WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK SK ADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK SK ADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC"

Łucja Romanowska
8 lat temu
Przeglądów:

1 A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 27, 22 Anna Szymasa WYBRANE METODY SZACOWANIA STAWEK SKADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC Srszzni. Podsaw dziaalnoi ubzpizniowj js prawidow szaowani sad ubzpizniowyh. Sadi powinny by a oszaowan, aby owarzyswo ni ponosio sra finansowyh, naomias ubzpizony ni pai za duo lub za mao. W pray przdsawiono dwi mody symaji saw sadi dla sad no wyznazanyh mod zrowj uyznoi. W pirwszj modzi do szaowania saw sadi wyorzysano symaory baysowsi. W modzi drugij sawi sadi oszaowano masymalizuj funj uyznoi, órj argumnm js rónia midzy sad i paramrm szodowo- i, przy warunu zahowania równowagi finansowj ubzpizyila. Badani przprowadzono na danyh rzzywisyh, pohodzyh z ódzigo owarzyswa ubzpizniowgo. Sowa luzow: sawa sadi, sysm bonus-malus, symaja baysowsa. I. WSTP W ubzpizniah omuniayjnyh OC lasyfiaja ubzpizonyh do grup aryfowyh odbywa si na podsawi zynniów a priori (obsrwowalnyh zynniów ryzya aih, ja na przyad rodzaj i ro produji samohodu, pojmno silnia, wi i p irowy) oraz zynniów a posriori (hisoria szodowoi irowy). Dlago sadi w ubzpizniah omuniayjnyh OC s wyznazan w dwóh apah. Pirwszy o oblizni sadi podsawowj na podsawi zynniów a priori, drugi ap o aryfiaja a posriori (por. Lmair (995)). W pray sonnrujmy si na drugim api nazywanym sysmm bonusmalus. Sysmm bonus-malus bdzimy nazywa mody wyznazania indywidualnyh sad, uwzgldniaj lizb szód spowodowanyh przz irow w przszoi. W adym sysmi bonus-malus musi by usalona lasa sarowa, do órj rafiaj ubzpizni bz hisorii szodowoi, wor saw sadi podsawowj oraz zasady przj midzy lasami. Rozna sada no js wyznazana jao ilozyn sadi podsawowj obowizujj w lasi aryfowj (aryfiaja a priori) oraz wspózynnia, bdgo szaowan pronow saw sadi. Dr, Kadra Mod Saysyznyh, Uniwrsy ódzi. [93]

W pray przdsawiono dwi mody symaji saw sadi dla sad no wyznazanyh mod zrowj uyznoi. W pirwszj modzi do szaowania saw sadi wyorzysano symaory baysowsi.

2 94 Anna Szymasa W pray ni uwzgldnia si dodaowyh zwy i zni, hararysyznyh dla poszzgólnyh ubzpizyili. W ubzpizniah omuniayjnyh zaada si, lizba szód K w jdnorodnym porflu js zminn losow o rozadzi Poissona posai P( K ), (=,, 2,...) ()! gdzi nazywamy paramrm innsywnoi szód (por.hossa (999)). Jli porfl js nijdnorodny, o paramr innsywnoi szód js zminn losow o rozadzi gamma z paramrami i, o funji gsoi posai f ( ),,, (2) ( ) 2 przy zym E i D. Wówzas lizba szód w porflu ma 2 rozad ujmny dwumianowy posai p P K,,,... (3) Esymaory paramrów i, wyznazon mod momnów (por. Domasi, Prusa(2)) s posai: i (4) 2 S S 2 W ubzpizniowym sysmi bonus-malus wyznaza si sad a priori, a naspni uwzgldnia si indywidualny paramr ryzya nazywany saw sadi (por. Lmair (995)). W pray do wyznazania indywidualnyh paramrów ryzya zasosowano dwi mody: mod I- wyorzysuj symaory baysowsi oraz mod II- Frriry. 2

Jli porfl js nijdnorodny, o paramr innsywnoi szód js zminn losow o rozadzi gamma z paramrami i, o funji gsoi posai f ( ),,, (2) ( ) 2 przy zym E i D.

