Temat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór

Transkrypt

1 ema 6 Opracował: Lesław Dereń Kaedra eorii Sygnałów Insyu eleomuniacji, eleinformayi i Ausyi Poliechnia Wrocławsa Prawa auorsie zasrzeżone Szeregi ouriera Jeżeli f ( ) jes funcją oresową o oresie, czyli f f ( ),,, o można ją przedsawić jao szereg ouriera, o posaci * j ω f =, = e gdzie ω = pulsacja podsawowa, + = = ± ±, jω jθ e d e współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera = f = uncja oresowa jes w sposób jednoznaczny oreślona przez przeliczalny zbiór współczynniów rozwinięcia w szereg ouriera, co będziemy symbolicznie oznaczać f Po przeszałceniach, szereg ouriera można przedsawić również jao szereg rygonomeryczny f ( ) = + cos( ω + θ ) = jes warością średnią funcji f() i jes nazywane sładową sałą przebiegu, naomias, wysępujące pod znaiem sumy, przebiegi sinusoidalne nazywane są sładowymi harmonicznymi przebiegu f() { } i θ możemy raować jao funcje ω, órych dziedziną jes dysreny zbiór ω, = ±, ±, uncje e nazywa się odpowiednio: dysrenym widmem ampliudowym i dysrenym widmem fazowym Własności szeregów ouriera Załóżmy, że f ( ) i g ( ) są funcjami oresowymi o aim samym oresie Oznaczmy: f ( ), g ( ) G Liniowość a f + a g a + a G Przesunięcie w dziedzinie czasu j ( τ ) e f ω τ * Z maemaycznego punu widzenia przedsawienie aie isnieje, jeżeli funcja spełnia zw waruni Dirichlea Ponieważ wszysie funcje, opisujące przebiegi fizyczne, waruni aie spełniają, więc zagadnieniem ym nie będziemy się uaj zajmować

2 ema 6 sr Różniczowanie d f f = jω d Uwaga w punach nieciągłości funcji f ( ) należy obliczyć pochodne dysrybucyjne! Własności e, w wielu przypadach, pozwalają na bardzo ławe wyznaczenie współczynniów rozwinięcia funcji oresowej w szereg ouriera (bez porzeby obliczania jaicholwie całe!), i dlaego waro je zapamięać więc czyli Rozwińmy w szereg ouriera przebieg oresowy δ = δ( n ) Ponieważ n= = { δ } = ( jω) = δ( ω ω ), = = j δ { ( j )} { δ( )} e ω = ω = ω ω =, = dla dowolnego Idenyczny wyni można orzymać obliczając + jω jω δ e d δ e d = = = Waro zapamięać: δ, lub ogólniej, po uwzględnieniu własności, δ jωτ e ( τ ) Zad Znaleźć współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera przebiegu oresowego órego wyres poazano na rys f A f, κ ( κ + ) < κ < A Rys Naszicować widmo ampliudowe i fazowe dla wybranych warości κ

3 ema 6 sr Meoda I (bezpośrednia) + κ jω jω jω e d e d e d = f = A + ( A) = A e + e e = + = jω jω jω κ κ κ jωκ jω jωκ jω jω e e A j Po uwzględnieniu ω =, e = i po uporządowaniu orzymujemy: jκ jκ jκ e e e jκ sin κ jκ e κ e, = A = A = A j j κ jes warością średnią przebiegu, czyli = Aκ A( κ ) = ( κ ) A Meoda II Po zróżniczowaniu (dysrybucyjnym!) funcji f (rys a) orzymujemy przebieg sładający się z dwóch oresowych ciągów złożonych z dysrybucji Diraca, aich ja na f = Aδ Aδ κ A szereg ouriera aiego przebiegu już rys b, czyli znamy A f ( κ ) κ A (a) f ( ) Aδ( ) ( κ ) κ ω A A j j e ω = κ (b) Aδ( κ ) Rys Dla orzymujemy więc jωκ jκ e e sin κ jκ κ e jω j κ = A = A = A

4 ema 6 sr należy wyznaczyć oddzielnie, a ja w meodzie I Przyładowe dysrene widma: ampliudowe i fazowe dla κ =, przedsawiono na rys 5 6 θ 5 6 Rys Zagada na deszczowe dni: Pochodną funcji f() możemy również zapisać jao δ δ ( ) f = A A + κ Czy orzymamy wówczas inne współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera? Zad Znaleźć współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera przebiegu oresowego f ( ), órego wyres poazano na rys f Rys Oresem funcji jes =, czyli ω = Współczynnii szeregu ouriera wyznaczymy sosując meodę II z zad ym razem wymagane będzie dwurone zróżniczowanie funcji f ( ) Sposób posępowania zosał zilusrowany na rys

