Równania ruchu konstrukcji głównej z dołączonymi wielokrotnymi, strojonymi tłumikami masowymi

Transkrypt

1 Budownictwo i Archittura 1 (212) Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi wilorotnymi, strojonymi tłumiami masowymi Piotr Wilgos Katdra Mchanii Budowli, Wydział Budownictwa i Archittury, Politchnia Lublsa, -mail: p.wilgos@pollub.pl Strszczni: W artyul przdstawiono matmatyczny modl onstrucji głównj z wbudowanymi wilorotnymi strojonymi tłumiami drgań. Bardzo ważną wstią, związaną z tym modlm jst budowa globalnj macirzy tłuminia ustroju. Przdstawion zostaną własn propozycj lmntów MES, opisujących dodatow lmnty dołączon do ustroju główngo w postaci strojonych tłumiów drgań. Omówion zostaną taż orzyści płynąc z zastosowania nowych lmntów MES. Słowa luczow: wilorotn strojon tłumii masow, globalna macirz tłuminia, lmnty MES. 1. Wstęp Ninijszy artyuł jst rozwinięcim artyułu Wilgos (211) [1]. W ninijszj pracy supiono się na pasywnj mtodzi rducji drgań, w szczgólności na budowi macirzy tłuminia ustroju z dołączonymi strojonymi, masowymi tłumiami drgań. W pirwszj części pracy przdstawion zostaną podstawow dan o pasywnych wisotycznych tłumiach drgań, następni omówion zostaną sposoby wbudowania ich w onstrucję główną. Końcowym ftm pracy jst propozycja własnych lmntów MES opisujących dodatow lmnty dołączon do ustroju główngo w postaci strojonych tłumiów masowych. Modl lmntów MES zostały omówion taż w pracy Wilgos (21) [2]. 2. Strojon tłumii masow (STM) Strojony tłumi masowy (czasm nazywany dynamicznym tłumiim drgań) słada się z dodatowo dołączonj masy do onstrucji głównj, za pomocą więzów o właściwościach sprężystych oraz tłumiących. Rducję drgań uzysuj się poprzz przpływ i rozpraszani nrgii pomiędzy onstrucją główną a STM. Strojony tłumi masowy, ja sama nazwa mówi, jst nastrojony na onrtną wartość ω t ω i (lub na wartość blisą tj częstości ω t ω i ) wybranj częstości drgań własnych onstrucji głównj. Zastosowany STM wytłumia w zasadzi tą częstość, na tórą został nastrojony, w ogólności jdna w przypadu występowania ilu blisich sobi częstości drgań własnych i umijscowiniu tłumia w mijscu, gdzi rzędn postaci drgań własnych są znacząc, będzi on taż tłumił t częstości drgań własnych. Zazwyczaj blisi sobi częstości drgań własnych występują w ustrojach

2 16 Piotr Wilgos bardzo złożonych, taich ja przrycia wilopołaciow, mosty czy ładi podwiszan lub wisząc. Schmatyczny rysun taigo tłumia, działającgo na irunu pionowym, przdstawiono na Rys. 1. Rys. 1. Schmat strojongo tłumia masowgo STM. ig. 1. Schm of th tund mass dampr TMD. 3. Sposoby wbudowania tłumiów drgań w onstrucję główną W przypadu strojonych tłumiów masowych istnij wil różnoraich wariantów ich wbudowania. Podstawowym rytrium umiszcznia STM na onstrucji jst ich usytuowani. STM louj się w mijscach najwięszych rzędnych postaci drgań dla częstości, na tórą STM został nastrojony. Przyładow rozmiszczni tłumiów poazano na Rys. 2. Rys. 2. Schmat strojonych tłumiów masowych STM w onstrucję główną. ig. 2. Schm of tund mass damprs (TMD) built into th main structur.