3 Wybran mody szaowania saw sadi no 95 II. SZACOWANIE STAWEK SKADKI ZA POMOC METODY I Nih K j bdzi zminn losow oznazaj lizb szód w rou j dla danj polisy; (, 2,, ) worm obsrwaji lizby szód przz la dla danj polisy; F() bdzi dysrybuan zminnj losowj ; (, 2,..., ) bdzi niznanym paramrm szodowoi w rou + dla polisy opisanj worm obsrwaji (, 2,, ). Niznany paramr (, 2,..., ) mona oszaowa za pomo symaora baysowsigo na podsawi wora obsrwaji (, 2,, ). Jli funja sray js wadraowa o symaor baysowsi paramru js warunow waroi oziwan rozadu a posriori i ma posa (,..., ) E [,, ] df,, (5) ( gdzi F,, ) js dysrybuan warunow zminnj losowj przy zaobsrwowanyh waroiah (, 2,, ). Zaómy, rozad lizby szód w porflu js ujmny dwumianowy. Paramr innsywnoi szód ma rozad a priori gamma z paramrami i. Z wirdznia Bays a d ( )! P,... df j J df(,... ) = ( ) P,... df d! ( ) ( ) ( ) J d ˆ ˆ ˆ d j ˆ Zam rozad a posriori paramru js rozadm gamma z paramrami ˆ orazˆ. Esymaor baysowsi paramru ma posa ˆ d (6) ˆ (,..., ) (7) ˆ

losowj ; (, 2,..., ) bdzi niznanym paramrm szodowoi w rou + dla polisy opisanj worm obsrwaji (, 2,, ). Niznany paramr (, 2,.

4 96 Anna Szymasa Paramry i mona wyznazy z wzoru (4). W ubzpizniah omuniayjnyh OC indywidualna sada no w orsi + wynosi: P (,..., ) EX E b (,..., ) (8) gdzi P (,..., ) -indywidualna sada no w orsi +, (EX ) -waro oziwana pojdynzj szody, ( E) -waro oziwana lizby szód, (,..., ) -sawa szaowanj sadi. b Przyjmijmy, (EX) = oraz (E ). Wówzas równani (8) ma posa P (,..., ) b (,..., ) (9) Sd irowa, óry po laah zgosi szód, powinin pai saw szaowanj sadi równ b (,..., ) P (,..., ) % () Do szaowania indywidualnj sadi no zasosujmy zasad zrowj uyznoi. Zasada zrowj uyznoi opira si na zaoniu, oziwana uyzno zarobu ubzpizyila, gdy ryzyo zosani ubzpizon za n P, równa si uyznoi pozowj rzrwy R ubzpizyila, zyli u ( R) E[ u( R P)]. Nih funja u() bdzi wyadniz funj uyznoi posai u( ) () gdzi > js paramrm orlajym awrsj do ryzya owarzyswa ubzpizniowgo. Im wisza js awrsja, ym wisza js sada. Jli funja uyznoi ma posa orlon wzorm (), o sada no wynosi gdzi P ln M( ) (2) M ( ) E js funj worz momny zminnj losowj.

.., ) b (,..., ) (9) Sd irowa, óry po laah zgosi szód, powinin pai saw szaowanj sadi równ b (,..., ) P (,..., ) % () Do szaowania indywidualnj sadi no zasosujmy zasad zrowj uyznoi.

5 Wybran mody szaowania saw sadi no 97 W przypadu ujmngo dwumianowgo rozadu lizby szód w porflu sada no wynosi P ln M ln df ln dla ( ) d (3) Uwzgldniaj, ˆ orazˆ, szaowana wdug zasady uyznoi indywidualna sada no wynosi P (,..., ) ln (4) Na podsawi równa () i (4) sawa szaowanj w sysmi bonus- malus sadi irowy, óry po laah zgosi szód, wynosi b (,..., ) ln % (5) III. SZACOWANIE STAWEK SKADKI ZA POMOC METODY II Moda a js opara na wyadnizj funji uyznoi i zaoniu, ubzpizyil ma awrsj do arania nadmirnymi sadami wszysih irowów w danj grupi porfla. Uwaa, przszaowana sawa sadi js wiszym bdm ni nidoszaowana sawa sadi pod warunim, równowaga finansowa ubzpizyila zosani zahowana. Sawi sadi szauj wi masymalizuj funj uyznoi, órj argumnm js rónia midzy sad i paramrm szodowoi, przy warunu zahowania równowagi finansowj. Nih dla dango lizba m+ oznaza lizb grup aryfowyh w porflu (=,...,m); N oznaza zn lizb roszz w -j grupi aryfowj; N zn sum roszz w porflu, zyli N m N p P (,..., ) indywidualn sad no w orsi +.. Oznazmy przz

SZACOWANIE STAWEK SKADKI ZA POMOC METODY II Moda a js opara na wyadnizj funji uyznoi i zaoniu, ubzpizyil ma awrsj do arania nadmirnymi sadami wszysih irowów w danj grupi porfla.