5 ema 6 sr 5 f 5 f ( ) 5 jω f 5 = + jω jω ω e e Rys Po dwuronym zróżniczowaniu funcji f ( ) orzymujemy więc przebieg oresowy, złożony z rzech ciągów dysrybucji Diraca, czyli f = δ δ δ + +, órego szereg ouriera znamy Po podsawieniu danych liczbowych orzymujemy (przy założeniu ): j j j j e e e e sin + = = = j należy wyznaczyć oddzielnie, jao warość średnią przebiegu f ( ) Orzymujemy = Waro u zwrócić uwagę, że wszysie orzymane współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera są liczbami rzeczywisymi Będzie a zawsze, gdy rozwijana w szereg funcja jes f = f funcją parzysą, czyli gdy

6 ema 6 sr 6 Zad Znaleźć współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera funcji oresowej wyres poazano na rys f "połówa" sinusoidy f, órej Oresem funcji jes =, czyli ω = Spróbujemy wypróbowanego sposobu, polegającego na olejnym różniczowaniu funcji f ( ) Uzysany efe poazano na rys Rys f sin f cos jω f δ( + ) δ( ) δ( ) δ( ) ω sin Rys Ja widać, ym razem po dwuronym zróżniczowaniu funcji nie orzymaliśmy przebiegu złożonego wyłącznie z dysrybucji Diraca Dalsze różniczowanie, w sposób oczywisy, również nie doprowadzi do aiej syuacji Ale, ja ławo zauważyć, druga pochodna zawiera dwa ciągi dysrybucji Diraca (a!!! oresem funcji jes = ) f, czyli i przesalowanego przebiegu δ δ f = + f

7 ema 6 sr 7 Orzymujemy więc j e ω ω = +, sąd, po uporządowaniu i podsawieniu danych liczbowych orzymujemy j ( + ) e ( ) =, a nasępnie, przy założeniu, j + e + cos + = = = Współczynni wyliczymy oddzielnie, jao = f e d = sin e d = e d = j j Osaecznie jω j j ( ), =, j = + ( ), ( ) Zad Znaleźć współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera przebiegu oresowego f ( ), órego wyres poazano na rys f Rys Oresem funcji jes = 5, czyli ω = Po zróżniczowaniu funcji 5 f ( ) orzymujemy przebieg sładający się z dwóch ciągów dysrybucji Diraca i część funcyjną g ( ) Po wydzieleniu współczynniów odpowiadających sładniom dysrybucyjnym różniczujemy ylo część funcyjną g ( ) Dalsze posępowanie jes już sandardowe wyznaczamy G g ( ), a nasępnie Cała procedura zosała zilusrowana na rys

8 ema 6 sr 8 f f ( ) G g 7 8 jω jω e e jω = + G g 7 8 jω G jω jω e e = Rys Kolejno obliczamy: jω jω e e sin G 5 = =, (przy założeniu ) jω cos sin j 5 5 = +, 5 5 cos 5sin j 5 5 =,, = Ja ławo zauważyć, wszysie współczynnii rozwinięcia są liczbami urojonymi jes f jes nieparzysa, zn f = f ( ) o regułą, gdy funcja Zad 5 Poazać, że funcja cos sin, f = jes funcją oresową Wyznaczyć jej ores, pulsację podsawową i współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera Zapiszmy funcję f ( ) za pomocą wzorów Eulera j j j, j, j, j, j, j, e + e e e e + e e e f = = = sin, + sin, j j Jes więc ona sumą przebiegów sinusoidalnych o pulsacjach ω =, i ω =, ω Sosune ych pulsacji ω =, czyli jes liczbą wymierną, a ich najwięszy wspólny

9 ema 6 sr 9 dzielni jes równy ω =, Przebieg f ( ) jes więc przebiegiem oresowym, o pulsacji podsawowej ω i oresie = = Można ją zapisać jao ω = j ω j e j e j ω j e j ω j e j ω f Jes o szereg ouriera ej funcji, czyli = j, = j, = j, = j, a pozosałe współczynnii rozwinięcia są równe Szereg ouriera jes więc szeregiem sończonym Można również zauważyć, że w widmie ej funcji nie ma sładowej harmonicznej o częsoliwości podsawowej gdzie Zasosowania szeregów ouriera Niech f ( ) oznacza funcję oresową, czyli f = f ( ), = ±, ±, ±, Moc i efeywna szeroość pasma Moc przebiegu oresowego definiujemy jao: + P f d uncję f można przedsawić w posaci szeregu ouriera, = = jω e = = + cos ω + θ f + jω jθ ω =, = f e d = e Wówczas + d P = f = = + = = Powyższa zależność nosi nazwę równości Parsevala Można ją również przepisać w posaci: gdzie ( ), P = + = P + P P harmonicznej = = = jes mocą sładowej sałej, naomias P = = mocą -ej s