3 Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań Na schmaci A przdstawiono dwa tłumii STM działając na irunu X, tór mogą być nastrojon na pirwszą częstość drgań własnych ustroju. Można taż nastroić jdn z nich na drugą częstość drgań własnych. W przypadu schmatu B mamy do czyninia z ustrojm blowym, w tórym możliw jst nastrojni na pirwszą giętną częstość drgań własnych, lub tylo drugą. Moż taż wystąpić przypad, idy środowy tłumi nastrojony jst na pirwszą częstość drgań własnych, zaś dwa pozostał na drugą częstość drgań własnych ustroju. W przypadu zastosowania ilu STM na onstrucji można wprowadzić nazwę wilorotn, strojon tłumii drgań (WSTM). Każdy dodatowo zamontowany STM, wiąż się z wprowadznim do ustroju nowgo stopnia swobody, tóry związany jst z ruchm masy tłumia na irunu jgo działania. 4. Równania ruchu uładu główngo z dołączonymi WSTM Podobni ja w przypadu ustroju, sładającgo się z podstrutur wyonanych z różnych matriałów, ta i w przypadu dołącznia WSTM do uładu główngo, poszczgóln macirz modlu można rozbić na dwi podmacirz: onstrucja główna (przz N oznaczymy stopni swobody uładu główngo); dołączon WSTM (przz N t oznaczmy liczbę dołączonych tłumiów). Równania ruchu mogą być wtdy zapisan w postaci: ( M + M ) ()+ t ( C + C ) ()+ t ( K + K ) () t p() t (1) KG T KG T KG T Globalna liczba stopni swobody uładu będzi wynosić N + N t (ażdy tłumi zstawu WSTM powoduj zwięszni globalnj liczby stopni swobody o jdn). Poniżj przdstawiono postaci macirzy C T, K KG, M T, przy założniu, ż dodatow stopni swobody wyniając z zastosowania WSTM występują z ostatnimi numrami: M KG émk N N ;, N,, N, K, KG ékk N N ;, N,, N, C, KG éck N N ;, N,, N, W przypadu onstrucji wilomatriałowych, sładających się z matriałów o różnych właściwościach sprężystych czy tż o różnych właściwościach tłumiących, macirz M K, K K, C K, nalży budować wdług znanych modli np. Rayligha czy Cogya Przjdźmy traz do macirzy związanych z wydziloną podstruturą WSTM. Każdy z strojonych tłumiów masowych (STM) wprowadza dodatowo jdn stopiń swobody uładu. Poniżj zostani przdstawiony sposób budowy poszczgólnych macirzy w przypadu ustroju dwuwymiarowgo, a następni jgo uogólnini na uład przstrznny. Wprowadzon zostaną pojęcia lmntu STM 2D oraz lmntu STM 3D. Są to całowici now lmnty MES, tór mogą być zastosowan w programach obliczniowych MES. (2)

4 18 Piotr Wilgos 4.1. Elmnt STM 2D Na poniższym rysunu przdstawiono schmat dołącznia STM do ustroju główngo. Dołączni STM do ustroju główngo, powoduj wprowadzni dodatowgo stopnia swobody, na irunu działania STM. Dlatgo tż wprowadzono węzł j, w tórym uwzględniono dodatowy stopiń swobody uładu STM. Węzł i odpowiada węzłowi, do tórgo dołączany jst tłumi zaś węzł j jst węzłm swobodnym (Rys. 3). Rys. 3. Schmat dołącznia STM 2D do ustroju główngo. ig. 3. TMD-2D attaching to th main systm schm. Masa tgo STM m t, słada się z masy związanj z onstrucją STM m t oraz z masy własnj (drgającj) m tw : mt mtw + mt (3) W clu uninięcia sompliowango opisu sił działających na ustrój główny na irunu prostopadłym do irunu działania STM (siły bzwładności od masy m tw w ogólności mogą oddziaływać na różn węzły ustroju główngo), przyjęto założni upraszczając w postaci supinia tych sił w węźl i, do tórgo dołączany jst ty STM. W węźl i do tórgo dołączany jst STM, supiona jst więc: masa onstrucji STM (m t ) na obu irunach X, Y oraz masa drgająca (m tw ) na irunu prostopadłym do irunu działania STM (Y). W węźl j, tj. na dodatowym stopniu swobody, supiona jst cała masa własna (m tw ) na irunu działania STM (X). W ogólności węzł j ma t sam współrzędn co węzł i, i ja stwirdzono wczśnij, służy on tylo do ujdnolicnia opisu sił na dodatowym stopniu swobody (dodatowy stopiń swobody w węźl i). Kirun działania lmntu STM 2D, w ogólności, ni musi się porywać z globalnym uładm współrzędnych. Na Rys. 4 oraz Rys. 5 przdstawiono schmat lmntu tłumia STM 2D oraz sił, działających na lmnt w uładzi loalnym i globalnym. Kirun działania STM orśla wtor irunowy w globalnym uładzi współrzędnych XY w postaci w [L x, L y ]. Pojdynczy STM moż wyonywać drgania tylo po irunu x loalngo uładu współrzędnych, a więc z założnia jy iy, oraz jy. Transformacji do uładu globalngo podlgają wilości sił i przmiszczń węzła początowgo i, zaś w węźl j pozostawiany jst uład loalny (jst to zagadnini znan w MES przy uwzględnianiu podpory uośnj przy budowi globalnj macirzy K).