6 98 Anna Szymasa Moda II opira si na wyznazniu przyszyh sad no p jao masimum funji przy warunu m p Z( p ) N df,..., N (6) m N p (7) N gdzi js paramrm wyraajym awrsj do ryzya ubzpizyila. Wyorzysuj funj Lagrang a m m p L( p, ) N df,..., N p N N (8) orzymujmy m L N p N (9) L p N N p,..., N, m df,..., N (2) Nih M (x) oznaza funj worz momny rozadu a posriori paramru, orlon wzorm M x ( x) df,..., (2) Uwzgldniaj wzory (2) i (2) mamy p M ( ) (22) Wyznazaj p z równania (22) orzymujmy indywidualn sad no w orsi + p ln ln M (23)

.., N p N N (8) orzymujmy m L N p N (9) L p N N p,..., N, m df,.

7 Wybran mody szaowania saw sadi no 99 Uwzgldniaj wzory () i (23) sawa szaowanj sadi mod II wynosi b (,..., ) ln ln M % (24) W przypadu ujmngo dwumianowgo rozadu lizby szód w porflu sawa szaowanj mod II sadi wynosi (,..., ) b ln( ) ( )ln % (25) IV. ZASTOSOWANIA Przdsawion mody zasosowano do wyznazania szaowanj sawi sadi na podsawi danyh doyzyh hisorii szodowoi, pohodzyh z owarzyswa ubzpizniowgo dziaajgo na ódzim rynu. W abliah i 2 oszaowano sawi sad mod I (uywaj wzoru (5)) oraz mod II (uywaj wzoru (25)). Paramry i rozadu innsywnoi szód oszaowano za pomo wzoru (4). Tablia. Sawi sadi (w %) szaowan mod I (M I) oraz mod II (M II) dla =, i wij M I M II M I M II M I M II M I M II ródo: Obliznia wasn. Tablia 2. Sawi sadi (w %) szaowan mod I (M I) oraz mod II (M II) dla =, i wij M I M II M I M II M I M II M I M II ródo: Obliznia wasn.

ZASTOSOWANIA Przdsawion mody zasosowano do wyznazania szaowanj sawi sadi na podsawi danyh doyzyh hisorii szodowoi, pohodzyh z owarzyswa ubzpizniowgo dziaajgo na ódzim rynu.

8 2 Anna Szymasa V. WNIOSKI Szaowan sawi sadi podsawowj róni si znazni. Moda I js ryyowana, poniwa wraz z wzrosm i oraz bardzij przszaowuj sadi. Ma równi ograniznia doyz paramru. Moda II zaburza symri midzy nadpa i nidopa. Obia irowów ago porfla niwil wyszymi sadami, ni obiaj a doliwi irowów w lasah o duj lizbi szód. BIBLIOGRAFIA Domasi Cz., Prusa K., (2), Nilasyzn mody saysyzn, PWE, Warszawa. Hossa I.B., Pollard J.H., Zhnwirh B., (999), Inroduory saisis wih appliaions in gnral insuran, Cambridg. Lmair J., (995), Bonus-Malus Sysms in Auomobil Insuran, Kluwr Nijhoff, Boson. Anna Szymasa CHOSEN METHODS OF ESTIMATING NET PREMIUMS IN CIVIL RESPONSIBILITY CAR INSURANCE Absra Th foundaion of insuran aiviy is h orr simaion of insuran prmiums. Th prmiums should b simad so ha h insuring ompany would no inur losss and h insurd would no pay oo muh or oo lil. In h papr wo mhods of simaing ras of prmiums for n prmiums dfind by zrouiliy mhod ar prsnd. In h firs mhod o simaing prmiums bays simaors ar usd. In h sond mhod ras of prmium ar simad by maximum uiliy funion whos argumn is diffrn bwn h prmium and h paramr of damag wih h ondiion o prsrv insurr s finan balan. Th invsigaion was arrid on ral daa from a ód insuran ompany.

, (2), Nilasyzn mody saysyzn, PWE, Warszawa. Hossa I.B., Pollard J.H., Zhnwirh B., (999), Inroduory saisis wih appliaions in gnral insuran, Cambridg. Lmair J.

Podobne dokumenty

TERMOMECHANICZNY OPIS PROCESU PEŁZANIA DREWNA

ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 8/8 Komisja Inżynirii Budowlanj Oddział Polskij Akadmii Nauk w Kaowicach TERMOMECHANICZNY OPIS PROCESU PEŁZANIA DREWNA Kamil PAWLIK Polichnika Opolska, Opol. Wprowadzni