ β i Γ γ owalu C są owalami o funkcjach podparcia klasy C 2. Jeśli suma długości rzutów wektorów krzywizny ewolutoidy Γ β owalu C w punkcie z β (t) oraz ewolutoidy Γ γ owalu C w punkcie z γ (t + α) na kierunek wektora q(t, t + α) jest mniejsza niż 2 q(t, t + α) dla wszystkich t [0, 2π) oraz dla wszystkich α (β + γ, π), to wszystkie sekantooptyki C α,β,γ owalu C są wypukłe.

35 Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu Wiadomo, że wszystkie izooptyki elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a > b są wypukłe wtedy i tylko wtedy, gdy 1 < a b < 2. Przykład Wszystkie sekantooptyki C α,β,β elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, a > b są wypukłe jeśli parametry a i b są związane warunkiem b 2 cos β[sin 2 β(2a 4 (1 + cos 2 β) a 2 b 2 ( cos 4 β + 3 cos 2 β + 3) 2b 4 cos 2 β) + cos 6 β(a 2 b 2 2b 4 )] = 0.

36 Warunek na wypukłość sekantooptyki owalu Sekantooptyki C α, 2π 5, 2π elipsy x2 + y2 = oraz elipsy x2 + y2 = ,

37 Dziękuję za uwagę.