5 Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań Rys. 4. Schmat lmntu strojongo tłumia masowgo (STM 2D) w uładzi loalnym. ig. 4. Schm of th tund mass dampr lmnt (TMD-2D) in th local coordinat systm. Rys. 5. Schmat lmntu strojongo tłumia masowgo (STM 2D) w uładzi globalnym. ig. 5. Schm of th tund mass dampr lmnt (TMD-2D) in th global coordinat systm. Elmnt ty ( ty WSTM) ma następując dan m t m tw + m t, t, c t. Wtory przmiszczń węzłowych lmntu oraz sił węzłowych w uładzi loalnym będą miały następującą postać: é ix ' iy jx é ix f ' iy jx zaś w uładzi globalnym: é ix iy jx ix iy jx f (4) é ix ix iy f iy (5) jx jx Macirz M ', K ', C' dla tgo WSTM w loalnym uładzi współrzędnych mają następując postaci: ém t M ' mt + m tw ë m ú tw û é t - t K ' ë-t ú t û C' é ct -c t (6) ë-ct c ú t û

6 11 Piotr Wilgos Ja widać z powyższych postaci macirzy K ', macirz lmntu STM jst bardzo podobna do macirzy sztywności płasigo lmntu ratownicowgo. Natomiast w macirzy mas M ' występuj różnica w postaci supinia całj masy własnj na irunu x w węźl j, zaś na irunu y w węźl i (w przypadu płasigo lmntu ratowgo macirz jst diagonalna). Zazwyczaj masa onstrucji STM m t, moż zostać zanidbana, jao o rząd wilości mnijsza od masy własnj STM m tw. Macirz mas lmntu STM 2D, w uładzi loalnym, moż wtdy zostać zapisana w formi: é M ' m tw ë m ú tw û W dalszych rozważaniach przyjęto więc uproszczni: m t m tw Dla pojdynczgo lmntu możmy zapisać następując równani równowagi dynamicznj: M' ' () t + C' ' () t + K' ' () t f '() t (9) Transformacja poszczgólnych macirzy lmntu z uładu loalngo do globalngo obywa się za pomocą znanych z MES wzorów (por. Raowsi i in., 1992 [3]): () t R '() t '() R T t ( t) f ( ) () t R f '() t f'() R T t f ( t) ( ) gdzi macirz obrotu lmntu jst dana wzorm: R Ri é ú ë 1ú û Macirz R i jst macirzą obrotu węzła początowgo, zaś macirz R j węzła ońcowgo ni podlga obrotowi. Macirz obrotu węzła początowgo dana jst wzorm: éc -s R i ës c ú û gdzi: c cosα, s sinα. c s Ri s c Mnożąc lwostronni równani (9) przz R oraz, uwzględniając związ otrzymujmy równani ruchu w uładzi globalnym: ( ) + ( ) + ( ) (7) (8) (1) (11) (12) (13) RM R T RC R T RK R T ' ( t) ' () t ' ( t) Rf' () t (14) Poszczgóln macirz w uładzi globalnym będą miały następującą postać: M R M R T T ' ( ) ' ( ) M R M R (15)