10 ema 6 sr Jeżeli ograniczymy się do sończonej liczby olejnych harmonicznych w szeregu ouriera, wówczas moc zawara w ych harmonicznych n n = n = [ n] P = = + P Efeywną szeroością pasma przebiegu f ( ) nazywa się pasmo najmniejszą liczbą całowią, dla órej spełniona jes nierówność: n n κ = n = [ n] P = = + P, nω, gdzie n jes W powyższej nierówności κ < jes założoną częścią całowiej mocy przebiegu Zwyle przyjmuje się κ = (,9,99) Pobudzenia oresowe w obwodach SLS p( ) r gdzie Jeżeli p = p ( ), = ±, ±,, o = jω e e, j ω p = P r = R = ( ω ) ( ω ) R = H j P, H j = H s s= jω Zad 6 Obliczyć, w jaim paśmie częsoliwości zaware jes a) 95%, b) 99% mocy całowiej przebiegu oresowego, órego wyres poazano na rys 6 Rys 6 W przedziale, funcja f = cos Całowią moc przebiegu wyznaczymy jao: + d cos d cos τ dτ, 5 f ćwiara sinusoidy P = f = = = = =, ms

11 ema 6 sr Moc zawarą w sładowej sałej i w n pierwszych harmonicznych można wyznaczyć z zależności [ n] P = + n = Należy więc znaleźć najmniejszą warość n, aą aby n [ n] P = + κ, = gdzie κ =,95 w przypadu a) i κ =,99 w przypadu b) Współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera funcji f ( ) mają posać = + j ( ) Wyznaczone warości [ n] P dla olejnych warości n zesawiono w abeli n [ n] P [ n] P P,,58,9,8556,9,968,5,9,865,956 5,7,9695 6,8,9687 7,,979 8,,976 9,66,9786,57,9867,559,986,59,9877,6,9898,65,986 5,67,9869 6,69,9877 7,7,988 8,76,989 9,7,9896,75,99 Z wyniów przedsawionych w abeli wynia, że 95% mocy jes zaware w sładowej sałej i pierwszych czerech harmonicznych, naomias 99% mocy wymaga uwzględnienia harmonicznych Ponieważ rad, s ω = czyli f = Hz, więc w przypadu a) wymagane jes pasmo częsoliwości od do Hz, zaś w przypadu b) od do Hz

12 ema 6 sr Zad 7 W obwodzie przedsawionym na rys 7a pobudzeniem jes oresowy przebieg e, poazany na rys 7b Wyznaczyć współczynnii wyładniczego szeregu napięciowy ouriera napięcia u ( ) e Rys 7 Wyznaczamy operaorową ransmiancję uładu H s L s U ( s) R R s s LC + s C L R R R R R R RR + + R R = = = E s s s Oznaczmy przebiegu e( ) są równe E cos = ( ) e E i u U Współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera Oresem pobudzenia jes =, czyli ω = Orzymujemy więc j cos U = H ( j ω ) E = j7 ( ) + ( ) Zad 8 Wyznaczyć warość sueczną rzeciej harmonicznej prądu przedsawionym na rys 8a Przebieg pobudzenia oresowego i rys 8b R R L C R u (a) R = Ω, R = Ω, R = Ω, L = H, C = e 5 (b) z połówi sinusoidy i w obwodzie przedsawiono na iz C L i R L = mh, C =,5µ, R = Ω, i z, ma,8,8, ms Rys 8 (a) (b)

13 ema 6 sr Operaorowa ransmiancja uładu ma posać: I ( s) H ( s) = = Iz ( s) s LC + src +, a współczynnii rozwinięcia w szereg ouriera przebiegu i ( ) sin,8 j,8 z e I =,, Iz =,8 (Ponieważ ineresująca nas ransmiancja jes bezwymiarowa, więc nie ma znaczenia w jaich jednosach wyrażany jes prąd W naszym przyładzie wygodnie będzie wszysie wielości o wymiarze prądu wyrażać w ma) Ponieważ liczbowych orzymujemy = ms, więc pulsacja podsawowa sin,8 I = H I z =, + j, j,8 ( j ω ) e Poszuiwana warość sueczna I s z rad s sin, = I =,686 ma,8 +, 9 ω = Po podsawieniu danych