7 Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań K R K R T T ' ( ) ' ( ) C R C R T T ' ( ) ' ( ) K R K R (16) C R C R (17) Jżli uład loalny tgo WSTM jst zgodny z uładm globalnym (c 1, s ) to macirz, M, K, C są odpowidnio równ M ', K ', C'. Jżli uład loalny jst obrócony o π/2 (c, s 1, por. Rys. 6), to po wymnożniu przz macirz obrotów lmntu macirzy w loalnym uładzi współrzędnych, uzysujmy następując wzory na macirz M, K, C : M émt ë m ú t û K é t - t ë -t ú t û C é ct -c t ë -ct c ú t û (18) Rys. 6. Schmat STM 2D obrócongo o π/2, w uładzi globalnym. ig. 6. Schm of TMD-2D turnd of th angl π/2, in th global coordinat systm. Jżli przpiszmy równani macirzow dla tgo przypadu do standardowj postaci otrzymamy: ix mt ix () t (19) iy ct ( iy () t - jy () t )+ t ( iy () t -jy () t ) (2) jx m t jx () t + ct ( jx () t - iy () t )+ t ( jx () t -iy () t ) (21) Zazwyczaj w węźl j ni działa żadn obciążni zwnętrzn, gdyż wiązałoby się to z przyładanim obciążania bzpośrdnio do tłumia. Jżli traz porównamy równani (21) z równanim dla uładu o dwóch stopniach swobody: m 1 1() t + c 1 1() t + c2( 1() t - 2() t )+ 11() t + 2( 1() t -2() t ) pt () m () t + c ( () t - () t )+ ( () t - () t ) (22) 1 1 to nalży stwirdzić, iż otrzymaliśmy idntyczna formułę. Wartości sił ix, iy nalży przyłożyć do warunów równowagi węzła i. Ja widać z wzoru (19), na węzł początowy przyłożona jst siła bzwładności ix prostopadła do irunu działania STM oraz siła iy dana wzorm (2).

8 112 Piotr Wilgos Podamy jszcz postaci macirzy M, K, C dla uładu obrócongo o π/4 ( c s 2 / 2): é é mt -m t t - 2 t t 2 -mt mt t t t M K mt - 2t - 2t t ë (23) é ct ct - 2c t 2 ct ct - ct C 2 2-2ct - 2ct ct (24) 4.2. Elmnt STM 3D Uogólnimy nasz rozważania dla uładów przstrznnych. Na Rys. 7 oraz Rys. 8 przdstawiono siły, działając na lmnt w uładzi loalnym i globalnym. Rys. 7. Schmat lmntu strojongo tłumia masowgo (STM 3D) w uładzi loalnym. ig. 7. Schm of th tund mass dampr lmnt (TMD-3D) in th local coordinat systm. Rys. 8. Schmat lmntu strojongo tłumia masowgo (STM 3D) w uładzi globalnym. ig. 8. Schm of th tund mass dampr lmnt (TMD-2D) in th global coordinat systm.

9 Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań Podobni ja w poprzdnim przypadu, dla lmntu płasigo, do uładu globalngo transformujmy tylo węzł początowy i STM. Węzł ońcowy pozostaj w uładzi loalnym (związanym z irunim działania tłumia). Poniżj przdstawiono wtory przmiszczń węzłowych lmntu oraz sił węzłowych w uładzi loalnym: é ix iy ' iz jx é ix iy f ' iz jx zaś w uładzi globalnym: é ix iy iz jx f é ix iy iz jx Macirz M ', K ', C' dla tgo WSTM w loalnym uładzi współrzędnych mają następując postaci: é m t M ' m t m t C' é ct -c t -ct c t é t - t K ' -t t (25) (26) (27) (28) Rys. 9. Schmat lmntu strojongo tłumia masowgo (STM 3D) w uładzi globalnym. ig. 9. Schm of th tund mass dampr lmnt (TMD-3D) in th global coordinat systm.

10 114 Piotr Wilgos Podobni ja dla lmntu STM 2D w macirzy mas M, masa na irunu y oraz z została supiona w węźl początowym i, zaś na irunu x w węźl ońcowym. Transformacja poszczgólnych macirzy lmntu z uładu loalngo do globalngo obywa się za pomocą wzorów (14). Na Rys. 9 przdstawiono podstawow oznacznia, służąc do uzysania macirzy obrotu węzła (por. Raowsi G. i inni (1992) [3], Błazi Borowa i Podgórsi, 21 [4]). Ta ja już wspomniano, węzł ońcowy j porywa się z węzłm i, wtdy linia pomiędzy tymi węzłami, jst intrprtowana jao wtor irunowy działania STM w [L x, L Y, L Z ]. Kirun loalnj osi x, jst zawsz wybirany wzdłuż wtora irunowgo w, irun y, ta aby oś y była równolgła do płaszczyzny XY uładu globalngo. Obrót z uładu loalngo do globalngo złożony jst z dwóch obrotów pośrdnich. Najpirw obracamy uład xyz o ąt b do pośrdnigo uładu x y z, dobrango ta, aby oś x była równolgła do płaszczyzny XY, a następni obracamy uład x y z o ąt g, ta, aby osi x oraz X były równolgł. Macirz obrotu o ąt b oraz o ąt g będą miały następując postaci: R b écb -s b 1 sb cb R g écg -sg s g cg ú ë 1û gdzi: s sin b L / L, c cos b L'/ L, s sin g L / L ', c cos g L / L ', b L' L 2 + L 2, L L + L + L X Y Z b 2 X Y Z Złożni dwóch obrotów dla węzła początowgo i, daj poszuiwaną macirz obrotu: écc -s -c s g b g g b Ri Ri Ri sc c -s s g b g b g g b s c b b Płna macirz obrotu lmntu STM 3D będzi miała następującą postać: R écc -s -c s g b g g b Ri sc c s s é ú - g b g g b ë 1û s c b b ë 1 Podan wzory na macirz M ', K ', C' mają zastosowani dla dowolngo irunu działania STM podango wtorm irunowym w [L x, L Y, L Z ]. Postać macirzy obrotu węzła początowgo jst idntyczna ja dla ratownicy przstrznnj. Nalży pamiętać, ż zastosowani lmntów STM 2D czy STM 3D powoduj ażdorazowo zwięszni o jdn stopiń swobody liczbę stopni swobody całgo uładu. Przmiszcznia, prędości i przyspisznia związan z tym stopnim swobody są zawsz zgodn z loalnym uładm współrzędnych, orślonym przz wtor irunowy w [L x, L Y, L Z ]. g Y g X (29) (3) (31)

11 Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań Agrgacja macirzy dla uładu dynamiczngo Agrgacja macirzy poszczgólnych lmntów STM 2D oraz STM 3D odbywa się w sposób analogiczny ja dla innych lmntów znanych z MES. Moż być przprowadzona w sposób bzpośrdni, gdzi dla ażdgo lmntu tworzona jst macirz połączń (przylgania), zawirająca rlacj pomiędzy loalnymi stopniami swobody a uporządowanymi i prznumrowanymi globalnymi stopniami swobody. Macirz połączń lmntu A jst prostoątna. Liczba wirszy tj macirzy jst równa liczbi globalnych stopni swobody (w rozpatrywanym przypadu N + N t ), zaś liczba olumn równa jst liczbi stopni lmntu (3 dla STM 2D; 4 dla STM 3D). Globaln macirz: mas, sztywności oraz tłuminia będą opisan wzorami: M A M A T å ( ) 1 T K A K A T å ( ) 1 T C A C A T å ( ) 1 T W omputrowj implmntacji często stosuj się podjści wyorzystując wtory aloacji. Są to wtory, tór zawirają odnisini loalnych stopni swobody do prznumrowanych globalnych stopni swobody. Przy tym podjściu, budowa globalnych macirzy M T, K T, C T odbywa się poprzz wstawiani odpowidnich bloów z macirzy M, K, C (bloów związanych z stopniami swobody węzła początowgo i oraz węzła ońcowgo j) do globalnych macirzy na podstawi wtorów aloacji. Nalży jszcz wspomnić, iż macirz M T, K T, C T ni sładają się z wydzilonych bloów o rozmiarz N T x N T. Poszczgóln podbloi macirzy M, K, C występują zarówno dla numrów stopni swobody n s < N, ja i N < n s < N + N t. 5. Przyład budowy macirzy tłuminia Rozpatrzony zostani modl płasigo ustroju ramowgo złożongo z dwu lmntów, w postaci poazanj na Rys. 1. Do ustroju zostaną dołączon dwa tłumii: w węźl nr 1 tłumi usytuowany pod ątm 3p/4, w węźl nr 2 pod atm 1p/2 w stosunu do uładu globalngo. Globalna liczba stopni swobody uładu z dołączonymi WSTM, wynosi N + N t 8. (32) Rys. 1. Schmat ustroju ramowgo z WSTM. ig. 1. Schm of th fram systm with MTMD.

12 116 Piotr Wilgos Masy supion w onstrucji głównj supiono w obu węzłach. W przyładzi pominięt zostaną postaci poszczgólnych macirzy dla onstrucji głównj, jao znan z ogólngo zagadninia MES. Ja widzimy z rysunu do globalnj macirzy mas muszą zostać dołączon masy tłumiów na irunach głównych X, Y. Do budowy poszczgólnych macirzy zastosowano lmnty STM 2D. Postaci macirzy w uładzi globalnym M, K, C dla poszczgólnych lmntów omówion były w poprzdnich rozdziałach. Poniżj przdstawiono postaci macirzy M T, K T, C T jao sumy podmacirzy dla poszczgólnych STM: M M + M T T 1 T 2 K K + K T T 1 T 2 Dla pirwszgo STM macirz będą miały postać: M T 1 é mt1 m t1 ë û ú CT CT 1 + CT 2 (33) é (34) -t1 t1 ë û ú K T 1 t1 -t1 é -ct1 ct1 ë û ú C T 1 ct1 -ct1 zaś dla drugigo dołączongo w węźl nr 1: M T 2 é mt m 2 t2 mt2 mt2 m t 2 (35) (36)

13 Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań K T 2 C T 2 é t2-2t2 t 2 ë t2 t2 t 2 t2 t2 t 2 é c -c 2c 2 -c c - 2c 2 2ct2-2ct2 ct 2 ë t2 t2 t 2 t2 t2 t 2 ú û ú û (37) (38) 6. Podsumowani W litraturz bardzo często buduj się od podstaw równania ruchu uładu z dołączonymi WSTM. Dla ażdgo przyładu obliczniowgo prowadzona jst cała analiza postaci macirzy globalnych M, K, C. Tai podjści możmy znalźć w pracach: Xu i in. (1999) [5], Lwandowsi R. (26) [6], Lwandowsi i Grzymisławsa (29) [7]. Zastosowani lmntów STM 2D oraz STM 3D, umożliwia potratowani problmu jao standardowgo problmu MES w tórym są wyorzystywan now lmnty STM 2D oraz STM 3D. Wprowadzni tych lmntów umożliwia analizowani uładów do tórych dołączono WSTM o irunach działania nioniczni zgodnych z globalnymi irunami X, Y, Z. Ma to bardzo duż znaczni pratyczn dla uładów o bardzo sompliowanj gomtrii oraz sompliowanych formach drgań, gdzi moż zajść oniczność zastosowania STM na irunu ni zgodnym z osiami globalngo uładu współrzędnych XYZ. Litratura [1] Wilgos P., Równania ruchu onstrucji głównj z dołączonymi tłumiami drgań opisanymi standardowym modlm rologicznym, Budownictwo i Archittura 9(2) (211)

14 118 Piotr Wilgos 2] Wilgos P., Ocna sutczności działania wilorotnych, strojonych tłumiów masowych w onstrucjach budowlanych, Rozprawa dotorsa, Lublin, 21. [3] Raowsi G. i in., Mchania budowli: ujęci omputrow, tom 2, Arady, Warszawa, [4] Błazi Borowa E., Podgórsi J., Wprowadzni do mtody lmntów sończonych w statyc onstrucji inżynirsich, IZT, Lublin, 21. [5] Xu Y.L., H Q., Ko J.M., Dynamic rspons of dampr connctd adjacnt buildings undr arthua xcitation, Enginring Structurs 21(2) (1999) [6] Lwandowsi R., Dynamia onstrucji budowlanych, Wydawnictwo Politchnii Poznańsij, 26. [7] Lwandowsi R., Grzymisławsa J., Dynamic analysis of structurs with Multipl Tund Mass Damprs, Journal of Civil Enginring and Managmnt 15(1) (29) Th uations of motion of th main structur with attachd multipl tund mass damprs Piotr Wilgos Dpartmnt of Structural Mchanics, aculty of Civil Enginring and Architctur, Lublin Univrsity of Tchnology, -mail: p.wilgos@pollub.pl Abstract: A mathmatical modl of structur with multipl tund mass damprs (MTMD) is prsntd in this papr. An important difficulty, connctd with ths modl, is building a global damping matrix of th systm. Th own proposals EM lmnts dscribing additional lmnts attachd to th main systm in th form of tund damprs hav bn proposd hr. Th bnfits of th nw EM lmnts hav bn brifly discussd. Kywords: multipl tund mass damprs, global damping matrix, EM lmnts.